Tải Chuyên đề bài toán phương trình bậc hai chứa tham số - Tài liệu ôn tập môn Toán lớp 9

Chøng minh r»ng Ýt nhÊt mét trong hai ph­¬ng tr×nh trªn cã nghiÖm ..[r]

Chuyên đề :Phương trình bậc hai chứa tham số Bài tốn 1:Giải phương trình bậc hai có chứa tham số

Phương pháp:Xét trường hợp hệ số a : - Nếu a = tìm nghiệm phương trình bậc - Nếu a 0 tiến hành bước sau:

+ TÝnh biÖt sè (').

+ Xét trường hợp của (') ( Nếu (') chứa tham số ).

+ Tìm nghiệm phương trình theo tham số.

Bài 1: Giải phương trình bậc hai (m tham số ) sau : a)x2- 2(3m - 1)x+ 9m2- 6m - = 0

b)x2- 3mx + 2m2- m - = 0 c) 3x2- mx+ m2= 0

d)x2- 2(m - 1)x+ m - = 0

HDÉn : a/ '= ; x

1= 3m + , x2= 3m - 4

b/ = (m + 2)2: + m-2 : x

1= 2m + , x2= m - 1

+ m =-2 : x = -3 ( nghiÖm kÐp) c/ = -11m2 : + m = : x = ( nghiƯm kÐp)

+ m 0 : PT v« nghiƯm. d/ '= m2 3m + = (m

-2 3)2+

4

7> :+ x

1= m - + 23 74

    

  m

+ x2= m

-4 32 

  

  m

Bài 2: Giải phương trình (m tham số) : (m - 1)x2- 2mx+ m + = 0

HDÉn : * m =1 : x =

2

* m 1 : ' = - m

+ m > 2 : V« nghiƯm.

+ m = 2 : x = (nghiÖm kÐp ) + m < 2 :

1

1 

  

m m m

x ;

1

2 

  

m m m

x

Bài 3: Giải phương trình (m tham số) : (m - 1)x2+ 3mx+ 2m + = 0

HDÉn : + m = 1 : x =-1

+ m1 :x1=-1 ; x2=

m m a

c

   

1 Bài 4: Giải phương trình (m tham số) :

x2- 2(m + 1)x+ 2(m + 5) = 0

NÕu 

 

  

3

m m

th× 

 

  

4

x x

( nghiÖm kÐp) NÕu 

 

  

3

m m

th×

2 ,

1 m  m 

x

Bài 5: Giải phương trình (m tham số) :

(4m2+ 4m + 1)x2- 2m(2m + 1)x+ m2= 0

HDÉn : m

=-2

1 v« nghiÖm.

m 

-2

1 , '=0 : x =

1 2m

m (nghiÖm kÐp)

Bài tốn 2:Tìm giá trị tham số để phương trình có nghiệm kép,có hai nghiệm phân biệt, có nghiệm,vơ nghiệm.

Phương pháp:Điều kiện để phương trình bậc có : - Nghiệm kép  

  

  



0

'

a

- Hai nghiƯm ph©n biÖt  

  

  



0 '

a

- Cã nghiÖm :+XÐt a= (NÕu a chøa tham sè ) +XÐt  

  

  



0 '

a

- V« nghiƯm : + XÐt a= 0 + XÐt  

  

  



0 '

a

Bài 6: Tìm giá trị m để phương trình sau có nghiệm phân biệt : a) 2x2- 4x+ m = 0 (m < 2) b) 5mx2- 4x- 3m = 0 (m0) c) mx2- 3x+ m = 0

(-2

3 m , m 0) Bài 7: Tìm giá trị m để phương trình sau có nghiệm kép :

a) 3x2- 2mx+ = 0

(m =  3)

b) 4mx2- 6x- m - = 0

(m =

-2 )

c) (m + 2)x2- 2(m - 1)x + = 0 (m = hc m = -1)

Bài 8: Tìm giá trị m để phương trình sau vô nghiệm : a) 3x2+ 2mx + = 0

(-2 3<m< 2 3)

b)x2- (2m + 3)x+ m2= 0

(m

<-4 3)

c) m2x2+ mx + = 0 (m)

b) (m2 - m)x2+ 2mx+ = 0

HDÉn : a/ + m = 0 : x =

2

+ m 0 : m  1

b/ + m = 0 : V« nghiƯm.

+ m = 1 : x

=-2

+ m 0, m 1 : '0 m > 0

Bài 10: Cho phương trình : mx2+ 6(m - 2)x+ 4m - = 0 Tìm giá trị m để phương trình :

a) Cã nghiƯm kÐp b) Cã nghiƯm ph©n biƯt c) V« nghiƯm

HDÉn : a/

  

 



0 '

0

m

    

  

5

m m

b/

  

 



0 '

0

m

    

 

 

0 ,

m m

m

c/ + m = 0 : Cã nghiÖm.

+ m 0 :

5

'   

 m

Bµi 11:

a) Tìm giá trị ngun dương k để phương trình :

x2- 4x+ k = có nghiệm phân biệt. (k = 1; 2; 3) b) Tìm giá trị nguyên âm m để phương trình :

2x2- 6x+ m + = cã nghiƯm ph©n biƯt (m = -3; - 4; - 5; )

Bài 12: Cho phương trình (m tham số) :

(2m - 7)x2+ 2(2m + 5)x - 14m + = 0

Xác định giá trị m để phương trình có nghiệm kép.Tính nghiệm kép

HDÉn :

  

   

 

2 '

0

2 m

m m

   

  

2

m m

+ Víi m = 2 : x = 3

*3*

+ Víi m =

2

1 : x = 1

HDÉn :  

    

  

         

  

    

   

  

 

1

64 551

19

4

2

m m m

m m

Bài tốn 3:Tìm giá trị tham số để phương trình bậc nhận số k (kR) cho trước làm nghiệm

Phương pháp:

- Thay giá trị x = k vào phương trình tìm tham số.

- Thay giá trị tham số vừa tìm vào x1x2 hoặc x1.x2 để tìm nghiệm cịn lại (nếu cần).

Bài 14: Xác định giá trị tham sốmđể phương trình :

a) (3m + 4)x2- (5m - 1)x + m - = nhËn lµm nghiƯm. ( m =

-13 36)

b) (m2+ 1)x2+ (3m - 4)x + m - 11 = nhËn - lµm nghiƯm. (    

 

4 1

m m

)

Bài 15: Tìm giá trị củamđể phương trình :

a) mx2- 3x- = cã mét nghiÖm b»ng -1. ( m = ) b)x2- 2(m - 1)x+ m - = cã mét nghiÖm b»ng 3. ( m = )

Bài 16: Tìm giá trị củamđể phương trình có nghiệm 1.Tìm nghiệm lại :

a) 2x2- 3x+ m = 0 ( m = ,

2

2 

x )

b) 3x2+ 7x+ m = 0 ( m = -10 ,

3 10

2 

x )

Bài 17: Với giá trị củakthì phương trình :

a) 2x2+kx- 10 = có nghiệm 5.Tìm nghiệm l¹i b)k2x2- 15x - = cã mét nghiệm 7.Tìm nghiệm lại

c) (k- 4)x2- 2kx +k- = cã mét nghiÖm b»ng 3.Tìm nghiệm lại

HDẫn : a/ k = , x2= - 1

b/ k =

7

 , x

16

2

c/ k = 72 3 , x

47 14

2  

Bài 18: Cho phương trình (2m - 1)x2- 4mx+ = (1)

Tìm giá trị m để phương trình (1) có nghiệm m

HDÉn :+

  

   

 

0 ) 2 (

0

2 ' m

m

   

   

0 ) 2 (

2

2

m m

Phương trình có nghiệm m thì

   

  

1

2

m m m

    

   

4 17

m m

+ m = 

2

1 phương trình (1) có nghiệm x = 2

2

1 

 m kh«ng tho¶ m·n.

Bài 19: Cho phương trình (m - 1)x2- 2mx+ m + = (1) Tìm tất số ngun m để phương trình (1) có nghiệm nguyên

HDÉn : * m = : -2x + = 0  x1

* m1: m - + (-2m) +m +1 = x1 1; 111 21 



m m

m x

 ;10;2;3

2 ;1

1    



m m

Bài 20: Cho phương trìnhx2+ (2m - 5)x- 3n = Xác định m n để phương trình có 2 nghiệm -2

HDÉn :

  

 

 

14

6

n m

n m

  

  

2

n m

Bài 21: Tìm m, n để phương trình bậc hai sau có nghiệm

2 :

mx2+ (mn + 1)x+ n = 0

HDÉn :

  

     

     



0

1

0

n mn

m m

   

 

  

2

n m

Bài 22: Xác định số m, n phương trình:x2+ mx+ n = cho nghiệm của phương trình m n

HDÉn : *  = m2- 4n≥ 0 m 4n

*

    

 

   

  

 



 

  

   

 

 

    

0 :

2

0 :

0

2

2

2

2

x x PT n

m

x PT n

m n

n m x x

m n m x x

Bài toán 4:Chứng minh phương trình bậc có nghiệm Phương pháp:

- C¸ch : Chøng minh  ' 0

- C¸ch : Chøng minh ac < 0

Bài 23: CMR phương trình sau có nghiệm với giá trị củam:

a) x2+ (m+ 1)x+m = 0 d) x2+ 4x-m2 + 4m- = 0 b) x2-mx+m- = 0 e) (m+ 1)x2+x-m = 0

c) -3x2+ 2(m- 2)x+ 2m+ = 0 f) x2- (3m2- 5m+ 1)x- (m2- 4m+ 5) = 0

( dïng ac < )

Bài 24: CMR phương trìnhax2+bx+c= (a 0) có nghiệm, biết 5a+ 2c=b .

HDÉn :  = b2- 4ac = (5a + 2c)2- 4ac = ( 4a + 2c)2+ 9a2 0

Bài 25: Cho phương trìnhmx2- (2m- 1)x+m = (1) Gọi 1,x

x nghiệm phương trình (1) Chứng minh x21x22 2 phương trình (1) có nghiệm kép

HDÉn :+ x21x22 2

2

2 )

(  2    

 x x x x m

+

  

   



0

' m

m

2



m  kÕt luËn ?

Bài 26: CMR phương trình sau có nghiệm với mọia, b, c: a)x.(x-a) +x.(x-b) + (x-a).(x-b) =

b) (x-a).(x-b) + (x-b).(x-c) + (x-c).(x-a) =

c)a.(x-b).(x-c) +b.(x-c).(x-a) +c.(x-a).(x-b) = (Víi a + b + c 0)

HDÉn : a/ 3x2- 2.(a + b + c)x + ab = 0 =(a

-2

b)2+ 0

4



b

b/ 3x2- 2.(a + b + c)x + ab + bc + ca = 0

     

 

2

1 2

2

2           



 a b c ab bc ca a b b c c a

c/ (a + b + c)x2- 2.(ab + bc + ca)x+ 3abc= 0 =a2b2+ b2c2+ c2a2- a2bc - ab2c - abc2

=    2    2    2

2

1 a b c bc a c a b 0

Bài 27: Cho phương trình (a, b tham số) :

ax2+ (ab+ 1)x+b= 0

a) Chứng minh phương trình ln có nghiệm

b) Tìm giá trị củaa, bđể phương trình có nghiệm kép

2 1.

HDÉn : a) a = : x = b

a0 : = (ab-1)2  0

b)

   

  

 

2

1

a ab ab

    

 

 

2

b a

HDÉn : 2= b2- 4ac = 0  

Bài 29: CMR phương trình sau có nghiệm với mọiavàb:

x2+ (a+b)x- 2(a2- ab+b2) = 0

HDÉn := (3a + b)2+ 8b20

Bài toán 5:Chứng minh phương trình cho có nghiệm

Phương pháp:

- TÝnh c¸c biƯt sè 1;2.

- Chứng minh 12 0 hoặc 1.2 0 để suy biệt số không âm (Chú ý kt

hợp giả thiết có)

Bi 30: Cho hai phương trình :x2- 3x+ 2m+ = (1) và x2+x- 2m- 10 = (2) CMR : Với mọim, phương trình có nghiệm

HDÉn : 12  26 > 0 có biệt số không âm

Bài 31: Cho hai phương trình bậc hai :ax2+bx+c= (1) vàax2+bx-c= (2) CMR với mọia, b, cít phương trình có nghiệm

HDÉn : 12  2b2 0  cã biƯt sè kh«ng ©m

Bài 32: Cho hai phương trình :x2+ (m- 1)x+m2= (1) và x2+ 2mx-m= (2) CMR với mọim, phương trình có nghiệm

HDÉn : 1 2 (m + 1)2 0 có biệt số không âm

Bài 33: Cho hai phương trình :x2- 3x-a- = (1) và x2+ax +1 = (2)

CMR với mọia phương trình ln có phương trình có hai nghiệm phân biệt

HDÉn : 1 2  (a +2)2+ > 0 cã biƯt sè lín h¬n

Bài 34: Cho hai phương trình :x2+ (m- 2)x +

4

m=0 (1)

và 4x2- 4(m- 3)x+ 2m2- 11m+ 13 = (2) CMR với mọim, phương trình có nghiệm

HDÉn : 1 (m1)(m4) ; 2 16(1m)(m4)

0 ) ( ) ( 16

2

2

1    

m m có biệt số không âm

Bài 35: Chob, clà số thoả mÃn : 11 2

c

b Chứng minh hai phương

tr×nh sau cã nghiƯm :x2+ 2bx+c= vµx2+ 2cx+b=

HDÉn : ( ) ( )2

2 '

'        

 b b c c b c có biệt số không âm

Bài 36: Cho hai phương trình bậc hai : x2+ax +b= (1) x2+cx +d= (2) Biếtb + d= ac

2

HDÉn : 12  (a - c)2  0  cã biệt số không âm

Bi 37: Cho hai phương trình bậc hai :x2+ 0 1xb 

a vµ x2+ 0

2 2xb 

a có hệ số thoả mãn điều kiện : a1a2 2(b1b2) Chứng minh hai phương trình có

nghiƯm

HDẫn : Giả sử phương trình vơ nghiệm :

  

1 2 a12 a22 4(b1b2)< 0 a12 a22 4(b1b2)

 1 2 1 2

2

1 ) 4( )

(a a  b b  a a

 0 1 2 1 2

2

1 ) 4( )

(a a  b b  aa

a1a2 2(b1b2) ( mâu thuẫn với giả thiết)

bài tốn 6:Tìm giá trị tham số để phương trình có nghiệm chung Phương pháp:

* C¸ch 1:

- Giả sử x0 là nghiệm chung, lập hệ phương trình ( ẩn x tham số ) - Giải hệ phương trình tìm x0, tìm tham số

- Thử lại : Thay giá trị tham số vào phương trình, giải các phương trình, tìm nghiệm chung.

-Rót kÕt luËn

* Cách 2: - Rút tham số từ phương trình cho

- Thế giá trị tham số vào phương trình cịn lại tìm x - Thay giá trị x tìm m

- Rót kÕt luËn

Bài 38: Với giá trị củakthì hai phương trình sau có nghiệm chung :

x2- (k+ 4)x+k+ = 0

x2- (k+ 2)x+k+1 = 0

HDÉn : x0= ; k = 1

Bài 39: Tìm giá trị củamđể hai phương trình sau có nghiệm chung

x2+ 2x+m= 0

x2+mx+ = 0

HDẫn : (m -2)x0= m - : + m =2 : hai phương trình có dạng : x2+ 2x +2 = ( vô nghiệm) +m 2 : x0= ; m = -3

Bài 40: Tìm giá trị củamđể hai phương trình sau có nghiệm chung

x2+ (m- 2)x+ = 0 2x2+mx+ (m+ 2) = 0

HDẫn : (m - 4)x0= m - : + m = : hai phương trình có dạng : x2+ 2x +3 = ( vơ nghiệm) +m 4 : x0= ; m = -2

2x2+ (3m- 5)x- = 0 (1) 6x2+ (7m- 15)x- 19 = 0 (2)

HDÉn :

* Cách 1: m x0= : + m = : hai phương trình khơng có nghiệm chung.

+m 0 : x0=

m

4 ; m = hc m = * C¸ch 2:(1)  m =

x x x

3

9 

(x0) thay vµo (2) : 4x2- 10x + = ta cã x

1= ; x2= 23

.x1= 1  m = ( nghiƯm chung lµ 1)

.x2=

2

3  m =

3

8 ( nghiƯm chung lµ 3)

Bài 42: Với giá trị củamthì phương trình sau có nghiệm chung 2x2- (3m+ 2)x+ 12 = 0 (1)

4x2- (9m- 2)x+ 36 = 0 (2)

HDÉn : (1)  m =

x x x

3 12

2  

(x0) thay vµo (2) : x2- 4x = ta cã x

1= (lo¹i) ; x2= 4

.x = 4  m = ( nghiƯm chung lµ 4)

Bài 43: Tìm giá trị củamđể phương trình :

x2+x+m- = 0 (1)

x2+ (m- 2)x+ = 0 (2) cã nghiÖm chung.

HDÉn : (2)  m =

x x

x

2  

(x0) thay vµo (1) :

x3- = 0  x= 2  m = - (nghiƯm chung lµ 2)

Bài 44: Tìm giá trị ngun củaađể phương trình sau có nghiệm chung 2x2+ (3a- 1)x- = 0 (1)

6x2- (2a- 3)x- = 0 (2)

HDÉn : (11a - 6)x0 = : + a =

11

6 cả hai phương trình vơ nghiệm.

+a 

11

6 11

8

0   

a

x khi :

(1) 99a2 164a680ta cã : a 2

1 ; a29934(lo¹i)

.a= nghiƯm chung lµ

2

Bài tốn 7:Khi phương trình bậc hai có nghiệm , tìm hệ thức liờn h gia 2

nghiệmx1 vàx2không phụ thuộc vào tham sè m.

- Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm :  

  

  



0

'

a

- TÝnh tæng S, tÝch P cđa hai nghiƯm x1 vµ x2.

- TÝnh m theo S, P.

- Khö m tìm hệ thức S, P Thay S = x1+ x2, P = x1 x2

Bài 45: Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm phương trình :x2- (m+ 3)x+ 2m- = 0 mà hệ thức không phụ thuộc vào m

HDÉn : . =(m -1)2+ 280

.m = S - vµ m =

2



P ta cã hÖ thøc : 2(x ) 11

2

1x x x 

Bài 46: Cho phương trình : x2- 2(m+ 1)x+m- = Khơng giải phương trình, tìm 1 biểu thức liên hệ nghiệm không phụ thuộc vàom

HDÉn : . =(m

-2 1)2+

4 19 0

.m =

2



S vµ m = P + ta cã hÖ thøc : x 2 10 0

2

1x  x x  

Bài 47: Cho phương trình : x2- 2(m+ 1)x+ 2m + = Khi phương trình có nghiệm, hãy tìm hệ thức x1 vàx2khơng phụ thuộc vào m

HDÉn : .

   

       

2

2

2 '

m m m

.m =

2



S vµ m =

2



P ta cã hÖ thøc : ( ) 1 0

2

1x  x x  

x

Bài 48: Cho phương trình : (m - 2)x2- 2(m + 2)x+ 2(m - 1) = Khi phương trình có nghiệm, tìm hệ thức giữax1 vàx2không phụ thuộc vào m

HDÉn :.' m2 10m00m10vµ m2

.m =

2

 

S

S vµ m =

2 2

 

p

P ta cã hÖ thøc : 4 ( ) 6 0

2

1x  x x  

x

Bài 49: Cho phương trình : (2m - 1)x2- 2(m + 4)x+ 5m + = Khi phương trình có nghiệm, tìm hệ thức giữax1 vàx2khơng phụ thuộc vào tham số m

HDÉn : .

  

 

     

0

0 18 9 '

m

m m

   

    

2

2

m m

.m =

2

8

 

S

S vµ m =

5

2

 

P

p ta cã hÖ thøc : ( x ) 2 4 0

2

1x  x x  

Bài 50: Trong phương trình sau, giả sử chúng có nghiệm x1vàx2 Hãy tìm hệ thức liên hệ nghiệm phương trình khơng phụ thuộc vào tham số k

b) (k + 3)x2- 3(k + 4)x- k + = (k-3) c) kx2- 2(k + 1)x+ (k - 4) = 0 (k0)

HDÉn : a/ .

