BT DS 10 Chuong 4 P1

– Sử dụng một BĐT đã biết, biến đổi để dẫn đến BĐT cần chứng minh. Khi đó ta có thể tìm GTLN, GTNN của biểu thức.. Bài 1. Chứng minh các bất đẳng thức sau:.. Cùng với 2 BĐT tương tự, cộn[r]

1 Tính chất

2 Một số bất đẳng thức thông dụng

a) a20,a

a2b22ab. b) Bất đẳng thức Cô–si:

+ Với a, b  0, ta có:

a b ab

2

 

Dấu "=" xảy  a = b

+ Với a, b, c  0, ta có:

a b c 3abc

  

Dấu "=" xảy  a = b = c Hệ quả: – Nếu x, y > có S = x + y khơng đổi P = xy lớn  x = y.

– Nếu x, y > có P = x y khơng đổi S = x + y nhỏ  x = y.

c) Bất đẳng thức giá trị tuyệt đối

d) Bất đẳng thức cạnh tam giác

Với a, b, c độ dài cạnh tam giác, ta có:

+ a, b, c > + a b c a b    ; b c a b c    ; c a b c a    .

e) Bất đẳng thức Bu–nhia–cốp–xki

CHƯƠNG IV

BẤT ĐẲNG THỨC VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH I BẤT ĐẲNG THỨC

Điều kiện Nội dung

a < b  a + c < b + c (1) c > 0 a < b  ac < bc (2a) c < 0 a < b  ac > bc (2b) a < b c < d  a + c < b + d (3) a > 0, c > 0 a < b c < d  ac < bd (4) n nguyên dương a < b  a2n+1 < b2n+1 (5a)

0 < a < b  a2n < b2n (5b)

a > 0 a < b  a  b (6a)

a < b  3a 3b (6b)

Điều kiện Nội dung

x 0, x x x , x a > 0

x a   a x a 

x a

x a   x a

 

Với a, b, x, y  R, ta có: (ax by )2(a2b x2)( 2y2) Dấu "=" xảy  ay = bx

VẤN ĐỀ 1: Chứng minh BĐT dựa vào định nghia tính chất bản  Để chứng minh BĐT ta sử dụng cách sau:

– Biến đổi BĐT cần chứng minh tương đương với BĐT biết. – Sử dụng BĐT biết, biến đổi để dẫn đến BĐT cần chứng minh.  Một số BĐT thường dùng:

+ A2 0 + A2B2 0

+ A B 0 với A, B  0.

+ A2B2 2AB

Chú ý:

– Trong trình biến đổi, ta thường ý đến đẳng thức.

– Khi chứng minh BĐT ta thường tìm điều kiện để dấu đẳng thức xảy Khi ta có thể tìm GTLN, GTNN biểu thức.

Bài 1. Cho a, b, c, d, e  R Chứng minh bất đẳng thức sau:

a) a2b2c2 ab bc ca  b) a2b2 1 ab a b 

c) a2b2c2 3 2(a b c  ) d) a2b2c2 2(ab bc ca  ) e) a4b4c2 1 (a ab2 a c 1) f)

a2 b2 c2 ab ac 2bc

4     

g) a2(1b2)b2(1c2)c2(1a2) 6 abc h) a2b2c2d2e2a b c d e(    )

i) a b c ab bc ca

1 1 1

    

với a, b, c > k) a b c   ab bc ca với a, b, c 

HD: a)  (a b )2(b c )2(c a )20 b)  (a b )2(a1)2(b1)20 c)  (a1)2(b1)2( 1)c 20 d)  (a b c  )2 0

e)  (a2 b2 2) (a c )2(a1)2 0 f) 

a (b c) 0

 

  

 

 

g)  (a bc )2(b ca )2(c ab )2 0 h)

a b a c a d a e 0

2 2

       

       

       

       

i)  a b b c c a

2 2

1 1 1 0

     

     

     

     

k)   a b  b c  c a

2 2

0

     

a)

a3 b3 a b

2

 

 

 

  ; với a, b  0 b) a4b4 a b ab3 

c) a4 3 4a d) a3b3c3 3abc, với a, b, c > 0.

e)

a b

a b

b a

6 4

2

  

; với a, b  f) a2 b2 ab

1

1

1 1   ; với ab  1.

g) a

a 2

3 2

2

 

 h) (a5b a b5)(  ) ( a4b a4)( 2b2); với ab > 0.

