Đang tải... (xem toàn văn)
[r]
(1)TTBDVH KHAI TRÍ ĐỀ SỚ 18
ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC - NĂM 2011 Mơn: TỐN
Thời gian làm bài: 180 phút, khơng kể thời gian phát đề
Câu I (2 điểm) Cho hàm số
2x y
x
có đồ thị (C). Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (C)
2 Tìm (C) điểm M cho tiếp tuyến M (C) cắt hai tiệm cận (C) A, B cho AB ngắn
Câu II (2 điểm)
1 Giải phương trình: 2( tanx – sinx ) + 3( cotx – cosx ) + = Giải phương trình: x2 – 4x - = x 5
3 Giải phương trình : 2log x 35 x Câu III (1 điểm)
Tính tích phân:
1
2
dx
1 x x
Câu IV (1 điểm)
Khối chóp tam giác SABC có đáy ABC tam giác vng cân đỉnh C SA vng góc với mặt phẳng (ABC), SC = a Hãy tìm góc hai mặt phẳng (SCB) (ABC) để thể tích khối chóp lớn
Câu V ( điểm ) Cho số phức 1
i z
i
.Tính giá trị z2011 Câu VI( điểm )
1 Tam giác cân ABC có đáy BC nằm đường thẳng : 2x – 5y + = 0, cạnh bên AB nằm đường thẳng : 12x – y – 23 = Viết phương trình đường thẳng AC biết qua điểm (3;1)
2 Trong không gian với hệ tọa độ Đêcác vng góc Oxyz cho mp(P) : x – 2y + z – = hai đường thẳng :
(d)
x y z
1
(d’)
x 2t y t z t
Viết phương trình tham số đường thẳng () nằm mặt phẳng (P) cắt hai đường thẳng (d) (d’) CMR (d) (d’) chéo tính khoảng cách chúng
Câu VII ( điểm )
Tính tổng : S C C 50 57C C15 47C C52 73C C53 72C C45 17C C55 70
(2)-Hết -áp án s 18
Đ đề ố
C©u Néi dung Điểm
I
2.0đ
1 1.25đ
Hàm sè y = 2x
x cã : - TX§: D = R\ {2} - Sự biến thiên:
+ ) Giới hạn: x
lim y
Do ĐTHS nhận đờng thẳng y = làm TCN
, x x
lim y ; lim y
Do ĐTHS nhận đờng thẳng x = làm TCĐ +) Bảng biến thiên:
Ta cã : y’ =
2
1 x
< x D
Hàm số nghịch biến khoảng ;2 hàm số cực trị - Đồ thị
+ Giao điểm với trục tung : (0 ; 2) + Giao điểm với trục hoành : A(3/2; 0)
- ĐTHS nhận điểm (2; 2) làm tâm đối xứng
0,25
0,25
0,25
0,5
2 0,75đ
Lấy điểm
1 M m;2
m
C Ta có :
2
1 y ' m
m
Tiếp tuyến (d) M có phương trình :
1
y x m
m m
Giao điểm (d) với tiệm cận đứng :
2 A 2;
m
Giao điểm (d) với tiệm cận ngang : B(2m – ; 2)
Ta có :
2
2
1
AB m
m
Dấu “=” xảy m = 2 Vậy điểm M cần tìm có tọa độ : (2; 2)
0,25đ
0,25đ
y’ y
x
-
2
-2
2
2
8
-2 -4
(3)0,25đ II
2,0®
1 1,0®
Phương trình cho tương đương với :
2(tanx + – sinx) + 3(cotx + – cosx) =
sin x cosx
2 sin x cosx
cosx sin x
2 sin x cosx cosx.sin x sin x cosx cosx.sin x
cosx sin x
2
cosx sin x cosx.sin x cosx sin x
Xét
2 3
0 tan x tan x
cosx sin x
k
Xét : sinx + cosx – sinx.cosx = Đặt t = sinx + cosx
với t 2; 2 Khi phương trình trở thành:
2
2
t
t t 2t t
2
Suy :
1
2cos x cos x cos
4
x
4
k
0,25
0,25
0,5
2 1,0®
x2 - 4x + = x 5 (1)
TX§ : D = 5;)
1 x 2 2 7 x 5
đặt y - = x 5 ,
2
y 2 y 2 x Ta cã hÖ :
2 2
2
x y x 2 y 5
y x x y x y
y y
2
x y
x y 5 29
x
2
x y
x
x y y
0,25
0,25
0,5
1® ĐK : x >
PT cho tương đương với : log5( x + 3) = log2x (1)
Đặt t = log2x, suy x = 2t
t t t
2 log 3 t 3
t t
2
3
3
(2)
Xét hàm số : f(t) =
t t
2
3
3
0,25
0,25
(4)f'(t) =
2
ln 0, ln 0, 0, t
3
R
Suy f(t) nghịch biến R
Lại có : f(1) = nên PT (2) có nghiệm t = hay log2x = hay x =2
Vậy nghiệm PT cho : x =
III
1.0® 1®
Ta có :
1
2
dx
1 x x
=
1 2
2 2
1
1 x x x x
dx dx
2x
1 x x
1
1
1 1 x
1 dx dx
2 x 2x
1
1
1
1
1 1
I dx ln x x |
2 x
1
2
1 x
I dx
2x
Đặt t x t2 1 x2 2tdt 2xdx Đổi cận :
x t
x t 2
Vậy I2=
2
2
t dt t 1
Nên I =
0,5
0,5
IV
2® 1.0®
Gọi góc hai mp (SCB) (ABC)
Ta có : SCA ; BC = AC = a.cos ; SA = a.sin Vậy
3
SABC ABC
1 1
V S SA AC.BC.SA a sin cos a sin sin
3 6
Xét hàm số : f(x) = x – x3 khoảng ( 0; 1)
Ta có : f’(x) = – 3x2
1 f ' x x
3 Từ ta thấy khoảng (0;1) hàm số f(x) liên tục có điểm cực trị điểm cực đại, nên hàm số đạt GTLN hay x 0;1
1
Max f x f
3 3
Vậy MaxVSABC =
3
a
9 , đạt khi sin =
1 hay
1 arcsin
3
( với <
)
0,25
0,5
V 1.0®
Ta có:
2 2
2
1 (1 )(1 )
( )
1 2
i i i i
i i
0.25
0.75
A B
C S
(5)
1005
2011 2010
1005
1 1 1
1 1 1
1 (1 )(1 ) ( 1)
1 2
i i i i i
i i i i i
i i i i i
i i i
VI 2®
1 1®
Đường thẳng AC qua điểm (3 ; 1) nên có phương trình :
a(x – 3) + b( y – 1) = (a2 + b2 0) Góc tạo với BC góc
AB tạo với BC nên :
2 2 2 2
2a 5b 2.12 5.1
2 a b 12
2
2a 5b 29
5
a b
2 2
5 2a 5b 29 a b
9a2 + 100ab – 96b2 = 0
a 12b
8
a b
9
Nghiệm a = -12b cho ta đường thẳng song song với AB ( điểm ( ; 1) không thuộc AB) nên cạnh tam giác
Vậy lại : 9a = 8b hay a = b = Phương trình cần tìm : 8x + 9y – 33 =
0,25
0,25
0,25
0,25
2 1®
Mặt phẳng (P) cắt (d) điểm A(10 ; 14 ; 20) cắt (d’) điểm B(9 ; ; 5) Đường thẳng ∆ cần tìm qua A, B nên có phương trình :
x t y 8t z 15t
+ Đường thẳng (d) qua M(-1;3 ;-2) có VTCP u 1;1; 2
+ Đường thẳng (d’) qua M’(1 ;2 ;1) có VTCP u ' 2;1;1
Ta có :
MM '2; 1;3
1 2 1 1 1 2
MM ' u, u ' 2; 1;3 ; ; 8 0
Do (d) (d’) chéo (Đpcm) Khi :
MM ' u, u '
d d , d '
11 u, u '
0,25
0,25
0,25
0,25
VII 1đ
Chọn khai triển :
5 2 5
5 5
x 1 C C x C x C x
7 2 7 2 5
7 7 7 7
x 1 C C x C x C x C C x C x C x Hệ số x5 khai triển (x + 1)5.(x + 1)7 :
C C50 57C C15 74C C52 73C C35 72C C45 17 C C55 70
Mặt khác : (x + 1)5.(x + 1)7 = (x + 1)12 hệ số x5 khai triển của
(x + 1)12 : C125
Từ ta có : C C05 57C C15 74C C25 73 C C53 27C C45 17C C55 07 = 12
C = 792
.0,25
(6)