5

4

'     

 k k

. k =

2



S

S vµ k =

1

 

P

P ta cã hÖ thøc : ( x ) 2 8 0

2

1x  x x  

b/. 

 

 

        



2 13

30

0 60 56 13

k k k

k

.k =

3 12

 

S

S vµ k =

1

 

P

P ta cã hÖ thøc : 10 (x ) 3 33 0

2

1x  x x  

c/.

6

0

'      

 k k

k =

2



S vµ k = 1P

4 ta cã hÖ thøc : 2( ) 5 0

2

1x  x x  

x

Bài 51: Cho phương trình : (m+ 1)x2- (2m- 3)x+m+ = Khi phương trình có hai nghiệm

1,x

x h·y tÝnh nghiƯm nµy theo nghiƯm

HDÉn : +

   

    

 

 

 

24

1

0

m m m

+

1

7

7

1

2

1 

      

x x x

x x x

x (hoặc ngược lại)

Bài 52: Cho phương trình :

3 1

   x

x =m Trong trường hợp phương trình có hai nghiệm

h·y biĨu diƠn nghiƯm nµy theo nghiÖm

HDÉn : mx2- (4m + 2)x + 3m + = 0 (x1; x3)

+

  

   



0 4

2

m m

+

1

2

1 52

2

x x x

x x x x

       

Bài tốn 8:Tìm giá trị tham số để phương trình bậc hai có nghiệm x1,x2 thoả mãn một đẳng thức liên hệ nghiệm.

Phương pháp:

- Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm:  

  

  



0

'

a

- TÝnh tỉng S, tÝch P cđa hai nghiƯm x1 vµ x2.

- Kếthợpđẳngthứccủagiảthiếtlậphệphươngtrìnhgồm3phươngtrình.

- Giải hệ phương trình tìm tham số.

Bài 53: Cho phương trình : 3x2- 4x+m = Tìm giá trị m để phương trình có các nghiệm x1,x2 thoả mãn : x1 3x2

HDÉn : *

3

3

'    

 m m *m = (t/m)

Bài 54: Xác định giá trị tham số k cho hai nghiệm x1,x2 phương trình

x2- 6x+k = thoả mÃn điều kiện : 3 2 20  x 

x

HDÉn : *'9k 0k 9 *k = -16 (t/m)

Bài 55: Cho phương trình :x2- (m+ 5)x- m+ = Xác địnhmđể hai nghiệm 1,x

x ta

cã hÖ thøc : 2x1 3x2 13

HDÉn : *

   

  

        

3

3

1 14

2

m m m

m * 

 

 

1

m m

(t/m)

Bài 56: Cho phương trình :x2+ 2x+ 3k = Gọi 1,x

x hai nghiệm phương trình, khơng giải phương trình tìm giá trị k để : x1 x2 14

HDÉn : *

3

3

'    

 k k *k = -16 (t/m)

Bài 57: Cho phương trình : 3x2- mx + = Xác định m để hai nghiệm 1,x

x ta cã hÖ thøc : 3x1.x2 2x1 2

HDÉn : *

   

       

6

6

24

2

m m

m * m = (t/m)

Bài 58: Cho phương trình : (m + 3)x2- 3mx + 2m = Xác định m để hai nghiệm

1,x

x ta cã hÖ thøc : 2x1x2 3

HDÉn : *

       

    

 

   

 

24

24

2

m m m m

m m

* m = -1 (t/m)

Bài 59: Gọi x1 x2 nghiệm phương trình : 3x2- (3k - 2)x - (3k + 1) = (1) Tìm giá trị k để nghiệm phương trình (1) thoả mãn : 3x15x2 6

HDÉn : *

3

)

(    



 k k *

 

  

15 32

k k

(t/m)

Bài 60: Cho phương trình :x2- (2m + 1)x + m2+ = Xác định m để hai nghiệm

1,x

HDÉn : *

4

7

4    



 m m *

 

 

3

m m

lo¹i m =

3

Bài 61: Cho phương trình : x2+ (2 - 3m)x + m2 = Tìm giá trị m để phương trình có nghiệm x1,x2 thoả mãn : x1x2 x1x2

HDÉn : * 

 

       

25

4 12

m m m

m *

 

 

2

m m

lo¹i m = 1

Bài 62: Cho phương trình bậc hai : (k + 1)x2- 2(k + 2)x + k - = Xác định k để giữa hai nghiệm x1,x2 ta có hệ thức : (4x11).(4x2 1)18

HDÉn : *

6

7

'    

 k k * k = (t/m)

Bài 63: Cho phương trình : x2- 2x + m = Tìm m cho phương trình có hai nghiệm phân biệtx1,x2 thoả mãn :

3 10

1 2

1  

x x x x

HDÉn : * 1m0m1 *

3 10

4 

m

m (m0) m3 (t/m)

Bài 64: Cho phương trình : x2- 2(m- 2)x + (m2+ 2m - 3) = Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1,x2 thoả mãn :

5

1

2

x x x x

  

HDÉn : *

6

6

'    

 m m *

 

  

4

m m

lo¹i m = 2

Bài 65: Tìm giá trị m để phương trình : x2- 3mx + m2 = có nghiệm 1,x

x tho¶

m·n : x21x22  ,175

HDÉn : *5m2 0 *

2

 

m (t/m)

Bài 66: Xác định m để hai nghiệm x1,x2 phương trình : x2+ 3x+ m = thoả mãn điều kiện : x21x22 34

HDÉn : *

4

4

9   



 m m * m =

2 25

 (t/m)

Bài 67: Tìm m để phương trình : x2- 5x+ 3m - = có hai nghiệm 1,x

HDÉn : *

12 29

12

29   



 m m * m =

3

5 (t/m)

Bài 68: Tìm giá trị m để nghiệm x1,x2 phương trình : mx2- 2(m - 2)x + m - = 0 thoả mãn : x21x22 1

HDÉn : *

0

'

0   

  

   



m m

m

*

 

 

8

m m

lo¹i m = 8

Bài 69: Xác định m để phương trình : mx2- (12 - 5m)x- 4(1 + m) = có tổng bình phương nghiệm 13

HDÉn : *

  

   

 



m m

m m

0 144 136

41

2 *

 

 

8 ,1

m m

(t/m)

Bài 70: Cho phương trình bậc hai :x2- 2(k - 2)x - 2k - = (k tham số) Gọi 1,x

x lµ

hai nghiệm phương trình, tìm giá trị k cho : x21 x22 18

HDÉn : * '(k1)2 80 *

  

 

2

k k

(t/m)

Bài 71: Xác định m cho phương trình : 3x2+ mx- = có nghiệm 1,x

x tho¶

m·n :

9 13

2

2 x 

x

HDÉn : * m2 240 * m =1 (t/m)

Bài 72: Cho phương trình bậc hai : (2m - 1)x2+ 2(1 - m)x + 3m = Xác định m để hai nghiệm x1,x2 ta có hệ thức : x21x22 4

HDÉn : *

     

   

  

 

     

 

10 21 10

21

2

1

'

0

2

m m

m m m

* 

 

 

12

m m

lo¹i m =

12

Bài 73: Cho phương trình :x2+ 2x + 3k = Gọi 1,x

x hai nghiệm phương trình, khơng giải phương trình tìm giá trị k để :

a) x21 x22 10 b) x21x22 20

HDÉn : *

3

3

'    

 k k * a/ k = -16 (t/m) * b/ k = - (t/m)

Bài 74: Cho phương trình :x2+ (m - 3)x - 2m + = Xác định m để hai nghiệm

1,x

HDÉn : * (m1)2 40 * m2- 14m + 13 = 0       13 m m (t/m)

Bài 75: Tìm giá trị củamđể phương trình : x2- 2mx+ = có hai nghiệm 1,x

x tho¶

m·n : x31x32 2

HDÉn : * 

          1 ' m m m *                 1

8

m m m

m m

m lo¹i m =

-2

Bài 76: Cho phương trình :x2- 4x +m= Tìm giá trị của mđể hai nghiệm 1,x

x

tho¶ m·n : x31 x32 26

HDÉn : * '4m0m4 * m = 6

3

1 ( loại) Bài 77: Cho phương trình :x2+mx +n- = (1)

Tìmmvànđể hai nghiệmx1, x2của phương trình (1) thoả mãn hệ thức        2 2 x x x x

HDÉn : *=m2–4n + 120 *        2 2 x x x x       x x

thay vµo (1):

                15 13 n m n m n

m (t/m)

Bài 78: Cho phương trình :x2+mx +n = Tìmm, nbiết phương trình có hai nghiệmx 1,

x2 tho¶ m·n        3 x x x x

HDÉn : *=m2–4n 0 *

       3 x x x

x  

                      2 2 x x x x

+Tõ (1): 2( / )

3 m t n m n m n m            

; +Tõ (2): ( / )

2 m t n m n m n m                

Bài 79: Xác định hệ sốpvàqđể hai nghiệmx1, x2của phương trình:x2+px + q = 0 thoả mãn điều kiện

       35 3 x x x x

HDÉn : *=p2–4q 0 *

                            ) / ( ) / ( 90 15 25 m t q p m t q p q q p

Bài 80: Cho phương trình x2 2m2xm10 Gọix

trình Tìm giá trị củamđể     2

2

1 2x x 2x m

x    

HDÉn : *'= 0

4

32  

  

  m

*    

1

2

11 2x x 2x m

x       

             0 2 m m m m m x x x x

Bài 81: Cho phương trình x2 2m3x2m70 (1)

Gọi hai nghiệm phương trình (1) làx1, x2 tìmmđể m

x x   1

1 1

2

HDÉn : *= m42 0

* m

x x   1

1 1 33 7

2      

 m m m

Bài 82: Giải phương trình x2 mx60 Biết hai nghiệm

1

x vµ x2tho¶ m·n hƯ thøc:

1029 9 2 2

1x  x  x x  x 

x (*)

HDÉn : *=m2- 24 0         6 m m *       2 x x m x x

(*)  9x1x2x1  x2 3 x1  x23 3x1x2x1  x21029  3 343

2  

 x x  x1 x2 7m7(t/m)

Phương trình:x2- 7x+ = có x

1=1; x2=6

Bài 83: Cho phương trìnhx2- ( 2m+ 1)x+m2+m= Tìm giá trị củamđể phương trình có hai nghiệm thoả mãn: - 2<x1<x2<4

HDÉn : *= 1>0 *x1=m,x2=m+  x1<x2

Do đó:

3

2

2

1   

             m m m x x

Bài 84: Tìm giá trị tham sốasao cho phương trình:x2+ 2ax+ = (1) có các nghiệmx1, x2 thoả mãn điều kiện

2 2               x x x x

HDÉn : *'=a2- 4 0        2 a a

*

2 2 2 2

1  

                     x x x x x x x

x   2 5

2 2           x x x x x x  

 a (v× 

     2 a a

nªn4a2- > )

) / ( 5

2 a t m

a     



x2+ax + = tho¶ m·n 7 2 2

1 

            

x x x

x

HDÉn : *'=a2- 4 0   

   

2

a a

*

2 2 2 2

1  

   

 

              

x x x x x

x x

x   2 9

2

2 2

1 

   



  



x x

x x x

x  2 22 9

   a

3

2   

a (v× 

 

  

2

a a

nªn a2- > )

) / ( 5

2 a t m

a   



Bµi 86:

a) Cho hai phương trìnha2x2+bx+c= (1) vàcx2+bx+a2= (2) (Với a>c>0) Giả sử phương trình (1) có hai nghiệmx1, x2;phương trình (2) có hai nghiệm x1',x2' Chứng minh rằng:x1x2+ x1'.x2'2

b) Cho phương trìnhax2+bx+c= (a0) (1) vàcx2+dx+a= (c0) (2) Biết phương trình (1) có nghiệm làmvàn, phương trình (2) có nghiệm làp

vµq Chøng minh r»ngm2+n2+p2+q2 4.

HDÉn :

a) Điều kiện để phương trình có nghiệm: b2- 4a2c0 -Ta có x1x2 + x1'.x2'2

2 c 

a a

c

b)

a c mn n

m2  2 2 ;

c a pq q

p2  2 2 2

2 2

2  

   

   

   

c a a c q

p n m

Bài 87: Cho phương trình ax2 bxc0 (1) có nghiệm dươngx

1, x2

a) Chứng minh phương trình cx2 bxa0 (2) có nghiệm dương

4 3,x

x

b) Chøng minh r»ng S = x1 x2 x3 x4 4

HDÉn :

a)Phương trình (2) có nghiệm dương khi:

      

 

    

       

 

   

   

0

0

0 0

2

4

4

2

ac bc

ac b

c

c a x x

c b x x

ac b

(I)

                                0 0 0 2 2 ac ab ac b c a c x x a b x x ac b              0 ac bc ac b c (II)

-Tõ(I)vµ (II)  kÕt luËn?

b) Cách 1: Nếu là nghiệm (1) thì a2 b c0

Thay





x vµo (2) ta cã: 12      0

       

 b a c b a

c



 là nghiệm (2) Do x1, x2là nghiệm (1) thì

2

3 x1 ,x x1

x   lµ nghiƯm cđa (2).

