Đang tải... (xem toàn văn)
Định nghĩa vectơ đối: hai vectơ được gọi là đối nhau khi tổng của chúng bẳng 0 Vectơ đối của
(1)HÌNH HỌC 10 – HK1 TRƯỜNG THPT LÊ QUÝ ĐÔN TP.HCM
1 GV LÊ HẢI HẠNH – 093.7777.898
BÀI – TỔNG VÀ HIỆU CỦA HAI VECTƠ
1. Tổng hai vectơ: Cho hai vectơ 𝑎 ; 𝑏 Từ điểm A bất kỳ, vẽ 𝐴𝐵 = 𝑎 , vẽ 𝐵𝐶 = 𝑏 Khi 𝑐 = 𝐴𝐶 gọi tổng hai vectơ 𝑎 ; 𝑏 Kí hiệu: 𝒄 = 𝒂 + 𝒃
Áp dụng 1: Cho tam giác 𝐴𝐵𝐶, xác định vectơ tổng sau: ① AB + CB =
② AC + BC = ③ BA + BC =
Áp dụng 2: Cho hình bình hành 𝐴𝐵𝐶𝐷 Với 𝑀, 𝑁 trung điểm 𝐵𝐶 𝐴𝐷 Tìm vectơ tổng sau ① NC + MC =
② AM + CD = ③ AD + NC =
2. Các tính chất:
Tính chất giao hốn: 𝑎 + 𝑏 = 𝑏 + 𝑎
Tính chất kết hợp: 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 Tính chất vectơ – không: 𝑎 + = + 𝑎 = 𝑎
3. Các quy tắc cần nhớ:
a. Quy tắc ba điểm: Với ba điểm 𝐴, 𝐵, 𝐶 ta có: 𝑨𝑩 + 𝑩𝑪 = 𝑨𝑪
Quy tắc ta mở rộng với nhiều điểm:𝐴𝐵 + 𝐵𝐷 + 𝐷𝐸 + 𝐸𝐶 = 𝐴𝐶
Áp dụng 3: Cho bốn điểm 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷 Chứng minh rằng:
① BA + CD + AC = BD ② AB + CD + BC + DA = ③ AD + CB = AB + CD
Áp dụng 4: Cho năm điểm 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷, 𝐸 Chứng minh rằng: AB + CD + EA = CB + ED
A
B C
D A
B M C
N
𝒂 + 𝒃 ≤ 𝒂 + 𝒃 , ∀𝒂 ; 𝒃 CHÚ Ý
𝑎 ; 𝑏 hướng ⇔ 𝑎 + 𝑏 = 𝑎 + 𝑏 𝑎 ; 𝑏 ngược hướng ⇔ 𝑎 + 𝑏 = 𝑎 − 𝑏 𝑎 ; 𝑏 vuông góc ⇔ 𝑎 + 𝑏 = 𝑎 2+ 𝑏 2
A 𝒃
𝒂
(2)HÌNH HỌC 10 – HK1 TRƯỜNG THPT LÊ QUÝ ĐÔN TP.HCM
2 GV LÊ HẢI HẠNH – 093.7777.898
Áp dụng 5: Cho sáu điểm 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷, 𝐸, 𝐹 Chứng minh rằng: AD + BE + CF = AE + BF + CD
Áp dụng 6: Cho ∆𝐴𝐵𝐶 Gọi 𝐴′ điểm đối xứng với 𝐵 qua 𝐴, 𝐵′ điểm đối xứng với 𝐶 qua 𝐵, 𝐶′ điểm đối xứng với 𝐴 qua 𝐶 CMR: với điểm 𝑂 bất kỳ, ta có: OA + OB + OC = OA′ + OB′ + OC′
b. Quy tắc trung điểm 1: Với M trung điểm AB, ta có: 𝐌𝐀 + 𝐌𝐁 = 𝟎
Áp dụng 7: Gọi 𝑂 giao điểm hai đường chéo hình bình hành 𝐴𝐵𝐶𝐷 CMR: OA
+ OB + OC + OD
Áp dụng 8: Cho hình bình hành 𝐴𝐵𝐶𝐷 Hai điểm 𝑀, 𝑁 trung điểm 𝐵𝐶 𝐴𝐷 CMR AM
+ AN = AB + AD
c. Quy tắc hình bình hành:Với hình bình hành 𝐴𝐵𝐶𝐷, ta có: 𝑨𝑩 + 𝑨𝑫 = 𝑨𝑪
Áp dụng 9: Cho hình bình hành 𝐴𝐵𝐶𝐷, tâm O Mỗi khẳng định sau hay sai? ① AB + AD = BD
② AB + BD = BC ③ OA + OB = OC + OD
④ 𝐵𝐷 + 𝐴𝐶 = 𝐴𝐷 + 𝐵𝐶
Áp dụng 10: Cho tam giác 𝐴𝐵𝐶 đều, có cạnh 𝑎 Tính độ dài vectơ tổng 𝐴𝐵 + 𝐴𝐶
d. Quy tắc trọng tâm 1: Với G trọng tâm tam giác 𝐴𝐵𝐶, ta có: 𝐆𝐀 + 𝐆𝐁 + 𝐆𝐂 = 𝟎
Áp dụng 11: Chứng minh quy tắc trọng tâm
D A
B M C
N
D A
B C
O
D A
