SỞ GD & ĐT HÀ NAM TRƯỜNG THCS LIÊM THUẬN ĐỀ thi tuyÓn sinh vµo líp 10 thpt M«n thi: To¸n Thêi gian lµm bµi: 120 phót (kh«ng kÓ thêi gian giao ®Ò) Đơn vị công tác: Trường THCS Liêm Thuận Câu 1:(1,5 đ) Rút gọn các biểu thức sau: 1) A = 1 2 20 80 45 2 3 − + 2) B = 7 7 7 7 3 . 3 7 1 7 1 − + − + ÷ ÷ ÷ ÷ − + Câu 2:(3đ) 1) Giải hệ phương trình: -2x + y = 2y-1 3x + y = 3 - x 2) Gọi x 1 , x 2 là hai nghiệm của phương trình: x 2 – x - 11 = 0. Tính giá trị biểu thức P = 1 2 1 1 x x + . 3) Biết đường thẳng y = ax + b đi qua điểm M ( 2; 1 2 ) và song song với đường thẳng 2x + y = 3. Tìm các hệ số a và b. Câu 3.(1,5đ) Một xe lửa đi từ Huế ra Hà Nội. Sau đó 1 giờ 40 phút, một xe lửa khác đi từ Hà Nội vào Huế với vận tốc lớn hơn vận tốc của xe lửa thứ nhất là 5 km/h. Hai xe gặp nhau tại một ga cách Hà Nội 300 km. Tìm vận tốc của mỗi xe, giả thiết rằng quãng đường sắt Huế-Hà Nội dài 645km. Câu 4.(3đ) Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. C là một điểm nằm giữa O và A. Đường thẳng vuông góc với AB tại C cắt nửa đường tròn trên tại I. K là một điểm bất kỳ nằm trên đoạn thẳng CI (K khác C và I), tia AK cắt nửa đường tròn (O) tại M, tia BM cắt tia CI tại D. Chứng minh: 1) ACMD là tứ giác nội tiếp đường tròn. 2) ∆ABD ~ ∆MBC 3) Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AKD nằm trên một đường thẳng cố định khi K di động trên đoạn thẳng CI. Câu 5: (1đ) Cho hai số dương x, y thỏa mãn điều kiện x + y = 1. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = 2 2 1 1 x y xy + + HƯỚNG DẪN CHẤM Câu 1: 1) A = 1 2 4.5 16.5 9.5 2 3 − + = 5 4 5 2 5− + = 5− (0,75 đ). 2) 7 7 7 7 B = 3 . 3 7 1 7 1 − + − + ÷ ÷ ÷ ÷ − + ( ) ( ) ( ) ( ) 7 7 1 7 7 1 3 3 3 7 3 7 2 7 1 7 1 − + ÷ ÷ = − + = − + = ÷ ÷ − + (0,75 đ) Câu 2: 1) (1đ) -2x + y = 2y-1 2x + y = 1 2x = 2 x = 1 3x + y = 3 - x 4x + y = 3 y = 1 - 2x y = - 1 ⇔ ⇔ ⇔ 2) (1đ) Phương trình x 2 – x - 11 = 0 có a, c trái dấu nên có hai nghiệm phân biệt x 1 ; x 2 . Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có: x 1 + x 2 = 1 và x 1 x 2 = - 11. Do đó: P = 1 2 1 2 1 2 x x1 1 1 1 x x x x 11 11 + + = = = − − . 3) (1đ) Viết đường thẳng 2x + y = 3 về dạng y = - 2x + 3. Vì đường thẳng y = ax + b song song với đường thẳng trên, suy ra a = - 2 (1) Vì đường thẳng y = ax + b đi qua điểm M (2; 1 2 ) nên ta có: 1 2a + b 2 = (2). Từ (1) và (2) suy ra a = - 2 và b = 9 2 . Câu 3:(1,5đ) Gọi x (km/h) là vận tốc của xe lửa thứ nhất đi từ Huế đến Hà Nội. Khi đó vận tốc của xe lửa thứ hai đi từ Hà Nội là: x + 5 (km/h) (ĐK: x > 0) (0,25 đ) Theo giả thiết, ta có phương trình: 300 5 345 5 3x x + = + ( ) ( ) 2 900 5 5 1035 5 22 1035 0x x x x x x⇔ + + = + ⇔ − − = (0,5đ) Giải phương trình ta được: 1 23x = − (loại vì x > 0) và 2 45 0x = > (0,5 đ). Vậy vận tốc xe lửa thứ nhất là: 45 km/h và vận tốc xe lửa thứ hai là: 50 km/h (0,25 đ) Câu 4: (3đ) 1)(1đ) Ta có: · 0 AMB 90= (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) · 0 AMD 90⇒ = . Tứ giác ACMD có · · 0 AMD ACD 90= = , suy ra ACMD nội tiếp đường tròn đường kính AD. 2) (1đ) ∆ABD và ∆MBC có: µ B chung và · · BAD BMC= (do ACMD là tứ giác nội tiếp). E D M I C K O B A Suy ra: ∆ABD ~ ∆MBC (g – g) 3) (1đ) Lấy E đối xứng với B qua C thì E cố định và · · EDC BDC= , lại có: · · BDC CAK= (cùng phụ với µ B ), suy ra: · · EDC CAK= . Do đó AKDE là tứ giác nội tiếp. Gọi O’ là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆AKD thì O’ củng là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác AKDE nên O ′ A = O ′ E, suy ra O ′ thuộc đường trung trực của đoạn thẳng AE cố định. Câu 5: (1đ) A = 2 2 1 1 x y xy + + = 2 2 1 1 1 x y 2xy 2xy + + + Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dương ta có: 1 x + y 2 xy 1 2 xy 1 4xy 2 2xy ≥ ⇒ ≥ ⇒ ≥ ⇒ ≥ (1) Đẳng thức xảy ra khi x = y. Tương tự với a, b dương ta có: 1 1 1 2 4 2 2. a b ab a + b a + b + ≥ ≥ = (*) (0,5đ) Áp dụng bất đẳng thức (*) ta có: ( ) 2 2 2 1 1 4 4 x y 2xy x + y + ≥ = + (2) Dấu đẳng thức xảy ra khi x 2 + y 2 = 2xy ⇔ x = y. Từ (1) và (2) suy ra: A 6≥ . Dấu "=" xảy ra 1 x = y = 2 ⇔ . Vậy minA = 6 (0,5đ). . SỞ GD & ĐT HÀ NAM TRƯỜNG THCS LIÊM THUẬN ĐỀ thi tuyÓn sinh vµo líp 10 thpt M«n thi: To¸n Thêi gian lµm bµi: 120 phót (kh«ng kÓ thêi gian giao ®Ò) Đơn vị công. Hà Nội là: x + 5 (km/h) (ĐK: x > 0) (0,25 đ) Theo giả thi t, ta có phương trình: 300 5 345 5 3x x + = + ( ) ( ) 2 900 5 5 103 5 5 22 103 5 0x x x x x x⇔ + + = + ⇔ − − = (0,5đ) Giải phương trình. xe lửa khác đi từ Hà Nội vào Huế với vận tốc lớn hơn vận tốc của xe lửa thứ nhất là 5 km/h. Hai xe gặp nhau tại một ga cách Hà Nội 300 km. Tìm vận tốc của mỗi xe, giả thi t rằng quãng đường sắt