Đang tải... (xem toàn văn)
Gọi AH là đường cao xuất phát từ đỉnh A. Biết độ dài các đoạn thẳng BC AH AB , , theo thứ tự tạo thành một cấp số nhân. Tìm công bội của cấp số nhân đó. Rút ngẫu nhiên ba tấm thẻ [r]
(1)1/1 Bài I ( điểm)
1)Giải phương trình sin 3 sin 1 2 x x
2) Cho tam giác ABC cân A Gọi AH đường cao xuất phát từ đỉnh A Biết độ dài đoạn thẳng BC AH AB, , theo thứ tự tạo thành cấp số nhân Tìm cơng bội cấp số nhân Bài II ( điểm) Trong hộp có 25 thẻ giống đánh số theo thứ tự từ 1 đến 25 Rút ngẫu nhiên ba thẻ từ hộp.
1)Có cách để rút hai thẻ mang số lẻ?
2)Tính xác suất để ba số ghi ba thẻ rút khơng có hai số hai số tự nhiên liên tiếp
Bài III ( điểm) Tìm số hạng không chứa x khai triển nhị thức Niutơn biểu thức
1 2
2 n
P x
x
với x0 biết n số nguyên dương thỏa mãn:
2
1
3An 5Cn 0
Bài IV ( điểm) Cho dãy số un :
1 2
2 3
n
n
u u
u
Xét dãy số vn với
2
1 *
n
n u n
v
1) Chứng minh rằng: Dãy số vn cấp số nhân 2) Tìm cơng thức số hạng tổng quát dãy số un
3) Chứng minh rằng: u1u2 un n1 với số nguyên dương n
Bài V ( điểm). Cho hình hộp ABCD A B C D. Gọi G trọng tâm tam giác A B C I là trung điểm đoạn thẳng C D Trên đoạn thẳng AC DC lấy điểm E F,
sao cho 2 , 1
3 3
AE AC DF DC.
1) Chứng minh rằng: AC G // A DI EF // BD
2) Gọi mặt phẳng thay đổi qua trung điểm Q đoạn thẳng AG Mặt phẳng
cắt tia AA AB AC, , điểm M N P, , ( khơng trùng với điểm A) Tìm giá trị lớn biểu thức .AB AC.
AM AN AP AA
T
- Hết -
Họ tên thí sinh: Số báo danh:
SỞ GD&ĐT HÀ NỘI LIÊN CỤM TRƯỜNG THPT THANH XUÂN – CẦU GIẤY
MÊ LINH – SĨC SƠN ĐƠNG ANH
ĐỀ THI OLYMPIC NĂM HỌC 2020 – 2021
MÔN TOÁN LỚP 11
Thời gian làm bài: 150 phút
( Đề thi gồm 01 trang )
(2)1/4
HƯỚNG DẪN CHẤM BÀI THI OLYMPIC LIÊN CỤM TRƯỜNG THPT NĂM HỌC 2020 - 2021 - MƠN TỐN LỚP 11
*** Bài I ( 4.0 điểm)
Câu Nội dung Điểm
1 (3.0 điểm)
sin sin sin cos
2
x x x x
1.0
1 1
sin cos sin cos sin cos sin
2 x x x 3 x x
1.0
2
3 6
5
2
3
x k x k
x k x k
1.0
2 (1.0 điểm)
Giả sử: AB a Khi ta có: sinB AH AH AB.sinB asinB AB
cosB BH BH AB.cosB acosB BC 2BH cosa B
AB
(ABC cân)
0.25
, ,
BC AH AB cấp số nhân BC AB. AH2 2 cosa2 B a 2.sin2B 0.25
2 cos
cos 2cos
cos
B L
B B
B
0.25
Khi đó, công bội
2
1 1
2 2
sin 1 cos 2 2
AB q
AH B B
0.25
Bài II ( 4.0 điểm)
Câu Nội dung Điểm
1 (3.0 điểm)
Từ đến 25 có 13 số lẻ, 12 số chẵn 0.75
TH1: Bốc thẻ mang số lẻ, mang số chẵn Có
13 12 936
C C cách 0.75
TH2: Bốc thẻ mang số lẻ từ 13 thẻ Có
13 286
C cách 0.75
Vậy có 936 286 1222 cách bốc thẻ mang số lẻ 0.75
2 (1.0 điểm)
Bốc thẻ ngẫu nhiên từ 25 thẻ
25 2300
n C
0.25
:"
A Bốc thẻ ghi số khơng có số hai số tự nhiên liên tiếp" Gọi số tự nhiên bốc ; ;a b c với 1 a b c 25 Do khơng có số hai số tự nhiên liên tiếp nên 1 a b c 23
0.25
Mỗi cách chọn số ; ;a b c thỏa mãn đề tương ứng với cách chọn số tự nhiên phân biệt ;a b1;c2 từ tập 1; 2; ;22; 23
23 1771
n A C 0.25 Xác suất để xảy biến cố A là:
10077
n A P A
n
(3)2/4 Bài III ( 3.0 điểm)
Nội dung Điểm
(3.0 điểm)
ĐK: n*,n3
2
1
1 ! !
