Đang tải... (xem toàn văn)
Có một nghiệm bằng 2, tìm p và nghiệm thứ hai.. Do đó biểu thức A không phụ thuộc vào m.. T×m nghiÖm thø hai.. a/ Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh lu«n cã nghiÖm víi mäi m. a/ Chøng minh r[r]
Bài tập đáp án Bài tập 1: Giải ph-ơng trình bậc hai sau: TT PTBH x2 - 11x + 30 = x2 - 10x + 21 = x2 - 12x + 27 = 5x2 - 17x + 12 = TT 41 42 43 44 10 11 12 13 14 3x2 - 19x - 22 = 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 15 16 17 18 19 20 3x2 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 x2 - (1+ )x + = x2 - 14x + 33 = 6x2 - 13x - 48 = 3x2 + 5x + 61 = x2 - x - - = x2 - 24x + 70 = x2 - 6x - 16 = 2x2 + 3x + = x2 - 5x + = + 2x + = + 5x - = x2 - 7x - = 2x2 3x2 - x - = -x2 - 7x - 13 = x2 – 2( − 1) x -3 = 3x2 - 2x - = x2 - 8x + 15 = 2x2 + 6x + = 5x2 + 2x - = x2 + 13x + 42 = x2 - 10x + = x2 - 7x + 10 = 5x2 + 2x - = 4x2 - 5x + = x2 - 4x + 21 = 5x2 + 2x -3 = 4x2 + 28x + 49 = x2 - 6x + 48 = 3x2 - 4x + = x2 - 16x + 84 = x2 + 2x - = 5x2 + 8x + = 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 PTBH x2 - 16x + 84 = x2 + 2x - = 5x2 + 8x + = x2 – 2( + 11x2 + 13x x2 - 11x + x2 - 13x + 11x2 - 13x x2 - 13x + 3x2 + 5x 5x2 + 7x 3x2 2) x + = - 24 = 30 = 42 = - 24 = 40 = = = - 3x - = x2 - 2 x + = x2 - − x - = 11x2 + 13x + 24 = x2 + 13x + 42 = 11x2 - 13x - 24 = 2x2 - 3x - = x2 - 4x + = x2 - 7x + 10 = ( ) 4x2 + 11x - = 3x2 + 8x - = x2 + x + = x2 + 16x + 39 = 3x2 - 8x + = 4x2 + 21x - 18 = 4x2 + 20x + 25 = 2x2 - 7x + = -5x2 + 3x - = x2 - x - = x2 - 9x + 18 = 3x2 + 5x + = x2 + = x2 - = x2 - 2x = x4 - 13x2 + 36 = 9x4 + 6x2 + = 2x4 + 5x2 + = x2 – 2( + ) x + = 39 x2 - 6x + = 79 2x4 - 7x2 - = 40 3x2 - 4x + = 80 x4 - 5x2 + = Bài tập Tìm x, y tr-ờng hợp sau: a) x + y = 17, x.y = 180 e) x2 + y2 = 61 , x.y = 30 b) x + y = 25, x.y = 160 f) x - y = 6, x.y = 40 2 c) x + y = 30, x + y = 650 g) x - y = 5, x.y = 66 d) x + y = 11 x.y = 28 Bµi tËp h) x2 + y2 = 25 x.y = 12 a) Phương trình x − px + = Có nghiệm 2, tìm p nghiệm thứ hai có nghiệm 5, tìm q nghiệm thứ hai b) Phương trình x + x + q = c) Cho phương trình : x − x + q =, biết hiệu nghiệm 11 Tìm q hai nghiệm phương trình d) Tìm q hai nghiệm phương trình : x − qx + 50 = , biết phương trình có nghiệm có nghiệm lần nghiệm Bài giải: a) Thay x1 = v