VËyS = 1 2

2

1   

              x x x

x (Bất đẳng thức Côsi)

C¸ch 2:

x1x2  x3 x42 x1x2  x3x4=2 2.2 2.2.14

      c a a c c a a c

Bài tốn 9:So sánh nghiệm phương trình bậc hai với số 0 Phương pháp:Phương trình bậc hai ax2+bx+c = ( a0)

1)PTB2 cã nghiƯm tr¸i dÊu  P< 0 ac0

- Đặc biệt PTB2 có nghiệm trái dấu nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn nghiệm

dương  

        0 '

S hc 

   0 S P

2) PTB2 cã nghiÖm cïng dÊu  

        0 ' P

a- PTB2 cã nghiƯm cïng ©m

             0 ' S P

b- PTB2 có nghiệm dương

             0 ' S P

3) P TB2 có nghiệm số nghịch đảo nhau  

        ' P

4)P TB2 có nghiệm số đối ( 2nghiệm trái dấu giá trị tuyệt

đối)  

        0 '

S hc 

   0 S P

Bài 88: Tìm giá trị củamđể phương trình:

b)x2-2mx + (m-1)2= có nghiệm dương. ( 1

2

1 m )

c) 2x2-2(m + 1)x +m = cã nghiƯm ©m.

     

        

  

 

1

0

2

m m m

kh«ng x¶y ra.

Bài 89: Tìm giá trị củamđể phương trình:

a) x2-2(m+ 1)x +m - 4 = có nghiệm trái dấu. (m< 4) b)x2-2(m+ 1)x +m2 = có nghiệm phân biệt dương. (- 0

2

1 m )

c)x2- 2x +m = có nghiệm phân biệt số dương. ( 0<m<1)

Bài 90: Xác định điều kiện củakđể phương trình:

a) k2x2 6kx2k50 cã nghiƯm tr¸i dÊu. ( 2<k< 5)

b) k1x2 2k1xk 0 có nghiệm dương. 

  



  0

3

1 k

c) k2x2 2k3xk50 cã nghiƯm ©m. 

  



  2

13

1 k

Bài 91: Xác định điều kiện củamđể phương trình:

a) m5x2 4mxm20 cã nghiƯm tr¸i dÊu. ( 2<m< 5)

b)2m1x2 3m4xm30 cã nghiƯm tr¸i dÊu. ( -3<m< 1)

c) m1x2 2mxm10 có nghiệm dương.

   

    

  

1

m m

Bài 92: Tìm giá trị củamđể phương trình:

a) mx2 2m1xm2 0 cã nghiƯm tr¸i dÊu. (0<m< 4)

b) x2-2(m+ 1)x +m2 = cã nghiÖm ph©n biƯt cïng ©m.

    

 

    

 

      

  

 

1 02

1

m m m

không xảy ra

c) m1x2 2x30 cã nghiƯm ph©n biƯt cïng dÊu. (1<m< 4)

Bài 93: Cho phương trình bậc haimx2 5m2x6m 50

1-Tìmmđể phương trình có nghiệm đối (m=

5 2)

2-Tìmmđể phương trình có nghiệm nghịch đảo m1 Bài 94: Tìm giá trịmđể phương trình:

a) 2x2+mx +m- = có nghiệm trái dấu nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn

nghiệm dương ( 0<m< 3)

b)x2- 2(m- 1)x +m- = có nghiệm trái dấu giá trị tuyệt

i (m= 1)

a) x2 2m3xm2 3m20 có nghiệm đối nhau. ( m= -1,5)

b) m1x2 2m2x7m10 có nghiệm đối nhau. (m= 2) Bài 96: Cho phương trình:x2- 2(m+ 1)x+ 3m+ = Xác định điều kiện của mđể 2

nghiệmx1vàx2là độ dài hai cạnh hình chữ nhật

                  m m

Bài 97: Xác địnhmđể phương trìnhx2- (m+ 1)x+ 2m= có hai nghiệm phân biệt sao chox1, x2là độ dài hai cạnh góc vng tam giác vng có cạnh huyền

                                               ; ; 0 2 2 m m m m m m m x x P S

Bài 98: Số đo hai cạnh góc vng tam giác vng nghiệm phương trình bậc hai m2x2 2m1xm0 Hãy xác định giá trị củamđể s o ng cao ng

với cạnh huyền

5 . *                                 0 0 ' m m S P m

* 4( / )

5 1 2 2 m t m x

x  

      

 khi x1= 1;x2=

Bài 99: Tìm giá trị củamđể phương trình x2 mxm2 m30 (m>0) có hai nghiệm

x1, x2 tương ứng độ dài hai cạnh AB, AC ABC vuông A BC = Bài tốn 10:Tìm giá trị tham số để hai phương trình bậc hai cho tương

đương với nhau.( Trong trường hợp phương trình có nghiệm phân biệt)

Phương pháp:- Chỉ phương trình có nghiệm phân biệt. - Lập hệ phương trình

       4 x x x x x x x x

- Giải hệ phương trình tìm giá trị tham số. - Thử lại, rút kết luận.

Bài 100: Cho phương trình bậc hai x2 mnxm2 n20 (1)

Tìm m n để phương trình (1) tương đương với phương trình x2 x50 (2)

*Phương trình (2) có ac = - 5<0 (2) có nghiệm phân biệt.

*Thư l¹i, rót kÕt ln.

Bài 101: Cho hai phương trình x2 2mnx3m0 (1) và x2 m3nx60 (2) Tìmmvànđể phương trình (1) (2) tương đương

*Phương trình (2) có ac = - 6<0 (2) có nghiệm phân biệt. *

  

   

 



  

1

3

3

n m m

n m n m

*Thö l¹i, rót kÕt ln.

Bài 102: Tìm giá trị củamvànđể hai phương trình sau tương đương : 4 

2  m n x 

x (1) vµ x2 3m4nx3n0 (2)

*Phương trình (1) có ac = - 9<0 (1) có nghiệm phân biệt.

*    

3

4 3

4

    

 

 

    

n m n

n m n

m

*Thư l¹i, rót kÕt ln.

Bài tốn 11:Tính giá trị biểu thức liên hệ hai nghiệm phương trình bậc hai theo tham số.

Phương pháp:- Tìm điều kiện để phương trình cho có nghiệm  

  

  



0 '

a

- TÝnh tæng S, tÝch P theo tham sè.

- Biến đổi biểu thức cho xuất S, P.

- Thay giá trị S, P tính giá trị biểu thøc theo tham sè.

Bài 103: Cho phương trình 2m1x2 2m4x5m20 Trong trường hợp phương

tr×nh cã nghiƯm, tính theomtổng S tích P nghiệm

*

   

  

  

 

 

 

2

1

1

0

'

m m m

*S =  

1

4

 

m

m ; P =

1

2

 

m m

Bài 104: Cho phương trình x2 mxm70 Khơng tính nghiệm x

1, x2 theomh·y tÝnh: a) A = x12 x22

b) B = x13 x23

*

   

 

       

2

2

14

2

m m m

m *

  

 

  

7

2

2

m x x

m x

x

* A = m2 2m14 ; B = m3 3m2 21m

Bài 105: Cho phương trình x2 (2m1)xm0 Tính A =

2 2

1 x 6x x

x   theom

(x1, x2 là hai nghiệm phương trình)

* 4m2 1 * A = 2m12

Bài 106: Cho phương trình m4x2 2mxm20 Khơng giải phương trình để tìmx

a) A = x12 x22 c) C =

2

1

x x 

b) B = x13 x23 d) D = 2

2

1

x x 

*

   

   

 

   



3 4

8

m m m

m

* a) A =

 2

4 16 12

  

m m

m c) C =

2



m m

b) B =  

 3

4 19 18

  

m m m

m d) D =

 2

2 16 12

  

m m m

Bài 107: Cho phương trình x2 2m1xm40

Khơng giải phương trình tìm x1,x2 tính giá trị biểu thức sau theo m: a) x1 x2 c) x31x32

b) x21 x22

*

4 19

1

'   

  

   

 m

* a)     4 5

2 2 2

1 x  x x  x x  m m

x 2

2

1    

 x x m m

b) x21x22= (x1 x2)(x1x2)4m1 m2 m5

c) x31 x32= (x1x2)(x21 x1x2 x22) = (x1 x2)x1x22 x1x2 = 2 m2 m54m2 7m8 Bài 108: Cho phương trình ax2 bxc0 (a0) có hai nghiệm

2 1,x

x TÝnh theo a,b,c

c¸c biĨu thøc sau:

a) M = 5x13x25x23x1 b) N =

2

2

2

3

3 x x

x x

x x

  

* Điều kiện để phương trình có nghiệm ac <0 * a) M = 64 1 2 15 1 22 64 215

a b ac x

x x

x    

b) N =  

 

2 2

2 2

3 16

8

16

8

b ac

ac b x

x x x

x x x

x

    

 

Bài tốn 12:Tìm giá trị tham số để biểu thức của x1,x2 đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất.

(x1,x2 là hai nghiệm phương trình bậc hai chứa tham số)

Phương pháp: - Tìm điều kiện để phương trình cho có nghiệm  

  

  



0 '

a

- TÝnh tæng S, tÝch P theo tham sè.

- Biến đổi biểu thức cho xuất S, P.

- Thay giá trị S, P tính giá trị biÓu thøc theo tham sè.

chất bất đẳng thức tìm giá trị tham số. - Đối chiếu điều kiện rút kết luận.

Bài 109: Gọi x1,x2 hai nghiệm phương trình x2 2m1x2m100 Tìm giá

trÞ nhá nhÊt cđa biĨu thøc A = 10x1x2 x21 x22

* 

 

       

3

9

2 '

m m m

* A = 4m32 48 Amin 48m3 (t/m)

Bài 110: Xác địnhađể tổng bình phương hai nghiệm phương trình x2 axa20

lµ bÐ nhÊt

* a22 40

* x21 x22 a12 33x21x22min 3a1

Bài 111: Cho phương trình x2 2m1xm0 Tìm giá trị m để A =

2 2

2 x 6x x

x

Có giá trị nhỏ *4m2 10

* A =  

2

0

2m   Amin  m

Bài 112: Cho phương trình x2 2m1xm30 Tìm giá trị m để P =

2 2 x

x 

Cã gi¸ trÞ nhá nhÊt

*

4

'   

  

   

 m

* P =

4

15

15 15

5

2

2

         



 m P m

Bài 113: Cho phương trình x2 mxm10 Tìm giá trị nhỏ A =

2 2

2 x 6x x

x  

và giá trị tương ứng củam *m22 0

* A = m42 88 Amin 8m4 Bµi 114:

1) Cho phương trình x2 mxm10 Gọi

2 1,x

x nghiệm, tìm giá trị nhỏ nhÊt cña A = x21 x22

2) Cho phương trình 2x2 2(m3)xm10 Xác định giá trị củamđể

2 2 x

x 

đạt giá trị nhỏ

1) abc1mm10  phương trình ln có nghiệm

A=1m12 1 Amin 1m1

2) ' m22 30

2 2 x

x  =m22 33x21 x22min 3m2 Bài 115: Cho phương trình x2 2mx2m10 Tìmmsao cho A =

2 2

2 ) 5

(

2 x x  x x

*' m12 0

*

8

9

9 9 2 18

8 2    min   

  

   

 

 m m m A m

A

Bài 116: Cho phương trình x2 2(m2)x6m0 (1) Gọi

2 1,x

x nghiệm phương trình (1) Tìm giá trị nhỏ x21x22

*' m12 30

* x21 x22=   

2 15

15 15

2m    x21x22  m

Bài 117: Cho phương trình x2 2(m2 1)x5m10 Tìm giá trị củamvà nghiệm

2 1,x

x phương trình cho tổng x21 x22 có giá trị nhỏ

* Giả sử phương trình có nghiệm ta có: x1x2 2m2 22(x1 x2)min 2

 m

*m =0 : x2 2x10x1,2 1 Bài 118: Cho phương trình ax2 ba1xm2 1 (1)

a) Với a ;1b2 Chứng minh phương trình (1) ln có hai nghiệm x1,x2 với giá trị củam

b) Tìmmđể cho x21 x22 đạt giá trị nhỏ tính nghiệm trường hợp a) x2 2xm2 10 có ' m2 20mR

b) *x21 x22= 2m2 66 x21x22min 6m0 * m0:x2 2x10 x1,2 1

Bài 119: Cho phương trình 2x2 (2m1)xm10 Tìm giá trị nhỏ biểu thức

A = x21x22 x1x2 *2m32 0

*

4 16

3 16

3 16

3

2

min

         

  

 A m

m A

Bài 120: Gọi x1,x2 nghiệm phương trình sau, tìm giá trị củamđể x21 x22 có giá trị nhỏ

1) x2 2m1xm20

2) x2 2m1 x m10

1) 4m12 50

2 2 x

x  =    

  

     

4 11 11

3

4m2 m m  

4

11

min 2

2 x  m

x

2) 4m2 50

2 2 x

x  =    

  

     

4 5 2

2

2 m m

m  

4

5

min 2

2 x  m

x

nhá nhÊt

1) x2 2m2 x 2m70

2) x2 2m2x3m100

1) 

 

        

3

3

2 '

m m m

m

2 2 x

x  = 4m2 12m22m32 7

+ m3 A2.332 72

+ m1 A2. 1 32 718

Suy ra Amin 2m3

2) 

 

        

3

6

2 '

m m m

m

2 2 x

x  =

4 41

5 10

4 2 

  

    

 m m

m

+

4 41

5

2

     

    

 A

m

+   32

4 41

5

2    2   

 A

m

Suy ra Amin 2m3

Bài 122: Gọi x1,x2 nghiệm phương trình sau, tìm giá trị củamđể x1x2 có giá trị nhỏ

1) x2 m1 x m10

2) x2 4mxm12 0

1) m12 40

  2 12

2

1x  m 

x  2  12

2

1   

 x x m

 12

2

1     

 x x m

  min 2 1

 x x m

2)

   

        

1

1 '

m m m

m ; 12

2

1 x  m  m

x

*

3

2 1  



 x x

m

*m1 x1x2 0

Suy ra  

   

     

1

min

m m x

x

Bài 123: Cho phương trình x2 2(m1)xm2 4m30 Xác địnhmđể hiệu tổng

*   2  12 6

2

1x x x m  m  m  

x

 

 1  2max 6 1

 x x x x m (t/m)

Bài 124: Cho phương trình x2 (m1)xm0 (1) Gọi

2 1,x

x nghiệm phương trình (1) Tìm giá trị củamđể biểu thức B = x21x2 x1x22 đạt giá trị lớn

 1 * m 

* B =

2

1

1 )

( max

2

2

1       

  

       

x m m m B m

x x x

Bài 125: Cho phương trình mx2 2mx3m10 Tìm giá trị củamđể nghiệm

2 1,x

x

của phương trình có tích x1x2 lớn *

2

0

2   

  

   



m m

m m

* x1x2=

m m

m 3

3   

Do 0<m

2

 nªn x1x2 lín nhÊt 

m

1 nhá nhÊt m lín

nhÊt

2



m Suy (x1x2)max1

Bài 126: Cho phương trình bậc hai (ẩn làx): x2 2m1x2m50 Tìmmsao cho

A =1210x1x2 x21x22 đạt giá trị lớn

* 

 

       

2

4

2 '

m m m

*A=1210x1x2 x21 x22 = 4m2 24m322m62 44

3

max  m

A

Bài 127: Giả sử x1,x2 hai nghiệm phương trình x2 (m1)xm2 2m20 Tìmm

để x21x22 đạt GTNN, GTLN

*

3

0 10

3      

 

 m m m

* A x21x22 m2 6m36m32; Do

3

1m nªn

9 50 2 A

VËy Amin 2m1

50

max  m

A

Bài 128: Cho phương trình m2 m1 x2  m2 8m3x10 có hai nghiệm

2 1,x

x Tìm GTNN GTLN cđa biĨu thøc S = x1x2

*

4 1

2

2   

  

     

m m m

a ,c= -1

 

ac phương trình ln có nghiệm.

*  1  1  8

1

8 2

2

            

 

 

 S m m m m S m S m S

m m

m m S

3 13

13

52

52

3       

 

VËy

3 13

3 13

13

min

     

 m

S

13

3 13

13

max

   

 m

S

Bài 129: Cho phương trình x2 mxm10

1) Chứng tỏ phương trình ln có nghiệm 2) Tìm GTNN GTLN biểu thức

 1

2

2 2

2 1   

x x x

x

x x A

1) m20mR

2) 2

2

2

2       

 Am m A

m m A

1

1

1

2      

 

 A A A

VËy

2

min  m

A

1

max  m

A

Bài toán 13:Chứng minh biểu thức hai nghiệm x1,x2 của phương trình bậc hai khơng phụ thuộc vào giá trị tham số.

Phương pháp: - Tìm điều kiện để phương trình cho có nghiệm  

  

  



0 '

a

- Biến đổi biểu thức cho xuất x1+x2, x1.x2

- Thay giá trị x1+x2, x1.x2 (tính theo m) -Rút gọn biểu thức có giá trị lµ mét h»ng sè.

Bài 130: Cho phương trình x2 2(m1)xm40 có hai nghiệm

2 1,x

x .Chøng minh r»ng BiĨu thøc H = x11x2x21x1 kh«ng phơ thuéc vµom

*

4 19

1

' 2  

  

   

 m

* H x1x22x1x2 2m1 2m410

Bài 131: Cho phương trình x2 2(m1)xm30 có hai nghiệm

2 1,x

x .Chøng minh r»ng BiĨu thøc Q = x120072006x2x220072008x1 kh«ng phơ thuộc vào giá trị củam

*

4 15

1 '

2

     

   

 m

* Q2007x1 x24014x1x2 20072m24014m316056

Bài toán 14:Lập phương trình bậc hai biết hai nghiệm x1,x2 thoả mãn điều kiện

nào giả thiết.

Phương pháp: - Tính tổng (S), tích (P) hai nghiệm.

-áp dụng định lý đảo định lý Viét lập phương trình X2–SX + P=0

Bài 132: Cho phương trình x2  pxq0 có hai nghiệm

2 1,x

BËc hai cã c¸c nghiƯm lµ

x x vµ

1

x x .

* S =

q q p2 2

; P = 1

* Phương trình: qx2 p2qxq0

Bài 133: Cho phương trình ax2 bxc0 a0,c0 với nghiệm  và  Hãy lập

một phương trình bậc hai có nghiệm

  vµ



  

0 ,

0 

  

*  

ac ac

b

2

2

2 

 

    

  

 

  

  

; 1    

* Phương trình :  2 x10acx2 b2 2acxac0

ac ac b

x

Bài 134: Lập phương trình bậc hai mà nghiệm tổng tích nghiệm phương trình ax2 bxc0 a0

*

a b x x

y1  1 2  ;

a c x x y2  1 2 

*

a b c y

y1  2   ; 1 2 2

a bc y

y 

*Phương trình: 2  

2

2     a y abc ybc

a bc y a

b c y

Bài 135:Gọi x1 x2là hai nghiệm phương trình bậc hai ax2 bxc0 a0.

Hãy lập phương trình bậc hai có nghiệm x21 x22 * 21 22  1 22 1 2 22

a ac b

x x x

x x

x       ; x21.x22 =   2

2 2 1x ac

x 

*Phương trình: 2  2 

2 2

2

2     a x  b  ac xc

a c x a

ac b

x

Bài 136: Cho phương trình x2 5mx10 (1) có hai nghiệm

2 1,x

x .Lập phương trình bậc hai có nghiệm y1,y2 thoả mãn:

a) Là số đối nghiệm phương trình (1) b) Là nghịch đảo nghiệm phương trình (1)

a/ y1 y2 x1x25m; y121212xxxxy1

Phương trình: y2 5my10

b/ m

x x

x x x x y

y 1

2

2 2

1 

   

 ; 1

2 2

1 y  x x  x x 

y

Phương trình: y2 5my10

Bài 137: Cho phương trình bậc hai ax2 bxc0 (1) a0, có hai nghiệm khác Tìm

một phương trình bậc hai mà nghiệm : a) Khác dấu với nghiệm phương trình (1)

d) Gấpklần nghiệm phương trình (1)

a/ ax2 bxc0 c/ ax2 b2anxan2 bnc0 b/ cx2 bxa0 d/ ax2 kbxk2c0

Bài 138: Cho phương trình x2 3ax3b2 10, (avà blà số nguyên) Gọi nghiệm

của phương trình x1 x2 Hãy lập phương trình bậc hai có nghiệm x31 x32 * x31 +x32= x1x233x1x2x1x2  3a3 3.3b2 13a

= 27a3 27ab2 27a = 27a3 ab2 a

3

x x32= x1x23 3b2 13 27b2 13

Chuyên đề: