[r]
(1)Giải câu 05
Đề thi vào lớp 10 môn toán bắc ninh 2012-2013
===================================== Câu 05 :
Cho số x ; y thoả mÃn x 0; y 0 x+ y =
.Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức A = x2 + y2
I- tìm giá trị nhỏ
Cách 01 :
a) Tìm giá trị nhỏ biểu thức A
Ta cã x + y = nªn y = - x + thay vµo A = x2 + y2 ta cã :
x2 + ( -x + 1)2 - A = hay 2x2 - 2x + ( 1- A) = (*)
do để biểu thức A tồn giá trị nhỏ giá trị lớn chỉ phơng trình (*) có nghiệm hay
Δ' 012(1 A)02A 10A 1
2 Vậy giá trị nhá nhÊt cđa biĨu
thøc A lµ
2 phơng trình (*) có nghiệm kÐp hay x =
2 mµ x + y
= th× y =
2 VËy Min A = 1/2 x = y = 1/2 ( t/m) b) Tìm giá trị lớn biểu thức A
Cách 02 :
a) Tìm giá trị nhỏ nhÊt cđa biĨu thøc A
Theo Bất đẳng thức Bunhia ta có = x + y hay 1= (x + y)2 2(x2+y2)⇔x2+y2≥1
2 Vậy giá trị nhỏ biểu thức A lµ
1/2 x = y mµ x + y =1 hay x =y = 1/2 ( t/m)
b) Tìm giá trị lớn biểu thức A Cách 03 :
a) Tìm giá trÞ nhá nhÊt cđa biĨu thøc A
Khơng tính tổng quát ta đặt
¿
x=1− m
y=m
¿{
¿
víi 0≤ m≤1
Mà A= x2 + y2 Do A = ( 1- m)2 + m2 hay A= 2m2 - 2m +1
hay 2A = (4m2 - 4m + 1) + hay 2A = (2m- 1)2 + hay
A=(2m−1)
2
2 +
1 2≥
1
Vậy giá trị nhỏ biểu thøc A lµ 1/2 m= 1/2 hay x = y = 1/2.
b) Tìm giá trị lớn biểu thức A. Cách 04 :
a) Tìm giá trị nhỏ biểu thức A
(2)mµ xy (x+y)
2
4 ⇔xy≤
4⇒−2 xy≥
−1
2 ⇔1−2 xy≥ 2⇒A ≥
1
Vậy giá trị nhỏ biểu thức A lµ 1/2 x = y = 1/2
b) Tìm giá trị lớn biểu thức A. Cách 05 :
a)Tìm giá trị nhỏ biểu thức A
Xét toán phụ sau : Với a , b c ; d > ta lu«n cã : a2
c + b2
d ≥
(a+b)2
c+d (*) , dÊu = x¶y “ ”
a c=
b d ThËt vËy : cã (
√
x2+√
y2)[
(
a√x
)
2
+
(
b√y
)
2
]
≥(a+b)2⇔ a2
x + b2
y≥
(a+b)2
x+y (§PCM)
.áp dụng
Cho a = x b = y ,tõ (*) cã : A= x2 + y2 = x2 1+
y2
1 ≥
(x+y)2
2 mµ x+ y =1
Nên A
2 Vậy giá trị nhỏ biểu thức A 1/2 x = y = 1/2. b) Tìm giá trị lớn nhÊt cđa biĨu thøc A
C¸ch 06 :
a)Tìm giá trị nhỏ biểu thức A Ta cã A = x2 + y2 hay xy = 1− A
2 (*) mµ x + y =1 (**)
VËy tõ (*) ;(**) có hệ phơng trình
x+y=1
xy=1− A
2 ¿{
¿
,hÖ nµy cã nghiƯm
x ≥0; y ≥0⇔1−2(1− A)≥0⇔A ≥1
2 Vậy giá trị nhỏ biĨu thøc
A lµ 1/2 x+ y =1 vµ x2 + y2 =
2 hay x = y = 1/2 b) T×m giá trị lớn biểu thức A
Cách 07 :
a)Tìm giá trị nhỏ biÓu thøc A
Ta cã A = x2 + y2 = x2 + y2 + - mà x + y =1 nên A = x2 + y2 - x - y -1
Hay A =
(
x2− x+1
4
)
+(
y 2− y+1
4
)
+ 2≥1
2 Vậy giá trị nhỏ biểu
thøc A lµ 1/2 x = y = 1/2
b) Tìm giá trị lớn biểu thức A cách 08 :
a)Tìm giá trÞ nhá nhÊt cđa biĨu thøc A Ta cã A= x2 + y2 = x
2
+y2
1 =
x2+y2
x+y =
x2 x+y+
y2 x+y≥
(x+y)2
2(x+y)=
x+y
(3)Mµ x + y =1 nên A
2 Vậy giá trị nhỏ biểu thức A 1/2
khi x = y = 1/2
b)T×m giá trị lớn biểu thức A Cách 09 :
a)Tìm giá trị nhỏ biĨu thøc A
Ta có x + y = đờng thẳng , x2 + y2 = A đờng trịn
có tâm gốc toạ độ O bán kín √A mà x 0; y ≥0⇒ thuộc góc phần t thứ đờng tròn Do để tồn cực trị khoảng cách từ O đến đờng thẳng x + y =1 phải nhỏ hay bán kín đờng trịn hay A
2 VËy gi¸ trị nhỏ biểu thức A
là 1/2 x =y = 1/2.