HD: a)  a b a b ( )( )

8    b)  (a3 b a b3)(  ) 0

c)  (a 1) (2 a22a3) 0

d) Sử dụng đẳng thức a3b3 (a b )3 3a b2  3ab2. BĐT  (a b c a  ) 2b2c2 (ab bc ca  ) 0. e)  (a2 b2 2) (a4a b2 2b4) 0 f) 

b a ab

ab a b

2

2

( ) ( 1) 0

(1 )(1 )(1 )

 



  

g)  (a21)20 h)  ab a b a(  )( 3 b3) 0 .

Bài 3. Cho a, b, c, d  R Chứng minh a2b22ab (1) Áp dụng chứng minh bất

đảng thức sau:

a) a4b4c4d4 4abcd b) (a21)(b21)(c21) 8 abc

c) (a24)(b24)(c24)(d24) 256 abcd

HD: a) a4b4 2a b c2 2; 2d22c d2 2; a b2 2c d2 22abcd

b) a2 1 ;a b2 1 ;b c2 1 2c

c) a2 4 ;a b2 4 ;b c2 4 ;c d2 4 4d Bài 4. Cho a, b, c, d > Chứng minh

a

b 1

a a c b b c

 

 (1) Áp dụng chứng

minh bất đảng thức sau:

a)

a b c

a b b c c a     2 b)

a b c d

a b c b c d c d a d a b

1    2

       

c)

a b b c c d d a

a b c b c d c d a d a b

2        3

       

HD: BĐT (1)  (a – b)c < 0.

a) Sử dụng (1), ta được:

a a c

a b a b c

 

   ,

b b a

b c a b c

 

   ,

c c b

c a a b c

 

   .

Cộng BĐT vế theo vế, ta đpcm.

b) Sử dụng tính chất phân số, ta có:

a a a

a b c d a b c a c       

Tương tự,

b b b

c c c a b c d c d a a c       

d d d

a b c d d a b d b       

Cộng BĐT vế theo vế ta đpcm.

c) Chứng minh tương tự câu b) Ta có:

a b a b a b d

a b c d a b c a b c d

   

 

       

Cùng với BĐT tương tự, ta suy đpcm

Bài 5. Cho a, b, c  R Chứng minh bất đẳng thức: a2b2c2ab bc ca  (1) Áp dụng

chứng minh bất đảng thức sau:

a) (a b c  )2 3(a2b2c2) b)

a2 b2 c2 a b c

3

 

   

 

 

c) (a b c  )2 3(ab bc ca  ) d) a4b4c4 abc a b c(   ) e)

a b c ab bc ca

3

   



với a,b,c>0 f) a4b4c4 abc a b c  1 HD:  (a b )2(b c )2(c a )20.

a) Khai triển, rút gọn, đưa (1) b, c) Vận dụng a)

d) Sử dụng (1) hai lần e) Bình phương vế, sử dụng (1) f) Sử dụng d)

Bài 6. Cho a, b  Chứng minh bất đẳng thức: a3b3 a b b a ab a b2   (  ) (1) Áp dụng chứng minh bất đảng thức sau:

a) a3 b3 abc b3 c3 abc c3 a3 abc abc

1 1

  

      ; với a, b, c > 0.

b) a3 b3 b3 c3 c3 a3

1 1 1

1 1 1

      ; với a, b, c > abc = 1.

c) a b b c c a

1 1 1

1 1 1

      ; với a, b, c > abc = 1.

d) 34(a3b3)34(b3c3)34(c3a3) 2( a b c  ); với a, b, c  e*)

A B C

A B C

3sin 3sin 3sin 3cos 3cos 3cos

2 2

    

; với ABC tam giác HD: (1)  (a2 b a b2)(  ) 0 .

a) Từ (1)  a3b3abc ab a b c (   )  a3 b3 abc ab a b c

1

( )



 

  .

Cùng với BĐT tương tự, cộng vế theo vế, ta suy đpcm. b, c) Sử dụng a).

d) Từ (1)  3(a3b3) 3( a b ab2  2)  4(a3b3) ( a b )3 (2) Từ đó: VT  (a b ) ( b c ) ( c a ) 2( a b c  ). e) Ta có:

C A B C

A B

sin sin cos cos 2cos

2 2



  



C C

A B A B

3sin 3sin 34(sin sin ) 34.2.cos 2 cos3

2

    

Tương tự,

A

B C

3sin 3sin 2 cos3

 

,

B

C A

3sin sin 2 cos3

 

Cộng BĐT vế theo vế ta đpcm.

