Nguyên tắc chung để giải các hệ phương trình nhiều ẩn là khử bớt ẩn để đưa về các phương trình hay hệ phương trình có số ẩn ít hơn. Để khử bớt ẩn, ta cũng có thể dùng các phương pháp c[r]
(1)1 Hệ phương trình bậc hai ẩn
a x b y c a b a b
a x b y c1 1 12 12 22 22
2 2 ( 0, 0)
Giải biện luận:
– Tính định thức:
a b D
a b 1 2
,
x
c b D
c b 1 2
, y
a c D
a c 1 2
Chú ý: Để giải hệ phương trình bậc hai ẩn ta dùng cách giải biết như: phương pháp thế, phương pháp cộng đại số.
2 Hệ phương trình bậc nhiều ẩn
Nguyên tắc chung để giải hệ phương trình nhiều ẩn khử bớt ẩn để đưa phương trình hay hệ phương trình có số ẩn Để khử bớt ẩn, ta dùng phương pháp cộng đại số, phương pháp hệ phương trình bậc hai ẩn
Bài 1. Giải hệ phương trình sau: a)
x y x y
5
7
b)
x y x y
2 11
5
c)
x y x y
3
6
d)
x y
x y
2
2 2
e)
x y x y
3 16
4
5 11
2
f)
x y y
3
5x
Bài 2. Giải hệ phương trình sau:
a) x y x y 18 51
b)
x y
x y
10 1
1
25 2
1
c)
x y x y x y x y
27 32 7
2
45 48 1
2
d)
x y
x y
2
5 1
e)
x y x y x y x y
2
3 17
f)
x y x y x y x y
4
3
Bài 3. Giải biện luận hệ phương trình sau:
a)
mx m y m x my
( 1)
2
b)
mx m y m x m( 2)y
( 2) ( 1)
c)
m x y m
m x y m
( 1)
( 2)
VIII HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT NHIỀU ẨN
Xét D Kết quả
D 0
Hệ có nghiệm
y
x D
D
x y
D ; D
D = 0 Dx Dy 0 Hệ vô nghiệm
(2)d)
m x m y
m x m y m
( 4) ( 2)
(2 1) ( 4)
e)
m x y m
m x y m2 m
( 1)
2
f)
mx y m x my2 m
2
Bài 4. Trong hệ phương trình sau hãy:
i) Giải biện luận ii) Tìm m Z để hệ có nghiệm nghiệm nguyên
a)
m x y m
m x y m2 m
( 1)
2
b)
mx y x 4(m 1)y 14m
c)
mx y
x my 32m
Bài 5. Trong hệ phương trình sau hãy:
i) Giải biện luận
ii) Khi hệ có nghiệm (x; y), tìm hệ thức x, y độc lập m
a)
mx y m x my2 m
2
b)
mx m y m x my
6 (2 )
( 1)
c)
mx m y m x my
( 1)
2
Bài 6. Giải biện luận hệ phương trình sau:
a)
ax y b x y
3
b)
y ax b x y
2
c)
ax y a b x 2y a
d)
a b x a b y a a b x a b y b
( ) ( )
(2 ) (2 )
e)
ax by a b bx ay ab
2 2
f)
ax by a b bx b y b
2 4
Bài 7. Giải hệ phương trình sau:
a)
x y z x y z x y z
3
2
2
b)
x y z x y z x y z
3
2
3
c)
x y z x y z x y z
3
2
3
Bài 8.
(3)1 Hệ gồm phương trình bậc phương trình bậc hai Từ phương trình bậc rút ẩn theo ẩn
Thế vào phương trình bậc hai để đưa phương trình bậc hai ẩn Số nghiệm hệ tuỳ theo số nghiệm phương trình bậc hai 2 Hệ đối xứng loại 1
Hệ có dạng: (I)
f x y g x y( , ) 0( , )
(với f(x, y) = f(y, x) và g(x, y) = g(y, x)). (Có nghĩa ta hốn vị x y f(x, y) g(x, y) không thay đổi)
Đặt S = x + y, P = xy
Đưa hệ phương trình (I) hệ (II) với ẩn S P Giải hệ (II) ta tìm S P
Tìm nghiệm (x, y) cách giải phương trình: X2 SX P 0. 3 Hệ đối xứng loại 2
Hệ có dạng: (I)
f x y
f y x( , ) 0( , ) (1)(2)
(Có nghĩa hốn vị x y (1) biến thành (2) ngược lại) Trừ (1) (2) vế theo vế ta được:
(I)
f x y f y x
f x y( , )( , ) 0( , ) (3)(1)
Biến đổi (3) phương trình tích:
(3) (x y g x y ) ( , ) 0 x y g x y( , )
.
Như vậy, (I)
f x y x y
f x y g x y
( , ) ( , ) ( , )
.
Giải hệ ta tìm nghiệm hệ (I) 4 Hệ đẳng cấp bậc hai
Hệ có dạng: (I)
a x b xy c y d a x b xy c y d
2
1 1
2
2 2
.
Giải hệ x = 0 (hoặc y = 0)
(4)trình bậc hai theo k Giải phương trình ta tìm k, từ tìm (x; y) Chú ý: – Ngồi cách giải thơng thường ta cịn sử dụng phương pháp hàm số để
giải (sẽ học lớp 12).
– Với hệ phương trình đối xứng, hệ có nghiệm ( ; )x y0 ( ; )y x0 cũng nghiệm hệ Do hệ có nghiệm duy x0y0.
Bài 1. Giải hệ phương trình sau: a)
x y
x y 4 8
2 b) x xy x y 24
2
c) x y x y
( ) 49
3 84
d)
x xy y x y x y
2 3 2 3 6 0
2
e)
x y xy x y
3
3( )
f)
x y xy x y
2
6 g)
y x x x y
2 4
2
h)
x y x2 y2 y
2
3
i)
x y x2 xy y2
2 Bài 2. Giải biện luận hệ phương trình sau:
a) x y x2 y2 m
6
b)
x y m x2 y2 2x
c)
x y x2 y2 m
3
Bài 3. Giải hệ phương trình sau:
a)
x xy y
x2 y2 xy x y 11
2( ) 31
b)
x y x2 xy y2
4 13 c)
xy x y x2 y2 x y
5 d) x y y x x y 13 6 e)
x x y y x y xy
3 3 17
f)
x x y y x xy y
4 2 2 37481 Bài 4. Giải biện luận hệ phương trình sau:
a)
x y xy m x2 y2 2m
b)
x y m
x y xy2 m2 m c)
x y m
xy x y m ( 1)( 1)
( )
Bài 5. Giải hệ phương trình sau:
a)
x x y
y y x
2
2 33 22 b)
x y x y
y x y x
2 2 22 22 c)
x x y y y x
(5)a)
x x my y y mx
2 33
b)
x y m m
y x m m
2
2
(3 ) (3 ) (3 ) (3 )
c)
xy x m y xy y m x
2
2 (( 1)1)
Bài 7. Giải hệ phương trình sau:
a)
x xy y x xy y
2
2
3 13
b)
x xy y x xy y
2
2
2
3 2
c)
y xy x xy y
2
2 34 42 1
d)
x xy y x xy y
2
2
3 38
5 15
e)
x xy y x xy y
2
2 24 35 95
f)
x xy y x xy y
2
2
3
5
Bài 8. Giải biện luận hệ phương trình sau:
a)
x mxy y m
x m xy my m
2
2 ( 1)
b)
xy y x xy m
2
2 12 26
c)
x xy y m y xy
2
2 34 4
Bài 9. Giải hệ phương trình sau:
a)
BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG III Bài 1. Giải biện luận phương trình sau:
a) m x2 4m 3 x m2 b) (a b x )2 2a2 2 (a a b ) ( a2b x2) c) a x2 2ab b x a 2b2 d) a ax b( ) 4 ax b 2
Bài 2. Tìm m để phương trình sau có nghiệm: a)
x m x m
x x
2 1 1
1
b)
m x m x m x
2
2
1
c)
mx x m
x x
2 2 1
1
d) x1 2 x 3m
Bài 3. Giải biện luận phương trình sau:
a) 2x212x15m0 b) x2 2(m1)x m 20 b) x2 mx m 1 0 d) x2 2(m 2)x m m ( 3) 0 Bài 4. Tìm m để phương trình có nghiệm x0 Tính nghiệm cịn lại:
a) x mx m x
2
0 0;
2
b) 2x2 3m x m2 0; x01 Bài 5. Trong phương trình sau, tìm m để:
i) PT có hai nghiệm trái dấu ii) PT có hai nghiệm âm phân biệt iii) PT có hai nghiệm dương phân biệt
iv) PT có hai nghiệm phân biệt x x1 2, thoả: x13x230; x12x22 3 a) x2 2(m 2)x m m ( 3) 0 b) x22(m 1)x m 0
c) x2 2(m1)x m 2 0 d) (m2)x2 2(m1)x m 0 e) (m1)x22(m4)x m 1 f) x2 4x m 1
(6)ii) Khi phương trình có hai nghiệm x x1, 2, tìm hệ thức x x1, 2 độc lập với m. a) x2(m1)x m 0 b) x2 2(m 2)x m m ( 3) 0
c) (m2)x2 2(m1)x m 0 d) x2 2(m1)x m 2 0 Bài 7. Giải phương trình sau:
a) x2 x2 12 b) x2 x211 31 c) 16x17 8 x 23 d) x2 2x 8 3(x 4) e) 3x2 9x 1 x 0 f) 51 2 x x 1 x
g) (x 3) x2 x2 h) x 3 3x
Bài 8. Giải phương trình sau:
a) 10 3 x x b) x 5 x 3 2x4
c) 3x4 2x1 x3 d) x2 3x 3 x2 3x6 3 e) x 2 2x 3x f) 3x 3 5 x 2x
g) x 2 x 1 x 1 h) √x+1−1=√x −√x+8 Bài 9. Giải phương trình sau:
a) x2 x1 x x1 2 b)
x x x x x
2
c) x x2 1 x x21 2 d) x2 x x2 x13 7 e) x22 x2 3x 1 3x4 f) 2x23 2x2 x x g) x2 x2 2x4 2 x h) 2x25 x23x5 23 6 x Bài 10. Trong hệ phương trình sau:
i) Tìm số nguyên m để hệ có nghiệm nghiệm nguyên ii) Khi hệ có nghiệm (x, y) , tìm hệ thức x, y độc lập với m
a)
mx y m x my2 a
2
b)
mx y m x my 32m
c)
x y m
x y2 4m
2 3
d)
x y
y x m
2
2 10
Bài 11. Giải hệ phương trình sau:
a)
x xy y x y y x2
1
b)
x y
x x y y 2
4 25 13
c)
x y y x x y
2 3 3530
d)
x y
x y x y
3
5 12
e)
x y xy x y x y
2
4 27 21
f)
x y xy x2 y2 x y
11
3( ) 28
Bài 12. Giải hệ phương trình sau:
a)
x y
xy x y
x y 2
2
( )(1 )
1
( )(1 ) 49
b)
y x x y
x y
x y
2
2
2 ( 1) ( 1)
1
1 24
(7)c) x y
x y x y
x y 2
2 1
1 4
d)
x y
x y
x y
xy
2
2
1
1
( )(1 )
e)
x y y x y x xy y x
xy
xy x y 2
2
1 4
f)
xy xy x y
xy 4
1
( )
Bài 13. Giải hệ phương trình sau:
a)
x x y
y y x
2
2 33 22
b)
x x y y y x
3 22
c)
x x y
y y x
3
3 33 88
d)
x y
y
y x
x 2
1
1
e)
x y x y x
y 2
3
f)
y y
x x x
y
2
2
2
Bài 14. Giải hệ phương trình sau: