Đang tải... (xem toàn văn)
- Lưu ý điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có 2 nghiệm - Sau đó dựa vào hệ thức VI-ÉT rút tham số theo tổng nghiệm, theo tích nghiệm sau đó đồng nhất các vế ta sẽ được một biểu[r]
(1)CHƯƠNG CĂN BẬC HAI CĂN BẬC BA
BÀI CĂN BẬC HAI I Căn bậc hai số học:
Định lí:
Với A , bậc hai số học A √A
Chú ý:
Căn bậc hai số học √0=0
Căn bậc hai số học √1=1
?1Tìm bậc hai số học số sau đây: 4; 9; 16; 25; 4044121
Định lí:
Căn bậc hai số học A số tự nhiên A số phương
Kí hiệu:
√A∈N A P
?2Chứng minh 13
+23+33+43+53+63 số phương Tương
tự chứng minh 13+23+33+43+53+63+ +n3 số phương với
¿
n∈N∗
¿
II.Căn bậc hai:
Định lí:
Với A , số Acó hai bậc hai √A −√A
Chú ý:Số có bậc hai ?3Tìm bậc hai số sau:
36; 49; 64; 81; 100; 121; 144; 169
Định lí:
Căn bậc hai A nguyên A số phương Kí hiệu:
√A∈Z
−√A∈Z A P
BÀI HẰNG ĐẲNG THỨC √A2
(2)I. Hằng đẳng thức √A2
=|A| :
Chứng minh:
Ta có: √A=A với A ≥0
√A=− A với A<0
Nên √A2
=|A| . ?1 Tính:
a) √a2+2a+1 với a ≥ −2
b) √4a2−4a+1 với a<12
II. Khai phương tích:
Định lí:
a) Định lí thuận:
Với A ≥0 B ≥0 √AB=√A√B b) Định lí đảo:
Với A ≥0 B ≥0 √A√B=√AB
III. Khai phương thương:
Định lí:
a) Định lí thuận:
Với A ≥0 B ≥0 √A
√B=√ A B
b) Định lí đảo:
Với A ≥0 B ≥0 √A
B=
√A
√B
BÀI SO SÁNH HAI CĂN BẬC HAI I So sánh hai bậc hai:
Với A, ta có: √A2
(3)Định lí:
Với a>0 b>0 a>b √a>√b
II Phân tích biểu thức thành nhân tử: Các bước phân tích sau:
1 Xuất phát từ hạng tử có Chia hạng tử cho
3 Lập tất tích có từ hạng tử sau chia Chọn cặp a, b cho ab hạng tử chứa chia
a2+b2 hạng tử tự
Ví dụ: 4+2√3
Bước 1: Xuất phát từ 2√3
Bước 2: 2√3 :2=√3
Bước 3: √3=√3
Bước 4: Chọn a=1 b=√3
Vậy 4+2√3=(1+√3)2
BÀI BIẾN ĐỔI BIỂU THỨC CHỨA CĂN BẬC HAI
(4)Với A ≥0 b ≥0 √A2B=|A|√B
II Đưa thừa số vào căn: Với A ≥0 b ≥0 A√B=√A2B
III Trục thức mẫu: Với A ≥0 b>0 A
√B= A√B
|B|
C ≥0 A
√B ±C=
A(√B∓C)
B −C2
IV Rút gọn biểu thức chứa bâc hai:
Rút gọn biểu thức chứa bâc hai biến đổi biểu thức dạng đơn giản phương pháp học
Chú ý: Kết cuối phải thỏa mãn tất điều kiện sau: a) Kết phải tồn ( có điều kiện xác định có ẩn mẫu) b) Mẫu thức khơng cịn bậc hai
c) Phân thức phải dạng tối giản
BÀI BẤT ĐẲNG THỨC CÔSI
I BẤT ĐẲNG THỨC CÔSI:
Với hai số a, b dương ta có: a+2b≥√ab Dấu “=” xáy a=b
II ỨNG DỤNG:
a) Trong tất hình chữ nhật có diện tích hình vng có chu vi bé
(5)c) Nếu x, y dương có tổng khơng đổi tích xy lớn x = y
d) Nếu x, y dương có tích khơng đổi tổng x+y nhỏ x = y
BÀI CĂN BẬC BA VÀ HẰNG ĐẲNG THỨC
(A+B)3=A3+B3+3AB(A+B)
1 Căn bậc ba:
Với A,
√A gọi bậc ba A
2 Căn bậc n:
Ta có cơng thức sau: n
√am=nk√amk (cơng thức hạ bậc)
n
√ab=√na.√nb (với đk n dương a, b phải dương)
k
√n
√a=kn√a (với đk k.n dương a phải dương)
n
√a
b=
n √a
n
√b (với đk n dương a, b phải dương b khác 0) (√na)k=√nak (với đk n dương a, k phải dương)
Ví dụ: Tính A=
3
√a4+√3a2b2+√3b4
3
√a2
+√3 ab+√3b4 Đáp số A=
3
√a2+√3b2−√3ab Hằng đẳng thức (A+B)3=A3+B3+3AB(A+B)
Ví dụ tính B=
√7+5√2+√37−5√2 Đáp số B=2
CHƯƠNG II ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẬC NHẤT y=ax+b
BÀI KHÁI NIỆM HÀM SỐ; HÀM SỐ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN VÀ HÀM SỐ CHẲN, LẺ
1 Khái niệm hàm số:
Biểu thức dạng f(x): y=P(x) gọi hàm số Hàm số đồng biến, nghịch biến:
Một hàm số với giá trị x tăng mà f(x) tăng theo f(x) đồng biến Một hàm số với giá trị x tăng mà f(x) giảm hàm số nghịch biến Quy tắc xét tính đồng biến, nghịch biến:
Bước 1: ∀x1, x2∈R cho x1≠ x2
Bước 2: tính T= f(x1)− f(x1) x1− x2
(6)Ví dụ: xét tính đồng biến a) y=2x+1
b) y=x2+2x
.Tính chẳn, lẻ hàm số:
Quy tắc:
Bước 1: tập xác định
Bước 2: ∀x∈D => − x∈D
Bước 3:
F(-x)=f(x) => hs chẳn F(-x)=-f(x) => hs lẻ
Ví dụ: xét tính chẳn lẻ x3-1
BÀI HÀM SỐ BẬC NHẤT y = ax+b
1 Định nghĩa:
Hàm số có dạng y=ax+b gọi hàm số bậc Đây hàm số
đồng biến a>0 nghịch biến a<0