B C
O
.G A
B C
A
B
(3)HÌNH HỌC 10 – HK1 TRƯỜNG THPT LÊ QUÝ ĐÔN TP.HCM
3 GV LÊ HẢI HẠNH – 093.7777.898
4. Hiệu hai vectơ:
a Định nghĩa vectơ đối: hai vectơ gọi đối tổng chúng bẳng Vectơ đối 𝑎 , kí hiệu −𝑎 vectơ có độ dài ngược hướng với vectơ 𝑎
Áp dụng 12: Cho hình bình hành 𝐴𝐵𝐶𝐷, tâm 𝑂 Hãy tìm vectơ đối vectơ sau: 𝐴𝐵 ; 𝐴𝐶 ; 𝑂𝐵
b. Tính chất:
𝑎 + −𝑎 = −𝑎 + 𝑎 =
Vectơ đối vectơ 𝐴𝐵 vectơ 𝐵𝐴 , ta viết: −𝐴𝐵 = 𝐵𝐴 I trung điểm 𝐴𝐵 ⇔ 𝐼𝐴 = −𝐼𝐵
c. Hiệu hai vectơ: Cho hai vectơ 𝑎 ; 𝑏 Hiệu hai vectơ 𝑎 ; 𝑏 kí hiệu 𝑎 − 𝑏 định nghĩa bởi: 𝑎 − 𝑏 = 𝑎 + −𝑏
Tính chất “chuyển vế đổi dấu”: 𝑎 − 𝑏 = 𝑐 ⇔ 𝑎 = 𝑏 + 𝑐
d Quy tắc ba điểm: với ba điểm 𝐴, 𝐵, 𝐶 bất kỳ, ta có: 𝑨𝑩 − 𝑨𝑪 = 𝑪𝑩
Áp dụng 13: Cho tam giác 𝐴𝐵𝐶 Các điểm 𝑀, 𝑁, 𝑃 trung điểm 𝐴𝐵, 𝐴𝐶 𝐵𝐷 Tìm hiệu: ① AM − AN =
② MN − NC = ③ MN − PN = ④ BP − CP =
Áp dụng 14: Cho bốn điểm 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷 CMR: 𝐴𝐷 + 𝐶𝐵 = 𝐴𝐵 + 𝐶𝐷
Áp dụng 15: Cho hình thoi 𝐴𝐵𝐶𝐷 có 𝐵𝐴𝐷 = 60𝑜 cạnh 𝑎 Gọi 𝑂 giao điểm hai đường chéo Tính: ① AB + AD
② BA − BC ③ OB − DC
5. Luyện tập:
Chứng minh hệ thức vectơ
Phương pháp: sử dụng quy tắc điểm (cộng, trừ), quy tắc tính chất hình vẽ (hình bình hành, trung điểm 1, trọng tâm 1), tính chất phép tốn vectơ để biến đổi:
Vế thành vế
Hệ thức tương đương với hệ thức
Hai vế biểu thức trung gian Hiệu hai vế vectơ
D A
B C
O
M A
B C
N P
A
B
C D
(4)HÌNH HỌC 10 – HK1 TRƯỜNG THPT LÊ QUÝ ĐÔN TP.HCM
4 GV LÊ HẢI HẠNH – 093.7777.898
Ví dụ 1: CMR với bốn điểm 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷 ta có:
① 𝐴𝐵 + 𝐶𝐷 = 𝐴𝐷 + 𝐶𝐵 ② 𝐴𝐵 − 𝐶𝐷 = 𝐴𝐶 − 𝐵𝐷
Ví dụ 2: Cho hình bình hành 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝑂 giao điểm hai đường chéo Chứng minh rằng: ① CO − OB = BA
② AB − BC = DB ③ DA − DB = OD − OC
④ DA − DB + DC =
Ví dụ 3: Cho tam giác 𝐴𝐵𝐶 Dựng hình bình hành 𝐴𝐵𝐼𝐽, 𝐵𝐶𝑃𝑄, 𝐶𝐴𝑅𝑆 nằm phía ngồi tam giác Chứng minh rằng: 𝑅𝐽 + 𝐼𝑄 + 𝑃𝑆 =
Tính độ dài vectơ tổng, vectơ hiệu
Phương pháp: biến đổi vectơ tổng, vectơ hiệu cho thành vectơ 𝑢 Tính độ dài vectơ 𝑢 , từ suy độ dài vectơ tổng, vectơ hiệu Và ta thường đưa 𝑢 độ dài cạnh tam giác, tứ giác hay đường đặc biệt như: trung tuyến, trung bình, đường cao,…
Ví dụ 1: Cho tam giác 𝐴𝐵𝐶 vuông 𝐴, biết 𝐴𝐵 = 𝑎; 𝐴𝐶 = 2𝑎 Tính độ dài vectơ tổng 𝐴𝐵 + 𝐴𝐶
Ví dụ 3: Cho hình chữ nhật 𝐴𝐵𝐶𝐷 tâm 𝑂, 𝐴𝐵 = 𝐴𝐷 = Tính:
① AO − CD = ② AB − OC − DA = ③ Qua B, kẻ đường thẳng vng góc AC H cắt AD K Tính AB − AK
A B
C D A
B C
O
A B
C
A B
C D