[r]
(1)Giải nhiều cách Câu II phần đề thi vào lớp 10 chuyên ĐHKH Tự nhiên
===================================== Đề : Câu II phần 2
Giả sử x, y la số thực dương thỏa mãn điêu
kiện (√x+1) (√y+1)≥4
Tim giá trị nhỏ biểu thức : P=x
y + y2
x
====================================
C¸ch 01 :
Theo Bất đẳng thức Bunhiacơpsky ta có :
(√y2+√x2)
[
(
x √y)
2
+
(
y√x
)
2
]
≥(x+y)2⇔p ≥(x+y) (*)Mặt khác theo Bất đẳng thức Cơsi ta có : ¿
x+1≥2√x y+1≥2√y
⇔
¿x+3≥2(√x+1)
y+3≥2(√y+1)
⇒x+y+6≥2[(√x+1)+(√y+1)≥4√(√x+1) (√y+1)](**) {
mà (x+1) (y+1)4
nên từ (**) ⇒x+y+6≥8⇔x+y ≥2 (***)
Vậy từ (*) (***) ⇒p ≥2 giá trị nhỏ
cđa P lµ x=y=1(t/m)
Bình luận : Ta giải cách đặt
khác , nh đặt a = x2 > b = y2 > , ,
Chẳng hạn nh sau :
====================================
C¸ch 02 :
Khơng tính tổng qt ta đặt
¿
a=√x>0
b=√y>0 ⇔ ¿x=a2
y=b2 ¿{
¿
(2)Khi ta có toán( I) sau : cho a > ; b >
0 tho¶ m·n ( a+1)(b+1)
Tìm giá trị nhỏ P = ab42+
b4
a2 , thËt vËy ta
cã :
Theo Bất đẳng thức Bunhiacơpsky ta có :
P=(b2+a2)
[
(
a2
b
)
2
+
(
b2
a
)
2
]
≥(a2+b2)2⇔p ≥(a2+b2)=(a+1)2+(b+1)2−2(a+b+1)
Lại đặt
¿
X=a+1>1
Y=b+1>1 ⇒X+Y=a+b+2
¿{ ¿
;
ta lại có tốn(II) sau :
Cho X > ; Y > thoả mÃn X.Y Tìm giá trị
nhỏ nhÊt cđa biĨu thøc
P = X2 + Y2 2( X+Y -1) , ta cã lêi gi¶i sau :–
Ta cã P = X2 + Y2 – 2( X+Y -1) =
(X −2)2+(Y −2)2+2(X+Y −3) (*)
Mà theo côsi có : X+Y 2XY4X+Y 312(X+Y 3)2
( XY ) (X )2 vµ (Y – )2
nên P ,do giá trị nhỏ P
X= Y = hay a = b = hay x = y = Bình luận :
====================================
Cách 03 :
Xét toán (II) ta có :
Cho X > ; Y > tho¶ m·n X.Y Tìm giá trị
nhỏ biểu thức
(3)Đặt
X=2− α>1
Y=2+α>1 ⇒−1<α<1
¿{ ¿
; ta có tốn (III) sau:Cho −1<α<1 4− α2≥4 Tìm giá trị nhỏ
nhÊt cđa biĨu thøc P = +2α2 thËt vËy ta cã :
4− α2≥4⇔−α2≥0⇔α2≤0 mµ thùc rat a cã : α2≥0 nªn ta
suy α=0 (*)Mặt khác ta có p = 2+2α2≥2 Do
giá trị nhỏ P = =0 (t/m (*)) hay
X = Y =2 hay a = b = hay x =y = B×nh luËn :
====================================
C¸ch 04 :
XÐt toán (III) ta có : Cho 1<<1 4 24
Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = +2α2
Thật ta có :t 1<=m1<10<m<2 Khi ú ta
có toán (IV) míi sau : Cho 0<m<2 vµ
m−1¿2≥4
4 Tìm giá trị nhỏ nhât biểu thức P =
2m2 – 4m + ThËt vËy ta cã :
m−1¿2≤0
m−1¿2≥0⇔¿
m−1¿2≥4⇔−¿
4
mà lại có m120
nªn cã m – =0 hay m = ( t/m : 0<m<2)
Mặt khác có P = 2m2 – 4m + ⇔
2m2−4m+4− p=0 (*) Do tốn thoả mãn đầu phơng trình (*) có nghiệm
⇔Δ,≥0⇔4−2(4− P)04
+2P 02+P 0P 2
Vậy giá trị nhỏ P phơng trình (*)
cã nghiÖm kÐp m = ( t/m) hay α=0 hay X = Y
(4)Trên số cách tham khảo , ra nhiều cách giải khác , mong bạn tìm thêm !