sư dụng phương pháp miÒn giá trị vơi phương 2... Do đó giá trị nhỏ nhất của P là 4 khi.[r]
(1)Giải nhiều cách câu 05 đề tuyển sinh vào lớp 10 chuyên ĐHSP Hµ Néi C©u 05 : Cho x,y là sè thưc dương và x+y=(x-y) √ xy Tìm GTNN của P = x+y ============================================ Chó ý : V× x, y > mµ x y x y xy => x > y Cách 01 x+y=(x-y) √ xy ⇔ (x+y)2= (x-y)2xy ⇔ (x+y)2=xy(x+y)2-4(xy)2 xy ¿ ⇔ (x+y) = ¿ => xy-1>0 4¿ ¿ xy ¿ +8 16 ⇔ (x+y)2= ¿ = 4(xy-1)+ xy −1 4¿ ¿ ⇔ (x+y) 16 ⇔ (x+y) (vì x+y>0) => GTNN (x+y) = 4(xy-1)= ⇔ ⇔ xy=2 mà x+y =4 => xy −1 x=2+ √ ; y=2- √ Cách 02 x+y=(x-y) √ xy xy ¿2 ⇔ (x+y)2= ¿ 4¿ ¿ trình ⇔ (x+y)2= (x-y)2xy ⇔ (x+y)2=xy(x+y)2-4(xy)2 sư dụng phương pháp miÒn giá trị vơi phương 4(xy) -xy(x+y) +(x+y) =0 Èn (xy) ta đươc (x+y) 2 ⇔ (x+y)2 ⇔ (x+y)2 x+ y ¿ −16 ¿ ¿ 16 (vì x,y là các sè thưc dương) 16 ⇔ (x+y) (vì x+y>0) => GTNN (x+y) = ⇔ xy=2 mà x+y =4 => x=2+ √ ; y=2- √ C¸ch 03 (2) §Æt ¿ a=x − y> b=x + y >0 ⇔ a+b ¿ x= b−a y= ¿{ ¿ ;( víi b > a ) Khi đó ta có bài toán sau : cho a > ; b > ; b > a thoả m·n : a 2 √ b −a =b (*) , T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña P = b (**) Do đó từ (*) và (**) ta có : a √ p − a2= p ⇔ p2 − a2 ( p2 − a2 ) =0 ⇔ a −a p 2+ p2=0 ; (***) Thế thì rõ ràng để thoả mãn yêu cầu đầu bài thì ph ơng trình (***) bËc hai Èn a2 ph¶i cã nghiÖm 2 ⇔ Δ ≥0 ⇔ p −16 p ≥ ⇔ p −16 ≥ ⇔ p ≥16 ⇔ p ≥ ( v× P = b > ) VËy gi¸ trÞ nhá nhÊt cña P = ph¬ng tr×nh (***) cã nghiÖm kÐp p ⇔ p=a √ ⇒a= ; b=4(t /m(∗))⇒ √2 x − y= √2 x+ y=4 ⇔ ¿ x=2+ √ y =2− √ ¿{ C¸ch 04 a2 = ¿ x=2+α y=2 − α §Æt ;( 0<α < 2)⇒ x+ y=4 ¿{ ¿ Cho < α < tho¶ m·n ; đó ta có bài toán là : th× gi¸ trÞ nhá nhÊt cña P = x+ y lµ α √ − α =4 v× x + y =4 , h¬n n÷a ta cÇn chøng minh : p≥ ⇔ p − ≥ ⇔4 ≥ (3) (luôn đúng vì p = ) Do đó giá trị nhỏ P là 2 2 α √ − α =4 ⇔ √ − α = ⇔ α =± √2 ⇒α =√ ;(t /m)⇔ α x=2+ √ y=2 − √ ¿{ Trªn ®©y lµ mét sè c¸ch tham kh¶o , ngoµi cßn nhiÒu c¸ch kh¸c n÷a c¸c h ·y t×m thªm ! (4)