+ Vận dụng được cách xét dấu nhị thức bậc nhất , tam thức bậc hai để giải được một số bất phương trình đơn giản. II.. Hai veùctô ñöôïc goïi laø cuøng phöông khi giaù cuûa chuùng song s[r]
(1)I Mục tiêu :
Giúp học sinh nắm kiến thức : + Khái niệm tập hợp , cách cho tập hợp + Tập , hai tập hợp
+ Các phép toán tập hợp : Giao tập hợp ; Hợp tập hợp ; Hiệu phần bù
Giúp học sinh rèn luyện kỹ :
+ Viết tập hợp, tìm tập con, xác định hai tập hợp
+ Xác định : Giao tập hợp ; Hợp tập hợp ; Hiệu phần bù II Nội dung học :
TẬP HỢP Khái niệm tập hợp
Các cách cho tập hợp :
+ Liệt kê phần tử tập hợp + Chỉ tính chất đặc trưng tập hợp
Hai tập hợp : Khi
A B
A B
B A
+ Khi AB : x A x B + Khi A B : x A x B
CÁC PHÉP TOÁN TẬP HỢP
1 Giao tập hợp A B :
x A
x A B
x B
2 Hợp tập hợp A B :
x A
x A B
x B
3 Hiệu A vaø B :
\
x A x A B
x B
Đặc biệt : Khi AB A \ B gọi phần bù B A KH : C BA III Bài tập áp dụng :
Bài : Viết lại tập hợp sau cách liệt kê phần tử : 1 M x Z : 3 x 2
2 N x N : 2x2 5x 2 0
3 P x x I 3 ,k k Z : 3 x 12
(2)2 R x Z : 2 x 1 3 S x Z : 2x2 5x 2 0
Baøi : Xác định A B A B biểu diễn chúng trục số :
1 A x R x : 1 vaø B x R x : 3 3 A1;3 vaø B2;
2 A x R x : 1 vaø B x R x : 3 4 A 1;5 vaø B0;6
Bài : Cho tập hợp sau : 0,1, 2,3, 4,5,6,9
A , B0, 2, 4,6,8,9 C3, 4,5,6,7 Tìm A B B \ C Bài : Xác đinh tập hợp sau cách liệt kê phần tử tập hợp :
A x N : x 5
B x N :12 x 16
C x N*: x va x 30
Bài : Cho tập hợp A2,3,5,6 , B0, 2,6,7,9 C1, 2,3, 4,5,7 Hãy điền vào bảng sau :
A B = ………2;6
A C = ………2;3;5
B C = ………2;7
A B = ………0; 2;3;5;6;7;9 A C = ………1;2;3;4;5;6;7 B C = ………0;1;2;3;4;5;6;7;9
A\B = ………3;5
B\C = ………0;6;9
C\A = ………1; 4;7
B\A = ………0;7;9
C\B = ………1;3;4;5
(3)I Mục tiêu :
Giúp học sinh nắm kiến thức : + Taäp xác định hàm số
+ Các bước vẽ đồ thị hàm số bậc y = ax + b kiến thức liên quan + Nắm bước xét biến thiên vẽ đồ thị hàm số y = ax2 + bx + c Giúp học sinh rèn luyện kỹ :
+ Tìm TXĐ hàm số học
+ Giải toán liên quan đến đồ thị hàm số y = ax+ b
+ Giải toán liên quan đến đồ thị hàm số y = ax2 + bx + c II Nội dung học :
1 T
ập xác định hàm số :
Tập xác định hàm số y = f(x) tập tất số thực x cho biểu thức f(x) có nghĩa
2.
S ự biến thiên đồ thị hàm số y = ax + b : + TXÑ : D = R
+ Sự biến thiên :
Với a > hàm số đồng biến R Với a < hàm số nghịch biến R + Điểm đặc biệt : Cho điểm đặc biệt
+ Đồ thị : Vẽ đồ thị hàm số qua điểm đặc biệt 3 V
ị trí tương đối hai đường thẳng :
Cho đường thẳng : ( D ) : y = ax + b ( D’ ) : y = cx + d
+ Nếu D // D’ :
a c
b d
+ Nếu DD’ :
a c
b d
+ Nếu D cắt D’ : a c Đặc biệt : Nếu DD' a.c = – 4 S
ự biến thiên đồ thị hàm số : y = ax2 + bx + c + TXÑ : D = R
+ Đỉnh ; b I
a a
(4)+ Trục đối xứng : b x
a
+ Sự biến thiên :
Với a > : Với a < :
* Hàm số nghịch biến ; b
a
* Hàm số nghịch biến ;
b a
* Hàm số đồng biến ; b
a
* Hàm số đồng biến ; b a
+ Điểm đặc biệt : ( Cho điểm đặc biệt )
+ Đồ thị :( Vẽ đồ thị qua đỉnh I điểm đặc biệt , trục đối xứng đường thẳng
b
x
a )
III Bài tập áp dụng :
Bài : Tìm tập xác định hàm số sau :
1
3x y
x x
2
x y
x 4x
3
x y x 4 x y
(x 2) x
5
3x y
x
6
x y x x 7
x x y
x
8
x x y
(x 2)(x 3)
9
x y x
10
2x y
2x x
11
3x y
(x 2) x
12 y x x
Bài : Xét biến thiên vẽ đồ thị hàm số :
1 y = 3x + y = –2x + y = x – Baøi : Cho điểm A(1;2) B( 3; –1)
a Viết phương trình đường thẳng D qua điểm A B ? b Xét biến thiên vẽ đồ thị hàm số vừa tìm ? Bài : Xét biến thiên vẽ đồ thị hàm số :
1 y = x2 – 2x – 1 2 y = – 4x2 + 4x – y = 3x2 – 2x + 1 y = – x2 – 3 5 y = ( x – )2 6 y = – x2 + 4x – 3
Bài : Xác định parabol ( P ) y = ax2 + bx + c xét biến thiên vẽ đồ thị chúng , biết :
(5)I Mục tiêu :
Giúp học sinh nắm kiến thức : + Điều kiện phương trình
+ Cách chuyển đổi phương trình phương trình bậc nhất, bậc hai ẩn số + Cách giải hệ phương trình bậc hai ẩn số, ba ẩn số
Giúp học sinh rèn luyện kỹ :
+ Tìm điều kiện xác định phương trình + Giải phương trình bậc nhất, bậc hai
+ Giải hệ phương trình bậc hai, ba ẩn số II Nội dung học :
1.
