Giải đề thi Toán vào 10 (2012)

Giải đề thi Toán vào 10 (2012)

Ng­êi thùc hiÖn: lª hång ®øc §T: 0936546689 GIẢI ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT – MÔN TOÁN Bài 2 (2,0 điểm): (Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình): Hai người cùng làm chung một công việc trong 12/5giờ thì xong. Nếu mỗi người làm một mình thì thời gian để người thứ nhất hoàn thành công việc ít hơn người thứ hai là 2 giờ. Hỏi nếu làm một mình thì mỗi người phải làm trong bao nhiêu giờ để xong công việc? Bài 1 (2,5 điểm): Cho hai biểu thức   + + = = +  ÷ + + − +   x 4 x 4 x 16 A vµ B : . x 2 x 4 x 4 x 2 ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT – HÀ NỘI Năm học: 2012 – 2013 MÔN: TOÁN Thời gian làm bài: 120 phút 1. Tính giá trị của biểu thức A khi x = 36. 2. Với 0≤ x ≠ 16, rút gọn biểu thức B. 3. Với các biểu thức A và B nói trên, hãy tìm các giá trị nguyên của x để giá trị của biểu thức B.(A − 1) là số nguyên. GIẢI ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT – MÔN TOÁN Bài 3 (1,5 điểm): 1) Giải hệ phương trình: 2) Cho phương trình x 2 – ( 4m – 1 )x + 3m 2 – 2m = 0 (ẩn x). Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x 1 , x 2 thỏa mãn điều kiện: x 1 2 + x 2 2 = 7. 2 1 2 x y . 6 2 1 x y  + =     − =   GIẢI ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT – MÔN TOÁN Bài 4 (3,5 điểm): Cho đường tròn (O;R)đường kính AB. Bán kính CO vuông góc với AB, M là điểm bất kỳ trên cung nhỏ AC (M khác A và C), BM cắt AC tại H . Gọi K là hình chiếu của H trên AB. 1) Chứng minh tứ giác CBKH là tứ giác nội tiếp. 2) Chứng minh ACM = ACK . 3) Trên đoạn thẳng BM lấy điểm E sao cho BE = AM. Chứng minh tam giác ECM là tam giác vuông cân tại C. 4) Gọi d là tiếp tuyến của đường tròn tại (O) tại điểm A. Cho P là một điểm nằm trên d sao cho hai điểm P, C nằm trong cùng một nửa mặt phẳng bờ AB và AP.MB = R.MA. Chứng minh đường thẳng PB đi đi qua trung điểm của đoạn thẳng HK. Bài 5 (0,5 điểm): Với x, y là các số dương thỏa mãn điều kiện x ≥ 2y, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: + = 2 2 x y M . xy GIẢI ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT – MÔN TOÁN Bài 1 (2,5 điểm): Cho hai biểu thức   + + = = +  ÷ + + − +   x 4 x 4 x 16 A vµ B : . x 2 x 4 x 4 x 2 1. Tính giá trị của biểu thức A khi x = 36. 2. Với 0≤ x ≠ 16, rút gọn biểu thức B. 3. Với các biểu thức A và B nói trên, hãy tìm các giá trị nguyên của x để giá trị của biểu thức B.(A − 1) là số nguyên.  Hướng dẫn 1. Vì A là biểu thức tối giản nên chỉ cần thay trực tiếp x = 36 vào A. 2. Các phân thức trong B đều tối giản nên cách duy nhất là quy đồng mẫu số cục bộ 3. Thiết lập biểu thức từ giả thiết. Chú ý ước nguyên của một số có ±. ( ) ( ) ( ) ( ) x x 4 4 x 4 x 2 B x 16 x 4 x 4 − + + + = × + − + x 16 x 2 x 16 x 16 + + = × − + x 2 . x 16 + = − GIẢI ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT – MÔN TOÁN  Giải 1. Khi x = 36 thì: 36 4 A 36 2 + = + 6 4 6 2 + = + 5 . 4 = 2. Ta biến đổi: ( ) ( ) ( ) ( ) x x 4 4 x 4 x 2 B x 16 x 4 x 4 − + + + = × + − + x 16 x 2 x 16 x 16 + + = × − + x 2 . x 16 + = − 3. Biểu thức B.(A − 1) được cho bởi: x 2 x 4 B(A 1) . 1 x 16 x 2   + + − = −  ÷ − +   x 2 x 4 x 2 . x 16 x 2 + + − − = − + 2 . x 16 = − Do đó, để B.(A − 1) là số nguyên thì x − 16 phải là ước của 2. Ta có bảng: x − 16 −1 −2 1 2 x 15 14 17 18 Vậy, các số nguyên x cần tìm là {15, 14, 17, 18}. Ho¹t ®éng: Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn phương trình: x 3 + 2x 2 + 3x + 2 = y 3 . GIẢI ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT – MÔN TOÁN Bài 2 (2,0 điểm): (Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình): Hai người cùng làm chung một công việc trong 12/5giờ thì xong . Nếu mỗi người làm một mình thì thời gian để người thứ nhất hoàn thành công việc ít hơn người thứ hai là 2 giờ. Hỏi nếu làm một mình thì mỗi người phải làm trong bao nhiêu giờ để xong công việc?  Hướng dẫn Trước tiên, các em học sinh cần chú ý giả thiết "Một công việc làm chung". Dẫn tới năng xuất lao động của mỗi người trong 1giờ. Từ đó, nếu gọi x (x > 0) là thời gian người thứ nhất làm một mình xong công việc. 1 cong viec. x * Mỗi giờ người thứ nhất làm được 1 cong viec. x * Mỗi giờ người thứ hai làm được 1 cong viec. x 2+ Từ đó, thiết lập được phương trình điều kiện: 12 1 1 1. 5 x x 2   + =  ÷ +   GIẢI ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT – MÔN TOÁN  Giải Gọi x (x > 0) là thời gian người thứ nhất làm một mình xong công việc. Do đó, mỗi giờ người thứ nhất làm được 1 cong viec. x Suy ra, x + 2 là thời gian người thứ hai làm một mình xong công việc. Do đó, mỗi giờ người thứ hai làm được 1 cong viec. x 2+ Từ giả thiết, ta có phương trình: 12 1 1 1 5 x x 2   + =  ÷ +   x 2 x 5 x(x 2) 12 + + ⇔ = + ⇔ 12(2x + 2) = 5(x 2 + 2x) ⇔ 5x 2 − 14x − 24 = 0 x 4 x 6 / 5 =  ⇔  = −  x 0 x 4. > ⇔ = Kết luận: * Nếu làm một mình người thứ nhất làm trong 4 giờ. * Nếu làm một mình người thứ hai làm trong 6 giờ. CHÚ Ý : Cũng có thể sử dụng hai ẩn x, y để lập hệ phương trình. Ho¹t ®éng: Một người dự định rào xung quanh một miếng đất hình chữ nhật có diện tích 1.600m 2 , độ dài hai cạnh là x mét và y mét. Hai cạnh kề nhau rào bằng gạch, còn hai cạnh kia rào bằng đá. Mỗi mét rào bằng gạch giá 200.000 đồng, mỗi mét rào bằng đá giá 500.000 đồng. a) Tính giá tiền dự định rào ( theo x và y). b) Người ấy có 55 triệu đồng, hỏi số tiền ấy có đủ để rào không ? GIẢI ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT – MÔN TOÁN Bài 3 (1,5 điểm): 1) Giải hệ phương trình: 2 1 2 x y . 6 2 1 x y  + =     − =    Hướng dẫn: Sử dụng ẩn phụ hoặc phép biến đổi tương đương. 1 u x 1 v y  =     =   Đặt: 2u v 2 6u 2v 1 + =  ⇒  − =  4u 2v 4 6u 2v 1 + =  ⇔  − =  10u 5 6u 2v 1 =  ⇔  − =   Giải Biến đổi hệ phươ trình về dạng: 4 2 4 x y 6 2 1 x y  + =     − =   10 5 x 6 2 1 x y  =   ⇔   − =   5x 10 6 2 1 x y =   ⇔  − =   x 2 6 2 1 2 y =   ⇔  − =   x 2 2 3 1 y =   ⇔  − =   x 2 . y 1 =  ⇔  =  Vậy, hệ có nghiệm (x; y) = (2; 1). Ho¹t ®éng: Giải các hệ phương trình: 1 x 7 x y a. . x 12 x y  + =  +    =  +  1 1 9 x y x y 2 b. . 1 5 xy xy 2  + + + =     + =   GIẢI ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT – MÔN TOÁN 2) Cho phương trình x 2 – ( 4m – 1 )x + 3m 2 – 2m = 0 (ẩn x). Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x 1 , x 2 thỏa mãn điều kiện: x 1 2 + x 2 2 = 7.  Hướng dẫn Yêu cầu của bài toán được chia thành hai phần: 1. Thiết lập điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt” ∆ > 0 2. Giải điều kiện 2 2 1 2 x x 7.+ = Từ đó, suy ra hệ thức Vi-ét cho hai nghiệm x 1 , x 2 1 2 2 1 2 x x 4m 1 . x x 3m 2m + = −   = −  ( ) 2 1 2 1 2 x x 2x x+ − . 1 cong viec. x 2+ Từ đó, thi t lập được phương trình điều kiện: 12 1 1 1. 5 x x 2   + =  ÷ +   GIẢI ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT – MÔN TOÁN  Giải. 4 t 4 ≥ + 3 1 2 = + 5 . 2 = Min 5 M 2 = GIẢI ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT – MÔN TOÁN  Giải Với giả thi t x ≥ 2y, suy ra x t 2. y = ≥ Biến đổi M về dạng: