Bài 2 NHỊ THỨC NIU tơn

BÀI NHỊ THỨC NIU-TƠN Mục tiêu  Kiến thức + Biết công thức khai triển nhị thức Niu-tơn + Biết tính chất số hạng  Kĩ + Thành thạo khai triển nhị thức Niu-tơn, tìm số hạng, hệ số chứa xα khai triển + Tính tổng dựa vào khai triển nhị thức Niu-tơn Trang I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Cơng thức khai triển nhị thức Niu-tơn Hệ quả: Với số thực a, b n ∈ ¥ ta có n n Với a = b = , ta có = Cn + Cn + + Cn ( a + b) n n Với a = 1; b = −1 , ta có: = ∑ Cnk a n − k b k k =0 = Cn0 − Cn1 + + ( −1) Cnk + + ( −1) Cnn k = Cn0 a n + Cn1 a n −1b + + Cnk a n −k b k + + Cnn b n Quy ước: a = b = n Các dạng khai triển nhị thức Niu-tơn thường gặp Tính chất a) Số số hạng khai triển n + ( x + 1) n = Cn0 x n + Cn1 x n −1 + + Cnn −1 x + Cnn b) Số hạng tử có số mũ a giảm dần từ n đến 0, ( 1+ x) n = Cn0 + Cn1 x + + Cnn −1 x n −1 + Cnn x n ( x − 1) n = Cn0 − Cn1 x + + ( −1) Cnn x n số mũ b tăng dần từ đến n Tổng số mũ a b số hạng n c) Số hạng tổng quát thứ k + có dạng: Tk +1 = Cnk a n −k b k với k = 0,1, 2, , n d) Các hệ số cặp số hạng cách số hạng đầu cuối nhau: C = C k n n = ( + 1) = ∑ Cnk = Cn0 + Cn1 + + Cnn −1 + Cnn n n k =0 n 0n = ( − 1) = ∑ Cnk ( −1) = Cn0 − Cn1 + + ( −1) Cnn n k n k =0 n −k n k e) Cn đạt giá trị lớn k = với n lẻ; k = n n −1 n +1 hay k = 2 n với n chẵn n k −1 k k f) Cn = Cn = , Cn + Cn = Cn +1 Tam giác Pascal Tam giác Pascal thiết lập theo quy luật: - Đỉnh ghi số Tiếp theo hàng thứ ghi hai số - Nếu biết hàng thứ n ( n ≥ 1) hàng thứ n + thiết lập cách cộng hai số liên tiếp hàng thứ n viết kết xuống hàng vị trị hai số Sau viết số đầu cuối hàng Trang - Các số hàng thứ n tam giác Pascal dãy n −1 n gồm ( n + 1) số Cn , Cn , Cn , , Cn , Cn II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Xác định hệ số, số hạng khai triển nhị thức Niu-tơn Bài tốn 1: Tìm hệ số số hạng chứa x m khai triển ( ax p + bx q ) n Phương pháp giải Ví dụ: Cho khai triển ( x + 1) Xét khai triển: ( ax p + bx q ) 10 n n = ∑ Cnk ( ax p ) n−k k =0 ( bx q ) k a) Tìm hệ số x khai triển Hướng dẫn giải n = ∑ Cnk a n −k b k x np − pk + qk k =0 m Số hạng chứa x ứng với giá trị k thỏa mãn Ta có ( x + 1) 10 10 10 = ∑ C10k ( x ) = ∑ 2k C10k x k k k =0 k =0 Số hạng chứa x ứng với k = m − np np − pk + qk = m ⇒ k = q− p 5 Hệ số cần tìm C10 = 8064 k n−k k Vậy hệ số số hạng chứa x m Cn a b với giá trị k = m − np q− p Nếu k không nguyên k > n khai triển khơng chứa x m , hệ số phải tìm