BT DS 10 Chuong 3 P1

Để tìm hệ thức của các nghiệm độc lập đối với tham số ta tìm:.. Gọi x1, x2 là các nghiệm của phương trình. Tính nghiệm kia. Tính nghiệm còn lại. a) Chứng minh phương trình có nghiệm với [r]

1 Phương trình ẩn f(x) = g(x) (1)

 x0 nghiệm (1) "f(x0) = g(x0)" mệnh đề  Giải phương trình tìm tất nghiệm phương trình

 Khi giải phương trình ta thường tìm điều kiện xác định phương trình Chú ý:

+ Khi tìm ĐKXĐ phương trình, ta thường gặp trường hợp sau: – Nếu phương trình có chứa biểu thức P x

1

( ) cần điều kiện P(x)  0.

– Nếu phương trình có chứa biểu thức P x( ) cần điều kiện P(x)  0.

+ Các nghiệm phương trình f(x) = g(x) hoành độ giao điểm đồ thị hai hàm số y = f(x) y = g(x).

2 Phương trình tương đương, phương trình hệ quả

Cho hai phương trình f1(x) = g1(x) (1) có tập nghiệm S1 f2(x) = g2(x) (2) có tập nghiệm S2  (1)  (2) S1 = S2

 (1)  (2) S1  S2 3 Phép biến đổi tương đương

 Nếu phép biến đổi phương trình mà không làm thay đổi điều kiện xác định ta phương trình tương đương Ta thường sử dụng phép biến đổi sau:

– Cộng hai vế phương trình với biểu thức – Nhân hai vế phương trình với biểu thức có giá trị khác

 Khi bình phương hai vế phương trình, nói chung ta phương trình hệ quả Khi ta phải kiểm tra lại để loại bỏ nghiệm ngoại lai.

Bài 1. Tìm điều kiện xác định phương trình giải phương trình đó:

a) x x x

5

3 12

4

  

  b) x x x

1

5 15

3

  

 

c) x x x

2 9

1

  

  d) x x x

2

3 15

5

  

 

Bài 2. Tìm điều kiện xác định phương trình giải phương trình đó: a) 1 1 x  x b) x 1 2 x

c) x  1 x d) x1 1  x e)

x

x x

3

1 

  f) x2 1 x  x 3

Bài 3. Tìm điều kiện xác định phương trình giải phương trình đó: a) x 3(x2 3x2) 0 b) x1(x2 x 2) 0

CHƯƠNG III

c)

x x

x x

1 2

2   

  d)

x x x

x x

2 4 3

1

1

 

  

 

Bài 4. Tìm điều kiện xác định phương trình giải phương trình đó: a) x  x b) x  1 x

c) x 1 x d) x 2 x1

Bài 5. Tìm điều kiện xác định phương trình giải phương trình đó: a)

x x

x1  x1 b)

x x

x x

2

1

 



 

c)

x x

x x

2  2 d)

x x

x x

1

2

 



 

Bài 6. a)

Chú ý: Khi a  (1) đgl phương trình bậc ẩn.

Bài 1. Giải biện luận phương trình sau theo tham số m:

a) (m22)x 2m x 3 b) m x m(  ) x m b) m x m(  3)m x(  2) 6 d) m x2( 1)m x m (3  2) e) (m2 m x) 2x m 21 f) (m1)2x(2m5)x 2 m Bài 2. Giải biện luận phương trình sau theo tham số a, b, c:

a)

x a b x b a a b a b ( , 0)

 

   

b) (ab2)x a 2b b( 2a)x c)

x ab x bc x b b a b c

a c b

2

3 ( , , 1)

1 1

  

   

  

d)

x b c x c a x a b a b c

a b c ( , , 0)

     

   

Bài 3. Trong phương trình sau, tìm giá trị tham số để phương trình:

i) Có nghiệm ii) Vơ nghiệm iii) Nghiệm với x  R

II PHƯƠNG TRÌNH ax + b = 0

ax + b = (1)

Hệ số Kết luận

a  0

(1) có nghiệm

b x

a

a) (m 2)x n 1 b) (m22m 3)x m 1 c) (mx2)(x1) ( mx m x 2) d) (m2 m x) 2x m 21 Bài 4.

a)

1 Cách giải

Chú ý: – Nếu a + b + c = (1) có hai nghiệm x = x =

c a.

– Nếu a – b + c = (1) có hai nghiệm x = –1 x =

c a

 .

– Nếu b chẵn ta dùng cơng thức thu gọn với

b b

2

  . 2 Định lí Vi–et

Hai số x x1 2, nghiệm phương trình bậc hai ax2bx c 0 khi chúng thoả mãn hệ thức

b S x x

a

1

  

c P x x

a

1

 

VẤN ĐỀ 1: Giải biện luận phương trình ax2bx c 0

Để giải biện luận phương trình ax2bx c 0 ta cần xét trường hợp xảy ra hệ số a:

– Nếu a = trở giải biện luận phương trình bx c 0. – Nếu a  xét trường hợp  trên. Bài 1. Giải biện luận phương trình sau:

a) x25x3m1 0 b) 2x212x15m0

c) x2 2(m1)x m 0 d) (m1)x2 2(m1)x m  0 e) (m1)x2(2 m x)  0 f) mx2 2(m3)x m  1 Bài 2. Cho biết nghiệm phương trình Tìm nghiệm cịn lại:

III PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ax2 + bx + c = (a  0)

ax2 + bx + c = (a  0) (1)

b2 4ac

   Kết luận

 >

(1) có nghiệm phân biệt

b x

a

1,2  2   =

(1) có nghiệm kép

b x

a

2

a) x mx m x

2 1 0;

2

    

b) 2x2 3m x m2  0; x1

c) (m1)x2 2(m1)x m  0; x 2 d) x2 2(m1)x m 2 3m0; x0 Bài 3.

a)

VẤN ĐỀ 2: Dấu nghiệm số phương trình ax2bx c 0 (a0) (1)  (1) có hai nghiệm trái dấu  P <  (1) có hai nghiệm dấu  P

0

   

 

 (1) có hai nghiệm dương 

P S

0 0

   

   

  (1) có hai nghiệm âm 

P S

0 0

   

     Chú ý: Trong trường hợp yêu cầu hai nghiệm phân biệt  > 0.

Bài 1. Xác định m để phương trình:

i) có hai nghiệm trái dấu ii) có hai nghiệm âm phân biệt iii) có hai nghiệm dương phân biệt

a) x25x3m1 0 b) 2x212x15m0

c) x2 2(m1)x m 20 d) (m1)x2 2(m1)x m  0 e) (m1)x2(2 m x) 1 0 f) mx2 2(m3)x m  1 g) x2 4x m  1 h) (m1)x22(m4)x m  1 Bài 2.

a)

VẤN ĐỀ 3: Một số tập áp dụng định lí Vi–et 1 Biểu thức đối xứng nghiệm số

Ta sử dụng công thức

b c

S x x P x x

a a

1 ;

    

để biểu diễn biểu thức đối xứng nghiệm x1, x2 theo S P.

Ví dụ: x12x22 (x1x2)2 2x x1 2S2 2P

x13x23(x1x2) ( x1x2)2 3x x1 2 S S( 2 )P

 

2 Hệ thức nghiệm độc lập tham số

b c S x x P x x

a a

1 ;

    

(S, P có chứa tham số m). Khử tham số m S P ta tìm hệ thức x1 x2.

3 Lập phương trình bậc hai

Nếu phương trình bậc hai có nghiệm u v phương trình bậc hai có dạng:

x2 Sx P 0, trong S = u + v, P = uv.

Bài 1. Gọi x1, x2 nghiệm phương trình Khơng giải phương trình, tính: A = x12x22; B = x13x23; C = x14x24; D = x1 x2 ; E = (2x1x2)(2x2x1) a) x2 x 0 b) 2x2 3x 0 c) 3x210x 3

d) x2 2x15 0 e) 2x2 5x 2 f) 3x25x 0 Bài 2. Cho phương trình: (m1)x2 2(m 1)x m  0 (*) Xác định m để:

a) (*) có hai nghiệm phân biệt

b) (*) có nghiệm Tính nghiệm c) Tổng bình phương nghiệm

Bài 3. Cho phương trình: x2 2(2m1)x 3 4m0 (*) a) Tìm m để (*) có hai nghiệm x1, x2

b) Tìm hệ thức x1, x2độc lập m c) Tính theo m, biểu thức A = x13x23

d) Tìm m để (*) có nghiệm gấp lần nghiệm e) Lập phương trình bậc hai có nghiệm x x12, 22 HD: a) m

2



b) x1x2 x x1 21 c) A = (2 )(16 m m24m 5) d) m

1

 

e) x2 2(8m28m1)x(3 ) m 20 Bài 4. Cho phương trình: x2 2(m1)x m 2 3m0 (*)

a) Tìm m để (*) có nghiệm x = Tính nghiệm cịn lại

b) Khi (*) có hai nghiệm x1, x2 Tìm hệ thức x1, x2 độc lập m c) Tìm m để (*) có hai nghiệm x1, x2 thoả: x x

2  8.

