[r]
(1)C©u 05 : Cho x,y là những số thực dương và x+y=(x-y) √xy
Tìm GTNN của P = x+y
============================================
Chó ý : Vì x, y > mà x y
x y
xy => x > yCá ch 01
x+y=(x-y) √xy ⇔ (x+y)2= (x-y)2xy ⇔ (x+y)2=xy(x+y)2-4(xy)2
⇔ (x+y)2=
xy¿2 ¿ 4¿
¿
=> xy-1>0
⇔ (x+y)2=
xy¿2 ¿ 4¿
¿
= 4(xy-1)+ xy4−1 +8 16
⇔ (x+y)2 16 ⇔ (x+y) 4 (vì x+y>0)
=> GTNN (x+y) = ⇔ 4(xy-1)= xy4−1 ⇔ xy=2 mà x+y =4 => x=2+ √2 ; y=2- √2
Cá ch 02
x+y=(x-y) √xy ⇔ (x+y)2= (x-y)2xy ⇔ (x+y)2=xy(x+y)2-4(xy)2
⇔ (x+y)2=
xy¿2 ¿ 4¿
¿
sử dụng phương pháp miền giá trị với phương trình 4(xy)2 -xy(x+y)2 +(x+y)2 =0 ẩn (xy) ta được (x+y)2 x+y¿
2
−16 ¿ ¿
0
⇔ (x+y)2 16 (vì x,y là các số thực dương)
⇔ (x+y)2 16 ⇔ (x+y) 4 (vì x+y>0)
=> GTNN (x+y) = ⇔ xy=2 mà x+y =4 => x=2+ √2 ; y=2- √2
(2)Đặt
a=x y>0
b=x+y>0 ⇔
¿x=a+b
2 y=b − a
2 ¿{
¿
;( víi b > a )
Khi ta có toán sau : cho a > ; b > ; b > a thoả mãn : a
2
√
b2
−a2=b (*) , Tìm giá trị nhỏ P = b (**)
Do từ (*) (**) ta có :
a
√
p2− a2=p⇔4p2− a2(p2− a2)=0⇔a4−a2.p2+4p2=0;(***)Thế rõ ràng để thoả mãn yêu cầu đầu phơng trình (***) bậc hai ẩn a2 phải có nghiệm ⇔Δ ≥0⇔p4−16p2≥0⇔p2−16≥0⇔p2≥16⇔p ≥4
( v× P = b > )
Vậy giá trị nhỏ P = phơng trình (***) có nghiệm kÐp a2
=p
2
2 ⇔p=a√2⇒a=
√2;b=4(t/m(∗))⇒ x − y=
√2 x+y=4
⇔
¿x=2+√2 y=2−√2
¿{
C¸ch 04
Đặt
x=2+
y=2
;(0<α<2)⇒x+y=4
¿{
¿
; ta có tốn :
Cho < α<2 tho¶ m·n 2α
4 2=4 giá trị nhỏ nhÊt cđa P = x+ y lµ
vì x + y =4 , ta cần chứng minh : p≥4⇔p −4≥0⇔4≥4 (ln p = ) Do đó giá trị nhỏ P khi
2α
√
4− α2=4⇔√
4− α2=2α ⇔α=±√2⇒α=√2;(t/m)⇔ x=2+√2
(3)