phương trình ban đ ầu ta đ ợc : 4−4p +5 = ⇒ p = 5 T x1 x2 = suy x= = x1 b) Thay x1 = v phương trình ban đ ầu ta đ ợc 25 + 25 + q =0 ⇒ q =−50 −50 −50 T x1 x2 = −50 suy ra= x2 = = −10 x1 c) Vì vai trị x1 x2 bình đẳng nên theo đề giả sử x1 − x2 = 11 theo VI-ÉT ta có x1 + x2 = , ta − x 11 = x= x giải hệ sau: ⇔ −2 x1 + x2 = x2 = Suy q = x1 x2 = −18 d) Vì vai trị x1 x2 bình đẳng nên theo đề giả sử x1 = x2 theo VI-ÉT ta có x1 x2 = 50 Suy x2 = −5 x22 = 50 ⇔ x22 = 52 ⇔ x2 = Với x2 = −5 th ì x1 = −10 Với x2 = th ì x1 = 10 Bµi tËp Cho x1 = ; x2 = lập phương trình bậc hai chứa hai nghiệm S = x1 + x2 = Bài giải: Theo h thc VI-ẫT ta có x1 ; x2 nghiệm phương trình có dạng: = x2 P x= x − Sx + P =0 ⇔ x − x + =0 Bµi tËp Cho phương trình : x − x + = có nghiệm phân biệt x1 ; x2 Khơng giải phương trình trên, lập phương trình bậc có ẩn y thoả mãn : y= x2 + 1 y2= x1 + x2 x1 Theo h ệ th ức VI- ÉT ta c ó: 1 1 x +x 1 S = y1 + y2 = x2 + + x1 + = ( x1 + x2 ) + + = ( x1 + x2 ) + = + = x1 x2 x1 x2 2 x1 x2 1 1 P = y1 y2 = ( x2 + )( x1 + ) = x1 x2 + + + = +1+1+ = x1 x2 x1 x2 2 Bài giải: Vậy phương trình cần lập có dạng: hay y − Sy + P = 9 y2 − y + = ⇔ y2 − y + = 2 Bµi tËp Tìm hai số a, b biết tổng S = a + b = − tích P = ab = Bài giải: Vỡ a + b = − ab = − nên a, b nghiệm phương trình : x + x − = giải phương trình ta x1 = x2 = −4 a = b = − a = − b = Bµi tËp Tìm số a b biết a + b = a2 + b2 = 41 a − b = ab = 36 a2 + b2 = 61 v ab = 30 Hướng dẫn: 1) Theo đề biết tổng hai số a b , để áp dụng hệ thức VI- ÉT cần tìm tích a v b 81 − ( a + b ) 2 T a + b = ⇒ ( a + b ) = 81 ⇔ a + 2ab + b = 81 ⇔ ab = = 20 x = Suy : a, b nghiệm phương trình có dạng : x − x + 20 =0 ⇔ x2 = Vậy: Nếu a = b = a = b = 2) Đã biết tích: ab = 36 cần tìm tổng : a + b Cách 1: Đ ặt c = − b ta có : a + c = a.c = − 36 x = −4 Suy a,c nghiệm phương trình : x − x − 36 =0 ⇔ x2 = Do a = − c = nên b = − a = c = − nên b = 2 2 Cách 2: Từ ( a − b ) = ( a + b ) − 4ab ⇒ ( a + b ) = ( a − b ) + 4ab = 169 Vậy a + b =−13 ⇒ ( a + b ) = 132 ⇒ 13 a + b = x = −4 *) Với a + b =−13 ab = 36, nên a, b nghiệm phương trình : x + 13 x + 36 =0 ⇔ x2 = −9 Vậy a = −4 b = −9 x = *) Với a + b = 13 ab = 36, nên a, b nghiệm phương trình : x − 13 x + 36 =0 ⇔ x2 = Vậy a = b = 3) Đã biết ab = 30, cần tìm a + b: a + b =−11 T ừ: a2 + b2 = 61 ⇒ ( a + b ) = a + b + 2ab = 61 + 2.30 = 121 = 112 ⇒ 11 a + b = x = −5 *) Nếu a + b =−11 ab = 30 a, b hai nghiệm phương trình: x + 11x + 30 =0 ⇔ x2 = −6 Vậy a = −5 b = −6 ; a = −6 b = −5 x = *) Nếu a + b = 11 ab = 30 a, b hai nghiệm phương trình : x − 11x + 30 =0 ⇔ x2 = Vậy a = b = ; a = b = Bµi tËp Cho phương trình x − x + = có nghiệm x1 ; x2 , khơng giải phương trình, tính Q= HD: Q x12 + 10 x1 x2 + x22 x1 x23 + x13 x2 x12 + 10 x1 x2 + x22 6( x1 + x2 ) − x1 x2 6.(4 3) − 2.8 17 = = = 3 2 x1 x2 + x1 x2 x1 x2 ( x1 + x2 ) − x1 x2 5.8 (4 3) − 2.8 80 Bµi tËp Cho phương trình : ( m − 1) x − 2mx + m − = có nghiệm x1 ; x2 Lập hệ thức liên hệ x1 ; x2 cho chúng không phụ thuộc vào m HD : Để phương trình có nghiệm x1 x2 th ì : m ≠ m ≠ m − ≠ m ≠ ⇔ ⇔ ⇔ V' ≥ 5m − ≥ m − (m − 1)(m − 4) ≥ m ≥ Theo hệ th ức VI- ÉT ta có : 2m x1 + x2 =m − x1 + x2 =2 + m − (1) ⇔ m − x x = x x = − (2) m −1 m −1 Rút m từ (1) ta có : 2 = x1 + x2 − ⇔ m − = m −1 x1 + x2 − (3) Rút m từ (2) ta có : 3 = − x1 x2 ⇔ m − = m −1 − x1 x2 (4) Đồng vế (3) (4) ta có: = ⇔ (1 − x1 x2= ) ( x1 + x2 − ) ⇔ ( x1 + x2 ) + x1 x2 − = x1 + x2 − − x1 x2 Bµi tËp 10 Gọi x1 ; x2 nghiệm phương trình : ( m − 1) x − 2mx + m − = Chứng minh biểu thức A = ( x1 + x2 ) + x1 x2 − không phụ thuộc giá trị m HD: Để phương trình có nghiệm x1 x2 th ì : m ≠ m ≠ m − ≠ m ≠ ⇔ ⇔ ⇔ ∆ ' ≥ 5m − ≥ m − (m − 1)(m − 4) ≥ m ≥ Theo hệ thức VI- ÉT ta c ó : 2m x1 + x2 = m −1 x x = m − m −1 thay v A ta c ó: A = ( x1 + x2 ) + x1 x2 − = 2m m−4 6m + 2m − − 8(m − 1) + −= = = m −1 m −1 m −1 m −1 Vậy A = với m ≠ m ≥ 4 Do biểu thức A khơng phụ thuộc vào m Bµi tËp 11Cho phương trình : x − ( m + ) x + ( 2m − 1) = có nghiệm x1 ; x2 Hãy lập hệ thức liên hệ x1 ; x2 cho x1 ; x2 độc lập m Hướng dẫn: Dễ thấy ∆= ( m + 2) − ( 2m − 1= ) m − 4m + = ( m − 2) +4>0 phương trình cho ln có nghiệm phân biệt x1 x2 Theo hệ thức VI- ÉT ta có m = x1 + x2 − 2(1) x1 + x2 = m + ⇔ x1 x2 + x2 2m − x1.= m = (2) Từ (1) (2) ta có: x1 + x= −2 x1 x2 + ⇔ ( x1 + x2 ) − x1 x= −5 Bµi tËp 12 Cho phương trình : x + ( 4m + 1) x + ( m − ) = Tìm hệ thức liên hệ x1 x2 cho chúng không phụ thuộc vào m Hướng dẫn: Dễ thấy = ∆ (4m + 1) − 4.2(m − = 4) 16m + 33 > phương trình cho ln có nghiệm phân biệt x1 x2 Theo hệ thức VI- ÉT ta có −(4m + 1) −( x1 + x2 ) − 1(1) x1 + x2 = 4m = ⇔ 2(m − 4) x1 x2 + 16(2) x1.x2 = 4m = Từ (1) (2) ta có: −( x1 + x2 ) − 1= x1 x2 + 16 ⇔ x1 x2 + ( x1 + x2 ) + 17= Bµi tËp 13: Cho phương trình : mx − ( m − 1) x + ( m − 3) = Tìm giá trị tham số m để nghiệm x1 x2 thoả mãn hệ thức : x1 + x2 = x1.x2 Bài giải: Điều kiện để phương trình c ó nghiệm x1 x2 l : m ≠ m ≠ m ≠ m ≠ ⇔ ⇔ ⇔ 2 =' ( m − 2m + 1) − 9m + 27 ≥ =' ( m − 1) ≥ ∆ ' 3 ( m − 21) − 9(m − 3)m ≥ m ≥ −1 ∆ ∆ = 6(m − 1) x1 + x2 = m Theo h ệ th ức VI- ÉT ta c ó: v t gi ả thi ết: x1 + x2 = x1 x2 Suy ra: x x = 9(m − 3) m 6(m − 1) 9(m − 3) = ⇔ 6(m − 1) = 9(m − 3) ⇔ 6m − = 9m − 27 ⇔ 3m = 21 ⇔ m = m m (thoả mãn điều kiện xác định ) Vậy với m = phương trình cho có nghiệm x1 x2 thoả mãn hệ thức : x1 + x2 = x1.x2 Bµi tËp 14 Cho phương trình : x − ( 2m + 1) x + m + = Tìm m để nghiệm x1 x2 thoả mãn hệ thức : x1 x2 − ( x1 + x2 ) + = Bài giải: Điều kiện để phương trình có nghiệm x1 & x2 : ∆=' (2m + 1) − 4(m + 2) ≥ ⇔ 4m + 4m + − 4m − ≥ ⇔ 4m − ≥ ⇔ m ≥ x1 + x2 = 2m + Theo hệ thức VI-ÉT ta có: từ giả thiết x1 x2 − ( x1 + x2 ) + = Suy m2 + x1 x= 3(m + 2) − 5(2m + 1) + = ⇔ 3m + − 10m − + = m = 2(TM ) ⇔ 3m − 10m + = ⇔ m = ( KTM ) Vậy với m = phương trình có nghiệm x1 x2 thoả mãn hệ thức : x1 x2 − ( x1 + x2 ) + = Bµi tËp 15 Cho phương trình : mx + ( m − ) x + m + = Tìm m để nghiệm x1 x2 thoả mãn hệ thức : x1 − x2 = Cho phương trình : x + ( m − 1) x + 5m − = Tìm m để nghiệm x1 x2 thoả mãn hệ thức: x1 + x2 = Cho phương trình : x − ( 3m − ) x − ( 3m + 1) = Tìm m để nghiệm x1 x2 thoả mãn hệ thức : x1 − x2 = HD: 16 15 −(m − 4) x1 + x2 = m -Theo VI-ÉT: (1) x x = m + m x2 x + x = - Từ x1 − x2 = Suy ra: ⇒ 2( x1 + x2 ) = x1 x2 (2) x1 2( x1 + x2 ) = - Thế (1) vào (2) ta đưa phương trình sau: m + 127 m − 128 = ⇒ m1 = 1; m2 = −128 BT1: - ĐKX Đ: m ≠ & m ≤ BT2: - ĐKXĐ: ∆ = m − 22m + 25 ≥ ⇔ 11 − 96 ≤ m ≤ 11 + 96 x + x =1 − m - Theo VI-ÉT: (1) 5m − x1 x= − 3( x1 + x2 ) x1 = ⇒ x1 x2 =[1 − 3( x1 + x2 ) ] [ 4( x1 + x2 ) − 1] - Từ : x1 + x2 = (2) Suy ra: x2 = 4( x1 + x2 ) − ⇔ x1 x2 = 7( x1 + x2 ) − 12( x1 + x2 ) − m = - Thế (1) vào (2) ta có phương trình : 12m(m − 1) = ⇔ (thoả mãn ĐKXĐ) m = ∆ (3m − 2) + 4.3(3m += 1) 9m + 24m + 16 = (3m + 4) ≥ với số thực m nên phương BT3: - Vì = trình ln có nghiệm phân biệt 3m − x1 + x2 = - -Theo VI-ÉT: (1) x x = −(3m + 1) 8 x1 = 5( x1 + x2 ) + ⇒ 64 x1 x2 = - Từ giả thiết: x1 − x2 = Suy ra: 8 x2 = 3( x1 + x2 ) − [5( x1 + x2 ) + 6].[3( x1 + x2 ) − 6] (2) ⇔ 64 x1 x2 = 15( x1 + x2 ) − 12( x1 + x2 ) − 36 m = 0⇔ - Thế (1) vào (2) ta phương trình: m(45m + 96) = (thoả mãn ) m = − 32 15 Bµi tËp 16 Cho phương trình: ax + bx + c = (a ≠ 0) Hãy tìm điều kiện để phương trình có nghiệm: trái dấu, dấu, dương, âm … Ta lập bảng xét dấu sau: P = x1 x2 ∆ Điều kiện chung m P0 ∆≥0 ∆≥0 ;P>0 dương, + + S>0 P>0 ∆≥0 ∆≥0 ;P>0;S>0 âm − − S0 ∆≥0 ∆ ≥ ; P > ; S < Dấu nghiệm x1 x2 trái dấu ± dấu, S= x1 + x2 Ví dụ: Xác định tham số m cho phương trình: x − ( 3m + 1) x + m − m − = có nghiệm trái dấu Để phương trình có nghiệm trái dấu = ∆ (3m + 1) − 4.2.(m − m − 6) ≥ ∆= (m − 7) ≥ 0∀m ∆ ≥ ⇔ ⇔ ⇔ −2 < m < m −m−6 = Hai nghiệm dấu ⇔ ∆≥ P > Hai nghiệm trái dấu ⇔ ∆ > P < ⇔ a.c < Hai nghiệm dương(lớn 0) ⇔ ∆≥ 0; S > P > Hai nghiệm âm(nhỏ 0) ⇔ ∆≥ 0; S < P > Hai nghiệm đối ⇔ ∆≥ S = 10.Hai nghiệm nghịch đảo ⇔ ∆≥ P = 11 Hai nghiệm trái dấu nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn ⇔ a.c < S < 12 Hai nghiệm trái dấu nghiệm dương có giá trị tuyệt đối lớn ⇔ a.c < S > c −b (ở đó: S = x1+ x2 = ; P = x1.x2 = ) a a Bài 20: Giải phương trình (giải biện luận): x2- 2x+k = ( tham số k) Giải ∆’ = (-1)2- 1.k = – k Nếu ∆’< ⇔ 1- k < ⇔ k > ⇒ phương trình vơ nghiệm Nếu ∆’= ⇔ 1- k = ⇔ k = ⇒ phương trình có nghiệm kép x1= x2=1 Nếu ∆’> ⇔ 1- k > ⇔ k < ⇒ phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 = 1- − k ; x2 = 1+ − k Kết luận: Nếu k > phương trình vơ nghiệm Nếu k = phương trình có nghiệm x=1 Nếu k < phương trình có nghiệm x1 = 1- − k ; x2 = 1+ − k Bài 21: Cho phương trình (m-1)x2 + 2x - = (1) (tham số m) a) Tìm m để (1) có nghiệm b) Tìm m để (1) có nghiệm nhất? tìm nghiệm đó? c) Tìm m để (1) có nghiệm 2? tìm nghiệm cịn lại(nếu có)? Giải a) + Nếu m-1 = ⇔ m = (1) có dạng 2x - = ⇔ x = (là nghiệm) + Nếu m ≠ Khi (1) phương trình bậc hai có: ∆’=12- (-3)(m-1) = 3m-2 (1) có nghiệm ⇔ ∆’ = 3m-2 ≥ ⇔ m ≥ + Kết hợp hai trường hợp ta có: Với m ≥ phương trình có nghiệm 3 b) + Nếu m-1 = ⇔ m = (1) có dạng 2x - = ⇔ x = (là nghiệm) + Nếu m ≠ Khi (1) phương trình bậc hai có: ∆’ = 1- (-3)(m-1) = 3m-2 (1) có nghiệm ⇔ ∆’ = 3m-2 = ⇔ m = (thoả mãn m ≠ 1) 1 Khi x = − =− =3 