LOI GIAI CAU 5 DE TOAN KB NAM 2010

Bài 1: (Đề khối B). Cho a,b,c không âm thoả mãn a+b+c=1. Tìm GTNN của: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3( ) 3( ) 2P a b b c c a ab bc ca a b c= + + + + + + + + Giải. Đặt t=ab+bc+ca. Theo BĐT 2 ( ) 3( )a b c ab bc ca+ + ≥ + + suy ra 1 0 3 t≤ ≤ . Mặt khác 2 2 2 2 2 2 2 2 3( ) ( )a b b c c a ab bc ca t+ + ≥ + + = Do đó 2 3 2 1 2P t t t≥ + + − . Xét hàm 2 ( ) 3 2 1 2f t t t t= + + − với 1 0 3 t≤ ≤ . Ta có 2 (2 3) 1 2 2 '( ) 2 3 1 2 1 2 t t f t t t t + − − = + − = − − ; '( ) 0 (2 3) 1 2 2f t t t= ⇔ + − = (1) Đặt 1 2u t= − thì 1 1 3 u≤ ≤ , pt (1) trở thành: 3 4 2 0u u− + = (2) Dễ chứng minh được 3 4 2 0u u− + < với mọi 1 1 3 u≤ ≤ , do đó (2) vô nghiệm, tức là (1) vô nghiệm. Từ đó suy ra ngay '( ) 0f t > với mọi 1 0 3 t≤ ≤ Do đó ( ) (0) 2f t f≥ = . Vậy minP=2 khi chẳng hạn a=b=0 và c=1.