2 Đồ thị hàm số y=ax+b :
Với x∈R , đồ thị hàm số y=ax+b đường thẳng qua hai điểm (0;b) (−b
a ;0)
BÀI HÀM SỐ y=a VÀ y=|ax+b|
1 Hàm số y = a
Hàm số y = a đường thẳng cắt Oy (0; a) song song với Ox
Ví dụ: đồ thị hàm số y = y
2 y =
x O
(7)Hàm số y=|ax+b| hệ hai hàm số
¿
ax+b (ax+b ≥0)
−ax−b (ax+b<0)
¿y={
¿ Ví dụ: Vẽ đồ thị hàm số y=|2x+1|
Hàm số y=|2x+1| hệ hàm số
¿
2x+1 .(x ≥−1
2 )
−2x −1 (x<−1
2 )
¿y={
¿ Hàm số y=2x+1 qua (0; 1) (−1
2 ;0)
Hàm số y=−2x −1 qua (0; -1) (−1
2 ;0)
Đồ thị: x
y= - 2x -1
O y
Y= 2x+1 −21 -1
Nhận xét: Đồ thị hàm số y=|ax+b| qua điểm cố định (−ba ;0) .
BÀI SỰ TƯƠNG GIAO GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG
1 Định nghĩa:
Cho hai đường thẳng (d1):y=a1x+b1 đường thẳng
(8)(d1) cắt (d2) a1 a2
≠b1 b2
≠c1 c2
(d1) trùng (d2) a1 a2
=b1
b2
=c1
c2
(d1) song song (d2) a1=a2
(d1) vng góc (d2) a1a2=−1
2 Tọa độ điểm tương giao hai đường thẳng:
Cho hai đường thẳng (d1):y=a1x+b1 đường thẳng
(d2):y=a2x+b2 với điều kiện a1 a2≠
b1 b2≠
c1
c2 chúng cắt
điểm M(x; y) x, y nghiệm chung hai phương trình: ¿
a1x+b1=a2x+b2 y=a1x+b1
¿{
¿
Giải hệ ta có tổng quát:
Cho hai đường thẳng (d1):y=a1x+b1 đường thẳng
(d2):y=a2x+b2 với điều kiện a1 a2≠
b1 b2≠
c1
c2 chúng cắt
điểm M (b2−b1 a1− a2;
2a1b2− a1b1−a2b2 a1−a2 )
3 Phương trình đường thẳng qua điểm:
Để viết phương trình đường thẳng qua hai điểm A(a1;b1) B(a2; b2) ta tọa độ A B vào phương trình
y=ax+b giải hệ hai phương trình
Thế A(a1;b1) vào phương trình y=ax+b ta b1=aa1+b
Thế B(a2; b2) vào phương trình y=ax+b ta b2=aa2+b
Ta giải hệ
¿
b1=aa1+b .(1) b2=aa2+b .(2)
¿{
¿
(9)Thế b=b1−aa1 vào (2) ta b2=a.a2+b1−aa1 Từ tính a
và b
4 Độ dài đoạn thẳng bất kì:
Cho hai điểm A(a1;b1) B(a2; b2) độ dài đoạn thẳng AB
được tính theo cơng thức: AB = √(a1−a2)
+(b1− b2)2
BÀI GÓC TẠO BỞI MỘT ĐOẠN THẲNG VÀ HỆ TRỤC TỌA ĐỘ
α α
α<900 => a>0 α>900 => a<0 Định lí: Số đo góc tạo đường thẳng với hệ trục tọa độ tỉ lệ nghịch với hệ số góc
Ta có cơng thức a=tgα Từ cơng thức ta có:
cotgα=1
a
sinα=a2
cosα=
a2
CHƯƠNG PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN VÀ HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
BÀI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
1)Định nghĩa:
Phương trình dạng ax+by=c a2
+b2≠0 gọi phương
(10)Phương trình bậc hai ẩn có vơ số nghiệm Nghiệm cặp giá trị (x, y) thõa mãn phương trình
2)Nghiệm nguyên phương trình ax+b=c:
Ví dụ: Tìm nghiệm ngun phương trình 2x+y=3
Giải
2x+y=3 ⇔y=3−2x
Đặt 3−2x=t (t∈Z) ⇒x=3−t
2
⇔x=2−2t+1+t
2 =
2(1−t)+1+t
2
⇔x=1− t+1+t
2
Vậy nghiệm phương trình là: ¿
x=1+t
2
y=2t
¿{
¿
(t∈Z)
Chú ý:
Với phương trình bậc hai ẩn, nghiệm ngun ln có dạng:
¿ x=x0+at y=y0−bt
¿{
¿
(t∈Z)
3)Tập nghiệm biểu diễn tập nghiệm:
Phương trình bậc hai ẩn ln có tập nghiệm S = {(x; y); …} Tập nghiệm phương trình ax+by=c đường thẳng
y=−a
b x − c b
Khi qua hai điểm (0;−c
a ) ( −c
a ;0)
Ví dụ: tập nghiệm phương trình 2x+y=3 đường thẳng
qua (0;−3) (−3
2 ;0)
(11)−3
2 O x
-3
BÀI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
1 Định nghĩa:
Hệ phương trình bậc hai ẩn có dạng:
¿ a1x+b1y=c1 a2x+b2y=c2
¿{
¿
A Nghiệm phương trình (x0; y¿0)∈
¿ (1) (2) B Hệ có nghiệm ⇔a1
a2 ≠b1
b2 ≠c1
c2
C Hệ vô số nghiệm ⇔a1 a2
=b1
b2
=c1
c2
D Hệ vô nghiệm ⇔a1 a2
=b1
b2 ≠c1
c2
2 Biện luận hệ phương trình:
Định thức thơng số gồm hai cột, hai dịng có cơng thức
D=|a cb d|=ad−bc
Trong hệ phương trình
¿ a1x+b1y=c1 a2x+b2y=c2
¿{
¿
, ta có:
Dx=|
c1 b1 c2 b2|
=c1b2− b1c2 ; Dy=|
a1 c1 a2 c2|
=a1c2− c1a2 ; D=| a1 b1 a2 b2|
=a1b2−b1a2
(12)Nghiệm hệ phương trình
¿
x=Dx
D =
|c1 b1 c2 b2|
|a1 b1 a2 b2|
=c1b2− b1c2
a1b2− b1a2
y=Dy
D =
|a1 c1 a2 c2|
|a1 b1 a2 b2|
=a1c2− c1a2
a1b2− b1a2
¿{
¿
Từ hệ nghiệm ta có hệ sau dùng để biện luận hệ phương trình:
Hệ phương trình vơ nghiệm ⇔D=0; Dx≠0; Dy≠0
Hệ phương trình có nghiệm ⇔D ≠0 .