HD: a) m = 3; m = 4 b) (x1x2)2 2(x1x2) 4 x x1 2 0 c) m = –1; m = 2. Bài 5. Cho phương trình: x2 (m2 )m x m 0

a) Tìm m để phương trình có nghiệm bình phương nghiệm b) Tìm m để phương trình có nghiệm Tính nghiệm lại HD: a) m = 0; m = 1 b) x21; x2 5 7; x25 7 .

Bài 6. (nâng cao) Cho phương trình: 2x22 sinx  2xcos2 ( tham số). a) Chứng minh phương trình có nghiệm với 

a)

1 Định nghĩa tính chất 

A khi A A  A khi A00

 

  A 0,A

 A B A B

 A2 A2  A B A B  A B 0  A B A B  A B 0

 A B  A B  A B 0  A B  A B  A B 0 2 Cách giải

Để giải phương trình chứa ẩn dấu GTTĐ ta tìm cách để khử dấu GTTĐ, cách: – Dùng định nghĩa tính chất GTTĐ

– Bình phương hai vế – Đặt ẩn phụ

 Dạng 1: f x( ) g x( )

C f xf x g x

f x

f x g x

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

   

 

  

 

 

   

C g x

f x g x f x g x

2 ( )

( ) ( )

( ) ( )

 



   

  

 Dạng 2: f x( ) g x( )    

C

f x g x 2 2

( ) ( )

 

C

f x g x f x g x ( ) ( )

( ) ( )

 

  



 Dạng 3: a f x( )b g x( ) h x( )

Đối với phương trình có dạng ta thường dùng phương pháp khoảng để giải

Bài 1. Giải phương trình sau:

a) 2x1  x b) 4x7 2 x5 c) x2 3x  2 d) x26x9 2 x1 e) x2 4x 4 x17 f) 4x17 x2 4x g) x1 x 2x3 2 x4 h) x 1 x2  x 14 i) x1 2  x 2x Bài 2. Giải phương trình sau:

a) 4x7 4 x7 b) 2x 3 2  x c) x1 2 x 1 3x d) x2 2x x22x3 e) 2x 2 x2 7x5 0 f) x3 7  x 10 Bài 3. Giải phương trình sau:

a) x2 2x x 1 0  b) x2 2x 5x1 0  c) x2 2x 5x1 0 

d) x24x3x2 0 e) 4x2 4x 2x1 0  f) x26x x 3 10 0 

Bài 4. Giải biện luận phương trình sau:

a) mx1 5 b) mx x   1 x c) mx2x1 x d) 3x m 2x 2m e) x m  x m2 f) x m  x Bài 5. Tìm giá trị tham số m cho phương trình sau có nghiệm nhất:

a) mx  x b) Bài 6.

a)

Cách giải: Để giải phương trình chứa ẩn dấu ta tìm cách để khử dấu căn, cách: – Nâng luỹ thừa hai vế

– Đặt ẩn phụ

Chú ý: Khi thực phép biến đổi cần ý điều kiện để xác định.

Dạng 1: f x( )g x( ) 

 

f x g x g x

2

( ) ( ) ( )



 

   

Dạng 2:

f x g x

f x( ) g x( ) f x( )( ) ( ( )hay g x( ) 0)

 



Dạng 3: af x b f x( ) ( ) c 

t f x t at2 bt c

( ), 0



  



  

 

Dạng 4: f x( ) g x( )h x( )

 Đặt u f x v g x( ),  ( ) với u, v   Đưa phương trình hệ phương trình với hai ẩn u v

Dạng 5: f x( ) g x( ) f x g x( ) ( )h x( )

Đặt t f x( ) g x t( ), 0

Bài 1. Giải phương trình sau:

a) 2x 3 x b) 5x10 8  x c) x 2x 4 d) x2 x 12 8  x e) x22x4  2 x f) 3x2 9x  1 x g) 3x2 9x  1 x h) x2 3x10  x i) (x 3) x24x2 Bài 2. Giải phương trình sau:

a) x2 6x 9 x2 6x6 b) (x 3)(8 x) 26  x211x c) (x4)(x1) 3 x25x2 6 d) (x5)(2 x) 3 x23x

e) x2 x211 31 f) x2 2x 8 (4 x x)( 2) 0 Bài 3. Giải phương trình sau:

a) x 1 x1 1 b) 3x 7 x 1

c) x2 9 x2 2 d) 3x25x 8 3x25x 1 e) 31 x 31 x 2 f) x2 x 5 x28x 5 g) 35x 7 35x13 1 h) 39 x 1 37 x 1

Bài 4. Giải phương trình sau:

a) x 3 6 x  3 (x3)(6 x) b) 2x 3 x 1 3x2 (2x3)(x1) 16 c) x1 3 x (x1)(3 x) 1 d) 7 x 2x (7 x)(2x) 3

e) x 1 4 x  (x1)(4 x) 5 f) 3x 2 x1 4 x 3 x2 5x2

g) x x x x

2

2

1

3

    

h) x  9 x  x29x9 Bài 5. Giải phương trình sau:

a) 2x 2 x 5 2x 4 2x 14 b) x 5 x 1 x 2 x 1

c) 2x 2x1 2 x 3 2x1 2 x 8 2x1 4 Bài 6. Giải phương trình sau:

a)

Cách giải: Khi giải phương trình chứa ẩn mẫu thức, ta phải ý đến điều kiện xác định phương trình (mẫu thức khác 0)

Bài 1. Giải phương trình sau:

a) x x x x

2 10 50

1

2 (2 )( 3)

  

    b)

x x x

x x x

1

2

        c) x x x x

2 1

3 2

 



  d)

x x x

2

3 1

4

 

 

e)

x x x x

x x

2

2 2 15

1

   



  f)

x x

x x

3

( 1) (2 1)

 



 

Bài 2. Giải biện luận phương trình sau: a)

mx m x

  

 b)

mx m

x m

  

 c)

x m x

x x m1

 

 

 

d)

x m x x x

3

1

 



  e)

m x m m x

( 1)

3

  



 f)

x x

x m  x1

Bài 3. Giải biện luận phương trình sau: a)

1 Cách giải:

t x t ax bx c

at bt c

2

2 ,

0 (1) (2)              

2 Số nghiệm phương trình trùng phương

Để xác định số nghiệm (1) ta dựa vào số nghiệm (2) dấu chúng

 (1) vô nghiệm 

vô nghiệm

có nghiệm kép âm có nghiệm âm

(2) (2) (2)    

 (1) có nghiệm 

có nghiệm kép bằng

có nghiệm bằng nghiệm lại âm

(2)

(2) 0,

  

 (1) có nghiệm 

có nghiệm kép dương

có nghiệm dương nghiệm âm

(2)

(2) 1

  

 (1) có nghiệm  (2)có nghiệm bằng1 0,nghiệm lại dương  (1) có nghiệm  (2)có nghiệm dương phân biệt2

3 Một số dạng khác phương trình bậc bốn

 Dạng 1: (x a x b x c x d )(  )(  )(  )K với a b c d,   

VII PHƯƠNG TRÌNH TRÙNG PHƯƠNG

– Đặt t(x a x b )(  ) (x c x d )(  ) t ab cd

– PT trở thành: t2(cd ab t K )  0

 Dạng 2: (x a )4(x b )4K

– Đặt

a b t x

2

  



a b b a x a t , x b t

2

 

     

– PT trở thành:

a b t4 2t K với

2 12

2

     

      

 

 Dạng 3: ax4bx3cx2bx a 0 (a0) (phương trình đối xứng) – Vì x = khơng nghiệm nên chia hai vế phương trình cho x2, ta được:

PT 

a x b x c x x

2

1 0

   

     

 

 

  (2)

– Đặt t x x hoặc t x x

1  1

     

  với t 2. – PT (2) trở thành: at2bt c  2a0 (t 2) Bài 1. Giải phương trình sau:

a) x4 3x2 0 b) x4 5x2 4 c) x45x2 6 d) 3x45x2 0 e) x4x2 30 0 f) x47x2 0 Bài 2. Tìm m để phương trình:

i) Vơ nghiệm ii) Có nghiệm iii) Có nghiệm iv) Có nghiệm v) Có nghiệm

a) x4(1 ) m x2m21 0 b) x4 (3m4)x2m2 0 c) x48mx216m0

Bài 3. Giải phương trình sau:

a) (x 1)(x 3)(x5)(x7) 297 b) (x2)(x 3)(x1)(x6)36 c) x4(x1)4 97 d) (x4)4(x6)4 2

e) (x3)4(x5)4 16 f) 6x4 35x362x2 35x 6 g) x4x3 4x2  x