[r]
(1)Giải nhiều cách Câu II phần 2 đề thi vào lớp 10 chuyên ĐHKH Tự nhiên ===================================== Đề : Câu II phần 2
Giả s x, y s thc dng tha mÃn iều
kin (x+1) (y+1)4
Tìm giá tr nh biểu thức : P=x
2
y + y2
x
====================================
C¸ch 01 :
Theo Bất đẳng thức Bunhiacơpsky ta có :
(√y2
+√x2)
[
(
x√y
)
2
+
(
y√x
)
2
]
≥(x+y)2⇔p ≥(x+y) (*)Mặt khác theo Bất đẳng thức Cơsi ta có :
¿
x+1≥2√x y+1≥2√y
⇔
¿x+3≥2(√x+1)
y+3≥2(√y+1)
⇒x+y+6≥2[(√x+1)+(√y+1)≥4√(√x+1) (√y+1)](**)
¿{
¿
mµ (√x+1) (√y+1)≥4
nªn tõ (**) ⇒x+y+6≥8⇔x+y ≥2 (***)
Vậy từ (*) (***) ⇒p ≥2 giá trị nhỏ P x=y=1(t/m)
Bình luận : Ta giải cách đặt
khác , nh đặt a = x2 > b = y2 > , ,
Chẳng hạn nh sau :
====================================
C¸ch 02 :
Khơng tính tổng qt ta đặt
¿
a=√x>0
b=√y>0
⇔
¿x=a2
y=b2
¿{
¿
(2)Khi ta có tốn( I) sau : cho a > ; b > tho ( a+1)(b+1)
Tìm giá trÞ nhá nhÊt cđa P = ab42+
b4
a2 , thËt vËy ta
cã :
Theo Bất đẳng thức Bunhiacơpsky ta có :
P=(b2+a2)
[
(
a2
b
)
2
+
(
b2
a
)
2
]
≥(a2+b2)2⇔p ≥(a2+b2)=(a+1)2+(b+1)2−2(a+b+1)
Lại đặt
¿
X=a+1>1
Y=b+1>1
⇒X+Y=a+b+2
¿{
¿
;
ta lại có tốn(II) sau :
Cho X > ; Y > tho¶ m·n X.Y Tìm giá trị
nhỏ biÓu thøc
P = X2 + Y2 2( X+Y -1) , ta cã lêi gi¶i sau :–
Ta cã P = X2 + Y2 – 2( X+Y -1) =
(X −2)2+(Y −2)2+2(X+Y −3) (*)
Mµ theo côsi có : X+Y 2XY4X+Y 312(X+Y 3)2 ( XY ) vµ (X – )2 vµ (Y – )2
nên P ,do giá trị nhỏ P X= Y = hay a = b = hay x = y =
B×nh luËn :
====================================
Cách 03 :
Xét toán (II) trªn ta cã :
Cho X > ; Y > thoả mÃn X.Y Tìm giá trị
(3)Đặt
X=2− α>1
Y=2+α>1
⇒−1<α<1
¿{
¿
; ta có tốn (III) sau:Cho −1<α<1 4− α2≥4 Tìm giá trị nhỏ
nhÊt cđa biĨu thøc P = +2α2 thËt vËy ta cã : 4− α2≥4⇔−α2≥0⇔α2≤0 mµ thùc rat a cã : α2≥0 nªn ta
suy α=0 (*)Mặt khác ta có p = 2+2α2≥2 Do
giá trị nhỏ P = α=0 (t/m (*)) hay
X = Y =2 hay a = b = hay x =y = Bình luận :
====================================
Cách 04 :
Xét toán (III) ta có : Cho 1<<1 4 24
Tìm giá trị nhỏ biểu thøc P = +2α2
Thật ta có :Đặt −1<α=m−1<1⇔0<m<2 Khi ta
cã bµi toán (IV) sau : Cho 0<m<2
m124
4 Tìm giá trị nhỏ nhât biểu thøc P =
2m2 – 4m + ThËt vËy ta cã :
m−1¿2≤0
m−1¿2≥0⇔¿
m124
4
mà lại có m120
¿
nªn cã m – =0 hay m = ( t/m : 0<m<2) Mặt khác có P = 2m2 – 4m + ⇔
2m2−4m+4− p=0
(*) Do tốn thoả mãn đầu phơng trình (*) có nghiệm
⇔Δ,≥0⇔4−2(4− P)≥0⇔−4
+2P ≥0⇔−2+P ≥0⇔P ≥2
VËy gi¸ trị nhỏ P phơng trình (*) cã nghiÖm kÐp m = ( t/m) hay α=0
hay X = Y =2 hay a = b = hay x = y =1 B×nh luËn :
(4)Theo Bất đẳng thức Bunhiacơpsky ta có :
(√y2+√x2)
[
(
x√y
)
2
+
(
y√x
)
2
]
≥(x+y)2⇔p ≥(x+y) (*)lại Theo bất đẳng thức côsi ta có : 4≤(√x+1)(√y+1)≤
(
√x+1+√y+12
)
2
(**)
Mặt khác theo bất đẳng thức bunhiacôpsky ta có
(1.√x+1.√y)≤√2(x+y)⇔(√x+1+√y+1)≤2+√2(x+y)⇔(√x+1+√y+1) ≤
(
2+√2(x+y)
)
⇔
(
√x+1+√y+12
)
2
≤
(
2+√2(x+y)2
)
2
(***) Tõ (**) vµ (***) ta cã :
(
2+√2(x+y)2
)
2
≥4⇔2+√2(x+y)≥4⇔x+y ≥2 (****) ,
Do từ (*) (****) ta có giá trị nhỏ P x = y =
Trên số cách tham khảo , ra còn nhiều cách giải khác , mong bạn tìm thêm !