Moät trong nhöõng phöông phaùp ñöôïc duøng roäng raõi giaûi caùc baøi toaùn taám laø phöông phaùp sai phaân höõu haïn, hay coøn goïi phöông phaùp löôùi.. Phöông phaùp löôùi ñöôïc choïn[r]
(1)CHƯƠNG
PHƯƠNG PHÁP TÍNH GIẢI TẤM
3.1 Phương pháp sai phân hữu hạn
Một phương pháp dùng rộng rãi giải toán phương pháp sai phân hữu hạn, hay gọi phương pháp lưới
Phương pháp lưới chọn dùng giải phương trình vi phân thơng thường sau dùng cho phương trình vi phân chứa đạo hàm riêng Phương pháp dùng cho toán chiều cách chia đoạn thẳng xem xét thành nhiều bước, gọi sai phân, với tổng số bước hữu hạn Trong toán hai chiều cần tiến hành chia miền xét thành lưới với mắt lưới nằm nút chọn lựa Không gian ba chiều chia làm lưới theo phương pháp tương tự
Với toán chiều, hàm liên tục y = y(x), với giá trị đầu y(x0) = y0,
có thể xác định giá trị hàm vị trí x0 + Δx dựa vào chuỗi Taylor, dùng
trường hợp tiến:
y(x0 + Δx) = y(x0) + Δx
1! y’(x0) +
Δx2
2! y’’(x0) +
Δx3
3! y’’’(x0) + (a)
Khi tính thụt lùi chuỗi Taylor có dạng: y(x0 - Δx) = y(x0) - Δx
1! y’(x0) +
Δx2
2! y’’(x0) -
Δx3
3! y’’’(x0) + (b)
Nếu lấy hai thành phần đầu chuỗi, trừ (a) với (b) nhận công thức sau:
y(x0 + Δx) - y(x0 - Δx) = 2Δx[y’(x0)Δx - (-y’(x0)Δx) ]
từ cơng thức tính đạo hàm bậc 1, x0 là:
y’(x0) =
2Δx [y(x0 + Δx) - y(x0 - Δx) ] (c)
Nếu lấy ba thành phần đầu chuỗi để tính, phép tính đạo hàm bậc hai sau:
y(x0 + Δx) - y(x0 - Δx) = 2y(x0) + y’’(x0) (Δx)2
từ đó:
y’’(x0) = 2
(Δx) [ y(x0 + Δx) - 2y(x0) + y(x0 - Δx) ] (d)
(2)y’k =
2Δx(yk+1 - yk-1)
y”k =
2Δx2 (yk+1 -2yk + yk-1)
y”’k =
2Δx3 (yk+2 - 2yk+1 + 2yk-1 - yk-2 )
y””k =
2Δx4 ( yk+2 - 4yk+1 +6yk - 4yk-1 + yk-2) (e)
Áp dụng phân tích chuỗi Taylor với hàm y = f(x) xác định miền -L, tính giá trị hàm xk+1, k = 0,1,2, , dựa vào biểu thức y’, y’’,
x0 x1 xL
Hình 3.1
Để áp dụng cơng thức vừa dẫn vào tốn 2D, trước hết cần tiến hành tạo lưới cho mặt hai chiều Lưới chia dạng đơn giản gồm hai hệ đường thẳng trực giao, hệ thứ song song với trục Ox, hệ song song với Oy Bước lưới gồm: Δx - dọc trục Ox Δy - dọc trục Oy Chỉ số biến thiên vị trí dọc Ox ký hiệu i, cịn dọc Oy ký hiệu k Theo cách qui ước này, cơng thức tính đạo hàm riêng hàm u(x,y) dạng ∂
∂ ∂
m n m n x y u
+
sau:
Tại điểm x = xk, y = yi, đạo hàm riêng bậc từ đến có dạng: ∂
∂
u x
u u
x ik = i k, +1− i k, −1
2Δ ;
∂ ∂
u y
u u
y ik = i+1k − i−1k
2
, ,
Δ
∂ ∂
2
x uik =
u u u
x i k, ik i k
( ) +1− + ,
2
2
Δ
− ; u
ik = u u u
y
i+1k− ik + i−1k
2
, ,
(Δ ) ∂
∂
2
y
∂ ∂ ∂
2
x y uik =
u u u u
x y
i+1k+1− i+1k−1− i−1k+1+ i−1k−1
, , , ,
Δ Δ
∂ ∂
4
x uik =
u u u u u
x
i k, i k, ik i k, i k, ( )
+2− +1+ − −1+ −
4
4
Δ
2
∂ ∂
4
y uik =
u u u u u
y
i+2k − i+1k + ik − i−1k + i− k
4
4
, , ,
(Δ )
2,