Hệ phương trình vơ nghiệm ⇔D=Dx=Dy=0
Ví dụ: Biện luận hệ phương trình:
¿
mx+2y=m+1
2x+my=2m+5
¿{
¿
(1)
Ta có: D=|a1 b1
a2 b2|
=a1b2−b1a2=m2−4=(m+2) (m−2)
Dx=|
c1 b1 c2 b2|
=c1b2− b1c2=m(m+1)−2(m+5)=(m −5) (m+2)
Dy=|
a1 c1 a2 c2|
=a1c2− c1a2=m(2m+5)−2(m+1)=(2m−1) (m+2) ⇒
x=Dx
D=
(m−5) (m+2) (m+2) (m−2)=
m−5
m −2
y=Dy
D =
(2m −1) (m+2) (m+2) (m−2) =
2m−1
m−2
¿{
(13)Nếu m=−2 D=Dx=Dy=0 nên hệ phương trình vơ số nghiệm
¿
x=1+2y
2
y∈R
¿{
¿
Nếu m≠ ±2 hệ phương trình có nghiệm
⇒
x=Dx
D = m −5
m −2
y=Dy
D =
2m −1
m −2
¿{
Chú ý: phải phân tích D, Dx, Dy thành nhân tử!
BÀI GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP THẾ VÀ PHƯƠNG PHÁP CỘNG ĐẠI SỐ
Ví dụ 1: Giải hệ phương trình sau phương pháp thế: ¿
x+y=5
2x+y=8
¿{
¿ Giải:
¿
x+y=5
2x+y=8 ⇔
¿y=5− x
2x+5− x=8 ⇔
¿y=2
x=3
¿{
¿
Vậy tập nghiệm phương trình S={(3;2)}
Chú ý: Để dễ dàng cho việc biến đổi ta biểu diễn biến có trị tuyệt đối hệ số nhỏ theo biến cịn lại
Ví dụ 2: Giải hệ phương trình sau phương pháp cộng đại số ¿
x+y=5
2x+y=8
¿{
(14)Giải:
¿
x+y=5
2x+y=8 ⇔
¿−2x −2y=−10
2x+y=8 ⇔
¿− y=−2
x+y=5 ⇔
¿y=2
x=3
¿{
¿
Vậy tập nghiệm phương trình S={(3;2)}
Hệ thức BƠDU
f(x)⋮(x −a)⇔f(a)=0
CHƯƠNG HÀM SỐ y = ax2 VÀ PHƯƠNG TRÌNH
BẬC HAI MỘT ẨN
BÀI HÀM SỐ y = ax2
1 Định nghĩa:
Hàm số y = ax2 gọi hàm số bậc hai khuyết b c Đây hàm số đồng biến a>0 nghịch biến a<0 hàm số chẳn
Chứng minh:
Với a>0, ∀x1, x2∈R , x1≠ x2 , ta có: f(x1)− f(x2)=ax12−ax22=a(x1+x2) (x1− x2)
⇒T=f(x1)− f(x2)
x1− x2
Vì x1, x2>0 nên x1+x2>0
⇒a(x1+x2)>0 Hàm số đồng biến
Khi hàm số đồng biến hàm số thuộc góc tọa độ (I) (II) hay Min(y = ax2) = 0.
