Đang tải... (xem toàn văn)
+ Phương pháp điều kiện cần và đủ: Phương pháp này được áp dụng tốt cho hệ đối xứng với yêu cầu: Tìm giá trị tham số để hệ có nghiệm duy nhÊt.. Đ/k đủ: thay giá trị của tham số vào hệ ki[r]
(1)Ôn thi ĐH và CĐ Thầy Giáo Vũ Hoàng Sơn Bài 2: Hệ phương trình đại số Một số loại hệ phương trình thường gặp: I)Hệ đối xứng loại I f ( x; y ) f ( x; y ) f ( y; x) 1) Dạng: Hệ phương trình là hệ đối xứng loại I g ( x; y ) g ( x; y ) g ( y; x) x y S 2)C¸ch gi¶i : - §Æt §K: S P xy P - BiÓu thÞ hÖ qua S vµ P - T×m S ; P tho¶ m·n ®iÒu kiÖn S P Khi đó x; y là nghiệm phương trình : t St P Từ đó có nghiệm hệ đã cho Chó ý : +) Nếu hệ có nghiệm (a;b) thì tính chất đối xứng hệ nên hệ có ghiệm (b; a) Vì hệ có nghiÖm nhÊt chØ cã nhÊt x = y +) HÖ cã nghiÖm vµ chØ hÖ S, P cã nghiÖm S, P tháa m·n S P +) Khi S P th× x = y = -S/2 VËy hÖ cã nghiÖm nhÊt chØ cã nhÊt S, P tháa m·n S P Chó ý : Nhiều trường hợp ta có thể sử dụng ĐK cần để tìm giá trị tham số sau đó thay vào hệ kiểm tra xem có thoả mãn hay không - (Đ/K đủ) 3) C¸c vÝ dô : Giaûi caùc heä pt sau ñaây : xy x y 11 1) 2 x y xy 30 p s 11 hpt s 5; p p 5.s p.s 30 2 30 x y xy - x3 y 35 hpt s 5; p (2;3) ; (3; 2) ÑS : x = 2; 3; 1; x y 3) 4 x y p s 11 s hpt ( s p) p p 0; p (0;1);(1;0) x y y x 30 4) HD : x; y 0; s x y ; p x y x x y y 35 Vaäy Hpt coù ngh ( 4;9) ; ( 9;4) p.s 30 hpt s 125, s p s sp 35 5- cho: 5( x y ) xy x y xy m a) Tìm m để hpt có nghiệm HD: Giải hệ S ;P ta S= 4m ;p = 5m-1 ÑK : S2-4p m ; m b) Tìm m để hệ có nghiệm §S: m = 1/4, m = 6) a-Cmr: Hpt có ngh với m : Lop10.com (2) Ôn thi ĐH và CĐ Thầy Giáo Vũ Hoàng Sơn x y xy 2m 2 x y xy m m b) Tìm m hpt coù nghieän nhaát HDÑS : p s 2m hpt a p.s m m s1 m; p1 m s2 m p2 m P2 (m 1) ÑS:heäS1,P1 Vn ; S 22 Vậy: HPt có nghiệm với m b-HPT cã ngh nhÊt S 22 P2 (m 1) m => x = y = Vaäy : (1;1) II) Hệ đối xứng loại II f ( x; y ) 1) D¹ng HÖ : là hệ đối xứng loại II : f ( y; x) g ( x; y ) g ( x; y ) 2)C¸ch gi¶i : +)Đối với hầu hết các hệ dạng này trừ vế ta thu phương tình : (x-y).h(x;y) = x y h( x; y ) Khi đó hệ đã cho f ( x; y ) f ( x; y ) ( Chú ý : Có hệ đối xứng loại II sau trừ vế chưa xuất x - y = mà phải suy luận tiếp míi cã ®iÒu nµy) +) Phương pháp điều kiện cần và đủ: Phương pháp này áp dụng tốt cho hệ đối xứng với yêu cầu: Tìm giá trị tham số để hệ có nghiệm nhÊt §/k cÇn: Nhận xét rằng: tính đối xứng hệ nên hệ có nghiệm (x0;y0) thì (y0;x0) là nghiệm hệ, đó hÖ cã nghiÖm nhÊt x0 = y0 (1) Thay (1) vào phương trình hệ, tìm đ/k tham số để pt` có nghiệm x0 ,ta giá trị tham sè §ã lµ ®/k cÇn Đ/k đủ: thay giá trị tham số vào hệ kiểm tra, kết luận 3) Caùc ví duï : Giaûi heä pt : x3 3x y hpt : y y 8x y x y x hpt : y 3x x y 2 x x y 3 2 2 y y x HDÑS : y )( x y ( x x 3 x y 1-Hpt (0; 0) ( 11; 11) xy 5) x y x 3 x y ( 11; 11) 2- ÑK : x ; y Hpt : ( x y )( x y 4) (-2; -2) 2 x y xy 4( x y ) Lop10.com (3) Ôn thi ĐH và CĐ 2 x x y 3- 2 2 y x x Thầy Giáo Vũ Hoàng Sơn Lấy (1)-(2) : 3(x-y)(x+y-1 ) = y=x y = 1-x Kết hợp (1) Khi y = x : (1;1) ; (2;2) Khi y = -x VN 2 x y x 4- 2 y x y Laáy (1) - (2) : (x - y)(2 + 4/xy ) = y = x ; y = -2/x + y = x : (1;1) ; (-1;-1) + y = -2/x : ( 2; 2);( 2, 2) III) Hệ nửa đối xứng x và y f ( x; y ) f ( y; x); (1) 1)D¹ng hÖ: (Tức là có phương trình là đối xứng ) g ( x; y ) 0; (2) 2)C¸ch gi¶i: Chuyển vế biến đổi từ (1) ta có dạng phương trình tích: (x - y).h(x; y) = Từ đó có: hệ đã cho tương ®¬ng víi: x y ( x y ).h( x; y ) g ( x; y ) h( x; y ) g ( x; y ) 0; (2) g ( x; y ) Chú ý:Nhiều đặt ẩn phụ có hệ đối xứng x t x y t y VÝ dô : y x y2 t 3) Hệ nửa đối xứng x x y y VD Gi¶i hÖ : 2 y x Gi¶i: x y x y x x y y x y xy x y ( x y )( xy 1) 2 y x 2 y x 2 y x x y x y 1 x y (I ) y ( II ) x x3 x x x x y x y 1 + Ta cã I): ( x y (I ) x y x3 x x y 1 2 Lop10.com (4) Ôn thi ĐH và CĐ Thầy Giáo Vũ Hoàng Sơn x y 1 + Ta cã II) : ( II ) y x 2 ( x ) ( x ) 0;(VN ) IV) Hệ đẳng cấp x và y f ( x; y ) 1) Hệ phương trình gọi là hệ đẳng cấp bậc x; y hạng tử (trừ số hạng tự do) g ( x; y ) có bậc là 2) C¸ch gi¶i : * Cách 1) Khử số hạng tự (Cách này thường dùng hệ không chứa tham số, tham số số hạng tự cho đơn giản) * Cách 2) Khử x2 ( với y ) y2 (với x 0): (Cách này thường dùng hệ có chứa tham số) 3) C¸c vÝ dô 2 x xy y m (1) VD Cho hệ phương trình : (2) y xy a) Gi¶i hÖ pt` víi m = b) Tìm a để hệ có nghiệm Gi¶i: C¸ch 1: DÔ thÊy y = kh«ng ph¶i lµ nghiÖm cña hpt §Æt x = ty, ta cã : 2 2 t y 4ty y m HÖ 2 y 3ty t 4t m y (t 4t 1) m 3t (I) y (1 3t ) y (1 3t ) Do y nªn tõ y2(1 - 3t) = - 3t > t < a) Víi m = ta cã hÖ : t 4t 1 3t y (1 3t ) Gi¶i hÖ ta ®îc kq : (1 ; 4), (-1 ; -4) b) Ta cã : 4(t 4t 1) m(1 3t ) (I) y (1 3t ) 4t (16 3m)t m (*) y (1 3t ) §Æt f(t) = 4t2 - (16 - 3m)t + - m = th× HÖ cã nghiÖm (*) cã nghiÖm tho¶ m·n t < Ta l¹i cã af ( ) m nªn hÖ lu«n cã nghiÖm tho¶ m·n t1 < < t2 VËy hÖ lu«n cã nghiÖm víi m C¸ch : Khö mét Èn Lop10.com (5) Ôn thi ĐH và CĐ x xy m HÖ y xy x2 m y x 2 x (8 m) x (4 m) (*) Thầy Giáo Vũ Hoàng Sơn (x = tho¶ m·n hÖ m = 4) Với m đặt : f(t) = 2t2 + (8 - m)t - (4 - m)2 ta có f(0) = -(4 - m)2 < nên phương trình f(t) = luôn có nghiệm t > hay phương trình (*) luôn có nghiệm với m VI Một số hệ phương trình khác *) Cách giải: Để giải hệ phương trình không mẫu mực ta thường áp dụng số pp : + Ph©n tÝch thµnh tÝch cã vÕ ph¶i b»ng + Đổi biến (đặt ẩn phụ) + §¸nh gi¸ : B§T hoÆc dïng hµm sè C¸c bµi tËp luyÖn tËp : Bµi 1: Mét sè hÖ d¹ng c¬ b¶n xy ( x 1)( y 1) m a) Cho hệ phương trình 2 x y x y a) Gi¶i hÖ m=12 b) Tìm m để hệ có nghiệm 1 a b)Cho hệ phương trình x y x2 y a2 Tìm a để hệ phương trình có đúng nghiệm phân biệt x xy y c)Cho hệ phương trình 2 x xy y m Tìm m để hệ có nghiệm x y d) gi¶i hÖ y x HD Bình phương vế, đói xứng loại x y e) x y y x x y m a) Gi¶i hÖ m=6 b) Tìm m để hệ có nghiệm y2 y x2 Bµi 2: (KB 2003) 3 x x y2 HD: Th1 x=y suy x=y=1 TH2 chó y: x>0 , y> suy v« nghiÖm Bµi 3: Lop10.com (6) Ôn thi ĐH và CĐ 2 x y xy 15 8 x y 35 HD: Nhóm nhân tử chung sau đó đặt S=2x+y vµ P= 2x.y §s : (1,3) vµ (3/2 , 2) x x y y (1) Bµi 4: x y (2) HD: tõ (2) : -1 ≤ x , y ≤ hµm sè : f t t 3t trên [-1,1] áp dụng vào phương trình (1) Bài 5: CMR hệ phương trình sau có nghiệm a2 x y y 2 y x a x x y HD: 2 2 x x a xÐt f ( x) x x lËp BBT suy KQ Thầy Giáo Vũ Hoàng Sơn x y Bài 6.Giải hệ phương trình : x y xy x a ( y 1) Bµi 7: xác định a để hệ có nghiệm xy y a ( x 1) HD sử dụng ĐK cần và đủ a=8 xy 10 20 x (1) Bµi 8: xy y (2) y2 y HD : Rót x y y C« si x y y x 20 theo (1) x 20 suy x,y 3 x y x y (1) Bµi 9: (KB 2002) x y x y HD: từ (1) đặt nhỏ làm nhân tử chung (1;1) (3/2;1/2) x y a Bµi 10: Tìm a để hệ có nghiệm x y 3a HD: từ (1) đặt u x 1, v y hệ dối xứng với u, - v Chỉ hệ có nghiệm thì phương trình bậc hai tương ứng có nghiệm trái dấu Bµi tËp ¸p dông 6 x xy y 56 1) 5 x xy y 49 Lop10.com (7) Ôn thi ĐH và CĐ x x y y 2) KD 2003 x y 3( x y ) Thầy Giáo Vũ Hoàng Sơn ( x x)(3 x y ) 18 3) x x y 4) x y 7( x y ) x y x y HD: t¸ch thµnh nh©n tö nghiÖm xy y 12 5) x xy 26 m Tìm m để hệ có nghiệm 6) ( x y ) y dÆt t=x/y cã nghiÖm x y 19 x( x 2)(2 x y ) 7) x 4x y đặt X=x(x+2) vàY=2x+y 8) x y x y (1) đổi biến theo v,u từ phương trình số (1) x y x y 1 x y 19 x 9) §Æt x=1/z thay vµo ®îc hÖ y,z DS (-1/2,3) (1/3,-2) y xy 6 x 10) 1 x x y y (KA 2003) 2 y x HD: x=y V xy=-1,CM x x v« nghiÖm b»ng c¸ch t¸ch hoÆc hµm sè kq: nghiÖm ( x 1) y a 11) xác định a để hệ có nghiệm ( y 1) x a HD sử dụng ĐK cần và đủ 2x 2y 12) y x HD bình phương vế x y xy x y x y xy xy ( x, y R ) 13.Giải hệ phương trình(Đề CT- khối A năm 2008): x y xy (1 x) §S: 25 3 ; , 1; 16 2 x x y x y x x xy x 14 (Đề CT- K B - 08)Giải hệ phương trình : xy x y x y 15 (Đề CT- K D - 08) Giải hệ phương trình : x x y x x y Lop10.com x,y R §S: (-4;17/4) x,y R §S: (5;2) (8) Ôn thi ĐH và CĐ Thầy Giáo Vũ Hoàng Sơn 1 x y 5 x y 16(KD-07)Tìm m để hệ có nghiệm x3 y 15m 10 x3 y3 x 17 (DBKA - 07)Giải hệ phương trình : §S: x x y 1 y y y x 1 1 m 2; m 22 x,y R §S: x = y=1 2 x x y x y ( x, y R ) 18.(DBKA - 07)Gi¶i hÖ: x y x xy 1 §Æt u=-x2+xy ,v=x3y §S: (1,0),(-1;0) xy x2 y x x 2x 20.(DBKB-07) gi¶i hÖ xy y y2 x y 2y HD: cộng vế,sau đó đánh giá VT VP §S: (0,0), (1,1) 2 x y m 21 (DBKD - 07)Tìm m để hệ pt : x xy cã nghiÖm nhÊt §S: m > 21.(KA - 06)Gi¶i hÖ pt: x y xy ( x, y R ) x y §S: x =y =3 x y ( y x) y 22 (DBKA - 06) ( x 1)( y x 2) y x3 x y y 23 (DBKA - 06) x,y A 2 x 3( y 1) x y x y 13 x, y R 24 (DBKB - 06) (DBKB - 06) Giải hệ phương trình : ( x y )( x y ) 25 x xy y 3( x y ) 26 (DBKD - 06) : 2 x xy y 7( x y ) 28 (DBKA - 05): 2x y x y 3x 2y x y2 x y 29 (DBKB - 05)Giải hệ phương trình: x(x y 1) y(y 1) x(x y 1) 30.(KD-09)Giải hệ phương trình (x y) (x, y R) x xy x 7y 31 (KB-09) Giải hệ phương trình 2 (x, y A ) x y xy 13y Lop10.com (9) Ôn thi ĐH và CĐ Thầy Giáo Vũ Hoàng Sơn Lop10.com (10)