∂ ∂ ∂
4 2
x y uik = [
1
2 1 1 1 1
(Δ Δx y) , , , ,
ui+ k+ +ui+ k− +ui− k+ +ui− k− +
(4.16)
(3)Sử dụng công thức vừa lập xác định độ võng hình vng cạnh a, chịu tải trọng phân bố q, tác động theo phương pháp tuyến Cạnh x = ±a
2 tựa
trên gối, dọc y= ± a
2 cạnh bị ngàm Tính ứng suất
Phương trình chung uốn tấm:
4
x w ∂
∂ + 2
2
4
y x
w ∂ ∂
∂ + 4
y w ∂
∂ =
D
q (a’)
trong D - độ cứng Điều kiện biên:
taïi x = ±
a: w=0; 2
x w ∂
∂ = 0;
taïi y = ±
a:w = 0; y w ∂
∂ = 0; (b’)
Tấm chia thành lưới 4x4 với Δx = Δy = a/4
Từ điều kiện biên (b) thỏa mãn điều kiện w = cho tất nút nằm cạnh x = ±a
2 vaø y = ±
a
Hệ phương trình đại số để xác định hàm chuyển vị w(x,y) theo phương pháp sai phân hữu hạn lập sở biểu thức (a):
Δx4 ( 4
x w ∂
∂ + 2
2
4
y x
w ∂ ∂
∂ + 4
y w ∂ ∂ )
ik = (u i+2,k - 4u i+1, k + 6uik - 4u i-1,k + ui-2,k)
+2β(u i+1, k+1 + u i+1,k-1 - 2ui+1,k + 4uik -2ui,k-1 - 2ui-1,k + ui-1,k+1 + ui-1,k-1) +
+ β2 (ui,k+2 - 4ui,k+1 + 6uik - 4ui,k-1 + ui,k-2 ) = D
x
qikΔ (c’)
trong đó: β = 22
y x
Δ
Δ ; Trong trường hợp
β =1 qik = q = const
Thay giá trị Δx = Δ; y = a/4 vào phương trình cuối, thực phép tính cho tất nút, hệ phương trình đại số thep phương pháp lưới có dạng:
10w1 - 16w2 - 16w3 + w4 = C
-8w1 + 21w2 + 4w3 - 16w4 + w6 = C
(4)2w1 -8w2 - 8w3 + 22w4 + w5 + w9 = C (d’)
trong C =
D qa
256
4
(e’) Điều kiện biên 22
x w ∂
∂ = x = a/2 thỏa mãn hệ phương trình:
w2 + w6 =
w4 + w5 =
w7 = (f’)
Còn điều kiện
y w ∂
∂ = đưa đến:
w3 - w8 =
w4 - w9 =0
w10 = (g’)
Giải hệ phương trình đại số cho phép xác định hàm w(x,y) tất nút lưới
Ứng suất tính theo cơng thức:
σx = ∂ ∂
2
y w =
, ,
1
) (
2
y w w
wi k ik i k
Δ +
− −
+
σy = ∂ ∂
2
x w =
1 ,
,
) (
2
x w w
wik ik ik
Δ +
− −
+ ;
τxy = - ∂ ∂∂
x y w = x y
w w
w
wi k i k i k i k
Δ Δ
+ −
− + − − + − − +
+
4
1 , 1 , 1 , 1 ,
1 (h’)
Mặt khác phương trình (a’) được hiểu là:
) ( 2
2
w w
w=∇ ∇ =∇ ∇
∇ (i’)
Thay u = ∇2w vào phương trình Karman, viết sau:
D q u w=∇ =
∇
∇2 2 (j’)
Phương trình ∇2u = C thường gặp lý thuyết trường học chất rắn,
viết dạng đầy đủ C
y u x
u + =
2 2
∂ ∂ ∂
∂ Với C ≡ nhận phương trình
(5)Hệ phương trình suy từ phương pháp sai phân hữu hạn áp dụng cho phương trình Laplace phương trình Poisson có dạng:
0 )
( )
(
2 ,
,
, ,
1 − =
Δ + − +
Δ +
− − + −
+
C x
u u u
y u u
ui k ik i k ik ik ik (k’)
Như giải phương trình Karman theo cách tùy chọn, tính trực tiếp thơng qua phương trình Poisson dùng phương pháp sai phân Phương pháp sai phân hữu hạn thuộc nhóm phương pháp số, chương trình hố Dưới giới thiệu hàm viết C, giải phương trình Poisson theo phương pháp sai phân hữu hạn, trích thư viện toán người viết tài liệu (1992)
Giải phương trình Poisson ∇2Φ = Ψ(x,y)
Gọi chương trình:
Poison (int N, double length, double (*Phi)[MAX], double (*Psi)[MAX], int iters );
Với:
N Số đoạn phải chia D length Chiều dài cạnh L
Phi Matraän Φ Psi Matraän Ψ
iters Số lần lặp theo phương pháp Gauss-Seidel MAX Kích cỡ
Phương trình bản:
Φ i-1,j - 2Φ i,j + Φi+1,j Φ i,j-1 - 2Φ i,j + Φ i,j+1
- + - = Ψ i,j (Δx)2 ( Δy)2
vaø
Φ i,j ← (1/4) [Φ i-1,j + Φ i+1,j + Φ i,j-1 + Φ i,j+1 - (Δx)2 Ψ i,j ] Phương trình vi phân miêu tả uốn có dạng chung:
∇4w = ∂
∂
4
w x +
∂ ∂ ∂
4 2
w x y +
∂ ∂
4
w y =
q
D (*)
hàm w thỏa mãn điều kiện biên:
w = ∂2w/∂η2 = dọc cạnh với η- pháp tuyến đến cạnh tấm, D = Et3
12 1( −ν) E - mođun đàn hồi, t - chiều dầy υ - hệ số Poisson
Nếu ký hiệu u = ∇2w, để giải toán (*), cần thực hai lần tính sau: ∇2u = q
(6)[ ] 12 35 , 0 20 35 , 0 30 35 , 0 30 84 35 , 30 , 60 60 ) 09 , ( 180 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ × + + + × − + − × − + − × + × + + − = Et k
Phương trình cân theo phương pháp chuyển vị dùng đây:
⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ = ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − / , 22 , 32 , 32 , 158 , 163
3 w p
Et
x
θ
Nghieäm phương trình:
3 max
1 0,3617 Et
p w
w = =
Lời giải giải tích làm quen, wmax = 0,3355p/(Et3)
Khi tăng số phần tử thành 2x2, 4x4, 5x5 kết tính tương ứng là:
3 max 0,3512
Et p
w =
3 max 0,3397
Et p
w =
3 max 0,3378
Et p
w =
Tấm tam giác, bậc tự Phương trình chuyển vị:
w(x,y) = [P]{a}= [ x y x2 y2 x3 (x2y + xy2 ) y3 ] {a} (a’)
Phương trình thỏa mãn điều kiện liên tục toán uốn tấm:
∇2∇2 w = (b’)
Aùp dụng phương trình cho chuyển vị nút nhận được:
{δ} = [C]{a} (c’)
Matrận [C] có kích thước 9x9, phụ thuộc vào toạ độ nút i, i= 1, 2,
[C] =
1 0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
1 0 0
0 0 0
0 0 0
1
0 2
0
2 2 2 2 2
3 3
2
3 3
3
3
3 3
3
3 3 3
2
3 3
2 3 − − − − + + − − − − − + ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ y y y y y y
x y x x y y x x y x y y
x y x y x y
x y x y x y
( ) ( ) ( ) ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ y
(7)Trong phần trình bày giải thuật xử lý ma trận chúng tơi trình bày phương pháp tìm ma trận nghịch đảo sử dụng máy PC Matrận [C]-1 tính thủ
tục chuyên dùng Từ đó:
w = [N] {δ} = [P] [C]-1 {δ} (e’)
[N] = [P] [C]-1 (f’)
{ε} = [B] {δ} = [β]{a} = [β] [C]-1 {δ} (g’)
từ [B] = [β] [C]-1 (h’)
trong [β] = -z (i’)
0 0 0
0 0 0 2
0 0 0
x y
x x y
( + )
⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢
⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥
y
Matrận cứng phần tử tính theo (h) phần trên:
[k] = t [B]
A
∫∫ T[D] [B] dxdy (k’)
hoặc
[k] = {[C]-1 }T ( ∫∫ [β]T [D] [β] dxdy ) [C]-1 (
l’)
Tích phân nằm ngoặc đơn biểu thức cuối có dạng: [k*] = ∫∫ [β]T [D] [β] dxdy =
) ( 12
3 ν −
Et
∫∫
A