(15)2 Đồ thị hàm số y = ax2:
Ví dụ: Vẽ đồ thị hàm số y = 2x2 y = - x2 Bảng giá trị:
x -2 -1
Y = 2x2 8 2 0 2 8
Y = -x2 -4 -1 0 -1 -4
Đồ thị: y
Y=2x2
x O
Y=-x2
Nhận xét:
Với hàm số y=ax2(a ≠0) có giao góc tọa độ
Với x∈R , đồ thị hàm số y=ax2(a ≠0) Parabol (P) đỉnh O, trục
đối xứng Oy
3 Đồ thị hàm số y=|ax|2 : Ví dụ: Vẽ đồ thị hàm số y=|2x|2
Đồ thị hàm số y=|2x|2 hàm số tạo
¿
2x2 (x ≥0)
−2x2 (x
<0)
¿y={
¿ Bảng giá trị:
X -2 -1
y=2x2 2
y=−2x2 -8 -2 -2 -8
(16)BÀI PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN
1.Định nghĩa:
Phương trình ax2
+bx+c=0 (a ≠0) gọi phương trình bậc hai
một ẩn hay gọi tắt phương trình bậc hai
2 Giải phương trình bậc hai phương pháp đơn giản:
Giải phương trình dạng ax2+b=0 (phương trình bậc hai khuyết c):
Ví dụ giải phương trình 2x2−4x
=0
Giải:
2x2−4x=0⇔2x(x −2)=0⇔
2x=0
¿
x −2=0
¿
x=0
¿
x=2
¿ ¿ ¿
⇔¿ ¿ ¿ ¿
Vậy tập nghiệm phương trình S={0; 2} Giải phương trình dạng ax2
+c=0 (phương trình bậc hai khuyết b):
Ví dụ: Giải phương trình 2x2−1=0
(17)2x2−1=0⇔x2=1
2⇔
x=√2
2
¿
x=−√2
2
¿ ¿ ¿ ¿ ¿
Vậy tập nghiệm phương trình là: S={√2
2 ;
−√2
2 }
Chú ý:
a2
=m⇔
a=m
¿
a=−m
¿ ¿ ¿ ¿ ¿
Giải phương trình bậc hai phương pháp phân tích đa
thức thành nhân tử:
Ví dụ: Giải phương trình x2
+5x+4=0
Giải:
x2+5x+4=0⇔x2+x+4x+4=0⇔x(x+1)+4(x+1)=0⇔(x+1) (x+4)=0⇔
x+1=0
¿
x+4=0
¿
x=−1
¿
x=−4
¿ ¿ ¿
⇔¿ ¿ ¿ ¿
Vậy tập
nghiệm phương trình S={-1; -4} 3 Công thức nghiệm tổng quát:
Trường hợp áp dụng cách không ta dùng công thức nghiệm tổng quát:
(18)Nếu Δ>0 , phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt:
x1=− b+√Δ
2a ; x2=
−b −√Δ
2a
Nếu Δ=0 , phương trình có nghiệm kép: x1=x2= − b
2a
Nếu Δ<0 , phương trình vơ nghiệm 4 Cơng thức nghiệm thu gọn:
Trường hợp hệ số b chẳn ta có cơng thức nghiệm thu gọn Phương trình bậc hai ax2
+bx+c=0 (a ≠0) có b=2b' , Δ=b'2−ac
Nếu Δ'
>0 , phương trình có hai nghiệm phân biệt
x1= − b'
+√Δ'
a ; x2= − b'−
√Δ' a
Nếu Δ'
=0 , phương trình có nghiệm kép: x1=x2=− b
'
a
Nếu Δ'<0 , phương trình vơ nghiệm
Ví dụ: Giải phương trình 2x2
+3x −6=0
Giải:
2x2+3x −6=0
Δ=b2−4 ac=32−4 (−6)=57
Phương trình có hai nghiệm phân biệt:
x1=−3+√57
4 ; x2=
−3−√57
Vậy tập nghiệm phương trình S={−3+√57
4 ;
−3−√57
4 }
Ví dụ: Giải phương trình 4x2+4x −8=0
Giải:
4x2
+4x −8=0
Δ'=b'2−ac=22−4(−8)=36
√Δ=6
Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt
x1=−2+6
4 =1; x2= −2−6
4 =−2
Vậy tập nghiệm phương trình là: S = {1; -2}
(19)5 Sự tương giao đường thẳng Parapol:
Cho đường thẳng (d):y=ax+b Parabol (P):y=cx2
Phương trình hồnh độ giao điểm (d) và (P) là:
cx2
+ax+b=0
Ta có Δ=a2−4 cb
a) Nếu Δ>0 , (d) và (P) cắt
b) Nếu Δ=0 , (d) và (P) tiếp xúc
c) Nếu Δ<0 , (d) và (P) không tương giao
BÀI HỆ THỨC VIET VÀ ỨNG DỤNG
Cho phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 (a
0) (*)
Có hai nghiệm
b x
a
;
2
b x
a
Suy ra:
2
2
b b b b
x x
a a a
2
1 2 2
( )( )
4 4
b b b ac c
x x
a a a a
Vậy đặt : Tổng nghiệm S: S =
b
x x
a
Tích nghiệm P: P =
c x x
a
Như ta thấy hai nghiệm phương trình (*) có liên quan chặt chẽ với hệ số a, b, c Đây nội dung Định lí VI-ÉT, sau ta tìm hiểu số ứng dụng định lí giải tốn
I NHẨM NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH :
1 Dạng đặc biệt:
Xét phương trình (*) ta thấy :
a) Nếu cho x = ta có (*) a.12 + b.1 + c =
a + b + c =
Như vây a + b + c = phương trình có nghiệm x11 nghiệm lại
c x
a
b) Nếu cho x = ta có (*) a.( 1)2 + b( 1) + c = a b + c
(20)Như a – b + c = phương trình có nghiệm x11 nghiệm lại
c x
a
Ví dụ: Dùng hệ thức VI-ÉT để nhẩm nghiệm phương trình sau:
1)
2x 5x 3 (1)
2)
3x 8x11 0 (2)
Ta thấy:
Phương trình (1) có dạng a b + c =0 nên có nghiệm x11
3
x
Phương trình (2) có dạng a + b + c = nên có nghiệm x11
11
x
Bài tập áp dụng: Hãy tìm nhanh nghiệm phương trình sau:
1 35x2 37x 2 0
2 7x2 500x 507 0
3 x2 49x 50 0
4
4321x 21x 4300 0
2 Cho phương trình , có hệ số chưa biết, cho trước nghiệm tìm nghiệm cịn lại hệ số phương trình : Vídụ: a) Phương trình x2 2px 5 0 Có nghiệm 2, tìm p
và nghiệm thứ hai
b) Phương trình x25x q 0 có nghiệm 5, tìm q và
nghiệm thứ hai
c) Cho phương trình : x2 7x q 0, biết hiệu nghiệm 11.
