[r]
(1)Giải nhiều cách câu 05 đề tuyển sinh vào lớp 10 chuyên ĐHSP Hà Nội
C©u 05 : Cho x,y là sè thưc dương và x+y=(x-y) √xy
Tìm GTNN của P = x+y
============================================ Chó ý : V× x, y > mµ x y
x y
xy => x > yCa
́ ch 01
x+y=(x-y) √xy ⇔ (x+y)2= (x-y)2xy ⇔ (x+y)2=xy(x+y)2-4(xy)2
⇔ (x+y)2= xy¿2
¿
4¿ ¿
=> xy-1>0
⇔ (x+y)2= xy¿2
¿
4¿ ¿
= 4(xy-1)+
xy−1 +8 16
⇔ (x+y)2 16 ⇔ (x+y) 4 (vì x+y>0)
=> GTNN (x+y) = ⇔ 4(xy-1)=
xy−1 ⇔ xy=2 mà x+y =4
=> x=2+ √2 ; y=2- √2
Ca
́ ch 02
x+y=(x-y) √xy ⇔ (x+y)2= (x-y)2xy ⇔ (x+y)2=xy(x+y)2-4(xy)2
⇔ (x+y)2= xy¿2
¿
4¿ ¿
sư dụng phương phap miÒn giá ́ trị vơi phương trình 4(xy)2 -xy(x+y)2 +(x+y)2 =0 Èn (xy) ta đươc (x+y)2
x+y¿2−16 ¿ ¿
0
⇔ (x+y)2 16 (vì x,y là các sè thưc dương) ⇔ (x+y)2 16 ⇔ (x+y) 4 (vì x+y>0)
=> GTNN (x+y) = ⇔ xy=2 mà x+y =4 => x=2+ √2 ;
y=2-√2
(2)Đặt
a=x − y>0 b=x+y>0
⇔
¿x=a+b y=b − a
2
¿{
¿
;( víi b > a )
Khi ta có toán sau : cho a > ; b > ; b > a thoả mãn :
a 2
√
b2
−a2=b (*) , Tìm giá trị nhỏ P = b (**)
Do từ (*) (**) ta có :
a
√
p2− a2=p⇔4p2− a2(p2− a2)=0⇔a4−a2.p2+4p2=0;(***)Thế rõ ràng để thoả mãn yêu cầu đầu phơng trình (***) bậc hai ẩn a2 phải có nghiệm
⇔Δ ≥0⇔p4−16p2≥0⇔p2−16≥0⇔p2≥16⇔p ≥4 ( v× P = b > )
Vậy giá trị nhỏ P = phơng trình (***) có nghiệm kép
a2=p
2 ⇔p=a√2⇒a=
√2;b=4(t/m(∗))⇒ x − y=
√2 x+y=4
⇔
¿x=2+√2
y=2−√2
{
Cách 04
Đặt
x=2+α y=2− α ;(0<α<2)⇒x+y=4
¿{
¿
; ta có tốn :
Cho < α<2 tho¶ m·n 2α
√
4− 2=4 giá trị nhỏ P = x+ y lµ (3)(ln p = ) Do giá trị nhỏ P
2α
√
4− α2=4⇔√
4− α2=2α ⇔α=±√2⇒α=√2;(t/m)⇔ x=2+√2
y=2−√2
¿{