SKKN bat dang thuc

HIỆU QUẢ CỦA ĐỀ TÀI: Qua nhiều năm giảng dạy tôi thấy, nếu dùng BĐT 2 và BĐT 3 trong đề tài thì học sinh dễ nhận thấy dạng biểu thức cần biến đổi và giải được một số bài toán bất đẳng th[r]

Phần I LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI Bất đẳng thức là chuyên đề khá rộng và khó, là nội dung quan trọng thường xuất các đề thi tuyển sinh ĐH – CĐ năm Qua nhiều năm giảng dạy nội dung này cho các đối tượng học sinh khối 10 ôn thi ĐH – CĐ và bồi dưỡng học sinh giỏi thì đa số các học sinh gặp khó khăn sau: + Không biết phải đâu + Phương pháp giải không tự nhiên, lại phân tích thế? + Những bước biến đổi linh hoạt, phức tạp và phải đòi hỏi học sinh tư cao Để giúp học sinh giải phần nào khó khăn gặp bài toán CM Bất đẳng thức tìm GTLN và GTNN biểu thức, tôi xin trình bày sáng kiến kinh nghiệm với đề tài “một hướng biến đổi để chứng minh và hướng phát triển Bất Đẳng Thức”,với hy vọng sau học sinh sử dụng phương pháp này thì giải số bài toán CM Bất đẳng thức và số bài toán tìm GTLN và GTNN biểu thức theo dạng toán Bất đẳng thức chuyên đề này Mặc dù cố gắng song tề tài khó tránh khỏi thiếu sót, mong hội đồng chuyên môn góp ý Ba tơ, Ngày 10 tháng 05 năm 2012 Nguyễn Đăng Khoa Phần II NỘI DUNG CƠ SỞ LÍ LUẬN: 1.1 Định nghĩa bất đẳng thức: Cho số thực a và b Các mệnh đề “a > b” , “ a b ”, “a < b”, “ a b ” gọi là bất đẳng thức 1.2 Các tính chất: a  b   a c b  c + Nếu c > thì a > b  ac > bc + Nếu c < thì a > b  ac < bc + a b  ac bc 1.2.1 Các hệ quả: a  b  a c bd  c  d  + + a c b  a b  c a  b 0  ac  bd  c  d   +  n n + a  b 0 và n  N  a  b + a  b 0  a  b 3 + a b  a  b 1.2.2 Kết thường dùng: 2 + a  b c ab  bc  ca 1.2.3 Bất đẳng thức cô – si: n Cho n số không âm: a1,a2…an ta có: a a2   an n a1a2 an Dấu “=” xảy và khi: a1=a2=…=an THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ: Giả sử ta có bài toán sau: a2 b2 c2 a b c    Bài toán 1: Với a, b, c  CMR: b  c c  a a  b Ta biết bài toán này có nhiều cách giải: *Cách 1: Dùng phương pháp hàm số * Cách Cộng vào hai vế lượng dùng bất đẳng thức cô – si + Nếu theo cách thì cố cho học sinh kiến thức hàm số, theo cách này không áp dụng cho học sinh khối lớp 10 vì chưa đủ kiến thức để giải + Nếu theo cách thì cố cho học sinh kiến thức Bất đẳng thức Cô-Si, lời giải thiếu tự nhiên, vì theo cách này thì phải cộng vào lượng, Chỉ có học sinh giỏi thấy lượng này Qua khảo sát học sinh phần bất đẳng thức số lớp trường năm học 2010-2011 thu mẫu thống kê sau: Lớp 10A1 Năm học Kết 1/45 10A3 Ôn thi ĐH- Bồi dưỡng 0/38 CĐ 3/14 HSG 1/3 Nếu ta hướng dẫn học sinh giải bài toán theo hướng khác thì bài toán trở nên đơn giản và lời giải tự nhiên hơn.Sau đây tôi trình bày biện pháp để thực điều đó CÁC BIỆN PHÁP TIẾN HÀNH Ta đã biết BĐT Bunhacôpxki áp dụng cho các số thực: a 1,a2,…,an và b1,b2,… ,bn sau: (a1b1  a2b2   anbn ) (a12  a2   an )(b12  b22   bn ) a a1 a2    n bn Dấu “=” xảy và : b1 b2 Với b1 , b2 , , bn  Áp dụng BĐT (1) ta có:  a (a1  a2   an )   b  a b1  b2 a2 a a2     n   b1  b2   bn  b2 bn   b1 a b2   n bn  bn     (1) Từ đó suy BĐT: a (a  a   an ) a12 a2    n  b1 b2 bn b1  b2   bn (2) a a1 a2    n bn Dấu “=” xảy và khi: b1 b2 Nếu đặt b1 a1c1  0, b2 a2c2  0, , bn ancn  thì từ BĐT (2) ta có BĐT: a ( a  a   an ) a1 a2    n  c1 c2 cn a1c1  a2c2   an cn (3) Dấu “=” xảy và khi: c1=c2=…=cn Lời giải bài toán 1: a2 b2 c2 ( a  b  c) a  b  c     Áp dụng BĐT (2), ta có: b  c c  a a  b 2(a  b  c) (*) (đpcm) Tiếp tục tìm hiểu số bài toán sau: Bài toán 2: Cho a,b,c là ba số thực dương CMR: (a  b)2 (b  c ) (c  a)   4(a  b  c ) c a b Phân tích: + VT bài toán là tổng các phân thức, phân thức thì tử thức là bình phương biểu thức + Dấu BĐT bài toán cùng chiều với dấu BĐT (2) Áp dụng BĐT (2) ta : (a  b) (b  c)2 (c  a )2 4(a  b  c)    4(a  b  c) c a b a b c (đpcm) Như dùng BĐT(2) thì lời giải tự nhiên,ít sử dụng đến kiến thức toán học và làm cho học sinh dễ hiểu Bài toán 3: CMR với a,b,c là ba số thực dương, ta có: a2 b2 c2 3(ab  bc  ca )    b c c  a a b 2(a  b  c) Phân tích: + VT bài toán là tổng các phân thức, phân thức thì tử thức là bình phương biểu thức + Dấu BĐT bài toán cùng chiều với dấu BĐT (2) + Tổng các biểu thức mẫu VT biểu thức mẫu VP Áp dụng BĐT (2) ta được: a2 b2 c2 (a  b  c)2 a  b  c  2ab  2bc  2ca     b  c c  a a  b 2(a  b  c) 2(a  b  c) 2 Mà ta biết a  b  c ab  bc  ca a2 b2 c2 3( ab  bc  ca )    2(a  b  c) (đpcm) Nên suy ra: b  c c  a a  b Tương tự bài toán 2, cho thêm giả thiết: abc = thì ta có bài toán sau: Bài toán 4: Cho a,b,c là số thực dương và abc = a2 b2 c2    CMR: b  c c  a a  b (IMO – 1995) Lời giải: a2 b2 c2 (a  b  c) (a  b  c) 3 abc       b  c c  a a  b 2( a  b  c ) 2 (đpcm) Ta có Bài toán 5: Cho a,b,c là số thực dương, CMR: a2  b2 b2  c2 c2  a2   a  b  c a b bc ca Đối với bài toán thì khác , phải biến đổi tí dùng BĐT (2) Lời giải: a  b2 b2  c c  a a2 b2 b2 c2 c2 a2         bc ca a b a b b c b c c a c a Ta có: a  b  4(a  b  c) a  b  c 4( a  b  c) (đpcm) Bài toán 6: Cho các số a, b, c, p, q >0 CMR: a b c    pb  qc pc  qa pa  qb p  q Lời giải: a b c a2 b2 c2       Ta có: pb  qc pc  qa pa  qb apb  aqc bpc  bqa cpa  cqb 3(ab  bc  ca)  ( p  q )(ab  bc  ca) p  q (đpcm) Nhận xét: Qua bài toán trên, ta thấy: Nếu gán a 1,a2,a3 và b1,b2,b3 BĐT (2) biến số và biến đổi thông qua vài bất đẳng thức thì ta bai toán khác Vậy đây là hướng để sáng tác BĐT Chẳng hạn, gán a2 b2 c2 a1  , a2  , a3  b c a và b1 c  a, b2 a  b, b3 b  c vào BĐT(2) thì ta bài toán sau: Bài toán 7: Cho số a,b,c > CMR: a4 b4 c4    (a  b  c) b ( c  a ) c ( a  b ) a (b  c ) Nếu gán a1  a3 b3 c3 , a2  , a3  b c a và b1 b(a  c), b2 c(b  a ), b3 a (b  c ) vào BĐT ta bài toán sau: Bài toán 8: Cho số thực a,b,c >0 CMR: a6 b6 c6    (ab  bc  ca) 3 b ( a  c ) c ( a  b ) a (b  c ) Nhận xét: Như theo cách này ta sáng tác BĐT khó hơn, nhiều biến và có thể giải bài toán giá trị nhỏ biểu thức Xét bài toán 9: Cho số a,b,c > CMR: a b c    b  c c  a a  b (BĐT Nesbit) a b c 1  1 1    ca a b 2 Lời giải: BĐT  b  c  (a  b  c )( 1   ) bc c a a c 1   ) Mà b  c c  a a  c 2(a  b  c) (*) ( Từ đó suy (a  b  c)( 1   ) b c c a a c (đpcm) Những khó khăn học sinh: + Tại phải cộng vào vế cho và phân tích thế.(đòi hỏi học sinh phải tư duy, các bước biến đổi linh hoạt) + Phải CM BĐT (*) thì suy kết Nếu dùng BĐT (3) thì kết nào? a b c (a  b  c )2 a  b  c  2ab  2bc  2ca     2(ab  bc  ca) Ta có: b  c c  a a  b 2(ab  bc  ca) 2 Mà a  b  c ab  bc  ca a b c 3(ab  bc  ca)     (đpcm) Vậy b  c c  a a  b ab  bc  ca Bài toán 10: Cho a, b, c là độ dài cạnh tam giác CMR a b c   3 b c  a c a  b a b  c Ta có a b c   b  c  a c  a  b a b  c (a  b  c) (a  b  c )2   a(b  c  a )  b(c  a  b)  c (a  b  c) 2(ab  bc  ca)  (a  b  c )  a  b  c  2ab  2bc  2ca 3(ab  bc  ca)  3 2ab  2bc  2ca  ( ab  bc  ca) ab  bc  ca Như dùng BĐT(3) thì lời giải tự nhiên,ngắn gọn và dễ hiểu Nhận xét: Từ BĐT (3) cách gán a1 ,a2 ,a3 và c1 ,c2 ,c3 biểu thức ta bài toán Chẳng hạn: - Nếu gán: a1 = a, a2 = b, a3 = c và c1 bc(c  a) , c2 ac(a  b) , c3 ab(b  c ) thì ta bài toán sau: Bài toán 11: Cho số a,b,c > CMR a b c 27    bc(c  a) ca( a  b) ab(b  c) 2( a  b  c) (MO – Romanian 2004) 1 a1  , a2  , a3  a b c và c1 a(b  c ), c2 b(c  a ), c3 c (a  b ) , Nếu gán đó a,b,c >0 và abc = thì ta có bài toán sau: Bài toán 12: Cho số a, b, c >0 và abc = Tìm GTNN biểu thức P 1   a (b  c) b (c  a ) c (a  c) ( MO – USA) 2 2 - Nếu gán: a1 bc, a2 ac, a3 ab và c1 a b  a c , c2 b a  b c , c3 c a  c 2b (a,b,c >0) thì ta bài toán: Bài toán 13: Cho số a , b, c > CMR: bc ac ab bc  ca  ab    2 a b  a c b a b c c a c b 2 Từ bài toán 13, ta thêm giả thiết: abc = ta có bài toán sau: Bài toán 14: Cho số a, b, c > và abc = Tìm GTNN biểu thức P bc ac ab   2 a b  a c b a  b c c a  c 2b ( ĐH NN1 – 2000) Làm tương tự, ta có BĐT khác và hay HIỆU QUẢ CỦA ĐỀ TÀI: Qua nhiều năm giảng dạy tôi thấy, dùng BĐT (2) và BĐT (3) đề tài thì học sinh dễ nhận thấy dạng biểu thức cần biến đổi và giải số bài toán bất đẳng thức bài toán GTLN,GTNN biểu thức Một số kết thu năm học 2011-2012: Lớp Năm học Kết 10A1 19/46 10A4 Ôn thi ĐH- Bồi dưỡng 05/36 CĐ 7/12 HSG 3/3 TIỂU KẾT: Bất đẳng thức là chuyên đề khó, quan trọng và lượng bài tập phong phú, gặp bất đẳng thức các biểu thức phân thì sử dụng BĐT (2) và (3) tỏ hiệu vì có thể bỏ qua vài bước biến đổi phức tạp, đồng thời dễ nhận thấy biểu thức cần biến đổi Phần III KẾT LUẬN Khi nói Toán học là nhắc đến tính tư duy,suy luận logic Chính vì giảng giải bài toán giáo viên phải theo quy luật này thì học sinh thấy cái hay, cái đẹp toán từ đó kích thích say mê tim tòi, hứng thú cho học sinh, tạo cho các em có tính tự học cao Trong quá trình tự học, nghiên cứu tìm tòi qua sách báo tôi đúc kết cho mình hướng giải bài toán Bất đẳng thức, hai năm học qua tôi đã giang dạy theo cách này thì thấy hiệu quả, học sinh chủ động tiếp thu kiến thức có nhiều em giải bài toán dạng này Mặc khác, ta còn hướng dẫn cho học sinh biết cách sáng tạo bất đẳng thức mới, hay và khó Cần nhấn mạnh cho học sinh biết dạng toán nào thì sử dụng hai BĐT (2) và (3) Với khuôn khổ đề tài tôi xin trình bày khía cạnh để chứng minh BĐT Rất mong hội đồng chuyên môn nhà trường góp ý bổ sung để đề tài hoàn thiện hơn, có khả triển khai áp dụng áp dụng ôn thi ĐH – CĐ và bồi dưỡng HSG năm đạt kết tốt Xin chân thành cám ơn! Quảng Ngãi, Ngày 10 tháng năm 2012 Người thực Nguyễn Đăng Khoa BÀI TẬP THAM KHẢO [1] Phan Huy Khải, 10.000 bài toán sơ cấp- Bất đẳng thức, NXB Hà Nội (1198) [2] Trần Văn Kỷ, Chọn lọc 394 bài toán Bất đẳng thức, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