Giải Câu 5 Toán chuyên SP vòng 1

Câu 5. 2011 2012 2013 2011 2012 2013 2011 2012 2013 2011 2012 2013 x y z y z x y z x z x y  + + + + + = + + + + +   + + + + + = + + + + +   Đặt 2011, 2011, 2011a x b y c z= + = + = + Ta có hệ 1 2 1 2 1 2 1 2 A B B C a b c b c a b c a c a b  + + + + = + + + +    + + + + = + + + +    1 4 4 4 2 4 4 43 1 4 4 4 2 4 4 43 1 4 4 4 2 4 4 43 1 4 4 4 2 4 4 43 Giả sử ax{a;b;c}c m= thì xét A C= Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 * 1 2 1 2 1 1 a b c c a b a a b b c c a a b b c c c c a a b b c c c c + + + + = + + + + ⇔ + − + + − + = + − ⇔ + − + + − + = + − + + + − ⇔ + = + + + + + + + + + + + Mặt khác, 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 c a a a c c c b b b c c ≥ ⇒ ≤ + + + + ≥ ⇒ ≤ + + + + + + Suy ra (*) xảy ra khi a=b=c, suy ra x=y=z. . Câu 5. 2 011 2 012 2 013 2 011 2 012 2 013 2 011 2 012 2 013 2 011 2 012 2 013 x y z y z x y z x z x y  + + + + + = + + + + +   + + + + + = + + + + +   Đặt 2 011 , 2 011 , 2 011 a x b y c z=. 43 Giả sử ax{a;b;c}c m= thì xét A C= Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 * 1 2 1 2 1 1 a b c c a b a a b b c c a a b b c c c c a a b b c c c c + + + + = + +. + = + = + Ta có hệ 1 2 1 2 1 2 1 2 A B B C a b c b c a b c a c a b  + + + + = + + + +    + + + + = + + + +    1 4 4 4 2 4 4 43 1 4 4 4 2 4 4 43 1 4 4 4 2 4 4 43 1 4 4 4 2 4 4 43 Giả