ĐỀ THI KSCL HỌC SINH GIỎI LỚP 11 NĂM HỌC 2016 - 2017 Mơn: Tốn Thời gian: 150 phút (khơng kể thời gian giao đề) SỞ GD & ĐT NGHỆ AN CỤM THI THPT YÊN THÀNH Câu (6,0 điểm) x a) Giải phương trình: ( sin x + 3) cos − sin x (1 + cos x ) − 3cos x − =0 b) Giải bất phương trình: ( x + 1)( x + + x + x + 3) > x + − x − Câu (3,0 điểm) Cho đa giác lồ i (H) có 22 ca ̣nh Go ̣i X là tâ ̣p hơ ̣p các tam giác có ba đı̉nh là ba đı̉nh của (H) Cho ̣n ngẫu nhiên tam giác X, tı́nh xác suấ t để cho ̣n đươ ̣c tam giác có ca ̣nh là ca ̣nh của đa giác (H) và tam giác không có ca ̣nh nào là ca ̣nh của đa giác (H) Câu (2,0 điểm) Cho dãy số (un ) xác định bởi: u1 = Tìm lim (n3 − n).un 2 n(n − 1)un = u1 + 2u2 + + (n − 1)un−1 , ∀n > 1, n ∈ Câu (5,0 điểm) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a Các điểm H, K trung điểm AD, C’D’ Điểm M thuộc đoạn BC’, N thuộc đoạn AB’ Đường thẳng MN tạo với mặt phẳng (ABCD) góc 450 a) Chứng minh rằng: AK ⊥ BH ; b) Chứng minh rằng: MN ≥ (2 − 2)a Câu (2,0 điểm) Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC; đường thẳng AD phân giác góc  Trên đoạn AD lấy hai điểm M, N ( M, N khác A D ) cho CBM Đường thẳng CN cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABN điểm F; biết ABN M (−3; −1), B(−4; −2) Xác định tọa độ điểm A biết đường phương trình FA x + y − = tròn ngoại tiếp tam giác AMC qua điểm Q(0; 22) Câu (2,0 điểm) Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca = Chứng minh : 3 a b c + + ≥ 2 b +c +2 c +a +2 a +b +2 …………… Hết …………… Thí sinh khơng sử dụng tài liệu máy tính cầm tay Họ tên thí sinh…………………….…………………………… Số báo danh…………………………………… HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI KSCL ĐỘI TUYỂN HSG CỤM THPT YÊN THÀNH (Hướng dẫn chấm gồm 04 trang) Câu Nội dung a (6,0đ) Pt ⇔ 2(s inx + 3)cos x − 2sin x.cos x − cos x + = 2 x x ⇔ (s inx + 3)cos − cos (s inx + 3) + = 2 x x ⇔ cos (s inx + 3)(cos − 1) + = 2 ⇔ − (s inx + 3) sin x + 1= ⇔ sin x + 3sin x − = s inx = ⇔ s inx = −2 (vn) ⇔x= π b b = 0,5 0,5 0,5 3,0 0,5 (a ≥ 2) b2 − a − ⇒x= x + x + (b ≥ 2) 0,5 0,5 + k 2π (k ∈ ) a =+ x Đặt: Điểm 3,0 0,5 2 BPT trở thành: b − a + (b − a − 1)a + (b − a + 1)b > 1,0 ⇔ (b − a )(b + a + 1) > 0,5 ⇔ b > a hay x + x + > x + 0,5 1 ⇔ x > − Vậy tập nghiệm bpt là: S = (− ; +∞) 2 0,5 +) Đa giác lồ i (H) có 22 ca ̣nh nên có 22 đın̉ h (3,0đ) +) Số tam giác có đı̉nh là ba đı̉nh của đa giác (H) là C322 = 1540 +) Số phầ n tử của không gian mẫu Ω là n(Ω = ) C1540 = 1185030 Số tam giác có mô ̣t ca ̣nh là ca ̣nh của đa (H) là 22.18 = 396 +) Số tam giác có hai ca ̣nh là ca ̣nh của đa (H) là 22 Số tam giác không có ca ̣nh nào là ca ̣nh của đa (H) là: 1540 - 396 - 22 = 1122 +) Go ̣i A biến cố “ hai tam giác đươ ̣c cho ̣n có mô ̣t tam giác có ca ̣nh là ca ̣nh của (H) và tam giác không có ca ̣nh nào là ca ̣nh của (H)" Số phầ n tử của A là n(A) = C1396 C11122 n(A) C1396 C11122 748 Xác suấ t của biế n cố A là p(A) = = = n(Ω) 1185030 1995 Ta có: u2 = (2,0đ) 0.5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 Với n ≥ , ta có: u1 + 2u2 + + nun = n 3u n u1 + 2u2 + + (n − 1)un −1 = (n − 1) un −1 (1) (2) Từ (1) (2), suy ra: nun= n3un − (n − 1)3 un −1 0,5 (n − 1)3 n −1 n = un −1 un −1 n −n n n +1 = ⇒ un n −1 n − n n −1 u2 ⇒ un = n n −1 n +1 n 0,5 ⇒ un =2 n (n + 1) Do đó: lim (n3 − n).= ) 18 un lim18(1 −= n 0,5 a (5,0đ) 2 A H 3,0 1,0 D E B C A' D' K B' C' Gọi E trung điểm cạnh CD, ta có: KE ⊥ ( ABCD) ⇒ KE ⊥ BH (1) DAE Mặt khác, ta= có: ABH DAE (c.g.c) ⇒ ABH 0,5 HAE AHB ABH 900 ⇒ AHB ⇒ BH ⊥ AE (2) 0,5 0,5 0,5 2,0 0,5 Tứ (1) (2), suy ra: BH ⊥ ( AEK ) ⇒ BH ⊥ AK b P D C M' A N' B M D' C' A' N B' Gọi M’, N’ hình chiếu M, N (ABCD) Khơng tính tổng quát giả sử MM’< NN’ Gọi= P MN ∩ M ' N ' , đó: ' 450 , MM ' = ( MN ,(ABCD )) MPM BM ', NN ' = AN ' = a − BN ', MN = PN − PM ⇒ MNcos450 =PNcos450 − PMcos450 =PN '− PM ' =M ' N ' Do đó: M ' N ' = BN ' + BM ' = MNcos45 Ta có: MN sin 450 = PN sin 450 − PMcos450 = NN '− MM ' = a − ( BN '+ BM ') 2 (1) (2) 0,5 Từ (1) (2) suy ra: 0,5 MN ( 2cos45 + sin= 45 ) 2( BN ' + BM ' ) + a − ( BN '+ BM ') ≥ ( BN '+ BM ') + a − ( BN '+ BM ') = a 0 2 (BĐT Bunhiacôpxki) 0,5 ⇒ MN ≥ (2 − 2)a (2,0đ) 0,5 Gọi E giao điểm thứ hai BM đường tròn ngoại tiếp tam giác AMC Ta chứng minh E thuộc AF NFB Thật tứ giác AFBN nội tiếp nên NAB , theo giả thiết NAB MEC MAC , suy ra: NFB MEC Tương tự MAC NFE CBE NBA NFA Do tứ giác BCEF nội tiếp Suy CFE Suy A, E, F thẳng hàng Đường thẳng BM qua B M nên có phương trình: x − y + = = E AF ∩ BM , suy tọa độ E nghiệm hpt: y −8 = x + = x ⇔ ⇒ E (3;5) y+2 = x − = y Đường tròn (T) ngoại tiếp tam giác AMC có phương trình dạng: x + y − 2ax − 2by += c (a + b − c > 0) 6a + 2b + c =−10 a = Vì M, Q, E thuộc (T) nên ta có hpt: −2 22b + c =−22 ⇔ b =0 (tm) 6a + 10b − c =34 c =−22 Suy (T) có pt: x + y − x − 22 = 0,5 0,5 A giao điểm AE (T) nên tọa độ điểm A nghiệm hpt: x = x + y − = y = ⇒ A(7;1) ⇔ 2 x = x + y − x − 22 = y = 0,5 Vậy A(7;1) Có ab + bc + ca = nên 2 2 b + c + = a + b + c + 2(ab + bc + ca) − a = (a + b + c) − a = S − a (2,0đ) S = a + b + c S = (a + b + c)2 ≥ 3(ab + bc + ca) ≥ ⇒ S ≥ Khi 0,5 a b c 3 + + ≥ 2 b +c +2 c +a +2 a +b +2 a b c 3 aS bS cS 3 + + ≥ ⇔ + + ≥ S 2 2 2 2 2 2 S −a S −b S −c S −a S −b S −c a3 b3 c3 3 ⇔ +a+ 2 +b+ 2 +c ≥ S S −a S −b S −c a3 b3 c3 3 ⇔ + + +S ≥ S 2 2 S −a S −b S −c a4 b4 c4 3 ⇔ + + +S ≥ S 3 aS − a bS − b cS − c Lại có theo Cauchy-Schazw a4 b4 c4 (a + b + c ) + + ≥ aS − a bS − b3 cS − c S (a + b + c) − (a + b3 + c ) ⇔ = S (a + b + c ) S ( S − 2) S ( S − 2) ≥ 4= 3 2 S − (a + b + c)(a + b + c ) S − ( S − 2) 4S − 2 2 2 0,5 0,5 (Vì (a + b += c ) ( a a + b b3 + c c3 ) ≤ (a + b + c)(a + b3 + c3 ) ) S ( S − 2) 3 ( S − 2) 3 Ta chứng minh S ⇔ S +S ≥ +1 ≥ 2 4( S − 1) 4( S − 1) ⇔ S − 3S + 3 ≥ ⇔ ( S − 3)(2 S − 3S − 3) ≥ ⇔ ( S − 3) (2 S + 3) ≥ 0,5 (luôn ∀S ≥ 3) Vậy BĐT (*) chứng minh, dấu "=" xảy a= b= c= …………………….Hết…………………… Ghi chú: HS giải cách khác cho điểm tối đa ...HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI KSCL ĐỘI TUYỂN HSG CỤM THPT YÊN THÀNH (Hướng dẫn chấm gồm 04 trang) Câu Nội dung a (6,0đ) Pt ⇔ 2(s inx + 3)cos x − 2sin x.cos... ca ̣nh của (H)" Số phầ n tử của A là n(A) = C1396 C 1112 2 n(A) C1396 C 1112 2 748 Xác suấ t của biế n cố A là p(A) = = = n(Ω) 118 5030 1995 Ta có: u2 = (2,0đ) 0.5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5... đı̉nh là ba đı̉nh của đa giác (H) là C322 = 1540 +) Số phầ n tử của không gian mẫu Ω là n(Ω = ) C1540 = 118 5030 Số tam giác có mô ̣t ca ̣nh là ca ̣nh của đa (H) là 22.18 = 396 +) Số