5
( 2)! 2! !
3 n 5 n 0 3. n n
n n
A C
0.5
1 12 T/m
3 13 12
1 L
n n n
n n n n
n
1.0
12 12
12 12 2 12 3
12 12
2
12
0
1
2
1
1 2 . 1 .2 .
2
k
k k k k k k k
k k
x
x C x C x
x
1.0
Số hạng không chứa x12 3 k 0 k
Số hạng cần tìm: 1 C124.247920
0.5
Bài IV ( 3.0 điểm)
Câu Nội dung Điểm
1 (1.5 điểm)
Dễ thấy: un 0 n *
2 2
2 2
1 1
2 2
1 1
3 3
n n n
n n n n n
u u u
u u u u u
0.75
1
*
n n
v v n
dãy vn cấp số nhân với công bội
3
q 0.75
2 (1.0 điểm)
Dãy vn cấp số nhân với
3
q
1 1
v u nên
1
n n
v
0.5
1
2 1 1 1
3
n n
n n
u u
0.5
3 (0.5 điểm)
Áp dụng bđt Bunhiacopxki ta có:u1u2 un 2 1 1u12u22 un2
2 2 2 2
1 un un
u u n u u
Mà
0 1
2 2
1
1 1
1
3 3
n
n n
u u u n
0.25
Do 1 2 2 1 2 2 12
2
n n
u
u u n n n n n n n
1 un
u u n
(4)3/4 Bài V ( 6.0 điểm)
Câu Nội dung Điểm
Hình vẽ
(Ý 1) (2.5 điểm)
C G A B K Klà trung điểm A B A IC K hình bình hànhA I C K // 1.0
ADIK hình bình hànhAD IK AD IK// , DI AK// 0.5
// , //
: //
:
A I C K DI AK
AC G C K AK K AC G A DI A DI A I DI I
1.0
1 (Ý 2) (2.5 điểm)
ACBDO O trung điểm
3 CE
AC E
CO
trọng tâm BCD
BECD J J trung điểm CD
3 JE
JB
0.5 0.5
Chứng minh tương tự: F trọng tâm CDD , ,
D F J
thẳng hàng
3 JF JD
0.5 0.5
1
: / /
3 JE JF
BDD EF BD
JB JD
0.5
2 (1.0 điểm)
(Cách 1)Chứng minh: ABC, trung tuyến AM Giả sử đường thẳng d cắt tia
, ,
AB AC AM D E F, , Khi đó: AB AC 2AM AD AE AF (*)
Vẽ BH CI, song song với d với H I AM,
Theo định lý Ta let ta có:
AB AH AC, AI AB AC AH AI AD AF AE AF AD AE AF
Mà BHM CIMg.c.gMH MI
AH AI 2AM AB AC 2AM
AD AE AF
0.25
O
F E
J
G K
I C'
D' A'
D
B C
A
B'
H
I E F D
M A
(5)4/4
; ;
MNAK H P Q H thẳng hàng
Gọi L trung điểm C G ALPH R
Áp dụng (*):AA B ,trung tuyếnAK :
2
AA AB AK AK AA AB AM AN AH AH AM AN
(1)
Áp dụng (*):AGC,trung tuyến AL:
2
AG AC AL AL AG AC AQ AP AR AR AQ AP
(2)
Áp dụng (*):AKL,trung tuyến AG: AK AL 2AG AH AR AQ (3)
Từ (1),(2),(3): 1
2
AA AB AG AC AG AA AB AC AG AM AN AQ AP AQ AM AN AP AQ
0.5
Áp dụng bđt Côsi: AA AB AC 3.3 AA AB AC AA AB AC AM AN AP AM AN AP AM AN AP
Vậy giá trị lớn T AA AB AC AM AN AP
M N P, , trung điểm AA AB AC, , // A B C
0.25
(Cách 2)
Chứng minh: Nếu A B C G, , , đồng phẳng với điểm O bất kỳ, ta có
OGx OA y OB z OC với x y z 1
Ta có: G trọng tâm A B C nên AAABAC3AG AA AM AB AN AC AP 3.AG.AQ
AM AN AP AQ
Vì M N P Q, , , đồng phẳng nên AQ x AM y AN z AP với x y z 1
AA AB AC 3.AG 6 33
AM AN AP AQ
AA AB AC AA AB AC AM AN AP AM AN AP
Vậy GTLN T // A B C
0.25
0.25
0.25 0.25 Ghi chú: Thí sinh có lời giải theo phương pháp khác, cho điểm tối đa (GK tự chia điểm thành phần)
R
L Q
G H
K
C'
D' A'
D
B C
A
B' N
M