Bài 7. Cho a, b, x, y  R Chứng minh bất đẳng thức sau (BĐT Min–cốp–xki): a2x2  b2y2  (a b )2(x y )2 (1)

Áp dụng chứng minh bất đảng thức sau:

a) Cho a, b  thoả a b 1 Chứng minh: 1a2  1b2  5.

b) Tìm GTNN biểu thức P =

a b

b a

2

2

1

  

c) Cho x, y, z > thoả mãn x y z  1 Chứng minh:

x y z

x y z

2 2

2 2

1 1 82

     

d) Cho x, y, z > thoả mãn x y z   Tìm GTNN biểu thức: P = 223x2  223y2  223z2

HD: Bình phương vế ta được: (1)  (a2b x2)( 2y2)ab xy (*)  Nếu ab xy 0 (*) hiển nhiên đúng.

 Nếu ab xy 0 bình phương vế ta được: (*)  (bx ay )20 (đúng). a) Sử dụng (1) Ta có: 1a2  1b2  (1 1) 2(a b )2  5.

b) Sử dụng (1) P 

a b a b

a b a b

2

2 1

(  )     (  )    17



   

Chú ý: a b a b

1

 

 (với a, b > 0).

c) Áp dụng (1) liên tiếp hai lần ta được:

x y z x y z

x y z

x y z

2

2 2

2 2

1 1 ( ) 1 1

           

 



x y z

x y z

2

(   )    82

 

  .

Chú ý: x y z x y z

1 1

  

  (với x, y, z > 0).

d) Tương tự câu c) Ta có: P    x y z

2 2

3 223 (   )  2010. Bài 8. Cho a, b, c độ dài cạnh tam giác Chứng minh:

c) 2a b2 22b c2 22c a2 2 a4 b4 c4 0

d) a b c(  )2b c a(  )2c a b(  )2a3b3c3

HD: a) Sử dụng BĐT tam giác, ta có: a b c   a2 b2 2bc c 2. Cùng với BĐT tương tự, cộng vế theo vế, ta suy đpcm.

b) Ta có: a2 a2 (b c )2 a2 (a b c a b c  )(   ). Cùng với BĐT tương tự, cộng vế theo vế, ta suy đpcm. c)  (a b c a b c b c a c a b  )(   )(   )(   ) 0 .

d)  (a b c b c a c a b  )(   )(   ) 0 . Bài 9.

a)

VẤN ĐỀ 2: Chứng minh BĐT dựa vào BĐT Cô–si 1 Bất đẳng thức Cô–si:

+ Với a, b  0, ta có:

a b ab

2

 

. Dấu "=" xảy  a = b.

+ Với a, b, c  0, ta có:

a b c 3abc

  

Dấu "=" xảy  a = b = c.

2 Hệ quả: +

a b ab

   

 

 

+

a b c abc

    

 

 

3 Ứng dụng tìm GTLN, GTNN:

+ Nếu x, y > có S = x + y khơng đổi P = xy lớn  x = y.

+ Nếu x, y > có P = x y khơng đổi S = x + y nhỏ  x = y.

Bài 1. Cho a, b, c  Chứng minh bất đẳng thức sau:

a) (a b b c c a )(  )(  ) 8 abc b) (a b c a  )( 2b2c2) 9 abc c) a b c  abc

3

(1 )(1 )(1 ) 1   d) bc ca ab a b ca  b  c    ; với a, b, c > 0.

e) a2(1b2)b2(1c2)c2(1a2) 6 abc f)

ab bc ca a b c

a b b c c a

 

  

g)

a b c

b c c a a b

  

   ; với a, b, c > 0.

HD: a) a b 2 ab b c;  2 bc c a;  2 ca  đpcm. b) a b c  33abc a; 2b2c2 33a b c2 2  đpcm. c)  (1a)(1b)(1 ) 1c     a b c ab bc ca abc  

 a b c  33abc  ab bc ca  33 2 2a b c

 a b c abc a b c abc  abc

3 2

3

(1 )(1 )(1 ) 3   3   1 d)

bc ca abc c

a b ab

2

2

  

,

ca ab a bc a

b c bc

2

2

  

,

ab bc ab c b

c a ac

2

2

  

đpcm e) VT  2(a b b c c a2   ) 63 3 3a b c 6abc.

f) Vì a b 2 ab nên

ab ab ab

a b 2 ab  Tương tự:

bc bc ca ca

b c  ; c a  .



ab bc ca ab bc ca a b c

a b b c c a 2

   

   

  

(vì ab bc ca a b c   ) g) VT =

a b c

b c c a a b

     

     

     

  

     

=  a b b c c a  b c c a a b

1 ( ) ( ) ( ) 1 3

2

 

        

  

  

9 3 2 2.  Cách khác: Đặt x =b + c, y = c + a, z = a + b.

Khi đó, VT =

x y z x z y

y x x z y z

1 3

2

      

     

      

 

   

  

1(2 2 3)    2. Bài 2. Cho a, b, c > Chứng minh bất đẳng thức sau:

a) a b c a b c a b c

3 3 1

(   )   (   )

 

b) 3(a3b3c3) ( a b c a  )( 2b2c2) c) 9(a3b3c3) ( a b c  )3 HD: a) VT =

a b b c c a

a b c

b a c b a c

3 3 3

2 2 2        

     

     .

Chú ý:

a b a b ab

b a

3

2

2

  

Cùng với BĐT tương tự ta suy đpcm. b)  2(a3b3c3)a b b a2    b c bc2  2  c a ca2  2.

Chú ý: a3b3ab a b(  ) Cùng với BĐT tương tự ta suy đpcm. c) Áp dụng b) ta có: 9(a3b3c3) 3( a b c a  )( 2b2c2). Dễ chứng minh được: 3(a2b2c2) ( a b c  )2  đpcm. Bài 3. Cho a, b > Chứng minh a b a b

1

 

a) a b c a b b c c a

1 1 2 1 

      

  

 ; với a, b, c > 0.

b) a b b c c a a b c a b c a b c

1 1 2 1

2 2

 

      

          ; với a, b, c > 0.

c) Cho a, b, c > thoả a b c1 1 4   Chứng minh: a b c a b c a b c

1 1 1

2    2    2  d)

ab bc ca a b c

a b b c c a

 

  

   ; với a, b, c > 0.

e) Cho x, y, z > thoả x2y4z12 Chứng minh:

xy yz xz

x y y z z x

2 6

2 2 4 

   .

f) Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác, p nửa chu vi Chứng minh rằng:

p a p b p c a b c

1 1 21 1

      

    .

HD: (1)  a b a b 1 (  )  4

  Hiển nhiển suy từ BĐT Cô–si.

a) Áp dụng (1) ba lần ta được: a b a b b c b c c a c a 1 ; 1 ; 1

     

   .

Cộng BĐT vế theo vế ta đpcm. b) Tương tự câu a).

c) Áp dụng a) b) ta được: a b c a b c a b c a b c

1 1 4 1

2 2

 

      

     

 .

d) Theo (1): a b a b

1 1

4

 

   

   

ab a b

a b 1 (4  ).

Cùng với BĐT tương tự, cộng vế theo vế ta đpcm

e) Áp dụng câu d) với a = x, b = 2y, c = 4z a b c  12  đpcm.

f) Nhận xét: (p –a) + (p – b) = 2p – (a + b) = c.

Áp dụng (1) ta được: p a p b p a p b c

1 4

( ) ( )

  

     .

Cùng với BĐT tương tự, cộng vế theo vế, ta đpcm.

Bài 4. Cho a, b, c > Chứng minh a b c a b c

1 1

  

  (1) Áp dụng chứng minh các

BĐT sau:

a) a b c a b b c c a a b c

2 2 1

( ) ( )

2

 

       

  

  .

b) Cho x, y, z > thoả x y z  1 Tìm GTLN biểu thức: P =

x y z

x1y1z1. c) Cho a, b, c > thoả a b c  1 Tìm GTNN biểu thức:

P = a2 bc b2 ac c2 ab

1 1

2  

   .

d) Cho a, b, c > thoả a b c  1 Chứng minh: a2 b2 c2 ab bc ca

1 1 1 30

   

e*) Cho tam giác ABC Chứng minh: A B C

1 1

2 cos2 2 cos2 2 cos2 5. HD: Ta có: (1)  a b c a b c

1 1 (   )   9

  Dễ dàng suy từ BĐT Cô–si.

a) Áp dụng (1) ta được: a b b c c a a b c

1 1

2( )

  

     .

 VT 

a b c a b c a b c

a b c a b c

2 2 2

9( ) 3(. ) 3( )

2( ) 2

   

   

   

Chú ý: (a b c  )23(a2b2c2). b) Để áp dụng (1), ta biến đổi P sau:

P =

x y z

x y z

1 1 1

1 1

     

 

   = x y z

1 1

3

1 1

 

    

  

 

Ta có: x y z x y z

1 1 9

1 1 1 4

      Suy ra: P 

9 3

4

 

. Chú ý: Bài tốn tổng qt sau:

Cho x, y, z > thoả x y z  1 k số dương cho trước Tìm GTLN của biểu thức: P =

x y z

kx1ky1kz1.

c) Ta có: P  a2 bc b2 ca c2 ab a b c

9 9

2 2 ( ) 

       .

d) VT  a2 b2 c2 ab bc ca

1



 

 

= a2 b2 c2 ab bc ca ab bc ca ab bc ca

1 1

 

  

 

     

 

 



ab bc ca a b c

9 9 30

1

( )

3

   

 

 

Chú ý: ab bc ca a b c

1( )

3

     

.

e) Áp dụng (1): A B C A B C

1 1

2 cos2 2 cos2 2 cos2 6 cos2 cos2  cos2



9

3

2

 

.

Chú ý: A B C

3 cos2 cos2 cos2

2

  

.

Bài 5. Áp dụng BĐT Cơ–si để tìm GTNN biểu thức sau: a)

x

y x

x

18;

  

b)

x

y x

x2 ;

2

  

c) x

y x

x

3 1 ; 1

2

   

 d)

x

y x

x

5 ;

3 2

  



e)

x

y x

x x5 ; 1      f) x y x x

21;

   g) x x y x x 4

4 ;

 

 

h)

y x x

x

3

2 ;

  

HD: a) Miny = x = 6 b) Miny =

2 x = 3 c) Miny =

3

2



x = 36 1 d) Miny =

30



x =

30



e) Miny = 2 5 x

5

4

 

f) Miny = 3

4 x = 32 g) Miny = x = 2 h) Miny = 5

5

27 x = 53 Bài 6. Áp dụng BĐT Cơ–si để tìm GTLN biểu thức sau:

a) y(x3)(5 x); 3  x b) y x (6 x); 0 x

c) y x x x

5 ( 3)(5 );

2

     

d) y x x x

5

(2 5)(5 );

2

     

e) y x x x

1

(6 3)(5 );

2

     

f)

x

y x

x2 2;

 



g)   x y x 2  

HD: a) Maxy = 16 x = 1 b) Maxy = x = 3

c) Maxy = 121

8 x =



d) Maxy = 625

8 x = e) Maxy = x = 1 f) Maxy =

1

2 2 x = 2 (2x2 2 2x)

g) Ta có: x2 2 x2  1 33 x2  (x22)327x2  x x 2 27 ( 2)   Maxy =

1

27 x = 1. Bài 7.

a)

VẤN ĐỀ 3: Chứng minh BĐT dựa vào BĐT Bu–nhia–cốp–xki 1 Bất đẳng thức Bu–nhia–cốp–xki: (B)

 Với a, b, x, y  R, ta có: (ax by )2(a2b x2)( 2y2) Dấu "=" xảy  ay = bx  Với a, b, c, x, y, z  R, ta có: (ax by cz  )2(a2b2c x2)( 2y2z2)

 (a b )22(a2b2)  (a b c  )23(a2b2c2)

Bài 1. Chứng minh bất đẳng thức sau:

a) 3a24b27, với 3a4b7 b) a b

2 735

3

47

 

, với 2a 3b7 c) a b

2 2464 11

137

 

, với 3a 5b8 d) a b 2

5

 

, với a2b2 e) 2a23b2 5, với 2a3b5 f) x y x y

2

( 1) (2 5)

     

HD: a) Áp dụng BĐT (B) cho số 3, 4, , 4a b. b) Áp dụng BĐT (B) cho số

a b

2 , , , 5

3  .

c) Áp dụng BĐT (B) cho số

a b

3 , , , 11

7  11 .

d) Áp dụng BĐT (B) cho số 1,2, ,a b.

e) Áp dụng BĐT (B) cho số 2, 3, , 3a b.

f) Đặt a = x – 2y + 1, b = 2x – 4y + 5, ta có: 2a – b = –3 BĐT  a b 2

5

 

. Áp dụng BĐT (B) cho số 2; –1; a; b ta đpcm.

Bài 2. Chứng minh bất đẳng thức sau: a) a b

2 2

 

, với a b 1. b) a b 3

4

 

, với a b 1. c) a b

4

 

, với a b 1. d) a4b4 2, với a b 2. HD: a) 1 (1 ) a b (1 )(2 a2b2)  đpcm.

b) a b  1 b 1 a b3 (1 a)3 1 3a3a2 a3  b a a

2

3 3 1

2 4

 

      

  .

c) a b a b

2 4 2

(1 )( ) ( )

4

    

 đpcm. d) (1 )(2 a2b2) ( a b )2 4  a2b22.

(1 )(2 a4b4) ( a2b2 2) 4  a4b4 2

Bài 3. Cho x, y, z ba số dương x y z  1 Tìm giá trị lớn biểu thức:

P 1 x  1 y 1 z.

HD: Áp dụng BĐT (B), ta có: P  1 (1   x) (1  y) (1 )  z 

Dấu "=" xảy 1 x 1 y 1 z 

x y z

3

  

Vậy Max P = 6 x y z

1

  

.

Bài 4. Cho x, y, z ba số dương x y z  1 Chứng minh rằng:

x y z

x y z

2 2

2 2

1 1 82

     

HD: Áp dụng BĐT (B), ta có:

x x

x x

2

2 2

2

1 (1 9 )

                x x x x 2

1

82

 

    

  (1)

Tương tự ta có:

y y

y y

2

1

82

 

    

 (2), z z z z

2

1

82

 

    

  (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra: P 

x y z

x y z

1 ( ) 9 1

82                =

x y z

x y z x y z

1 ( ) 1 1 80 1

9 82                         

x y z

x y z x y z

1 ( ) 1 80.

3 82                  

   82.

Dấu "=" xảy  x y z   

.

Bài 5. Cho a, b, c 



thoả a b c  1 Chứng minh:

a b c

(1) (2)

7  1  1 1  21.

HD: Áp dụng BĐT (B) cho số: 1;1;1; 4a1; 4b1; 1c  (2).

Chú ý: x y z   x y z Dấu "=" xảy  x = y = z = Từ  (1) Bài 6. Cho x, y > Tìm GTNN biểu thức sau:

a) A x y 4  

, với x + y = b) B x y  , với 6x y

 

HD: a) Chú ý: A = x y

2 2             

Áp dụng BĐT (B) với số:

x y

x y

2

; ; ;

2 ta được:

x y x y

x y

x y

2

25 . . ( )

4 2

   

       

   

 

Dấu "=" xảy  x y 4;

5

 

Vậy minA = 25

4 x y 4;

5

 

.

b) Chú ý: x y x y

2

2  2  3     

    .

Áp dụng BĐT (B) với số:

x y

x y

2

; ; ;

 

x y x y

x y x y

2

2

2 3

(  )      2

    

 

x y

2

2

6

  

.

Dấu "=" xảy 

x 3 2; y 3

6

 

 

Vậy minB =

 32



. Bài 7. Tìm GTLN biểu thức sau:

a) A x 1 y y 1x , với x, y thoả x2y2 1 HD: a) Chú ý: x y  2(x2y2) 2.

A  (x2y2)(1  y x) x y 2  2 Dấu "=" xảy  x y

2

 

. Bài 8. Tìm GTLN, GTNN biểu thức sau:

a) A 7 x 2x , với –2  x  b) B6 x1 3  x, với  x  c) C y  2x5, với 36x216y2 9 d) D2x y  2, với

x2 y2 1   . HD: a)  A  (1 )(72  x x 2) 2 Dấu "=" xảy  x

5



.  A  (7 x) ( x2) 3 Dấu "=" xảy  x = –2 x = 7.

 maxA = 2khi x



; minA = x = –2 x = 7.

b) B  (628 )(2 x  1 x) 10 2 Dấu "=" xảy  x = 43 25.  B  6 (x 1) (3  x) 3  x  6 2 Dấu "=" xảy  x = 3.

 maxB = 10 2khi x = 43

25; minB = 6 2khi x = 3. c) Chú ý: 36x216y2 (6 )x 2(4 )y 2 Từ đó: y x y x

1

2

4

  

.

  

y 2x 1.4y 1.6x 1 16y2 36x2

4 16

 

        

 

 y x

5 2

4

   

 C y x

15 2 5 25

4     4 .

 minC = 15

4 x y

2,

5 20

 

; maxC = 25

4 x y 2,

5 20

 

.

d) Chú ý:  

x2 y2 (3 ) (2 )x y

4  36  Từ đó: x y x y

2

2

3

  

.

  

x y x y x2 y2

2

3

 

        

 

 minD = –7 x y 8,

5

 

; maxD = x y

8,

5

 

. Bài 9.