Luận văn, khóa luận, đề tài
LỜI MỞ ĐẦU Lý thuyết đường cong trong R n là một nội dung quan trọng trong hình học vi phân đã được nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu và đã được trình bày trong nhiều tài liệu chẳng hạn [6],[7] và nó có nhiều ứng dụng trong vật lý, giao thông vận tải và các ngành khác nhau của toán học. Một trong những đặc trưng cơ bản của đường cong trong R n là các độ cong của đường cong ấy. Trong các tài liệu hình học vi phân [6], [7] đã trình bày cách xác định các độ cong của đường cong nhờ vào việc xây dựng trường mục tiêu Frenet dọc đường cong. Trong khóa luận này, chúng tôi xây dựng tích lệch của ba trường vectơ trong R 4 và sử dụng nó để xây dựng trường mục tiêu Frenet dọc một đường cong trong R 4 và từ đó trình bày cách xây dựng công thức Frenet của đường cong ấy. Khóa luận được chia thành 3 mục §1.Tích lệch của ba trường vectơ trong 4 R Trong mục này,chúng tôi trình bày định nghĩa và một số tính chất của tích lệch của ba trường vectơ trên R 4 . Ngoài ra còn trình bày định nghĩa Gram và mối quan hệ giữa định thức Gram với tích lệch của ba trường vectơ trên R 4 . §2.Đường cong trong 4 R Trong mục này, chúng tôi dành cho việc trình bày các định nghĩa và tính chất cơ bản của đường cong trong R 4 . §3.Trường mục tiêu Frenet trong 4 R Trong phần này, chúng tôi xây dựng trường mục tiêu Frenet và công thức Frenet dọc đường cong Γ trong R 4 . Khóa luận được hoàn thành vào tháng 5 năm 2010 tại khoa Toán trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫn của thầy giáo PGS.TS Nguyễn Hữu Quang. Nhân dịp này, tác giả xin hãy bày tỏ lòng biết ơn và kính trọng sâu sắc đến thầy hướng dẫn. Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành tới các thầy cô trong tổ hình học và các thầy cô trong khoa Toán – Đại học Vinh đã dạy bảo tác giả trong những năm đại 1 học, xin chân thành cảm ơn gia đình và bạn bè đã tạo điều kiện giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập và hoàn thành khóa luận này. Vinh, tháng 05 năm 2010 Tác giả 2 §1. TÍCH LỆCH CỦA BA TRƯỜNG VECTƠ TRONG R 4 I/TÍCH LỆCH CỦA BA TRƯỜNG VECTƠ TRONG R 4 Trong mục này,ta luôn ký hiệu { } 4321 ,,, ΕΕΕΕ là trường mục tiêu tự nhiên trong 4 R ( ) { 4 R X X= B trường vectơ khả vi trong } 4 R ( ) { 4 R f f = F hàm số khả vi trong } 4 R 1.1. Định nghĩa: Giả sử ( ) 1 11 12 13 14 , , ,X ϕ ϕ ϕ ϕ , ( ) 2 21 22 23 24 , , ,X ϕ ϕ ϕ ϕ , ( ) 3 31 32 33 34 , , ,X ϕ ϕ ϕ ϕ là ba trường vectơ thuộc ( ) 4 RB . Khi đó, tích lệch của 1 2 3 , ,X X X là một trường vectơ được ký hiệu 321 Χ∧Χ∧= XX và được xác định như sau: ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ÷ ∧ ∧ = − − ÷ ÷ 12 13 14 11 13 14 11 12 14 11 12 13 1 2 3 22 23 24 21 23 24 21 22 24 21 22 23 32 33 34 31 33 34 31 32 34 31 32 33 , , ,X X X Nhận xét: + ( ) 4 1 2 3 X X X R∧ ∧ ∈ B + 4 1 2 3 Ε = Ε ∧ Ε ∧ Ε Thật vậy , ta có ( ) ( ) ( ) ( ) 1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1 4321 =Ε=Ε=Ε=Ε Do đó : −−=Ε∧Ε∧Ε 100 010 001 , 000 010 001 , 000 000 001 , 010 001 000 321 ( ) 4 0,0,0,1 E= = +Giả sử ( ) 1 , , 0,X x y yz , ( ) 2 , 0, ,X xy z y , ( ) 3 1, , , 0X xz y thuộc ( ) 4 RB .Khi đó, ta có tích lệch của 1 2 3 , ,X X X là: 1 2 3 0 , , , 1 1 1 y o yz x yz x y yz x y o X X X X o z y xy z y xy o y xy o z xz y o y o xz o xz y ÷ = ∧ ∧ = − − ÷ ÷ 3 ( ) = + − − − − − − 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 ; ; ;xyz y xy z yz xy x yz x y z y yz xy x z 1.2. Mệnh đề Tích lệch của ba trường vectơ có tính chất tuyến tính đối với từng thành phần. Chứng minh: Giả sử: ( ) 1 11 12 13 14 , , ,X ϕ ϕ ϕ ϕ , ( ) 2 21 22 23 24 , , ,X ϕ ϕ ϕ ϕ , ( ) 3 31 32 33 34 , , ,X ϕ ϕ ϕ ϕ , ( ) 1 11 12 13 14 , , ,X ϕ ϕ ϕ ϕ ′ ′ ′ ′ ′ , ( ) 2 21 22 23 24 , , ,X ϕ ϕ ϕ ϕ ′ ′ ′ ′ ′ , ( ) 3 31 32 33 34 , , ,X ϕ ϕ ϕ ϕ ′ ′ ′ ′ ′ là các trường vectơ thuộc ( ) 4 RB và ( ) 4 R ϕ ∈ F .Không mất tính tổng quát, ta chỉ kiểm tra 2 tính chất sau : (1) ( ) ′ ′ + ∧ ∧ = ∧ ∧ + ∧ ∧ 1 1 2 3 1 2 3 1 2 3 ( ) ( )X X X X X X X X X X (2) ( ) ( ) 321321 Χ∧Χ∧Χ=Χ∧Χ∧Χ ϕϕ Trước hết, ta kiểm tra (1),ta có: ( ) ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ′ ′ ′ ′ ′ ′ + + + + + + ′ + ∧ ∧ = − 12 12 13 13 14 14 11 11 13 13 14 14 1 1 2 3 22 23 24 21 23 24 32 33 34 31 33 34 , ,X X X X 11 11 12 12 14 14 11 11 12 12 13 13 21 22 24 21 22 23 31 32 34 31 32 33 , ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ′ ′ ′ ′ ′ ′ + + + + + + ÷ − ÷ ÷ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ = − − 12 13 14 11 13 14 11 12 14 11 12 13 22 23 24 21 23 24 21 22 24 21 22 23 32 33 34 31 33 34 31 32 34 31 32 33 , , , ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ + − − 12 13 14 11 13 14 11 12 14 11 12 13 22 23 24 21 23 24 21 22 24 21 22 23 32 33 34 31 33 34 31 32 34 31 32 33 , , , = ( ) ( ) 1 2 3 1 2 3 X X X X X X ′ ∧ ∧ + ∧ ∧ Do đó : ( ) ( ) ( ) ′ + ∧ ∧ = ∧ ∧ + ∧ ∧ 1 1 2 3 1 2 3 1 2 3 ;X X X X X X X X X X ( ) ′ ∀ ∈ 4 1 2 3 1 , , ,X X X X RB Bây giờ ta đi kiểm tra (2), ta có : 4 ( ) ϕϕ ϕϕ ϕϕ ϕϕ ϕϕ ϕϕ ϕϕ ϕϕ ϕϕ ϕϕ ϕϕ ϕϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ∧ ∧ = − − 12 13 14 11 13 14 11 12 14 11 12 13 1 2 3 22 23 24 21 23 24 21 22 24 21 22 23 32 33 34 31 33 34 31 32 34 31 32 33 , , ,X X X ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ = − − 12 13 14 11 13 14 11 12 14 11 12 13 22 23 24 21 23 24 21 22 24 21 22 23 32 33 34 31 33 34 31 32 34 31 32 33 , , , ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ = − − 12 13 14 11 13 14 11 12 14 11 12 13 22 23 24 21 23 24 21 22 24 21 22 23 32 33 34 31 33 34 31 32 34 31 32 33 , , , ( ) ϕ = ∧ ∧ 1 2 3 X X X . Vậy: ( ) ( ) ( ) ϕ ϕ ∧ ∧ = ∧ ∧ ∀ ∈ 4 1 2 3 1 2 3 1 2 3 , , ,X X X X X X X X X RB , ( ) 4 R ϕ ∈ F . 1.3. Nhận xét : Giả sử 321 ,, ΧΧΧ là ba trường vectơ thuộc ( ) 4 RB và 321 Χ∧Χ∧Χ=Χ .Khi đó,ta có : (i) 0. =ΧΧ i ,i = 1,2,3 (ii) { } 321 ,, ΧΧΧ phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi 0 =Χ (iii) ( ) ( ) ( ) ( ) 321 ,,sgn δδδ δ ΧΧΧ=Χ Chứng minh : (i) Giả sử ( ) ( ) ( ) 1 11 12 13 14 2 21 22 23 24 3 31 32 33 34 , , , , , , , , , , ,X X X ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ .Ta có 12 13 14 11 13 14 11 12 14 11 12 13 1 22 23 24 11 21 23 24 12 21 22 24 13 21 22 23 14 32 33 34 31 33 34 31 32 34 31 32 33 . .X X ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ × = − + − + 11 12 23 34 11 13 24 32 11 22 33 14 11 32 23 14 11 13 22 34 11 33 24 12 ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ = − − − + + + ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ + + + − − − 11 12 23 34 12 13 24 31 12 21 33 14 12 31 23 14 12 21 13 34 12 11 33 24 ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ − − − + + + 11 13 22 34 13 12 24 31 13 21 32 14 13 31 22 14 13 12 21 34 13 11 32 24 11 22 33 14 14 12 23 31 14 21 32 13 14 31 22 13 14 21 12 33 11 14 32 23 ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ + + + − − − 0= Vậy: 1 . 0X X = Tương tự: 2 3 . . 0X X X X= = (ii)+ Điều kiện cần: 5 Giả sử: ( ) ( ) ( ) 1 11 12 13 14 2 21 22 23 24 3 31 32 33 34 , , , , , , , , , , ,X X X ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ là các trường vectơ thuộc ( ) 4 RB mà { } 1 2 3 , ,X X X phụ thuộc tuyến tính. Ta phải chứng minh: 1 2 3 0X X X X= ∧ ∧ = Thật vậy, do { } 1 2 3 , ,X X X phụ thuộc tuyến tính nên tồn tại ,a b R∈ sao cho: 1 2 3 X aX bX= + Do đó: 1 2 3 X X X X= ∧ ∧ ( ) 2 3 2 3 aX bX X X= + ∧ ∧ ( ) ( ) 2 2 3 2 3 aX X X bX X X= ∧ ∧ + ∧ ∧ (1) Theo định nghĩa tích lệch, ta có: 22 23 24 21 23 24 21 22 24 21 22 23 2 2 3 22 23 24 21 23 24 21 22 24 21 22 23 32 33 34 31 33 34 31 32 34 31 32 33 , , ,X X X ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ÷ ∧ ∧ = − − ÷ ÷ ( ) 0,0,0,0 0= = Vậy: 2 2 3 0X X X∧ ∧ = Tương tự ta có: 3 2 3 0X X X∧ ∧ = Thay vào (1) ta được: .0 .0 0X a b= + = Vậy nếu { } 1 2 3 , ,X X X phụ thuộc tuyến tính thì 0X = (2) + Điều kiện đủ: Giả sử 1 2 3 0X X X X= ∧ ∧ = . Ta phải chứng minh { } 1 2 3 , ,X X X phụ thuộc tuyến tính. Thật vậy, giả sử ngược lại { } 1 2 3 , ,X X X độc lập tuyến tính. Khi đó: { } 1 2 3 , , 3rank X X X = Do đó 0X ≠ . Điều này mâu thuẫn với giả thiết 0X = Vậy { } 1 2 3 , ,X X X phụ thuộc tuyến tính (3) Từ (2) và (3) ta suy ra điều cần chứng minh 6 (iii) Ta có ( ) ( ) ( ) 3 1 2 3 1 2 3 S δ δ δ = ÷ là số các phép thế của { } 1,2,3 Gọi ( ) 1 11 12 13 14 , , ,X ϕ ϕ ϕ ϕ , ( ) 2 21 22 23 24 , , ,X ϕ ϕ ϕ ϕ , ( ) 3 31 32 33 34 , , ,X ϕ ϕ ϕ ϕ . Theo định nghĩa tích lệch, ta có: 12 13 14 11 13 14 11 12 14 11 12 13 22 23 24 21 23 24 21 22 24 21 22 23 32 33 34 31 33 34 31 32 34 31 32 33 , , ,X ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ÷ = − − ÷ ÷ Vì các hàm toạ độ của X là các định thức cấp 3, khi đổi hàng thì định thức đổi dấu nên từ đó ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) 3 1 2 3 1 2 3 sgn , , S X X X X X X X δ δ δ δ δ ∈ = ∧ ∧ = II/ ĐỊNH THỨC GRAM CỦA BA TRƯỜNG VECTƠ 1.4. Định nghĩa Định thức Gram của hệ 3 trường vectơ { } 1 2 3 , ,X X X ,với ( ) 4 i X R∈B ,i=1,2,3, là một hàm số, được ký hiệu ( ) 1 2 3 , ,Gr X X X và được xác định bởi: ( ) 1 1 1 2 1 3 1 2 3 2 1 2 2 2 3 3 1 3 2 3 3 , , X X X X X X Gr X X X X X X X X X X X X X X X = + Dễ thấy rằng ( ) ( ) 4 1 2 3 , ,Gr X X X R∈ F . 1.5. Mệnh đề Giả sử ( ) ∈ 4 1 2 3 , ,X X X RB . Khi đó: ( ) 2 1 2 3 1 2 3 , ,Gr X X X X X X= ∧ ∧ Chứng minh: Ta có: 2 2 2 2 12 13 14 11 13 14 11 12 14 11 12 13 2 1 2 3 22 23 24 21 23 24 21 22 24 21 22 23 32 33 34 31 33 34 31 32 34 31 32 33 X X X ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ∧ ∧ = + + + 2 23 24 22 24 22 23 12 13 14 33 34 32 34 32 33 ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ = − + ÷ 7 2 23 24 21 24 21 23 11 13 14 33 34 31 34 31 33 ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ + − + ÷ 2 22 24 21 24 21 23 11 12 14 32 34 31 34 31 33 ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ + − + ÷ 2 22 23 21 23 21 22 11 12 13 32 33 31 33 31 32 ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ + − + ÷ 11 12 2 2 2 2 2 2 23 24 22 24 22 23 23 24 21 24 21 23 2 2 33 34 32 34 32 33 33 34 31 34 31 33 ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ÷ ÷ = + + + + + ÷ ÷ 13 14 2 2 2 2 2 2 22 24 21 24 22 23 22 23 21 23 21 22 2 2 32 34 31 34 32 33 32 33 31 33 31 32 ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ÷ ÷ + + + + + + ÷ ÷ 22 24 21 24 22 23 21 23 11 12 32 34 31 34 32 33 31 33 2 . . ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ − + ÷ 22 23 21 24 22 23 21 22 11 13 32 33 31 34 32 33 31 32 2 . . ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ − − ÷ 23 24 21 24 22 24 21 22 11 14 33 34 31 34 32 34 31 32 2 . . ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ + + ÷ 23 24 22 23 21 23 21 22 12 13 33 34 32 33 31 33 31 32 2 . . ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ − + ÷ 23 24 22 23 21 24 21 22 12 14 33 34 32 33 31 34 31 32 2 . . ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ + − ÷ 22 24 22 23 21 24 21 23 13 14 32 34 32 33 31 34 31 33 2 . . ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ − + ÷ ( ) 11 12 13 14 2 2 2 2 2 2 21 22 21 23 21 24 22 23 22 24 23 24 2 2 2 2 31 32 31 33 31 34 32 33 32 34 33 34 ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ÷ = + + + + + + + + ÷ 11 12 2 2 2 2 2 2 21 22 21 23 21 24 22 23 22 24 21 22 2 2 31 32 31 33 31 34 32 33 32 34 31 32 ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ÷ ÷ − + + − + + ÷ ÷ 13 14 2 2 2 2 2 2 23 24 21 23 22 23 23 24 22 24 21 24 2 2 33 34 31 33 32 33 33 34 32 34 31 34 ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ÷ ÷ − + + − + + ÷ ÷ 8 ( ) ( ) ( ) ( ) 11 12 22 34 32 24 21 34 31 24 22 33 32 23 21 33 31 23 2 . . ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ − − − + − − ( ) ( ) ( ) ( ) 11 13 22 33 32 23 21 34 31 24 22 33 32 23 21 32 31 22 2 . . ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ − − − − − − ( ) ( ) ( ) ( ) 11 14 23 34 33 24 21 33 31 23 22 34 32 24 21 32 31 22 2 . . ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ + − − + − − ( ) ( ) ( ) ( ) 12 13 23 34 33 24 22 34 32 24 21 33 31 23 21 32 31 22 2 . . ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ − − − + − − ( ) ( ) ( ) ( ) 12 14 23 34 33 24 22 33 32 23 21 34 31 24 21 32 31 22 2 . . ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ + − − − − − ( ) ( ) ( ) ( ) 13 14 22 34 32 24 22 33 32 23 21 34 31 24 21 33 31 23 2 . . ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ − − − + − − 0 2 4 4 4 4 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 3 3 3 3 . k j k j k i k i i i kj i k j k i k ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ≠ < = = = = ÷ = − ÷ ÷ ∑ ∑ ∑ ∑ ( ) ( ) 34 24 33 2 2 2 11 12 21 22 22 31 32 21 24 34 31 32 21 22 21 34 31 24 2 . ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ − − + + + − − ( ) ( ) 23 2 22 33 32 23 31 22 32 21 23 33 31 32 . . ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ + − + + ( ) ( ) 34 24 22 32 2 2 2 2 11 13 21 23 23 31 33 21 24 34 31 33 31 33 21 23 21 33 31 23 22 32 2 . ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ − − + + + + − + ( ) ( ) 23 33 22 32 2 2 2 2 11 14 21 34 31 24 23 33 31 34 21 24 31 24 34 21 22 32 31 34 21 24 2 . ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ + + − − + + − − ( ) ( ) 34 24 21 31 2 2 2 2 12 13 22 23 32 33 32 23 33 22 24 34 32 33 21 23 22 33 32 23 21 31 2 . ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ − + − + + + − + ( ) ( ) 23 33 21 31 2 2 2 2 12 14 22 34 32 24 23 33 32 34 22 24 32 34 21 24 22 34 24 32 21 31 2 . ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ + + − − − − + + ( ) ( ) 22 32 21 31 2 2 2 2 13 14 33 34 23 24 23 34 33 24 22 32 33 34 23 24 23 34 33 24 21 31 2 . ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ − + − + + + − + 0 2 4 4 4 4 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 3 3 3 3 . k j k j k i k i i i kj i k j k i k ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ≠ < = = = = ÷ = − ÷ ÷ ∑ ∑ ∑ ∑ ( ) ( ) 24 33 2 2 11 12 21 22 11 13 21 23 11 12 21 22 11 13 21 23 2 2 ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ + + − + ( ) ( ) 32 31 2 2 11 13 21 23 11 14 21 24 12 13 22 23 12 14 22 24 2 2 ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ − + − + ( ) ( ) 34 23 2 2 11 14 31 34 12 13 32 33 11 12 31 32 12 14 32 34 2 2 ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ − + − + ( ) ( ) 22 21 2 2 11 14 31 34 13 14 33 34 12 13 32 33 13 14 33 34 2 2 ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ − + − + ( ) ( ) ( ) ( ) 11 12 21 32 31 22 23 33 34 24 11 13 21 33 31 23 22 32 34 24 2 2 ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ + + + + + + ( ) ( ) ( ) ( ) 11 14 21 34 31 24 23 33 32 22 12 13 31 23 33 22 21 31 34 24 2 2 ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ + + + + + + ( ) ( ) ( ) ( ) 12 14 22 34 24 32 23 33 21 31 13 14 23 34 33 24 21 31 22 32 2 2 ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ + + + + + + 9 0 2 4 4 4 4 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 3 3 3 3 . k j k j k i k i i i kj i k j k i k ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ≠ < = = = = ÷ = − ÷ ÷ ÷ ∑ ∑ ∑ ∑ ( ) ( 2 2 2 2 31 32 33 34 11 21 12 22 11 21 13 23 11 21 14 24 ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ − + + + + + ) 12 22 13 23 12 22 14 24 13 23 14 24 ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ + + + ( ) ( 2 2 2 2 21 22 23 24 11 31 12 32 11 31 13 33 11 31 14 34 ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ − + + + + + ) 12 32 13 33 12 32 14 34 13 33 14 34 ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ + + + ( ) ( ) 21 31 22 32 23 33 24 34 11 21 12 32 12 22 11 31 11 21 13 33 13 23 11 31 11 21 14 34 ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ + + + + + + + + ( ) ( 21 31 22 32 23 33 24 34 11 21 12 32 12 22 11 31 11 21 13 33 13 23 11 31 11 21 14 34 ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ + + + + + + + + ) 14 24 11 31 12 22 13 33 13 23 12 32 12 22 14 34 14 24 12 32 13 23 14 34 14 24 13 33 ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ + + + + + + + 0 2 4 4 4 4 2 2 2 2 2 2 1 1 1 , 1 1 1 3 3 3 3 . k j k i k i i i k j i k j k i k j k ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ≠ = = = = < ÷ = − ÷ ÷ ÷ ∑ ∑ ∑ ∑ 2 4 4 4 4 2 1 2 1 3 2 3 1 3 1 3 1 1 , 1 1 2 2 k i i j j k k i i j j ij k i j k j k j i ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ = = = = < ≠ ÷ + − ÷ ÷ ÷ ÷ ∑ ∑ ∑ ∑ 3 4 4 2 1 2 1 2 , 1 1 2 k j j k k j k k j k ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ = = < − ÷ ∑ ∑ (*) Mặt khác, ta có: ( ) 1 1 1 2 1 3 1 2 3 2 1 2 2 2 3 3 1 3 2 3 3 , , X X X X X X Gr X X X X X X X X X X X X X X X = ( ) ( ) ( ) 1 2 3 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 3 3 1 1 3 1 2 1 2 3 2 . . . . .X X X X X X X X X X X X X X X X X X= + − − − 1 2 3 2 4 4 4 4 2 2 2 2 3 1 1 1 1 . . . i j k j j i j k j ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ = = = = ÷ = − ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ∑ ∑ ∑ ∑ 4 4 4 1 2 1 3 2 3 1 1 1 2 . . i i j j k k i j k ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ = = = + ÷ ÷ ÷ ∑ ∑ ∑ 2 2 4 4 4 4 2 2 1 3 2 1 2 3 1 1 1 1 . . . i i k j j k i k j k ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ = = = = − ÷ ÷ ÷ ÷ ∑ ∑ ∑ ∑ 10