Lời giải câu 5 đề thi Toán vào ĐH khối A năm 2009

LỜI GIẢI CÂU 5 ĐỀ THI MÔN TOÁN TUYỂN SINH VÀO ĐẠI HỌC NĂM 2009

Trong đề thi tuyển sinh Đại học năm 2009 có bài toán sau:

Chứng minh rằng với mọi số thực dương x y z , , thoả mãn x x y z ( + + = ) 3 yz, ta có

(x+y) +(x+z) +3(x+y)(x+z)(y+z) 5(y+z)≤ (1)

Ngoài cách giải của đáp án, tôi xin trình bày một số cách giải khác để các bạn cùng tham khảo:

Bài giải:

Cách1:(Biến đổi tương đương):

Biến đổi điều kiện đã cho dưới dạng: x2 + x y z ( + = ) 3 yz(*)

(1)⇔2x3 +3 (x y z2 + +) 3 (x y2 +z2)+y3 + +z3 3(y z x+ )[ 2 +x y z( + +) yz]−5(y z+ )3≤0

⇔ 2 [x x2 +x y z( + )]+x (2 y z+ +) 3 (x y2 +z2)+ y3 + +z3 12(y z yz+ ) −5(y z+ )3 ≤0

⇔ 6xyz +x (2 y z+ +) 3 (x y2 +z2)+ y3 + +z3 12(y z yz+ ) −5(y z+ )3≤0

⇔ x y z2( + +) 3 (x y z+ )2 +(y z+ )3+9( y z yz+ ) −5(y z+ )3 ≤0

Nếu 2x > + y z, ta có : ( )2

y z

y z y z

Không thoả mãn điều kiện :x x y z ( + + = ) 3 yz

Vậy 2x y z ≤ + Mặt ≠, , ,x y z >0 nên (2) đúng ⇒(1) đúng, dấu "=" xảy ra khi x y z= =

Cách 2:( Sử dụng hàm số)

Chứng minh giống cách 1, ta có :0

2

y z

< ≤

Với 0

2

y z

< ≤ , y z , > 0

Xét hàm số: f x ( ) = (x+y)3 + (x+z)3 + 3(x+y)(x+z)(y+z)

Có f x '( ) 3( = x y + )2 + 3( x z + )2 + 3( x z y z + )( + + ) 3( x y y z + )( + > ) 0

Do đó, f x ( ) luôn đồng biến Mặt khác f x ( ) là hàm số liên tục nên

với 0

2

y z

< ≤ , ta có ( )

2

y z

f x f  + 

≤   ÷  Lại có:

3

2

y z

f + = x y z + + − x y x z + + x y z + + + x y x z y z + + +

= 8( y z + )3 − 6 ( x x y x z + )( + = ) 8( y z + )3 − + ( y z )(3 x2 + 3 ( x y z + + ) 3 ) yz

8( y z ) ( y z )(3 x 3 ( x y z ) 3 ) yz

= + − + + + + = 8( y z + )3 − 4( y z x + )[ 2 + x y z ( + )]

y z y z

= + − + + = 8( y z + )3 − 3( y z + )3 = 5( y z + )3

Suy ra ( )3

( ) 5

f x ≤ y z + (đpcm) Dấu "=" xảy ra khi x y z= =