Phương trình dạng : A B ( )
Cách giải : Khử dấu giá trị tuyệt đối phương trình Cách : Bình phương vế phương trình ( ) Cách : Khử dấu giá trị tuyệt đối theo định nghĩa
2.
Phương trình dạng : 2
B 0
A B
A B
3.
Hệ phương trình bậc hai aån :
ax by c a x b y c' ' '
Cách giải : Cách : Giải phương pháp Cách : Giải phương pháp cộng Cách : Giải định thức
Ta coù :
a b
D ab a b
a' b' ' '
Dx c b cb c b
c' b' ' '
a c
Dy ac a c
a' c' ' '
Ta xét trường hợp sau :
o Nếu D0 hệ phương trình có nghiệm
Dx x
D Dy y
D
o Nếu D = :
Dx 0
Dy 0
hệ phương trình vô nghiệm
(6)4 Hệ phương trình bậc ba ẩn :
1 1 1 1
2 2 2 2
3 3 3 3
a x b y c z d a x b y c z d a x b y c z d
Cách giải : Chuyển dạng tam giác giải hệ phương trình III Bài tập áp dụng :
Bài : Tìm điều kiện phương trình sau :
1 2x 3 5 2x 4x 2 2 2x 3 3 2x x 1 3 4 x 2x 5 4x 2 2x 1 3 x 3x 1
5 2
2x
3 x
x 4 6
x 4 1 x 2 x Bài : Giải phương trình :
1 ( 2x – )2 + 5x2 = ( 3x + )2 2 ( x + )2 + ( x + )2 = 2( x + )2 ( 3x – )( 3x + ) = ( 3x + )2 4 ( 3x – )2 + ( 2x + )2 = 2( 2x + )2
2x 5 x 5 12 15
6
2x 5 x 5
x 1 1 2x
7 2
2 x 1 x 2
2
2x 1 2x 1
( )
2x 5 5x 3 x 1 3x 5
Bài : Giải phương trình :
1 2x 3 x 5 2 3x 2 2x 5 3 x 3 2x 1 4 3x 2 x 1 3x 3 2x2x 3 6 2x 1 x2 3x 5 7 x 2 2x 1 8.2 x 1 x 2 Bài : Giải phương trình :
1 3x 11 x 3 2 3x 8 2x 5 3 x2 7x 10 1 3x x2 2x 9 2x 1 5 2x2 2x 1 x 2 6 3x2 4x 4 x 2 3x 2x 8 3x 2 2x 1
Baøi : Giải hệ phương trình sau :
1
2x 3y 4
x y 2
2
x 4y 5
y 5x 7
3
x 2y 1
x 4y 1
x y 2 x 2y 1
5
x 2y 3
3x y 4
6
5x y 7
3x 2y 12
Baøi : Giải hệ phương trình sau :
1
4x 7y 6z 1783 y 3z 383 19z 1634 2
2x 3y 2z 4
4y 9z 2
8y z 4 3
3x 2y z 2 x y 6 3x 45
(7)I Mục tiêu :
Giúp học sinh nắm kiến thức : + Khái niệm bất đẳng thức
+ Bất đẳng thức hệ ; bất đẳng thức tương đương ; tính chất bất đẳng thức
+ Bất đẳng thức Cơ – si ý nghĩa hình học chúng + Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối
Giúp học sinh rèn luyện kỹ :
+ Chứng minh bất đẳng thức học + Ứng dụng bất đẳng thức học
II Noäi dung học : 1.
B ất đẳng thức Cơ si :
Trung bình nhân hai số khơng âm nhỏ trung bình cộng chúng
a b
ab , a, b
2
Đẳng thức xảy a = b 2 Phương pháp chứng minh bất đẳng thức “ A > B “ :
Cách : Ta chứng minh : A – B >
Cách : Từ biểu thức “ A > B ” ta biến đổi tương đương thành biểu thức III Bài tập áp dụng :
Baøi : CMR :
1
a b
b a
Hướng dẫn : Từ a > b chia vế cho ab ( ab 0 ) ta :
a b 1
ab ab b a ( đpcm ) Bài : Cho2 số dương a b CMR : a b 2(a2b )2 ( * )
Hướng dẫn : Do a , b > nên hai vế khơng âm , : bình phương hai vế ( * ) ta :
(a b) 2(a2b )2 (a b) 0 : với a , b số dương
Baøi : CMR :
a a2 b2c2 ab bc ca , a,b,c R
(8)c a4 b4 a b ab , a,b R3 d.
2 2
(a b c) 3(a b c ) , a,b,c R
e (a b)(ab 1) 4ab , a,b 0 Đẳng thức xảy ? Hướng dẫn
a Ta coù :
2
2
2
a b 2ab , a,b R ( ) b c 2bc , b,c R ( ) c a 2ca , a,c R ( )
Cộng ( ) , ( ) , ( ) vế với vế ta : 2a2 2b22c2 2ab 2bc 2ca , a,b,c R a2 b2 c2 ab bc ca , a,b,c R
Vậy a2b2c2 ab bc ca , a,b,c R đẳng thức xảy a = b = c
b Ta coù :
2 2 2 3
a b ab a ab b b a b b , a,b R
4 4
Đẳng thức xảy a = b =
c Ta coù : a4 b4 a b ab3 a4 a b ab3 3b4 a (a b) b (a b) (a b)(a3 3 b )3
2
2 2
2
(a b) , a,b R
(a b) (a ab b ) : :
(a ab b ) , a,b R
Vậy : a4b4a b ab , a,b R3 . Đẳng thức xảy a = b d Ta có : (a b c) 3(a2b2c )2
a2b2c22ab 2ac 2bc 3(a 2b2c )2
ab bc ca a 2b2c , a,b,c R : theo a)2
Vậy (a b c) 3(a2b2c ) , a,b,c R2 , đẳng thức xảy a = b = c
e Áp dụng BĐT Cô – si cho số a,b 0 ta coù : a b ab ( * ) Áp dụng BĐT Cô – si cho số 1, ab 0 ta có : ab ab.1 ab ( ** )
Nhân ( * ) với ( ** ) vế với vế ta : (a b)(ab 1) ab.2 ab 4ab ( đpcm )
Vậy (a b)(ab 1) 4ab , a,b 0 , đẳng thức xảy
a b a
ab b
Baøi : ( naâng cao )
CMR : (ac bd) (a2c )(b +d ) , a,b,c,d R2 2
Hướng dẫn : Ta có : (ab cd) (a2 c )(b +d )2 2
2 2 2 2 2 2
a b c d 2abcd a b a d c b c d
a d2 2c b2 2 2abcd 0 (ad cb) 0 : đúng a,b,c,d R
Vậy (ac bd) (a2c )(b +d ) , a,b,c,d R2 2 ; đẳng thức xảy ad = cb Bài : Cho f(x) = ( x + )( – x ) với 3 x 5 ( nâng cao )
(9)nên f(x) = ( x + )( – x ) đạt giá trị lớn x + = – x x = Khi GTLN f(x) : max f(x) = 4.4 = 16
Baøi : Cho
3 f (x) x
x
với x > Tìm x cho f(x) đạt giá trị nhỏ ? ( nâng cao ) Hướng dẫn : Do
3 x 3:
x không đổi nên
3 f (x) x
x
đạt giá trị nhỏ
3 x
x
x : nhËn
x : lo¹i
Khi GTNN f(x) :
3
min f (x) 3
(10)I Mục tiêu :
Giúp học sinh nắm kiến thức : + Điều kiện bất phương trình
+ Các phép biến đổi bất phương trình - hệ bất phương trình
+ Nhị thức bậc & dấu nhị thức bậc f(x) = ax + b ( a0) + Tam thức bậc hai & dấu tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c ( a0). Giúp học sinh rèn luyện kỹ :
+ Biết tìm điều kiện số bất phương trình , hệ bất phương trình đơn giản + Sử dụng phép biến đổi bất phương trình hệ bất phương trình để giải số bất phương trình hệ bất phương trình đơn giản
+ Nhận biết nhị thức bậc xét dấu nhị thức
+ Nhận biết tam thức bậc hai xét dấu tam thức bậc hai
+ Vận dụng cách xét dấu nhị thức bậc , tam thức bậc hai để giải số bất phương trình đơn giản
II Nội dung học :
1 Điều kiện bất phương trình f(x) < g(x) : Là tập tất giá trị x để f(x) g(x) có nghĩa 2 Các phép biến đổi bất phương trình :
1 P(x) < Q(x) P(x) + f(x) < Q(x) + f(x) P(x) + f(x) < Q(x) P(x) < Q(x) – f(x)
3 P(x) < Q(x) P(x).f(x) < Q(x).f(x) f(x)0 , x R P(x) < Q(x) P(x).f(x) > Q(x).f(x) f(x)0 , x R
4 P(x) < Q(x) P 2(x) < Q 2(x)
P(x)
x R Q(x)
3 Nhị thức bậc :
a Nhị thức bậc : biểu thức có dạng f(x) = ax + b ( a0) b Dấu nhị thức bậc :
Nhị thức bậc f(x) = ax + b ( a0) có giá trị dấu với hệ số a x
lấy giá trị khoảng b
; + a
, trái dấu với hệ số a x lấy giá trị
trong khoảng
b ;
a
(11)x
b a
f(x) = ax + b trái dấu a dấu a
4 Tam thức bậc hai :
a Tam thức bậc hai : biểu thức có dạng f(x) = ax2 + bx + c ( a0)
b Dấu tam thức bậc hai :
Cho f(x) = ax2 + bx + c b2 4ac
+ Nếu < f(x) ln dấu với a , x R + Nếu = f(x) ln dấu với a ,
b x
2a
+ Nếu > :
f(x) dấu với hệ số a x < x x > x
f(x) trái dấu với hệ số a x < x < x
( với x 1 , x nghiệm tam thức f(x) = ax2 + bx + c )
(trong trái – cùng)
Bảng xét dấu :
Dấu b2 4ac Dấu f(x) = ax2 + bx + c ( a0)
< 0 f(x) dấu với a , x R
= 0
f(x) dấu với a ,
\
b x R
a
> 0
( trái )
f(x) có nghiệm x x1, 2 ( với x1x2) :
x x1 x2 +
ax2 + bx + c
dấu a trái dấu a dấu a
MỘT SỐ KẾT QUẢ THƯỜNG DÙNG
* Cho tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c ( a 0 ) Khi :
1 ax2 + bx + c = có nghiệm b2 4ac 0 ax2 + bx + c = có nghiệm trái dấu a.c < 0
3 ax2 + bx + c > ,
a x R
0
4 ax2 + bx + c < ,
a x R
0
(12)* So sánh số (giả sử ) vói nghiệm x1, x2 tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c
( a 0 ) :
1 x1 x2 af( ) 0
2
1
0
x x af( )
S 3
x x af( )
S
4
1
af( )
x x af 5 af
x x af 0
S af x x af 7 af x x af
III Bài tập áp dụng :
Bài : Tìm điều kiện bất phương trình :
1
2
1 x 2
2 x 2x 5x 3x 2x
3x 7 12 2x 4
3x 6x 2009 2x 5x 3x
Bài : Giải bất phương trình :
1 2x
23 2x 16
5 2
x 2( x ) x
3
3 2( x – ) – x > 3( x – ) – 2x – 5( x – ) – x ( – x ) > x 2 – 2x (x 2)2 (x 2)22
Bài : Giải hệ bất phương trình :
1
3
3x x 6x 2x 2
2x 2x
1 5( 3x ) x 2
3x x x 2x
2
2x
x
(13)Bài : Tìm điều kiện bất phương trình :
1 2x 12 5x 2
4 3x 2x 2x
Bài : Giải bất phương trình :
1
2x
5x
5
2
x x x x
2
3 x( – x ) + ( x – ) < x ( – x ) Bài : Giải hệ bất phương trình :
4x x 7x 2x 3
Bài 7 : Xét dấu biểu thức :
1. f(x) = 3x – 2. f(x) = – 7x + 14 3. f(x) = ( 3x – )( + x )
4. f(x) = ( + 9x )(–7x + 14 )5.
2x f (x) 2x 6. x f (x) 2x 7.
(3x 1)(4x 1) f (x) 4x 8. 5x f (x)
(3 x)(2 x)
Bài 8: Giải bất phương trình sau :
1. ( 3x – )( + 3x ) < 2.
2 x 3x 3.
3x 3x
4. 4x 3x 5.
2x 1 6x
6.
2 11
4 3x 4 3x
Bài 9: Xét dấu biểu thức sau :
1. f(x) = – 4x2 2. f(x) = – 3x2 + 5x – 3. f(x) = – 4x2 + 12x –
4. f(x) = 2x2 – 3x + 5 5. f(x) = 2x2 – 5x + 2 6 4x f (x)
x 6x
7. 2
x 6x
f (x)
x 8x
8.
2
4x 7x 11
f (x) 4x 9
3
( ) 2 x x f x x x
10.
2
( )
f x x x x
11
1
( )
4
f x
x x x
Bài 10: Giải bất phương trình sau :
1. 2x2 7x 15 0 2. x ( x + ) < ( x 2 + )
3. 3( x2 + x + ) ( x – )2 4.
2
x
0
x 3x 10
(14)5.
1
2
x x
x x 6
2
6
x
x x x
7 3
1
2 15
x
x x 8.
10
5
x x
9
5 2
2
x x
x x 10
2 4 3
1
x x x
x
11
2
2 2
x x x
Bài 11 : Xét dấu biểu thức :
1. f(x) = 9x2 – 1 2. f (x) ( x 1)(x 2)(3x 1)
3.
1
f (x)
3 x x
4.
2
2
x 4x f (x)
2x 5x
Bài 12: Giải bất phương trình sau :
1
1
x x 3 x 2 2
20 10
1 x 7x 12 x 4
3.
2
x 5x x
x 5x x
4.
2 2x
x x x x
5.
2 1
0
xx x 1 6. 2x x 2
7. x x x 2 8. x 2 2x 5x 1
Bài 13: Xác định m để phương trình : x2 + 5x + 3m – = 0 có 2 nghiệm trái dấu
Bài 14: Cho phương trình : ( m + )x2 – 2( m – )x + m – = .
a Tìm m để phương trình có nghiệm phân biệt ?
b Xác định m để phương trình có nghiệm , có nghiệm , tìm nghiệm ?
Bài 15: Cho phương trình : 2x2 + 2( m + )x + m2 + 4m + = .
a. Tìm m để phương trình cho có nghiệm ?
b. Tìm m để phương trình có nghiệm x1 , x2 thoả mãn : < x1 < x2
(15)I Mục tiêu :
Giúp học sinh nắm kiến thức : + Khái niệm Véctơ
+ Tổng , hiệu véctơ + Tích véctơ với số + Tọa độ
Giúp học sinh rèn luyện kỹ :
+ Tìm véctơ phương , hướng , ; véctơ – không + Sử dụng quy tắc : hình bình hành, điểm, trung điểm, trọng tâm + Giải tốn tích vectơ số
+ Giải tốn tọa độ
II Nội dung hoïc :
1 Véctơ : Là đoạn thẳng có hướng
2 Hai véctơ gọi phương giá chúng song song trùng Hai véctơ phương chúng hướng ngược hướng
3 Véctơ – khơng : Là véctơ có điểm đầu điểm cuối trùng
4 Quy tắc điểm : Với điểm A , B , C , ta có : AB BC AC Quy tắc hình bình hành : Nếu ABCD hình bình hành AB AD AC 5. Nếu I trung điểm AB : IA IB 0
MA MB 2MI , với M 6. Nếu G trọng tâm tam giác ABC : GA GB GC 0
MA MB MC 3MG , với M 7 Toạ độ véctơ : a a i a j a ( ; )a a1
8. Cho u u u( ; )1
vaø v ( ; )v v1
Khi :
1 2 u v u v
u v
9 Toạ độ điểm M : OM xi y j M x y( ; )
10 Tọa độ véctơ :
(16)11 Toạ độ trung điểm :
Neáu I trung điểm AB :
12 Toạ độ trọng tâm tam giác :
Nếu G trọng tâm tam giác ABC :
13 Cho u u u( ; )1
vaø v ( ; )v v1
Khi :
14 Để ABCD hình bình hành : AB DC
III Bài tập áp dụng :
Bài : Cho điểm A , B , C D CMR : AD BC AC BD
Baøi : Cho ñieåm A , B , C , D , E , F CMR : AD BE CF AF BD CE
Bài : Cho tứ giác ABCD có M , N trung điểm AB CD CMR : a AD BC 2MN b AC BD 2MN
Bài : ( nâng cao ) Cho tam giaùc ABC
a CMR với điểm M điểm D , E , F biểu thức sau điểm cố định MD MC AB
, ME MA BC
, MF MB CA b CMR : MA MB MC MD ME MF , với điểm M
Bài : Gọi AM trung tuyến tam giác ABC D trung điểm AM CMR : a DB DC 2DM
b 2DA DB DC 0
c 2OA OB OC 4OD , với O điểm tuỳ ý
B A; B A
AB x x y y
2 2 A B I A B I x x x y y y 3 3
A B C G
A B C G
x x x
x
y y y
y
1 1 2 2
( ; )
u v u v u v 1 1 2 2
( ; )
u v u v u v 1 2
( ; )
(17)Bài : CMR : Nếu G G’ trọng tâm tam giác ABC A’B’C’ : 3GG 'AA 'BB'CC'
Baøi : Cho u(3; 2) vaø v(7;4) Tính : x u v ;
y u v ; z 2u ; t 5u m 3u4v ; n3u 2v
Bài 8: Cho u(0;4) v ( 1;2) Tính :
1 a u v ; b u v ; c2v ; d 4u
2 e u 2v ; f3u v
Bài 9: Tìm x để cặp véctơ sau phương : a a(2;3) b (4; )x
b u(0;5) vaø b ( ;7)x
c
( ; 3)
m x vaø n ( 2;2 )x
Bài 10 : Cho điểm A(– ;1) , B(1;3) , C(– ;0 ) CMR : A , B , C thẳng hàng ( nâng cao ) Bài 11 : Cho điểm A(0;1) , B(1;3) , C(2 ;7 ) , D(0;3) CMR : hai đường thẳng AB CD song song ( nâng cao )
Bài 12 : Cho điểm A(– 2; – 3) , B(3;7) , C(0;3 ) , D(– 4; – 5) CMR : hai đường thẳng AB CD song song ( nâng cao )
Bài 13 : Cho tam giác ABC có A(– 1;3 ) , B(2;4) , C( 0;1 ) a Hãy tìm toạ độ trung điểm M đoạn thẳng BC ? b Hãy tìm toạ độ trọng tâm G tam giác ABC ? c Hãy tìm toạ độ điểm D để ABCD hình bình hành ?
Bài 14 : Cho tam giác ABC có M(1;0 ) , N(2;2) , P( – 1;3 ) trung điểm cạnh BC , CA , AB tam giác ABC
a Tìm toạ độ đỉnh A , B , C tam giác ABC ?
b Hãy tìm toạ độ G G’ trọng tâm tam giác ABC MNP Có nhận xét điểm G G’ ?
c Hãy tìm toạ độ điểm D để ABCD hình bình hành ?
Bài 15 : Cho tam giác ABC có M(1;1 ) , N(2;3) , P(0; – ) trung điểm cạnh BC , CA , AB tam giác ABC
a Tìm toạ độ đỉnh A , B , C tam giác ABC ?
b Hãy tìm toạ độ G G’ trọng tâm tam giác ABC MNP Có nhận xét điểm G G’ ?
d Hãy tìm toạ độ điểm D để ABCD hình bình hành ? Bài 16 : Cho A(– ;1) B(4;5)
a Tìm toạ độ trung điểm I đoạn thẳng AB ?
(18)I Mục tiêu :
Giúp học sinh nắm kiến thức :
+ Giá trị lượng giác với 00 1800 + Các hàm số lượng giác : sin , cos , tan , cot + Các giá trị lượng giác góc đặc biệt + Góc véctơ
Giúp học sinh rèn luyện kỹ :
+ Tính tích vơ hướng hai véctơ theo định nghĩa toạ độ
+ Tính : Độ dài véctơ , Góc véctơ , Khoảng cách điểm
II Noäi dung học :
1 Dấu hàm số lượng giác :
Hàm số lượng giác Dấu hàm số lượng giác
0
0 90 900 1800
sin + +
cos + –
tan + –
cot + –
2 Tính chất :
a Cung phụ : b Cung bù :
0
0
0
0
sin 90 cos cos 90 sin tan 90 cot cot 90 tan
0
0
0
0
sin 180 sin cos 180 cos tan 180 tan cot 180 cot
3 Góc hai véctơ :
a ĐN :Cho véctơ a ; b ( khác 0 ) Từ điểm O tuỳ ý , ta dựng
OA a
OB b
(19)Khi góc AOB ( với số đo từ 00 đến 1800 ) gọi góc véctơ a b KH : a;b
Neáu a;b 900
ta nói a ; b vng góc với , KH : a b Nhận xét :
+ a;b b;a
+ Hai véctơ a ; b hướng a ; b 00
+ Hai véctơ a ; b ngược hướng a ; b 1800
4 Định nghóa tích vô hướng :
a.b a b cos(a ; b)
với a ; b Chú ý : a Với a ; b ta có : a.b 0 ab
b
2
a a
5 Biểu thức toạ độ tích vơ hướng : Cho véctơ a( a ; a ) ; b1 ( b ; b )1
Khi :
1 2
a.b a b a b
Chú ý : a( a ; a ) ; b1 ( b ; b )1
, với a ; b
Khi : 1122ababab0
6 Ứng dụng :
a Độ dài véctơ :
Độ dài véctơ a ( a ; a )
tính theo cơng thức : a a21a22
b Góc hai véctơ :
Góc hai véctơ a ( a ; a ) vµ b ( b ; b ) 0
tính theo cơng thức :
1 2
2 2
1 2
a b a b a.b
cos( a ; b )
a b a a b b
c Khoảng cách hai điểm :
Khoảng cách hai điểm A( xA ; yA ) B( xB ; yB ) tính theo cơng thức :
( )2 ( )2
B A B A
AB= ABuuur = x - x + y - y
d Chu vi tam giác ABC tính theo công thức : AB + BC + CA e Diện tích tam giác ABC tính theo cơng thức :
( )2
2
ABC
1
AB AC AB.AC 2
SD = - uuur uuur
III Bài tập áp dụng :
(20)a sin ( B + C ) = sin A b cos ( B + C ) = – cos A c tan ( A + B ) = – tan C d cot ( A + B ) = – cot C Bài : Tính giá trị biểu thức sau :
a A = 2sin300 + 3cos450 – sin 600 ? B = 2cos300 + 3sin450 – cos600 ? Bài : Tính giá trị lượng giác góc sau :
a 1200 b 1350 c 1500
Baøi : Cho
0
4
sin víi 90 180
Tính : cos ; tan ; cot ?
Baøi : Cho
0
5
cos víi 90 13
Tính : sin ; tan ; cot ?
Bài : Cho tana 2 Tính giá trị biểu thức :
3 sina cos a M
sina cos a
?
Baøi : Cho
2 sina
3
Tính giá trị biểu thức :
cot a tana N
cot a tana
?
Bài : Cho hình vuông ABCD cạnh a Tính :
a AB.ADuuur uuur b AB.AC
uuur uuur
Bài : Cho tam giác ABC có :µ
A=90 ,
B=60
$ AB = a Tính :
a AB.ACuuur uuur b CA.CBuuur uur c AC.CB
uuur uur
Bài 10 : Cho tam giác ABC coù : A ( 4;6 ) , B( 1; ) ,
3 C 7;
2 æ ửữ ỗ ữ ỗ ữ ỗố ứ
a CMR : ABC tam giác vuông A b Tính độ dài cạnh AB , AC , BC ?
c Tính chu vi diện tích tam giác ABC ?
Bài 11 : Tìm góc hai véctơ a vµ br r trường hợp sau :
a ar=( ; 2) vµ b- r= -( ; 3)- ?
b ar=( ; 4) vµ b- r=(4 ;3) ?
c a=( ; 5) vµ b=( ; 7)
-r r
?
Bài 12 : ( Nâng cao ) Cho tam giác ABC có A ( ; ) , B ( – ; ) , C( ; ) a Tính cosA ?
(21)I Mục tiêu :
Giúp học sinh nắm kiến thức :
+ Các cơng thức hệ thức lượng tam giác + Các định lý cosin , định lý sin tam giác Giúp học sinh nắm kỹ :
+ Sử dụng định lý cosin , định lý sin tam giác
+ Chọn hệ thức lượng thích hợp tam giác để tính số yếu tố trung gian cần thiết để việc giải toán thuận lợi
II Nội dung học : 1
Định lý Cơsin : Hệ :
2
Định lý Sin :
3
Định lý đường trung tuyến :
2 2 2
b c a cos A
2.b.c
2 2 2
c a b
cos B
2.c.a
2 2 2
a b c
cos C
2.a.b
Trong tam giác ABC với AB = c , AC = b , BC = a ta có : 2 2 2
a b c 2.b.c.cos A 2 2 2
b a c 2.a.c.cosB 2 2 2
c a b 2.b.c.cosC
Trong tam giác ABC , BC = a , CA = b , AB = c R bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác
Ta có :
a b c
2R
sin A sinB sinC
Gọi ma ; mb ; mc độ dài đường trung tuyến kẻ từ đỉnh A , B ,C Ta có :
2 2 2 2 2 2
2 a
2(b c ) a b c a
m
4 2 4
2 2 2 2 2 2
2 b
2(c a ) b c a b
m
4 2 4
2 2 2 2 2 2
2 c
2(a b ) c a b c
m
4 2 4
(22)4 Công thức tính diện tích tam giác :
Gọi , hb , hc đường cao tam giác ABC vẽ từ A, B, C S diện tích tam giác Gọi R , r bán kính đường trịn ngoại tiếp , nội tiếp tam giác ABC
1
p (a b c)
2
chu vi Khi : Cơng thức tính diện tích tam giác ABC :
III Bài tập áp dụng :
Baøi : Cho tam giác ABC có b = cm , c = cm , vaø
3 cos A
5
a.Tính cạnh a , sinA diện tích tam giác ABC
b.Tính đường cao xuất phát từ đỉnh A bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
Bài : Cho tam giác ABC biết ˆA 60 0 , b = cm , c = cm Tính a , diện tích S , đường cao ha
và bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC Bài : Cho tam giác ABC biết a = 21 , b =17 , c = 10
a.Tính diện tích tam giác ABC chiều cao ?
b.Tính bán kính đường trịn nội tiếp r tam giác ABC ?
c.Tính độ dài đường trung tuyến ma xuất phát từ đỉnh A tam giác ABC ?
Baøi : Cho tam giác ABC biết : c = 35 ; ˆA 40 0 ; ˆC 120 0 Tính cạnh a , cạnh b , góc B ?
Bài : Cho tam giác ABC biết : a =14 ; b = 18 ; c = 20 Tính ˆA ; ˆB ; ˆC ?
Bài : Cho tam giác ABC biết : a = ; b = 23 ; ˆC 130 0 Tính cạnh c ; góc A ; góc B ? Bài : Xác định góc lớn tam giác ABC biết :
1 a = , b = , c = 6 2 a = 40 , b = 13 ; c =37
M
H C
B A
ha
ma
a b c
1 1 1
S a.h b.h c.h
2 2 2
1 1 1
S a.b.sinC b.c sin A c.a.sinB
2 2 2
a.b.c S
4.R
S = p.r
(23)Bài : Cho tam giác ABC có a = 12 ; b = 16 ; c = 20 Tính diện tích S tam giác , chiều cao , bán kính đường trịn ngoại tiếp , bán kính đường trịn nội tiếp tam giác đường trung tuyến ma tam giác ABC CMR : a = b.cosC + c.cosB
Baøi : Cho tam giác ABC có AB = , AC = 18 diện tích S = 64 Tính sinA ? Bài 10 : Cho tam giác ABC có AB = , BC = , CA = Tính cosA ?
Bài 11 : Cho tam giác ABC có AB = , AC = 12 , BC = 15 Tính độ dài đường trung tuyến hạ từ đỉnh A tam giác ABC ?
Bài 12 : Cho tam giác ABC biết c = 35 cm , AÂ = 400 ,
C120 Tính a , b , B ? Bài 13 : Cho tam giác ABC biết a = cm , b = 23 cm ,
C130 Tính c , A , B ? Bài 14 : Cho tam giác ABC biết a = 14 cm , b = 18 cm , c = 20 cm Tính A , B , C ?