Lưu ý: Tìm số hạng khơng chứa x ta tìm b) Tìm hệ số số hạng khơng chứa x khai giá trị k thỏa np − pk + qk = triển Hướng dẫn giải Số hạng không chứa x ứng với k = 0 Hệ số cần tìm C10 = Ví dụ mẫu Ví dụ Tìm số hạng không chứa x khai triển nhị thức Niu-tơn Chú ý: (x ) m n 21 2  x− ÷ x   ( x ≠ 0) x m x n = x m + n ; xm = x m− n ; xn Hướng dẫn giải Ta có số hạng tổng quát k Tk +1 = C a k n n −k k 21− k 21 b =C x k = x m.n ; k  2  − ÷ = ( −2 ) C21k x 21−3k  x  m n xm = x n Số hạng không chứa x ứng với 21 − 3k = ⇔ k = Trang Chú ý: Phân biệt 7 Vậy hệ số cần tìm −2 C21 Ví dụ Tìm hệ số số hạng chứa x khai triển x3 ( − x ) hệ số số hạng n Với P ( x ) = ∑ a x x Hướng dẫn giải g( k ) ; k =0 Số hạng tổng quát khai triển x C8k ( − x ) = C8k ( −1) x k +3 số hạng chứa xα tương Số hạng chứa x k + = ⇔ k = ứng với g ( k ) = α ; giải k k Vậy hệ số cần tìm C ( −1) = −56 3 phương trình ta tìm 10 k   Ví dụ Tìm số hạng khơng chứa x khai triển  x − ÷ ,x > x  * Nếu k ∈ ¥ ; k ≤ n Hướng dẫn giải hệ số phải tìm ak số 10 10 −   13   Ta có  x − ÷ =  2.x − 3.x ÷ x    k hạng phải tìm ak x * Nếu Số hạng tổng quát khai triển 10 − k   C10k  x ÷   k > n khai k   k  −3x ÷ = ( −1) 210 − k 3k x   − k ∉¥ 10 − k x k − = ( −1) C10k 210 −k 3k.x k 20 − k triển khơng có số hạng xα , hệ số phải tìm Số hạng không chứa x ứng với 20 − 5k = ⇔ k = Vậy số hạng không chứa x khai triển ( −1) C104 26.34 = 210.64.81 = 1088640 Bài tốn 2: Tìm hệ số số hạng khai triển P ( x ) = ( ax t + bx p + cx q ) n Phương pháp giải Ta có khai triển: P ( x ) = ( ax + bx + cx t k p p q i p ( bx + cx ) = ∑ Ck ( bx ) k i =0 n k k −i n ) = ∑ C ( ax ) ( bx q n t n −k k n k =0 k ( cx ) = ∑ C b q i i =0 i k n p + cx q ) k c x p( k −i ) + qi k −i i k t n − k + p k −i + qi k n − k t ( n − k ) i k −i i p ( k −i ) + qi Ck b c x = ∑∑ Cnk C ki a n −k b k −i c i x ( ) ( ) Suy P ( x ) = ∑∑ Cn a x k =0 i =0 k = i =0 t n − k + p k −i + qi Suy số hạng tổng quát khai triển Cnk Cki a n − k b k −i ci x ( ) ( ) Từ số hạng tổng quát khai triển trên, ta tính hệ số x m Ví dụ mẫu Ví dụ Tìm hệ số số hạng chứa x khai triển P ( x ) = ( x + x + 1) 10 Hướng dẫn giải Với ≤ q ≤ p ≤ 10 số hạng tổng quát khai triển P ( x ) = ( x + x + 1) 10 Trang Tp = C10p C pq ( x ) 10 − p x p −q 1q = C10p C pq x p − q + 20− p Theo đề p − q + 20 − p = ⇔ p + q = 18 Do ≤ q ≤ p ≤ 10 nên ( p; q ) ∈ { ( 9;9 ) ; ( 10;8 ) } Vậy hệ số x khai triển P ( x ) = ( x + x + 1) 10 9 10 C10 C9 + C10 C10 = 55 Ví dụ Tìm hệ số số hạng chứa x khai triển ( − x + 2015 x 2016 − 2016 x 2017 + 2017 x 2018 ) 60 Hướng dẫn giải Ta có ( − x + 2015 x 2016 − 2016 x 2017 + 2017 x 2018 ) = ( − x ) + x 2016 ( 2015 − 2016 x + 2017 x )  = C600 ( − x ) 60 + C60 ( − 2x) 59 60 60  x 2016 ( 2015 − 2016 x + 2017 x )  + + C6060  x 2016 ( 2015 − 2016 x + 2017 x )      Ta thấy có số hạng C600 ( − x ) 60 chứa x3 nên hệ số số hạng chứa x3 C600 C60 ( −2 ) = −8C603 Bài tốn 3: Tìm hệ số lớn khai triển nhị thức Niu-tơn Phương pháp giải Ví dụ: Tìm hệ số lớn khai triển đa thức P ( x ) = ( x + 1) 10 Hướng dẫn giải Bước 1: Tính hệ số ak theo k n Giả sử sau khai triển ta đa thức: P ( x ) = a0 + a1 x + a2 x + + an x n Ta có ( x + 1) 10 10 = ∑ C10k x k k =0 Ta có hệ số số hạng tổng quát sau khai triển nhị thức ( x + 1) 10 k ak = C10 k −1 Suy ak −1 = C10 , k = 1; 2;3; ;10 Bước 2: Giả sử ak hệ số lớn Giả sử ak hệ số lớn hệ số  ak ≥ ak +1 hệ số a0 , a1 , , an Khi ta có   ak ≥ ak −1 Giải hệ phương trình với ẩn số k  ak ≥ ak +1 a0 , a1 , , a10 Khi ta có   ak ≥ ak −1 k k +1  11 C10 ≥ C10 ⇔  k −1 ⇔ ≤k ≤ ⇒k =5 k 2  C10 ≤ C10 Từ ta có hệ số lớn khai triển nhị thức a5 = C10 = 252 Ví dụ mẫu Trang 60 Ví dụ Tìm hệ số lớn khai triển đa thức P ( x ) = ( x + 1) = a0 x13 + a1 x12 + + a13 13 Hướng dẫn giải Ta có hệ số số hạng tổng quát sau khai triển nhị thức ( x + 1) 13 ak = C13k 213− k với k = 1; 2;3; ;13 Giả sử ak hệ số lớn hệ số a0 , a1 , , a13 11  k≥  C13k 213− k ≥ C13k +1.212− k  ak ≥ ak +1  ⇔  k −1 14−k ⇔ ⇒ k = Khi ta có  k 13− k 14 a ≥ a C ≤ C  k −1  k k ≤  13 13  Từ ta có hệ số có giá trị lớn khai triển nhị thức a4 = C134 29 = 366080 Ví dụ Cho khai triển biểu thức ( ) + Tìm số hạng ngun có giá trị lớn Hướng dẫn giải Số hạng tổng quát khai triển Tk = C9k ( 3) ( ) 9−k k Vì bậc thức hai số nguyên tố nên để Tk số ngun k ∈ ¥ k = ⇒ T = C 0 ≤ k ≤ 9   ⇔  ( − k ) M2  k = ⇒ T9 = C9 k M3 ( 3) ( ) ( 3) ( ) 3 = 4536 = Dễ thấy 4536 > nên khai triển số hạng nguyên có giá trị lớn T3 = 4536 Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Hệ số x khai triển P ( x ) = ( x + 1) + ( x + 1) + + ( x + 1) A 1715 B 1711 12 C 1287 D 1716   Câu 2: Trong khai triển  x + ÷ , hệ số x với x > x  A 60 B 80 Câu 3: Hệ số x khai triển ( − x ) A C15 7 B −C15 15 C 160 D 240 C −C15 7 D C15 Câu 4: Hệ số x triển khai thành đa thức ( x − 3) 5 A C8 B −C8 3 C −C8 D C8 Câu 5: Trong khai triển biểu thức ( x − y ) , hệ số số hạng chứa x12 y 20 Trang A 77520 B -125970 C 125970 Câu 6: Hệ số x khai triển x ( − x ) + x ( + x ) A 61204 B 3160 10 D -77520 C 3320 D 61268 Câu 7: Hệ số số hạng chứa x khai triển P ( x ) = ( x + x + 1) A 1695 B 1485 Câu 8: Khai triển ( 5−47 A 30 1–A ) 124 C 405 D 360 Có số hạng hữu tỉ khai triển trên? B 31 2–A 10 C 32 3–C 4–B 5–C 6–C D 33 –A 8–C HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu 1 Xét khai triển ( x + 1) thấy số hạng chứa x có hệ số C6 Tương tự khai triển cịn lại ta có hệ số x C7 , C8 , , C12 Do hệ số cần tìm C6 + C7 + + C12 = 1715 Câu k Số hạng tổng quát khai triển: Tk +1 = C x k 6− k 6− k   k k = C x  ÷  x Số hạng chứa x3 ứng với − k = ⇔ k = 2 Vậy hệ số x3 C6 = 60 Câu Công thức số hạng tổng quát khai triển nhị thức Niu-tơn ( − 2x ) 15 Tk +1 = C15k 315−k ( −2 x ) = ( −1) C15k 315−k 2k x k k k Để số hạng chứa x k = Vậy hệ số số hạng chứa x −C15 Câu k − k 8− k Ta có khai triển ( x − 3) = ∑ C8 x ( −3) k k =0 Số hạng chứa x ứng với − k = ⇔ k = Hệ số cần tìm C83 28−3 ( −3) = −C83 25.33 Câu Ta có khai triển ( x − y ) 20 20 = ∑ C20k x 20− k y k ( −1) k k =0 Trang 20 − k = 12 ⇔ k = Ứng với số hạng chứa x12 y  k = 8 = 125970 Vậy hệ số số hạng chứa x12 y ( −1) C20 Câu Hệ số x khai triển x ( − x ) ( −2 ) C54 Hệ số x khai triển x ( + 3x ) 10 3 C10 Vậy hệ số x khai triển x ( − x ) + x ( + x ) 10 ( −2 ) C54 + 33.C103 = 3320 Câu Với ≤ q ≤ p ≤ 10 số hạng tổng quát khai triển P ( x ) = ( x + x + 1) Tp = C10p C pq ( 3x ) 10 − p 10 x p − q 1q = C10p C pq 310− p.x p −q + 20− p Theo đề ta có p − q + 20 − p = ⇔ p + q = 16 Do ≤ q ≤ p ≤ 10 nên ( p; q ) ∈ { ( 8;8 ) ; ( 9;7 ) ; ( 10;6 ) } Vậy hệ số x khai triển P ( x ) = ( x + x + 1) 10 10 C108 C88 310−8 + C109 C97 310−9 + C10 C106 310−10 = 1695 Câu Ta có ( 5−47 ) 124 124 124 − k k = ∑ C124 ( −1) k k k =0 124 − k  ∈ ¢ ⇔ k ∈ { 0; 4;8;12; ;124} Số hạng hữu tỉ khai triển tương ứng với  k ∈¢  Vậy số giá trị k 124 − + = 32 Dạng 2: Xác định điều kiện số hạng thỏa mãn yêu cầu cho trước Phương pháp giải k n−k k - Xác định số hạng tổng quát khai triển Tk +1 = Cn a b (số hạng thứ k + ) - Kết hợp với u cầu tốn, ta thiết lập phương trình biến k - Giải phương trình để tìm kết Ví dụ mẫu 12 1  Ví dụ Cho x số thực dương Khai triển Niu-tơn biểu thức  x + ÷ ta có hệ số số hạng x  chứa x m 495 Tìm tất giá trị m Trang Hướng dẫn giải Số hạng thứ k + khai triển C12k ( x ) 12 − k k 1  ÷ = C12k x 24−2 k x − k = C12k x 24−3k x k Hệ số số hạng x m 495 nên C12 = 495 ⇔ k = 12! = 495 ⇔  k !( 12 − k ) !  k = Khi m = 24 − 3k có giá trị m = m = 12 Ví dụ Tìm số nguyên dương bé n cho khai triển ( 1+ x ) có hai hệ số liên tiếp có tỉ số n 15 Hướng dẫn giải Ta có ( + x ) = Cn0 + Cn1 x + + Cnk x k + Cnk +1 x k +1 + + Cnn x n n Cnk ( k + 1) !( n − k − 1) ! = ⇔ k + = n! = ⇔ k +1 Cn 15 k !( n − k ) ! n! 15 n − k 15 ⇒ 15 ( k + 1) = ( n − k ) ⇔ n = 15 + 22 k ⇔ n = ( 3k + ) + k + Vì k ; n ∈ ¥ nên ta có k + 1M7 ⇒ kmin = ⇒ nmin = 21 Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Tìm tất số a cho khai triển ( + ax ) ( + x ) có chứa số hạng 22x A a = B a = −3 C a = D a = n 1  Câu 2: Biết hệ số x n − khai triển  x − ÷ 31 Tìm n 4  A n = 32 B n = 30 C n = 31 D n = 33 Câu 3: Xét khai triển ( + 3x ) = a0 + a1 x + a2 x + + an x n với n ∈ ¥ * , n ≥ Giả sử a1 = 27 , a2 n A 1053 B 243 C 324 D 351 n 1  2 Câu 4: Số hạng không chứa x khai triển  x − ÷ biết An − Cn = 105 x  A -3003 B -5005 C 5005 D 3003 Câu 5: Cho n số nguyên dương thỏa mãn A = C + C + 4n + Hệ số số hạng chứa x khai n n n n 3  triển biểu thức P ( x ) =  x + ÷ , x ≠ x  A 18564 B 64152 C 192456 D 194265 Trang n −1 Câu 6: Cho n số nguyên dương thỏa mãn 5Cn = Cn Số hạng chứa x khai triển nhị thức Niun  nx  − ÷ với x ≠ tơn P =   14 x  A − 35 16 B − 16 35 C − 35 x 16 D − 16 x 35 n   Câu 7: Số hạng không chứa x khai triển  x x + ÷ với x > biết Cn − Cn = 44 x   A 165 1–C B 238 2–A 3–C 4–D C 485 5–C 6–C D 525 7–A HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu Ta có ( + ax ) ( + x ) = ( + x ) + ax ( + x ) 4 Xét khai triển ( x + 1) = x + x + x + x + Suy số hạng chứa x3 4x ( ) Xét khai triển ax ( x + 1) = ax x + x + x + x + = ax + 4ax + 6ax + 4ax + ax Suy số hạng chứa x3 6ax3 Suy số hạng chứa x3 khai triển ( 6a + ) x Theo đề ra, ta có 6a + = 22 ⇔ a = Câu n k n 1   1 Áp dụng cơng thức nhị thức Niu-tơn, ta có  x − ÷ = ∑ Cnk x n −k  − ÷  k =0   4 Hệ số x n − nên ta có x n −2 = x n −k ⇔ k =  1 Ta có Cn2  − ÷ = 31 ⇔ Cn2 = 492 ⇔ n = 32  4 Vậy n = 32 Câu n k n Ta có: ( + 3x ) = ∑ Cn ( x ) = a0 + a1 x + a2 x + + an x n k k =1 1 Theo giả thiết: a1 = 27 ⇔ Cn = 27 ⇔ Cn = ⇔ n = 2 Suy a2 = C9 = 324 Câu Trang 10 2 Ta có: An − Cn = 105 ⇔ ⇔ n! n! − = 105 ( n − ) ! 2!( n − ) !  n = 15 n ( n − 1) = 105 ⇔ n − n − 210 = ⇔  ⇒ n = 15  n = −14 Suy số hạng tổng quát khai triển Tk +1 = C ( x k 15 ) 15 − k k k  1  − ÷ = C15k ( −1) x 30−3k  x Số hạng không chứa x ứng với 30 − 3k = ⇔ k = 10 Vậy hệ số số hạng không chứa x khai triển C1510 ( −1) = 3003 10 Câu Với n ≥ , ta có: An2 = Cn2 + Cn1 + 4n + ⇔ n ( n − 1) = n ( n − 1) + n + 4n +  n = −1 ⇔ n − 11n − 12 = ⇔  ⇒ n = 12  n = 12 12 Với n = 12 ta có khai triển: P ( x ) = ∑ C ( x k =0 k 12 ) 12 − k k 12 3  ÷ = ∑ C12k 3k x 24 −3k  x k =0 Số hạng chứa x ứng với 24 − 3k = ⇔ k = 5 Vậy hệ số cần tìm C12 = 192456 Câu Điều kiện: n ∈ ¥ , n ≥ n −1 Ta có 5Cn = Cn ⇔ 5.n ! n! = ⇔ = 1! ( n − 1) ! 3! ( n − 3) ! ( n − 3) !( n − ) ( n − 1) ( n − 3) ! n = ⇔ n − 3n − 28 = ⇔  ⇒ n=7  n = −4  x2  Với n = , ta có P =  − ÷  x Số hạng thứ k + khai triển Tk +1 = ( −1) C7k x14−3k 7−k k Số hạng chứa x ứng với 14 − 3k = ⇔ k = Vậy số hạng chứa x khai triển ( −1) C73 x5 = − 35 x 16 Câu Với n ≥ ta có: Cn − Cn = 44 ⇔ n ( n − 1)  n = 11 − n = 44 ⇔  ⇒ n = 11  n = −8 Trang 11 11 ( 11   Với n = 11 ta có khai triển:  x x + ÷ = ∑ C11k x x x   k =0 Số hạng không chứa x ứng với ) 11− k k 33−11k 11    ÷ = ∑ C11k x ,  x  k =0 33 − 11k = ⇔ k = 3 Vậy số hạng không chứa x khai triển cho C11 = 165 Dạng 3: Tính tổng dựa vào nhị thức Niu-tơn Phương pháp giải Các dạng khai triển nhị thức Niu-tơn thường gặp: ( x + 1) n = Cn0 x n + Cn1 x n −1 + Cn2 x n−2 + + Cnk x n − k + + Cnn−1 x + Cnn ( 1+ x) n = Cn0 + Cn1 x + Cn2 x + + Cnk x k + + Cnn −1 x n −1 + Cnn x n ( x − 1) n = Cn0 x n − Cn1 x n −1 + Cn2 x n −2 − + ( −1) Cnk x n − k + + Cnn −1 x ( −1) k n −1 + Cnn ( −1) n n 2n = ( + 1) = ∑ Cnk = Cn0 + Cn1 + + Cnn −1 + Cnn n k =0 n 0n = ( − 1) = ∑ Cnk ( −1) = Cn0 − Cn1 + Cn2 − + ( −1) Cnn n k n k =0 Một số kết thường sử dụng: Cnk = Cnn − k ; kCnk = nCnk−−11 ; ( k − 1) kCnk = ( n − 1) nCnk−−11 ; Cn0 + Cn1 + + Cnn = 2n ; n ∑C k =0 2k 2n n = ∑ C22nk −1 = k =0 Cnk + Cnk +1 = Cnk++11 , n > ; 1 Cnk = Cnk++11 ; k +1 n +1 k k Cn = ( n − 1) nCnk−−22 + nCnk−−11 ; n ∑ ( −1) n C2kn ; ∑ k =0 k =0 n ∑C k =0 k n k Cnk = ; ak = ( + a ) ; n Ví dụ mẫu 2020 Ví dụ Tính tổng S = C2020 + C2020 + C2020 + + C2020 Hướng dẫn giải Xét khai triển ( + x ) = Cn0 + x.Cn1 + x Cn2 + + x n Cnn (*) n 2020 2020 = C2020 + C2020 + C2020 + + C2020 Thay x = 1; n = 2020 vào (*), ta được: (1) 2020 Thay x = −1; n = 2020 vào (*), ta = C2020 − C2020 + C2020 − + C2020 (2) Cộng theo vế (1) (2) ta được: S = 22020 ⇒ S = 22019 Trang 12 Ví dụ Cho khai triển nhị thức Niu-tơn ( − 3x ) , biết n số nguyên dương thỏa mãn 2n C21n +1 + C23n +1 + C25n +1 + + C22nn++11 = 1024 Tìm hệ số x khai triển Hướng dẫn giải Ta có khai triển ( + x ) n +1 = C20n +1 + C21n +1 x + C22n +1 x + + C22nn++11 x n+1 (*) n +1 = C20n +1 + C21n +1 + C22n +1 + + C22nn++11 (1) Thay x = vào (*) ta 2 n +1 Thay x = −1 vào (*) ta = C2 n +1 − C2 n +1 + C2 n +1 − − C2 n +1 (2) n +1 2n Trừ vế theo vế (1) cho (2), ta C2 n +1 + C2 n +1 + C2 n +1 + + C2 n +1 = Từ giả thiết ta có: 1024 = 22 n ⇔ n = Suy ( − x ) 10 n = ∑ C10k ( −3 ) 210 −k x k k k =0 Hệ số x khai triển C107 ( −3) 23 = −8.37.C107 Bài tập tự luyện dạng 2017 Câu 1: Đặt S = C2017 + C2017 + + C2017 Khi giá trị S A 22018 C 22017 − B 22017 D 22016 2 10 10 Câu 2: Tính tổng S = C10 + 2.C10 + C10 + + C10 A S = 210 B S = 410 C S = 310 D S = 311 C S = 213 D S = 212 C A = 6n D A = 4n 10 15 Câu 3: Cho S = C15 + C15 + C15 + + C15 Tính S A S = 215 B S = 214 2 n n Câu 4: Cho A = Cn + 5Cn + Cn + + Cn Khi A A = n B A = 5n Câu 5: Cho khai triển ( + x + x ) A 31009 1009 = a0 + a1 x + a2 x + + a2018 x 2018 Khi a0 + a1 + a2 + + a2018 B 31008 C 32018 D 32016 1 2017 C2017 Câu 6: Giá trị tổng S = C2017 + C2017 + C2017 + + 2018 A 22017 − 2017 B 22018 − 2018 C 22018 − 2017 D 22017 − 2018 Câu 7: Cho n số nguyên dương thỏa mãn 3n Cn0 − 3n −1 Cn1 + 3n − Cn2 − + ( −1) Cnn = 2048 Hệ số x10 n khai triển ( x + ) n A 11264 B 22 Câu 8: Cho khai triển ( x − ) 80 C 220 D 24 = a0 + a1 x + a2 x + + a80 x80 Tổng S = 1.a1 + 2.a2 + 3.a3 + + 80.a80 A -70 B 80 C 70 D -80 Trang 13 n Câu 9: Hệ số số hạng chứa x   khai triển nhị thức Niu-tơn  + x ÷ , biết x  26 C21n +1 + C22n +1 + + C2nn +1 = 220 − A 210 B 213 C 414 D 213 2018 Câu 10: Đặt S = C2018 − C2018 + C2018 − C2018 + + C2018 Khi đó: A S = 1–C 2–C C S = −1 B S = 22018 − 3–B 4–C –A 6–B D S = 22018 + 7–B 8–D –A 10 – A HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu Ta có khai triển ( + x ) 2017 k 2017 2017 = C2017 + C2017 x + C2017 x + + C2017 x k + + C2017 x 2017 k 2017 = C2017 + C2017 + C2017 + + C2017 + + C2017 Thay x = ta Suy 22017 = + S ⇒ S = 2017 − Ghi chú: Trong trắc nghiệm ta khai triển ( + 1) 2017 k 2017 22017 = C2017 + C2017 + C2017 + + C2017 + + C2017 Suy S = 22017 − Câu Xét khai triển nhị thức ( x + ) 10 10 10 = ∑ C10k x10− k 2k = C100 x10 + 2C10 x + 22 C102 x8 + + 210 C10 k =0 Cho x = , ta 310 = ( + ) = C100 + 2C101 + 22 C102 x + + 210 C1010 10 Câu k n− k Sử dụng đẳng thức Cn = Cn ta được: 15 S = C158 + C159 + C1510 + + C15 = C157 + C156 + C155 + + C150 15 ⇒ S = ( C158 + C159 + C1510 + + C1515 ) + ( C157 + C156 + C155 + + C150 ) = ∑ C15k = 215 k =0 ⇒ S = 214 10 15 14 Vậy S = ( C15 + C15 + C15 + + C15 ) = Câu Xét khai triển ( a + b ) = Cn0 a b n + Cn1 a1.b n −1 + + Cnn a n b n Với a = 5, b = ta có: ( + 1) = Cn0 50.1n + Cn1 51.1n −1 + + Cnn 5n.10 = Cn0 + 5Cn1 + + n Cnn = A , hay n A = 6n Câu Trang 14 Xét khai triển ( + x + x ) 1009 = a0 + a1 x + a2 x + + a2018 x 2018 (1) Thay x = vào (1) ta được: a0 + a1 + + a2018 = ( + + 1) 1009 = 31009 Câu k C2017 , ta có: k +1 Xét số hạng tổng quát 1 2017! 2018! 1 k k +1 k k +1 C2017 = = = C2018 C2017 = C2018 Vậy k +1 + k k !( 2017 − k ) ! 2018 ( k + 1) !( 2017 − k ) ! 2018 k +1 2018 C2018 1 2018 22018 − 1 2018   ⇒S= C2018 + C2018 + C2018 + + C2018  − = − = 2018  2018 2018 2018 2018 Câu Ta có ( − 1) = 3n Cn0 − 3n −1 Cn1 + 3n −2 Cn2 − + ( −1) Cnn n n ⇔ 2n = 2048 ⇔ 2n = 211 ⇔ n = 11 11 k 11− k k Xét khai triển ( x + ) = ∑ C11 x 11 k =0 Tìm hệ số x10 tương ứng với tìm k ∈ ¥ ( k ≤ 11) thỏa mãn 11 − k = 10 ⇔ k = Vậy hệ số x10 khai triển ( x + ) 11 C11.2 = 22 Câu Xét khai triển: ( x − ) 80 = a0 + a1 x + a2 x + + a80 x80 (1) Lấy đạo hàm theo biến x hai vế (1) ta được: 80 ( x − ) 79 = a1 + 2a2 x + 3a3 x + + 80a80 x 79 (2) Thay x = vào (2) ta được: S = 80 ( − ) 79 = −80 Câu k n +1− k Do C2 n +1 = C2 n +1 ∀k = 0,1, 2, , 2n + nên C20n +1 + C21n +1 + + C2nn +1 = C2nn++11 + C2nn++21 + + C22nn++11 2 n +1 n +1 Mặt khác: C2 n +1 + C2 n +1 + + C2 n +1 = n n +1 Suy ( C2 n +1 + C2 n +1 + C2 n +1 + + C2 n +1 ) = ⇔ C21n +1 + C22n+1 + + C2nn +1 = 22n − C20n+1 = 22 n − ⇔ 22 n − = 220 − ⇔ n = 10 10 10 10 10 10 − k   Khi đó:  + x ÷ = ( x −4 + x ) = ∑ C10k ( x −4 ) x k = ∑ C10k x11k − 40 x  k =0 k =0 Hệ số chứa x 26 ứng với giá trị k: 11k − 40 = 26 ⇒ k = Trang 15 Vậy hệ số chứa x 26 C10 = 210 Câu 10 Xét khai triển ( + x ) = Cn0 + x.Cn1 + x Cn2 + + x n Cnn (*) n 2018 Thay x = −1; n = 2018 vào (*), ta = C2018 + C2018 + C2018 + + C2018 Vậy S = Trang 16 ... x Cn2 + + x n Cnn (*) n 20 20 20 20 = C2 020 + C2 020 + C2 020 + + C2 020 Thay x = 1; n = 20 20 vào (*), ta được: (1) 20 20 Thay x = −1; n = 20 20 vào (*), ta = C2 020 − C2 020 + C2 020 − + C2 020 (2) Cộng... a2 x + + a2018 x 20 18 Khi a0 + a1 + a2 + + a2018 B 31008 C 320 18 D 320 16 1 20 17 C2017 Câu 6: Giá trị tổng S = C2017 + C2017 + C2017 + + 20 18 A 22 017 − 20 17 B 22 018 − 20 18 C 22 018 − 20 17... C2017 = C2018 Vậy k +1 + k k !( 20 17 − k ) ! 20 18 ( k + 1) !( 20 17 − k ) ! 20 18 k +1 20 18 C2018 1 20 18 22 018 − 1 20 18   ⇒S= C2018 + C2018 + C2018 + + C2018  − = − = 20 18  20 18 20 18 20 18