Nhằm giúp các bạn có thêm tài liệu phục vụ nhu cầu học tập và ôn thi Olympic môn Toán lớp 10, mời các bạn cùng tham khảo nội dung Đề Olympic môn Toán 10 năm học 2018–2019 - Cụm trường THPT Thanh Xuân - Cầu Giấy - Thường Tín dưới đây. Hi vọng đề thi sẽ giúp các bạn tự tin hơn trong kì thi sắp tới. Chúc các bạn ôn tập kiểm tra đạt kết quả cao.
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI CỤM TRƯỜNG THPT THANH XNCẦU GIẤY-THƯỜNG TÍN Câu ĐỀ OLYMPIC MƠN TỐN 10 NĂM HỌC 2018 – 2019 Mơn: Tốn Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian phát đề) Cho hàm số y x x 1 a) Lập bảng biến thiên vẽ đồ thị P hàm số 1 b) Tìm m để phương trình x x m có hai nghiệm x1 x2 thỏa mãn: x1 1 x2 Câu a) Giải bất phương trình sau: x2 x x2 5x 2 2 x xy y x y b) Giải hệ phương trình sau: x y x y x2 4x m nghiệm x x2 2x Cho tam giác ABC ; đặt a BC , b AC , c AB Gọi M điểm tùy ý c) Tìm m để bất phương trình: 2 Câu ? a) Tìm giá trị nhỏ biểu thức P MA2 MB MC theo a, b, c b) Giả sử a cm, b cm, c cm Tính số đo góc nhỏ tam giác ABC diện tích tam giác ABC Câu Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD Gọi H hình chiếu A lên BD ; I trung điểm BH Biết đỉnh A 2;1 , phương trình đường chéo BD là: x y 19 , 42 41 điểm I ; 13 13 a) Viết phương trình tham số đường thẳng AH Tìm tọa độ điểm H ? b) Viết phương trình tổng quát cạnh AD Câu Cho ba số dương a , b, c thỏa mãn: a b c Chứng minh a b c 3 2 b c c a a b 2 HẾT Câu HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Cho hàm số y x x 1 a) Lập bảng biến thiên vẽ đồ thị P hàm số 1 b)Tìm m để phương trình x x m có hai nghiệm x1 x2 thỏa mãn: x1 1 x2 Lời giải a) Tập xác định: D Tọa độ đỉnh I 1;1 Hệ số a nên hàm số đồng biến khoảng 1; nghịch biến khoảng ;1 Bảng biến thiên: + Đồ thị: P có trục đối xứng đường thẳng x P qua điểm A 0; ; B 2; b) x x m x x m 1 Số nghiệm phương trình 1 số giao điểm P với đường thẳng d : y m , d đường thẳng ln song song trùng với Ox Dựa vào đồ thị P ta thấy phương trình 1 có nghiệm thỏa mãn x1 1 x2 m m 5 Câu a) Giải bất phương trình sau: x2 x x2 5x 2 x xy y x y b) Giải hệ phương trình sau: x y x y x2 4x m nghiệm x x2 2x Lời giải x 3 a) Điều kiện x x x + Ta thấy x 3 , x nghiệm bất phương trình cho x 3 x x , suy x x nên: + Khi x x 4 x2 x x 5x x x x c) Tìm m để bất phương trình: 2 ? 1 Suy trường hợp bất phương trình có tập nghiệm S2 ; 4 ; 2 1 Vậy bất phương trình có tập nghiệm S ; 4 ; 3 2 2 x xy y x y b) 2 x y x y Ta có: x xy y x y y xy y xy x x y x y y x 1 x y x 1 y x 1 y 2 x y x y x 1 y 2x 1 Như thế: y x 2 2 x x x x 2 x xy y x y 2 x y x y y x x x 1 x x 1 x y x y 2 x x x y 2x 1 5 x x 13 y 13 Vậy hệ có nghiệm x; y là: 1;1 ; ; 5 c) Ta có x x x 1 , x Câu nên: 2 x2 4x m 2 x x x x m 3x x m (1) 2 3 2 x 2x 2 x x m (2) x x m 3x x Yêu cầu toán trở thành tìm m để bất phương trình (1), (2) nghiệm với x thuộc Ta thấy: 1 42 m m (1) với x thuộc 17 (2) với x thuộc 2 12 m m 17 Vậy m ; 2 Cho tam giác ABC ; đặt a BC , b AC , c AB Gọi M điểm tùy ý c) Tìm giá trị nhỏ biểu thức P MA2 MB MC theo a, b, c d) Giả sử a cm, b cm, c cm Tính số đo góc nhỏ tam giác ABC diện tích tam giác ABC Lời giải a) Gọi G trọng tâm tam giác ABC GA GB GC 2 Ta có P MA2 MB2 MC MA MB MC MA2 MG GA MG 2MG.GA GA2 Với MB MG GB MG 2MG.GB GB 2 MC MG GC MG 2MG.GC GC MA MB MC 3MG GA2 GB2 GC 2 Khi P 3MG GA2 GB GC P MG MG M G 4 b2 c2 a 2b 2c a GA ma 9 4 a c2 b2 2a 2c b Mặt khác GB mb2 9 4 2 GC mc2 a b c 2a 2b c 9 4 Suy Pmin b) a b2 c2 * Ta có a cm, b cm, c cm Vì b a, b, c suy góc B tam giác ABC có số đo nhỏ Áp dụng định lí Cosin tam giác ABC , ta được: b a c 2ac cos B a c2 b2 62 cos B B 45 2ac 2 6 2 Vậy B 45 1 * Diện tích tam giác ABC : S ac sin B 6.2 2 Vậy S (đvdt) Câu Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD Gọi H hình chiếu A lên BD ; I trung điểm BH Biết đỉnh A 2;1 , phương trình đường chéo BD là: x y 19 , 42 41 điểm I ; 13 13 c) Viết phương trình tham số đường thẳng AH Tìm tọa độ điểm H ? d) Viết phương trình tổng quát cạnh AD Lời giải a) B C I H A D BD : x y 19 có véc tơ pháp tuyến nBD 1;5 AH BD nên AH nhận véc tơ pháp tuyến BD : nBD 1;5 làm vec tơ phương Vậy AH qua A 2;1 có véc tơ phương u AH 1;5 nên phương trình tham số x t đường thẳng AH là: y 5t b) H AH BD nên tọa độ H thỏa mãn hệ phương trình: x t x t 32 43 y 5t H ; y 5t 13 13 x y 19 t 13 42 41 32 43 Vì I ; trung điểm BH với H ; nên tọa độ B 4;3 13 13 13 13 Có AD AB nên đường thẳng AD nhận véc tơ AB 2; làm véc tơ pháp tuyến Đường thẳng AD qua điểm A 2;1 có véc tơ pháp tuyến AB 2; nên có phương trình tổng quát là: x y 1 x y Lời giải a) B C H I A D BD : x y 19 có vtpt nBD 1;5 AH BD nên vtcp u AH vtpt nBD 1;5 qua A 2;1 x t Vậy AH : y t vtcp u 1;5 AH b) H AH BD nên tọa độ H thỏa mãn hệ phương trình: x t x t 32 43 y 5t H ; y 5t 13 13 x y 19 t 13 xB xI xH 42 41 32 43 B 4;3 Vì I ; trung điểm BH với H ; nên tọa độ B : 13 13 13 13 yB yI yH AB 2; Có AD AB nên vtpt nAD AB 2; qua A 2;1 x y 1 x y 3 Vậy AD : vtpt n 2;2 AD Câu Cho ba số dương a , b, c thỏa mãn: a b c Chứng minh a b c 3 2 b c c a a b 2 Lời giải: Do a, b, c thỏa mãn a b c nên a, b, c 0;1 Ta có a b c 3 a b c 3 2 2 2 b c c a a b 1 a 1 b 1 c 2 Ta chứng minh Thật 3 a , a 0;1 (1) 1 a 3 a a a2 a a a (*) 1 a 27 3 Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho ba số dương 2a , 1 a , 1 a ta có: 2a a a a a 3 2a a2 a2 27 a 1 a 1 a 27 27 Dấu “=” xảy 2a a a Vậy (*) Tương tự ta có: 3 b b , b 0;1 (2) Dấu “=” xảy b 1 b 3 c c c , c 0;1 (3) Dấu “=” xảy c 1 c Lấy (1), (2), (3) cộng theo vế ta có: Dấu “=” xảy a b c a b c 3 2 b c c a a b 2 ... x 4 x2 x x 5x x x x c) Tìm m để bất phương trình: 2 ? 1 Suy trường hợp bất phương trình có tập nghiệm S2 ; 4 ; 2 1 Vậy bất phương trình... 3x x m (1) 2 3 2 x 2x 2 x x m (2) x x m 3x x Yêu cầu tốn trở thành tìm m để bất phương trình (1), (2) nghiệm với x thuộc Ta thấy: 1 42 ... Tìm giá trị nhỏ biểu thức P MA2 MB MC theo a, b, c d) Giả sử a cm, b cm, c cm Tính số đo góc nhỏ tam giác ABC diện tích tam giác ABC Lời giải a) Gọi G trọng tâm tam giác ABC