Bài 15 : Cho tam giác ABC với ma , mb , mc đường trung tuyến ứng với cạnh a, b , c tam giác ABC
a Tính ma , biết a = 26 , b = 18 , c = 16 b CMR : m 2am2b mc2 3(a2 b2c )2
(24)I Mục tiêu :
Giúp học sinh nắm kiến thức :
+ Đường thẳng : PTTS , PTTQ đường thẳng , vị trí tương đối đường thẳng , góc đường thẳng , khoảng cách từ điểm đén đường thẳng
+ Đường trịn : phương trình đường tròn , tiếp tuyến đường tròn Giúp học sinh rèn luyện kỹ :
+ Đường thẳng :
Biết cách viết : PTTS , PTTQ đường thẳng biết điểm
VTCP VTPT đường thẳng
Xét vị trí tương đối đường thẳng Tính góc hai đường thẳng
Tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng
+ Đường trịn :
Viết phương trình đường trịn biết tâm bán kính Viết phương trình tiếp tuyến đường trịn
II Nội dung học :
PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
1 PTTS đường thẳng :
– Vectơ u0 gọi VTCP d giá u song song trùng với d
– Đường thẳng d qua M( xM ; yM ) có VTCP ua ; b
có PTTS :
M M
x x at
t R y y bt
– Nếu đường thẳng d có VTCP ua ; b
với a0 đường thẳng d có hệ số góc
là :
b k
a
2 PTTQ đường thẳng :
– Vectơ n0 gọi VTPT d n vng góc với VTCP d
– Phương trình : Ax + By + C = ( A , B không đồng thời ) gọi PTTQ đường thẳng d
(25)d cã VTPT lµ : n (A ; B)
d cã VTCP lµ : u ( B ; A) hay u ( B ; A )
– Cho d : Ax + By + C = Khi :
+ NÕu d' // d th× d' : Ax + By + C ' = + NÕu d' d th× d' : Bx Ay + C '' =
3 Vị trí tương đối hai đường thẳng :
Cho đường thẳng d1 : A1x + B1y + C1 = d2 : A2x + B2y + C2 =
Toạ độ giao điểm d1 v d2 nghiệm hệ phương trình :
1 1
2 2
A x B y C
A x B y C
( * )
- Nếu hệ ( * ) có nghiệm ( x0 ; y0 ) d1 cắt d2 điểm M( x0 ; y0 ) - Nếu hệ ( * ) có vơ số nghiệm d1 d2
- Nếu hệ ( * ) vô nghiệm d1 // d2
4 Góc hai đường thẳng :
Cho đường thẳng
1 1 1 1
2 2 2 2
d : A x + B y + C = cã VTPT lµ n = ( A ; B ) d : A x + B y + C = cã VTPT lµ n = ( A ; B ) .
Gọi góc hai đường thẳng d1 d2 :
1 2 2 2 2 1 2
n n A A B B
cos
n n A B A B
CHÚ Ý :
+ Nếu d1d2 n1 n2 n n1 0 A A1 2B B1 0
+ Nếu
1 1
2 2
d : y k x m d : y k x m
d1d2 k k1 2 1 5 Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng.
Khoảng cách từ điểm M( xo ; yo ) đến đường thẳng d : Ax + By + C = tính theo cơng thức
0 2
Ax By C
d( M ; d )
A B
PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRỊN
1 Phương trình đường trịn có tâm bán kính cho trước :
- Đường trịn ( C ) có tâm I ( a ; b ) có bán kính R có phương trình : ( x – a )2 + ( y – b )2 = R2
- Phương trình : x2 + y2 – 2ax – 2by + c = phương trình đường trịn ( C )
a2 + b2 – c > Khi ( C ) có tâm I ( a ; b ) bán kính R = a2b2 c
(26)-Phương trình tiếp tuyến ( C ) : ( x – a )2 + ( y – b )2 = R2 tại M( x
0 ; y0 ) thuộc (C) có phương trình : ( x – a )( x0 – a ) + ( y – b )( y0 – b ) = R2
- Phương trình tiếp tuyến ( C ) : x2 + y2 – 2ax – 2by + c = tại M(x
0 ; y0)(C) có phương trình : x0 x + y0 y – ( x + x0 )a – ( y + y0)b + c =
PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN VỚI ĐƯỜNG TRÒN
Loại 1 : Lập phương trình tiếp tuyến đường trịn ( C ) điểm M( xM ; yM ) ( C ) :
Phương trình đường trịn ( C ) PTTT đường tròn ( C ) điểm M(x0 ; y0) ( C ) ( x – a )2 + ( y – b )2 = R2 ( x
0 – a )(x – a ) + ( y0 – b )( y – b ) = R2 x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0 x
0.x + y0.y – a( x0 + x ) – b( y0 + y ) + c =
Loại 2 : Lập phương trình tiếp tuyến với ( C ) chưa biết tiếp điểm :
Dùng điều kiện tiếp xúc để xác định :
tiếp xúc với đường trịn ( C ) có tâm I ( a ; b ) bán kính R d( I ; ) = R
III Bài tập áp dụng :
Bài : Viết PTTQ d biết :
a Qua A( ; – ) có VTPT n ;
b Qua B( –3 ; ) có VTCP u ;
c Qua A( ; – ) B( –3 ; ) Bài : Lập PTTQ d biết :
a Qua A( – ; ) vuông gốc 1 : x + 2y – =
b Qua A( – ; ) song song 1 : x + 2y – =
Bài : Lập PTTQ d biết :
a Qua B( ; ) vuông gốc với 2 : 3x – 2y – =
b Qua B( ; ) song song 2 : 3x – 2y – = 0
Bài : Cho A( ; ) , B( ; – ) , C( ; )
a Viết PTTS PTTQ đường thẳng chứa cạnh tam giác ABC ?
b Viết phương trình đường cao AH đường trung tuyến AM tam giác ABC ? Từ suy toạ độ điểm H ?
(27)a) Viết PTTQ PTTS đường thẳng qua điểm A , B b) Viết PTTQ PTTS đường trung trực đoạn thẳng AB Bài 6: Cho tam giác ABC biết A( ; ) , B(– ; ), C( ; )
a) Viết PTTQ PTTS đường cao AH , BH , CH tam giác ABC b) Viết PTTQ PTTS đường trung tuyến ABC
Bài : Cho tam giác ABC Gọi M( ; ) , N( ; – ) , P( – ; –2 ) trung điểm AB, AC BC Viết PTTQ PTTS cạnh tam giác ABC
Bài : Cho ba điểm A( ;– ) , B( ; ) , I( – ; ) Lập phương trình đường thẳng d qua I vuông gốc với đường thẳng AB
Bài 9 : Cho tam giác ABC có : AB : 4x + y – 12 = , BH : 5x – 4y – 15 = , AH : 2x + 2y – = Hãy lập phương trình hai cạnh cịn lại đường cao thứ ba CH tam giác ABC
Bài 10 : Cho điểm M( ; ) đường thẳng ( d ) : 2x – 3y + =
a) Viết phương trình đường thẳng ( d1 ) qua M song song với (d) b) Viết phương trình đường thẳng ( d2 ) qua M vng góc với (d)
Bài 11 : Cho tam giác ABC biết A( ; –1 ) phương trình đường cao BH : 2x – y + = CH : 3x + y + = 0 Lập phương trình cạnh tam giác đường cao thứ ba tam giác?
Bài 12 : Cho A( ; ) d : x – 2y + = 0.Tìm toạ độ hình chiếu vng góc A xuống d ? Bài 13 : Lập PTTS PTTQ d , biết :
a d qua M( ; ) có hệ số góc k = b d qua A( ; ) B( – ; ) Bài 14 : Cho tam giác ABC biết đỉnh A( – ; ), hai đường trung tuyến : BG : 5x + y – = CG : 4x + 5y – 10 =
a) Xác định trọng tâm G tam giác ABC b) Lập phương trình ba cạnh ABC
Bài 15 : Tìm toạ độ trực tâm tam giác ABC , biết : A( – ; ) , B( ; ) , C( ;– ) Bài 16 : Cho tam giác ABC có A( ; ) , B( ; ) , C( – ; )
a Viết PT đường cao AH đường thẳng BC tam giác ABC ? b Viết phương trình đường trung trực đoạn thẳng AB
c Viết phương trình đường thẳng qua trung điểm AC song song với AB ?
Bài 17 : Tìm phương trình tập hợp điểm cách đường thẳng d1 : 5x + 3y – = d2 : 5x + 3y + =
Bài 18 : Viết phương trình đường thẳng d qua M(– ; 3) cách điểm A(– ; 0) , B( ; 1) Bài 19 : Cho tam giác ABC có A( ; ) , B( – ; ) , C( ; ) Tính diện tích tam giác ABC ? Bài 20 : Tìm phương trình cạnh tam giác ABC biết B( ; – ) phương trình đường cao AH : 3x + y + 11 = , phương trình đường trung tuyến CM : x + 2y + =
Bài 21 : Cho hình chữ nhật ABCD , biết A( ; ) , C( – ; ) phương trình đường thẳng chứa cạnh CD : x + 2y – = Tìm phương trình đường thẳng chứa cạnh lại
Bài 22 : Cho tam giác ABC có A ( ; ) , đường cao đường trung tuyến hạ từ B có phương trình : 3x – y + = 7x + y – 17 = Lập phương trình cạnh tam giác ABC ?
Bài 23 : Cho ABC có AB : x – 2y – = , AC : 2x + 5y + = M( – ; ) trung điểm của
BC.Tìm toạ độ đỉnh A , B , C tam giác ABC ?
Bài 24 : Cho tam giác ABC có : A( – ; ) , B( ; – ) , C( – ; )
(28)b Viết phương trình tổng quát đường cao AH tam giác ABC ?
c Viết phương trình tổng quát đường trung tuyến AM tam giác ABC ? d Viết phương trình tổng quát đường trung trực đoạn thẳng BC ? e Xác định góc A tam giác ABC ?
f Xác định góc hai đường thẳng AB AC ? g Tính diện tích tam giác ABC ?
h Tìm toạ độ trực tâm tam giác ABC ?
Bài 25 : Trong phương trình sau , phương trình phương trình đường trịn ? Xác định tâm bán kính đường trịn ( C ) cho ( có ) ?
a x2 + y2 – 6x – 8y + 100 = b x2 + y2 + 4x – 6y – 12 = c 2x2 + 2y2 – 4x + 8y – =
Bài 26 : Lập phương trình đường tròn ( C ) , biết : a ( C ) có tâm I( ; –2 ) bán kính R =
b ( C ) có tâm I( – ; ) tiếp xúc với đường thẳng d : 4x – 3y + = c ( C ) có đường kính AB với A( ; –1 ) , B( – ; )
d ( C ) qua điểm A( ; ) , B( ; ) , C ( ; – ) e ( C ) có tâm I( ; – ) qua điểm A( – ; )
Bài 27 : Viết phương trình đường trịn ( C ) qua điểm A( ; ) , B( – ; ) , C ( ; – ) Bài 28 : Lập phương tình đường trịn ( C ) , biết :
a ( C ) tiếp xúc với hai trục toạ độ Ox , Oy qua M( ; )
b (C) tiếp xúc với hai trục toạ độ Ox, Oy có tâm nằm đường thẳng d: 2x – y – =
Bài 29 : Cho đường tròn ( C ) : ( x – )2 + ( y + )2 = 25 a Xác định tâm bán kính đường trịn ( C ) ?
b Viết phương trình tiếp tuyến ( C ) điểm M( ; ) ? Bài 30 : Viết PTTT của đường tròn ( C ) : x2 + y2 – 6x + 2y = :
a Biết tiếp tuyến vng góc với d : 3x – y + 2009 = b Biết tiếp tuyến song song với d : 3x – y + 2009 =
Bài 31 : Cho đường tròn ( C ) : x2 + y2 – 6x + 2y + = điểm M( ; ).Viết PTTT đường tròn ( C ) xuất phát từ M ?
Bài 32 : Cho đường tròn ( C ) : x2 + y2 – x – 7y = d : 3x + 4y – =
a Xác định tâm bán kính đường trịn ( C ) ? b.Tìm tọa độ giao điểm ( C ) d ?