Đang tải... (xem toàn văn)
Tuy nhiên việc tìm được lời giải như vậy không phải là việc đơn giản. Bài toán 5.2 : Cho và[r]
(1)Phương pháp sử dụng Bất đẳng thức cổ điển I Bất đẳng thức Côsi
Trước hết ta nhắc lại BĐT Côsi cho hai số:
Định lí 1: Với hai số thực khơng âm x,y ta có: Đẳng thức xảy
Việc chứng minh (1) đơn giản nên không chứng minh (1) cịn có nhiều cách biểu diễn khác như:
BĐT Côsi cho số không âm
Định lí 2: Với số thực khơng âm ta có: Đẳng thức xảy
Chứng minh:
Đặt Khi (2) trở thành:
(*) Ta có:
Định lí 3: Cho n số thực khơng âm Ta có: (3).
Đẳng thức xảy
Một số ý sử dụng bất đẳng thức côsi:
* Khi áp dụng bđt cơsi số phải số không âm
* BĐT côsi thường áp dụng bđt cần chứng minh có tổng tích * Điều kiện xảy dấu ‘=’ số
Ví dụ 1: Cho hai số thực không âm a,b Chứng minh: Giải: Áp dụng BĐT Cơsi cho hai số thực khơng âm ta có:
đpcm
Đẳng thức xảy
Ví dụ 2: Cho Chứng minh:
Giải: Áp dụng BĐT Côsi cho hai số thực không âm ta có: đpcm
Đẳng thức xảy
Nhận xét: BĐT viết lại sau: (I) BĐT có nhiều ứng dụng chứng minh BĐT Ta xét số toán sau:
Bài toán 2.1: Cho a,b,c độ dài ba cạnh tam giác, p chu vi Chứng minh rằng:
(2)Bài toán 2.2: Cho Chứng minh: Giải: Ta có:
Mặt khác áp dụng BĐT (I) ta có:
Do đó: đpcm Đẳng thức xảy
Bài tốn 2.3: Cho Chứng minh BĐT sau: .
Giải: Áp dụng BĐT (I’) ta có: Tương tự:
Cộng ba BĐT ta có đpcm Đẳng thức xảy Bài toán 2.4: Cho số thực dương a,b,c Chứng minh rằng:
Giải: Áp dụng BĐT (I) ta có:
Tương tự
Cộng ba BĐT ta có đpcm Đẳng thức xảy
Ví dụ 3: Cho Chứng minh: với
Giải: Áp dụng BĐT Côsi cho hai số thực khơng âm ta có:
mà nên suy đpcm
Đẳng thức xảy Ví dụ 4: Cho Cmr:
Giải: Áp dụng BĐT Cơsi cho hai số thực dương ta có: Tương tự:
Mặt khác:
Vậy : đpcm Đẳng thức xảy
Ví dụ : Cho Chứng minh : (II)
(3)Nhận xét : * BĐT viết lại sau : (II) * Tương tự ta có BĐT tổng quát (I) (II) sau :
Cho n số thực dương : (III)
Đẳng thức xảy
Các BĐT (I), (II), (III) sử dụng nhiều toán BĐT Ta xét toán sau
Bài toán 5.1 : Cho ba số thực dương a,b,c Cmr : Giải : Cộng hai vế BĐT với BĐT cần chứng minh trở thành
Áp dụng BĐT (II) ta có : đpcm
Đẳng thức xảy
Nhận xét : BĐT có tên BĐT Nesbit cho ba số Có nhiều cách để chứng minh BĐT sau ta xét cách chứng minh cho BĐT
Đặt
Khi :
Đây lời giải có lẽ hay cho tốn Tuy nhiên việc tìm lời giải việc đơn giản
Bài toán 5.2 : Cho Cmr :
Giải : Ta có BĐT
Áp dụng BĐT (II) ta có : đpcm
Đẳng thức xảy
Bài toán 5.3 : Cho Chứng minh
Giải : Ta có