b)Tìm giá trị lín nhÊt cđa biĨu thøc A C¸ch 10 :
a)Tìm giá trị nhỏ biểu thøc A Ta cã x + y =1 ⇔x+y −1
2=
2 Vậy để chứng minh A
víi A = x2 + y2 ta cần chứng minh x2+y2≥ x+y −1
ThËt vËy :
Ta cã x2+y2≥ x+y −1
2
Hay
(
x −12
)
+
(
y −12
)
≥0 ( ) Vậy A
2 Vậy giá trị nhỏ
nhất cđa biĨu thøc A lµ 1/2 x = y =1/2
b)Tìm giá trị lớn biểu thức A Cách 11 :
a)Tìm giá trị nhỏ biểu thức A
Khơng tính tổng qt ta đặt
¿
x=2− m
y=m−1 ⇒1≤m ≤2
¿{
¿
.Do A = x2 + y2 hay (2-m)2 + (m-1)2 - A =0 hay 2m2 - 6m +5 = A
Hay A=(2m−3)
2
2 +
1 2≥
1
Vậy giá trị nhỏ A 1/2 x = y = 1/2.
b)Tìm giá trị lớn biểu thức A C¸ch 12 :
(4)Khơng tính tổng quát ta đặt
¿
x=3−m
y=m−2 ⇒2≤m ≤3
¿{
¿
.Do A = x2 + y2 hay (3-m)2 + (m-2)2 - A =0 hay 2m2 - 10m +13 = A
Hay A=(2m−5)
2
2 +
1 2≥
1
Vậy giá trị nhỏ A 1/2 x = y = 1/2.
b)Tìm giá trị lớn nhÊt cđa biĨu thøc A C¸ch 13 :
a)Tìm giá trị nhỏ biểu thức A
Ta cã x + y =1 hay (x+1) + (y +1) = mµ A = x2 + y2 hay
A = (x2 + 2x + 1) + ( y2 + 2y +1) - hay A = (x+1)2 + ( y+1)2 - 4
,do ta đặt
¿
a=x+1
b=y+1 ⇒
¿a≥1
b ≥1 ¿{
¿
Khi ta có toán sau :
Cho hai sè a , b tho¶ m·n a ≥1;b ≥1 vµ a + b =3 Tìm giá trị nhỏ của biểu thức A = a2 + b2 - 4
ThËt vËy : Ta cã A = a2 + b2 - = (a+b)2 - 2ab - = - 2ab ( a+b=3)
Mặt khác theo côsi có : ab≤(a+b)
2
4 =
9
4 A
2 Vậy giá trị nhỏ
nhất biểu thức A lµ 1/2 x = y = 1/2.
b)Tìm giá trị lớn biểu thức A Cách 14 :
a)Tìm giá trị nhỏ nhÊt cđa biĨu thøc A
Khơng tính tổng quát ta đặt
¿
x=a − m
y=m− b ⇒b ≤ m≤ a
¿{
¿
( với a > b a - b =1 hay a = b+ hay a > b ) .Do A = x2 + y2 hay (a-m)2 + (m-b)2 - A =0 hay
2m2 - 2m (a+b) +(a2 + b2) = A hay
Hay 2A=[2m−(a+b)]2
+2(a2+b2)−(a+b)2⇔A=[2m−(a+b)]
2
2 +
1 2≥
1
(Vì a - b= 1)
Vậy giá trị nhỏ nhÊt cđa A lµ 1/2 x = y = 1/2.
b)Tìm giá trị lớn biểu thức A c¸ch 15 :
(5)Ta cã x + y =1 hay y = - x mµ y 0⇔0≤ x ≤1
Do x2 + y2 - A = hay x2 - 2x +( - A ) =
Khi ta có tốn sau :
Tìm A để phơng trình x2 - 2x +( - A ) = (*) có nghiệm 0≤ x1≤ x2≤1
Víi x1 ; x2 nghiệm phơng trình (*)
Tht vy phơng trình (*) có nghiệm
0≤ x1≤ x2≤1⇔
¿
x2≥ x1≥0
x1≤ x2≤1
⇔
¿x1≥0
x2≥0 ¿x1≤1
x2≤1 ¿
no
¿⇔ ¿S ≥0
P≥0 ¿S ≤2
P ≤1 ¿
no
¿⇔ ¿Δ' ≥0
S ≥0
P≥0 ¿Δ' ≥0
S ≤2
P ≤1 ¿
no
¿⇔1
2≤ A ≤1 ¿ ¿{ {
{ {
¿{ {
¿{ {
¿ ¿¿¿{
¿
(6)b)Tìm giá trị lớn biểu thức A
Vậy theo ta có giá trị lín nhÊt cđa biĨu thøc A lµ 1 x = y = x= y =
II- tìm giá trị lín nhÊt
C¸ch 01 :
VËy theo ta có giá trị lớn biểu thøc A lµ 1 x = vµ y = x= y = 0
C¸ch 02 :
Ta cã A = x2 + y2 hay xy = 1− A
2 (*) x + y =1 mà x 0; y ≥0↔xy≥0
Do theo (*) có A Vậy giá trị lớn biểu thức A 1 x = y = x= y = 0
C¸ch 03 :
Khơng tính tổng quát ta đặt
¿
x=sin2α ≥0
y=cos2α ≥0
¿{
¿
Do A = sin4α+cos4α=1−2(sinα cosα)2≤1
VËy giá trị lớn biểu thức A 1 x = y = x= vµ y = 0
…