m −1 −1 3 +Vậy với m = phương trình có nghiệm x = 2 với m = phương trình có nghiệm x = 3 c) Do phương trình có nghiệm x1 = nên ta có: (m-1)22 + 2.2 - = ⇔ 4m – = ⇔ m = Khi (1) phương trình bậc hai (do m -1 = Theo đinh lí Viet ta có: x1.x2 = -1= − ≠ 0) 4 −3 −3 = = 12 ⇒ x = m −1 − nghiệm lại x2 = Bài 22: Cho phương trình: x2 -2(m-1)x – – m = ( ẩn số x) a) Chứng tỏ phương trình có nghiệm x1, x2 với m b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm âm d) Tìm m cho nghiệm số x1, x2 phương trình thoả mãn x12+x22 ≥ 10 e) Tìm hệ thức liên hệ x1 x2 không phụ thuộc vào m f) Hãy biểu thị x1 qua x2 Giải 15 ’ a) Ta có: ∆ = (m-1) – (– – m ) = m − + 2 Vậy m = 15 1 > ⇒ ∆ > với m Do m − ≥ với m; 2 ⇒ Phương trình ln có hai nghiệm phân biệt Hay phương trình ln có hai nghiệm (đpcm) b) Phương trình có hai nghiệm trái dấu ⇔ a.c < ⇔ – – m < ⇔ m > -3 Vậy m > -3 c) Theo ý a) ta có phương trình ln có hai nghiệm Khi theo định lí Viet ta có: S = x1 + x2 = 2(m-1) P = x1.x2 = - (m+3) Khi phương trình có hai nghiệm âm ⇔ S < P > 2(m − 1) < m < ⇔ ⇔ ⇔ m < −3 − (m + 3) > m < −3 Vậy m < -3 d) Theo ý a) ta có phương trình ln có hai nghiệm Theo định lí Viet ta có: S = x1 + x2 = 2(m-1) P = x1.x2 = - (m+3) Khi A = x12+x22 = (x1 + x2)2 - 2x1x2 = 4(m-1)2+2(m+3) = 4m2 – 6m + 10 Theo A ≥ 10 ⇔ 4m2 – 6m ≥ ⇔ 2m(2m-3) ≥ m ≥ m ≥ m ≥ m≥ 2 m − ≥ ⇔ ⇔ ⇔ m ≤ m ≤ m ≤ 2m − ≤ m ≤ Vậy m ≥ m ≤ e) Theo ý a) ta có phương trình ln có hai nghiệm x + x = 2(m − 1) x1 + x = 2m − Theo định lí Viet ta có: ⇔ x1 x = −(m + 3) 2 x1 x = −2m − ⇒ x1 + x2+2x1x2 = - Vậy x1+x2+2x1x2+ = hệ thức liên hệ x1 x2 không phụ thuộc m + x2 f) Từ ý e) ta có: x1 + x2+2x1x2 = - ⇔ x1(1+2x2) = - ( +x2) ⇔ x1 = − + x2 10 ... 4( m + 1)2 – (m – 4) = 4m2 + 4m + 20 = 4( m2 + m + 5) = 4[ (m + 19 ) + ] 1 19 19 = 19 m + = ⇔m = => x1 − x = (m + ) + ≥2 2 4 Vậy x1 x đạt giá trị nhỏ 19 m = Bài 29 : Cho ph-ơng trình (m + 2) x2... hai nghiệm phương trình d) Tìm q hai nghiệm phương trình : x − qx + 50 = , biết phương trình có nghiệm có nghiệm lần nghiệm Bài giải: a) Thay x1 = v phương trình ban đ ầu ta đ ợc : 4? ??4p +5 = ⇒... ⇒ Phương trình ln có hai nghiệm phân biệt Hay phương trình ln có hai nghiệm (đpcm) b) Phương trình có hai nghiệm trái dấu ⇔ a.c < ⇔ – – m < ⇔ m > -3 Vậy m > -3 c) Theo ý a) ta có phương trình