Tìm q hai nghiệm phương trình
d) Tìm q hai nghiệm phương trình : x2 qx50 0 , biết
(21)Bài giải:
a) Thay x1 2 phương trình ban đầu ta được:
4
4
p p
Từ x x1 5 suy
1 5
2
x x
b) Thay x15 phương trình ban đầu ta 25 25 q q50
Từ x x1 50 suy
1
50 50 10
x x
c)Vì vai trị x1 x2 bình đẳng nên theo đề giả sử x1 x2 11
và theo VI-ÉT ta có x1x2 7, ta giải hệ sau:
1
1 2
11
7
x x x
x x x
Suy q x x 18
d) Vì vai trị x1 x2 bình đẳng nên theo đề giả sử x1 2x2
theo VI-ÉT ta có x x1 50 Suy
2 2
2
2 50
5
x
x x
x
Với x2 5 th ì x110
Với x2 5 th ì x1 10
II LẬP PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
1 Lập phương trình bậc hai biết hai nghiệm x x1;
Ví dụ : Cho x13; x2 2 lập phương trình bậc hai chứa hai
nghiệm
Theo hệ thức VI-ÉT ta có
1
1
S x x
P x x
x x1; 2là nghiệm
phương trình có dạng:
2 0 5 6 0
x Sx P x x
Bài tập áp dụng:
(22)4 x1 = 1 x2 = 1
2 Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm thoả mãn biểu thức chứa hai nghiệm phương trình cho trước:
V í dụ: Cho phương trình : x2 3x 2 0
có nghiệm phân biệt x x1;
Khơng giải phương trình trên, lập phương trình bậc có ẩn
y thoả mãn : 1
y x
x
2
y x
x
Theo hệ thức VI- ÉT ta c ó:
1
1 2 1 2
1 2
1 1
( ) ( )
2
x x
S y y x x x x x x
x x x x x x
1 2 1
1 2
1 1
( )( ) 1 1
2
P y y x x x x
x x x x
Vậy phương trình cần lập có dạng: y2 Sy P 0 hay
2 9
0 9 2
y y y y
Bài tập áp dụng:
1/ Cho phương trình 3x2 5x 6 0
có nghiệm phân biệt x x1;
Khơng giải phương trình, Hãy lập phương trình bậc hai có
nghiệm 1
y x
x
2 1
y x
x
(Đáp số:
2 0
6
y y
hay 6y25y 0 )
2/ Cho phương trình : x2 5x1 0
có nghiệm x x1; Hãy lập
phương trình bậc có ẩn y thoả mãn y1x14 y2 x24 (có nghiệm
luỹ thừa bậc nghiệm phương trình cho) (Đáp số : y2 727y 1 0)
3/ Cho phương trình bậc hai: x2 2x m2 0
có nghiệm x x1; Hãy
lập phương trình bậc hai có nghiệm y y1; cho :
(23)(Đáp số a) y2 4y 3 m2 0 b) y2 2y (4m2 3) 0
III TÌM HAI SỐ BIẾT TỔNG VÀ TÍCH CỦA CHÚNG
Nếu hai số có Tổng S Tích P hai số hai nghiệm phương trình :
2
0
x Sx P (điều kiện để có hai số S2 4P )
Ví dụ : Tìm hai số a, b biết tổng S = a + b = tích P = ab =
Vì a + b = ab = nên a, b nghiệm phương trình:
2 3 4 0
x x
giải phương trình ta x1 1 x2 4
Vậy a = b =
nếu a = b =
Bài tập áp dụng: Tìm số a b biết Tổng S Tích P S = P =
2 S = P =
3 S = P = 20
4 S = 2x P = x2 y2
Bài tập nâng cao: Tìm số a b biết a + b = a2 + b2 = 41
2 a b = ab = 36
3 a2 + b2 = 61 v ab = 30
Hướng dẫn: 1) Theo đề biết tổng hai số a b , để áp dụng hệ thức VI- ÉT cần tìm tích a v b
T
2
2 2 2 81
9 81 81 20
2
a b
a b a b a ab b ab
Suy ra: a, b nghiệm phương trình có dạng:
1
2 20
5
x
x x
x
Vậy: Nếu a = b = a = b =
2) Đã biết tích: ab = 36 cần tìm tổng : a + b Cách 1: Đ ặt c = b ta có: a + c = a.c = 36
Suy a,c nghiệm phương trình:
1
2 36
9
x
x x
x
(24)nếu a = c = 4 nên b = 4
Cách 2: Từ a b 2 a b 2 4ab a b 2 a b 24ab169 2 132 13
13 a b a b a b
*) Với a b 13 ab = 36, nên a, b nghiệm phương trình :
1
2 13 36
9 x x x x
Vậy a =4 b = 9
*) Với a b 13 ab = 36, nên a, b nghiệm phương trình :
1
2 13 36
9 x x x x
Vậy a = b =
3) Đã biết ab = 30, cần tìm a + b:
T ừ: a2 + b2 = 61 a b 2 a2b22ab61 2.30 121 11
11 11 a b a b
*) Nếu a b 11 ab = 30 a, b hai nghiệm phương
trình:
1
2 11 30
6 x x x x
Vậy a =5 b = 6 ; a =6 b = 5
*) Nếu a b 11 ab = 30 a, b hai nghiệm phương trình :
1
2 11 30
6 x x x x
Vậy a = b = ; a = b =
IV TÍNH GIÁ TRỊ CỦA CÁC BIỂU THỨC NGHIỆM
Đối toán dạng điều quan trọng phải biết biến đổi biểu thức nghiệm cho biểu thức có chứa tổng nghiệm S tích nghiệm P để áp dụng hệ thức VI-ÉT rổi tính giá trị biểu thức
1 Biến đổi biểu thức để làm xuất : (x1x2) x x1
Ví dụ a) x12x22 (x122x x1 2x22) 2 x x1 (x1x2)2 2x x1
b)
2
3 2
1 2 1 2 2
x x x x x x x x x x x x x x
c)
2
4 2 2 2 2 2
1 ( )1 ( )2 2 ( 2) 2 2
(25)d)
1
1 2
1 x x
x x x x
Ví dụ 2: x1 x2 ?
Ta biết x1 x22 x1x22 4x x1 x1 x2 x1x22 4x x1
Từ biểu thức biến đổi biến đổi biểu thức sau: x12 x22 ( x1 x2 x1x2=…….)
2 x13 x23 ( =
2
1 1 2 2
x x x x x x x x x x x x
=…… )
3 x14 x24 ( =
2 2
1 2
x x x x =…… )
4 x16x26 ( =
2 3 2 2
1 2 1 2
( )x ( )x x x x x x x = …… )
Bài tập áp dụng x16 x26
6 x15x52
7 x17 x27
8 1
1
x x
2 Không giải phương trình, tính giá trị biểu thức nghiệm
a) Cho phương trình : x2 8x 15 0
Khơng giải phương trình,
tính
1 x12 x22(34)
2 1
x x
8 15
3
1
2
x x
x x
34 15
4 x1x22(46)
b) Cho phương trình : 8x2 72x 64 0
Khơng giải phương trình
tính:
1 1
x x
(26)2 x12 x22 (65)
c) Cho phương trình : x2 14x 29 0
Khơng giải phương trình,
tính:
1 1
x x
14 29
2 x12 x22(138)
d) Cho phương trình : 2x2 3x 1 0
Khơng giải phương trình,
tính:
1 1
x x (3)
2
1
1
1 x x
x x
(1) x12 x22(1)
4
1
2 1
x x
x x
5
e) Cho phương trình x2 4 3x 8 0
có nghiệm x1 ; x2 , khơng giải
phương trình, tính
2
1 2
3
1 2
6 10 Q
5
x x x x
x x x x
HD:
2 2
1 2 2
3 2
1 2 1 2 1 2 1 2
6 10 6( ) 6.(4 3) 2.8 17 Q
5 5 2 5.8 (4 3) 2.8 80
x x x x x x x x
x x x x x x x x x x
V TÌM HỆ THỨC LIÊN HỆ GIỮA HAI NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH SAO CHO HAI NGHIỆM NÀY KHÔNG PHỤ THUỘC (HAY ĐỘC LẬP) VỚI THAM SỐ
(27)- Áp dụng hệ thức VI-ÉT viết S = x1 + x2 v P = x1 x2 theo tham số - Dùng quy tắc cộng để tính tham số theo x1 x2 Từ đưa hệ thức liên hệ nghiệm x1 x2
Ví dụ : Cho phương trình : m1x2 2mx m 0 có nghiệm x x1;
Lập hệ thức liên hệ x x1; cho chúng không phụ thuộc vào
m
Để phương trình có nghiệm x1 x2 th ì :
2
1
1
4 ' ( 1)( 4)
5
m m
m m
m m
m m m
Theo hệ th ức VI- ÉT ta có :
1 2
1 2
2
2 (1)
1
4
(2)
1
m
x x x x
m m
m
x x x x
m m
Rút m từ (1) ta có :
1
1
2
2
1 x x m
m x x (3)
Rút m từ (2) ta có :
1
1
3
1
1 x x m
m x x (4)
Đồng vế (3) (4) ta có:
2 2
1 2
2
2 3
2 x x x x x x x x
x x x x
Ví dụ 2: Gọi x x1; nghiệm phương trình : m 1x2 2mx m 4 0
.Chứng minh biểu thức
2
3
A x x x x không phụ thuộc giá trị m.
(28)2
1
1
4 ' ( 1)( 4)
5
m m
m m
m m
m m m
Theo hệ thức VI- ÉT ta có :
1 2 m x x m m x x m
thay vào A ta có:
2
2 8( 1)
3 8
1 1
m m m m m
A x x x x
m m m m
Vậy A = với m1
m
Do biểu thức A khơng phụ thuộc vào m
Nhận xét:
- Lưu ý điều kiện cho tham số để phương trình cho có nghiệm - Sau dựa vào hệ thức VI-ÉT rút tham số theo tổng nghiệm, theo tích nghiệm sau đồng vế ta biểu thức chứa nghiệm không phụ thuộc vào tham số
Bài tập áp dụng:
1 Cho phương trình : x2 m2x2m1 0 có nghiệm x x1; 2 Hãy
lập hệ thức liên hệ x x1; cho x x1; độc lập m
Hướng dẫn: Dễ thấy m22 2 m1 m2 4m 8 m 22 4
do phương trình cho ln có nghiệm phân biệt x1 x2 Theo hệ thức VI- ÉT ta có
1 2 2 2(1)
(2)
2
m x x
x x m
x x
x x m m
Từ (1) (2) ta có:
1 2
1
2
2
x x
(29)2 Cho phương trình : x24m1x2m 4 0.
Tìm hệ thức liên hệ x1 x2 cho chúng không phụ thuộc
vào m.
Hướng dẫn: Dễ thấy (4m1)2 4.2(m 4) 16 m233 0 phương
trình cho ln có nghiệm phân biệt x1 x2 Theo hệ thức VI- ÉT ta có
1 2
1 2
(4 1) ( ) 1(1) 2( 4) 16(2)
x x m m x x
x x m m x x
Từ (1) (2) ta có:
1 2 2
(x x ) 2x x 16 2x x (x x ) 17
VI.TÌM GIÁ TRỊ THAM SỐ CỦA PHƯƠNG TRÌNH THOẢ
MÃN BIỂU THỨC CHỨA NGHIỆM ĐÃ CHO
Đối với toán dạng này, ta làm sau:
- Đặt điều kiện cho tham số để phương trình cho có hai nghiệm x1 x2 (thường a 0)
- Từ biểu thức nghiệm cho, áp dụng hệ thức VI-ÉT để giải phương trình (có ẩn tham số)
- Đối chiếu với điều kiện xác định tham số để xác định giá trị cần tìm
Ví dụ 1: Cho phương trình : mx2 6m1x9m 30
Tìm giá trị tham số m để nghiệmx1 x2 thoả mãn hệ thức :
1 2
x x x x
(30)
0 0 0
' 9 27 ' 1 ' 21 9( 3)
m m m m
m m m m m
m m m
Theo h ệ th ức VI- ÉT ta c ó:
1 2 6( 1) 9( 3) m x x m m x x m
từ giả thiết:
1 2
x x x x Suy ra:
6( 1) 9( 3)
6( 1) 9( 3) 6 27 21
m m
m m m m m m
m m
(thoả mãn điều kiện xác định )
Vậy với m = phương trình cho có nghiệm x1 x2 thoả
mãn hệ thức : x1x2 x x1
Ví dụ 2: Cho phương trình: x2 2m1x m 2 2 0.
Tìm m để nghiệm x1 x2 thoả mãn hệ thức : 3x x1 5x1x2 7
Bài giải: Điều kiện để phương trình có nghiệm x1&x2 :
2
' (2m 1) 4(m 2)
2
4m 4m 4m
7
4
m m
Theo hệ thức VI-ÉT ta có:
1
2
2
x x m
x x m
từ giả thiết
1 2
3x x x x 7 0 Suy ra
2
2
3( 2) 5(2 1) 10
2( ) 10 4
(31)Vậy với m = phương trình có nghiệm x1 x2 thoả mãn hệ
thức : 3x x1 2 5x1x2 7 Bài tập áp dụng
1 Cho phương trình : mx22m 4x m 7
Tìm m để nghiệm x1 x2 thoả mãn hệ thức : x1 2x2 0
2.Cho phương trình : x2m1x5m 0
Tìm m để nghiệm x1 x2 thoả mãn hệ thức: 4x13x2 1
3 Cho phương trình : 3x2 3m 2x 3m1 0
Tìm m để nghiệm x1 x2 thoả mãn hệ thức : 3x1 5x2 6 Hướng dẫn cách giải:
Đối với tập dạng ta thấy có điều khác biệt so với tập Ví dụ ví dụ chỗ
+ Trong ví dụ biểu thức nghiệm chứa sẵn tổng nghiệm x1x2
và tích nghiệm x x1 2nên ta vận dụng trực tiếp hệ thức VI-ÉT
để tìm tham số m
+ Cịn tập biểu thức nghiệm lại khơng cho sẵn vậy, vấn đề đặt làm để từ biểu thức cho biến đổi biểu thức có chứa tổng nghiệm x1x2
tích nghiệm x x1 2rồi từ vận dụng tương tự cách làm trình bày
ở Ví dụ ví dụ BT1: - ĐKX Đ:
16 &
15
m m
-Theo VI-ÉT:
1
1
( 4) (1)
m
x x
m m x x
m
- Từ x1 2x2 0 Suy ra:
1 2
1 2
1
3
2( ) 2( )
x x x
x x x x
x x x
(2)
- Thế (1) vào (2) ta đưa phương trình sau:
2
1
127 128 1; 128
(32)BT2: - ĐKXĐ: m2 22m25 0 m11 96;m11 96
- Theo VI-ÉT:
1
1
(1)
x x m
x x m
- Từ : 4x13x2 1 Suy ra:
1
1 2
2
2
1 2
1 3( )
1 3( ) 4( ) 4( )
7( ) 12( )
x x x
x x x x x x
x x x
x x x x x x
(2)
- Thế (1) vào (2) ta có phương trình :
0 12 ( 1)
1 m m m m
(thoả
mãn ĐKXĐ)
BT3: - Vì (3m 2)24.3(3m1) 9 m224m16 (3 m4)20 với số
thực m nên phương trình ln có nghiệm phân biệt
- -Theo VI-ÉT:
1 2 3 (1) (3 1) m x x m x x
- Từ giả thiết: 3x1 5x2 6 Suy ra:
1
1 2
2
2
1 2
8 5( )
64 5( ) 3( ) 3( )
64 15( ) 12( ) 36
x x x
x x x x x x
x x x
x x x x x x
(2)
- Thế (1) vào (2) ta phương trình:
0 (45 96) 32
15 m m m m
(thoả mãn )
VII XÁC ĐỊNH DẤU CÁC NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
Cho phương trình: ax2 bx c 0
(a 0) .Hãy tìm điều kiện để
phương trình có nghiệm: trái dấu, dấu, dương, cùng âm.
Ta lập bảng xét dấu sau:
Dấu nghiệm x1 x2 S x1x2 P x x Điều kiện chung
(33)cùng dấu, P > ; P >
cùng dương, + + S > P > ; P > ; S >
0 cùng âm S < 0 P > 0
; P > ; S <
0 Ví dụ: Xác định tham số m cho phương trình:
2
2x 3m1 x m m 0 có nghiệm trái dấu.
Để phương trình có nghiệm trái dấu
2
2
(3 1) 4.2.( 6)
0 ( 7)
2
0 ( 3)( 2)
2
m m m
m m
m
m m
P P P m m
Vậy với 2m3 phương trình có nghi ệm trái dấu
Bài tập tham khảo:
1 mx2 2m2x3m 2 0 có nghiệm dấu.
2 3mx22 2 m1x m 0 có nghiệm âm.
3.m1x22x m 0 có nghiệm khơng âm.
VIII TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT HOẶC GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨC NGHIỆM
Áp dụng tính chất sau bất đẳng thức: trường hợp ta ln phân tích được:
A m C
k B
(trong A, B biểu thức không âm ; m, k
số) (*)
Thì ta thấy : C m (v ì A0) minC m A0
C k (v ìB0) maxC k B0
Ví dụ 1: Cho phương trình : x2 2m1x m 0
(34)2
1
A x x x x có giá trị nhỏ nhất.
Bài giải: Theo VI-ÉT:
1
1
(2 1)
x x m
x x m
Theo đ ề b ài:
2
2
1 2
A x x x x x x x x
2
2 12 (2 3) 8
m m m m m
Suy ra: minA8 2m 0 hay
m
Ví dụ 2: Cho phương trình : x2 mx m 1 0
Gọi x1 x2 nghiệm phương trình Tìm giá trị nhỏ
và giá trị lớn biểu thức sau:
2
1 2
2
x x B
x x x x
Ta có: Theo hệ thức VI-ÉT :
1
1
x x m
x x m
1 2
2 2 2
1 2
2 3 2( 1)
2 ( ) 2
x x x x m m
B
x x x x x x m m
Cách 1: Thêm bớt để đưa dạng phần (*) hướng dẫn Ta biến đổi B sau:
2
2
2
2 1
1
2
m m m m
B
m m
Vì
2
2
1 0
2 m m B m
Vậy max B=1 m =
Với cách thêm bớt khác ta lại có:
2 2 2
2 2
1 1
2 4 2 1
2 2
2 2 2
m m m m m m m
B
m m m
(35)Vì 2 2
2 0
2 2 m m B m Vậy 2
B m
Cách 2: Đưa giải phương trình bậc với ẩn m B là tham số, ta tìm điều kiện cho tham số B để phương trình cho ln có nghiệm với m
2
2
2 2
m
B Bm m B
m
(Với m ẩn, B tham số) (**)
Ta có: 1 B B(2 1) 2 B2B
Để phương trình (**) ln có nghiệm với m
hay 2B2B 1 2B2 B 1 2B1 B10
2 2
1 1
1
2 1
2 1 B B B B B B B B B
Vậy: max B=1 m = 1
min
2
B m
Bài tập áp dụng
1 Cho phương trình : x24m1x2m 4 0.Tìm m để biểu thức 22
A x x có giá trị nhỏ nhất.
2 Cho phương trình x2 2(m1)x 3 m0 Tìm m cho nghiệm 1;
x x thỏa mãn điều kiện 2
1 10
x x .
3 Cho phương trình : x2 2(m 4)x m 2 0 xác định m để phương
trình có nghiệm x x1; 2thỏa mãn
a) A x 1x2 3x x1 đạt giá trị lớn
b) B x 12x22 x x1 đạt giá trị nhỏ
4 Cho phương trình : x2 (m1)x m 2m 0 Với giá trị m,
(36)5 Cho phương trình x2 (m1)x m 0 Xác định m để biểu thức
2
1
E x x đạt giá trị nhỏ nhất.
Chú ý:
Phương trình bậc hai ax2
+bx+c=0 có hai nghiệm x1 x2 thì:
x1
+x22=S2−2P
x1− x2=S2−4P
1
x1
+1
x2
=S
P x13+x23=S3−3 PS
x1 x2+
x2 x1=
S2 P−2 x12x2+x1x22=SP
1
x1 2+
1
x2 2=
S2−2P P2 x1+1
x2+1
+x2+1
x1+1
= 4+2S
1+S+P
Phương trình ax2+bx+c=0 có hai nghiệm x1 x2 có
thể phân tích ax2+bx+c=a(x − x1) (x − x2)
Phương trình ax2
+bx+c=0 có:
Hai nghiệm dấu
⇔
Δ≥0
P>0
¿{
Hai nghiệm dấu dương
⇔
Δ≥0
P>0
S>0
¿{ {
Hai nghiệm dấu âm
⇔
Δ≥0
P>0
S<0
(37) Hai nghiệm trái dấu
⇔
Δ≥0
P<0
¿{
Hai nghiệm nghịch đảo
⇔
Δ≥0
P=1
¿{
BÀI PHƯƠNG TRÌNH ĐƯA ĐƯỢC VỀ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
1)Phương trình trùng phương:
Phương trình dạng ax4
+bx2+c=0 .(a ≠0) gọi phương trình trùng
phương Cách giải:
ax4+bx2+c=0 .(a ≠0)
Đặt x2=t (t ≥0)
Phương trình trở thành t2+bt+c=0 Giải phương trình nhận
t dương
Khi
x2
=t⇔
x=√t
¿
x=−√t
¿ ¿ ¿ ¿ ¿
2)Phương trình chứa ẩn mẫu:
Ví dụ: Giải phương trình x −x+11−x −1 x+1=
x2+1
x2−1
Giải:
x+1
x −1−
x −1
x+1=
x2+1
x2−1
(38)x+1
x −1−
x −1
x+1=
x2+1
x2−1
⇔(x+1) 2−
(x −1)2− x2−1
x2−1 =0 ⇔2x+2− x2−1
x2−1 =0
⇔x2−2x −1
=0 ⇔(x −1)2=0 ⇔x=1 .(loai)
Vậy tập nghiệm phương trình là: S=O 3)Phương trình phản thương loại 1:
Phương trình phản thương loại có dạng ax4+bx3+cx2+dx+e=0
trong a=e b=d
Phương pháp giải:
Vì x=0 khơng phải nghiệm phương trình nên ta chia hai
vế phương trình cho x2≠0 Ta được: ax2+bx+c+d
x+ e x2=0
⇔(ax2
+ e
x2)+(bx+ d
x)+c=0
⇔a(x2+
x2)+b(x+
1
x)+c=0
Đặt x+1
x=y ;|y|≥√2
⇒x2
+
x2=(x+
1
x)
−2x1 x=y
2−2
Phương trình trở thành: ⇔aay(y22−2)+by+c=0
+by+c −2a=0
Giải phương trình bậc hai ẩn y ta y = y0
⇒x+1
x=y0 ⇔x
2
+1− y0x
x =0
⇔x2− y0x+1=0
Giải phương trình bậc hai ẩn x để tìm x.
4)Phương trình phản thương loại 2:
Phương trình phản thương loại có dạng ax4+bx3+cx2+dx+e=0
(39)