các dạng bài tập nhị thức niu tơn

các dạng bài tập nhị thức niu tơn

Nhi thức Newton Dạng 2: Tính tổng biểu thức có dạng: C  C  C  C PP giải: Vận dụng công thức hệ Sau chon giá trị x phù hợp với toán n n n n n Tính giá trị biểu thức:  A  C60  C61  C66  B  C50  2C51  22 C52  25 C55  C  Cn0  Cn1  Cn2  Cnn  D  2n Cn0  2n2 Cn2  2n4 Cn4  .Cnn  E  2n1 Cn1  2n3 Cn3  .Cnn  F  Cn0  2Cn1  22 Cn2  .2n Cnn  G  C22n  C24n  C26n  C22nn  11 H  C116  C117  C118  C11 n n p n p 1 n C C  p C C ĐS: 1024 n n n 1 n C C  I  Cn1   A  Cn0   B  Cn0  2Cn1  3Cn2   n  1 Cnn  C  1.2Cn2  2.3Cn3  3.4Cn4   n  1 nCnn  D  E  P1  2P2  3P3  nPn 1 1 A     A2 A3 A4 An 1 1 B     An An1 An An m    n n   1 ĐS:  3n  1 ĐS: Cn1 Cn2 Cn   n n 1 2n 1  n 1 n2 n DS: B  2 DS:  n  1 n.2n2 ĐS: A  1   (n chẵn ) 1!  n  1! 2! n  !  n  1!1! a: S1 = C06 + C16 + C26 + … + C66 b: S2 = C05 + 2C15 + 22 C25 + … +25 C55 c: S3 = 317 C017 – 41 316 C117 + 42 315 C217 – 43.314 C37 + …-417.C1717 d: S4 = C611 + C711 + C811 + C911 + C1011 + C1111 e: 2001 2000 k 2001k 2001 S4  C2002 C2002  C2002 C2001   C2002 C2002 k   C2002C1  Chứng minh rằng: a C20n  C22n  C22nn  C21n  C23n  .C22nn1 b  Cn0    Cn1    Cnn   C2nn 2 1   c 3n Cn0  Cn1  Cn2  n Cnn   4n 3   2 4 2n 2n d C2 n  C2 n  C2 n  C2 n  22n1  22 n  1 2001 2000 k 2001k 2001 C2002  C2002 C2002  C2002 C2002  C2002 C2002  1001.22002 e C2002 Phạm Ngoc Chuyên- THPT Quỳnh Lưu 2- 11/5/2013 Nhi thức Newton (C )  (C )  (C )  (C )  (1) C n 2n 2 2n 2n 2n n 2n (-1)n C0n + (-1)n-1 2C1n + … + (-1)n-k 2k Ckn + 2n Cnn = 10 C02n + C12n + C42n + … + (C22nn ) = 22n-1     2000 2000  chia hết cho 11 11 1001  1001   1001    12  n  1 n   n  3  2n  chia hết cho P = 1.3.5.7…(2n - 1) 13 Tìm số nguyên dương n thõa mãn: C21n  C23n  C22nn1  2048 1) Chứng minh bất đẳng thức: ĐS: n = Cn1  Cn2   Cnn  n  2n  1 2) Chứng minh: Ckk  Ckk1  Ckk2   Ckkm1  Ckkm1 3) Cho m  k  n Chứng minh: Cm0 Cnk  Cm1 Cnk 1  Cm2 Cnk 2   CmmCnk m  Cmk n 4) Chứng minh rằng: Cn0  Cn1  Cn2    1 Cnk    1 Cnn  k  2n   5) a) Chứng minh: C C C C     n 1  HD: Sử dụng bất đẳng thức cosi n n n n n 1 n n 6) * Chứng minh: C2nnk C2nnk   C2nn  HD: 7) a) Chứng minh: 2.1.Cn2  3.2.Cn3   n  n  1 Cnn  n  n  1 2n2 8) b) Chứng minh:  Cn0    Cn1     Cnn   C2nn 2 14 CHỨNG MINH CÁC HỆ THỨC TỔ HỢP 1) Chứng minh rằng: Cnk  2Cnk 1  Cnk 2  Cnk2   k  n  2) Chứng minh rằng: Cnk  3Cnk 1  3Cnk 2  Cnk 3  Cnk3   k  n  3) Chứng minh : Cnk  Cnk 1  Cnk11 4) Chứng minh: Pk An21.Cn23 An25  n.k ! An55 5) 6) Chứng minh với  k  n thì: Cnk  4.Cnk 1  6.Cnk 2  4.Cnk 3  Cnk 4  Cnk4 HD: Áp dụng tính chất Cnk  Cnk1  Cnk11 lần ta đpcm 7) CMR: n 1  1   k  k 1   k n   Cn 1 Cn 1  Cn Phạm Ngoc Chuyên- THPT Quỳnh Lưu 2- 11/5/2013 8) CMR: Nhi thức Newton 1 1 n 1 (n > 1, n thuộc N)     A2 A3 A4 An n 9) CMR: Cn1  Cn2 Cn3 Cnn    n  Cn21 (n > 0, n thuộc N) Cn1 Cn2 Cnn 1 10) CMR Pn   P1  2P2  3P3   n  1 Pn1 = n! - (n >1) HD: Ta có: Pk  Pk 1   k  1 Pk 1 Cộng vế cho vế ta điều phải cm Giải phương trình giai thừa 9) 3.Cx21  Ax2  x 10) Ax31  Cxx11  14  x  1 ; 11) Cx21 Ax2  x3   A21 x  12) P n 2  720 An5 P n5 13) An3  An2  P  n 1 14) Giải bất phương trình: 15) Cx41  Cx31  Ax 2  Ax41  14.P3 Cxx13 17) A22x  Ax2  Cx3  10 x 16) ĐS: x=3, x= 18) Giải bất phương trình: Cxx12  Cxx11  2000 19) GPT: Axy 1 : Axy1 : Cxy1  21: 60 :10 ĐS: x = 7, y = 2 Ayx  5C yx  90 20) GHPT:  x x 5 Ay  2C y  80 ĐS: x = 2, y = An41  An3 , biết rằng: Cn21  2Cn22  2Cn23  Cn24  149 21) (ĐH-D-2005) Tính giá trị biểu thức: M   n  1! ( n số nguyên dương ) DS: M = 3/4 22) (DH- B 2002)Cho đa giác A1A2…A2n nội tiếp đường tròn tâm O Biết số tam giác có đỉnh 2n đỉnh đa giác gấp 20 số hình chữ nhật có đỉnh đỉnh 2n đỉnh đa giác Tìm n ĐS: n = 23) Phạm Ngoc Chuyên- THPT Quỳnh Lưu 2- 11/5/2013 Nhi thức Newton IV – Nhị thức Newton: 12 1  24) Cho  x   x  a Xác định hệ số số hạng thứ b Xác định hệ số số hạng chứa x c Xác định số hạng khong chứa x khai triến 12  x 3 25) Tìm hệ số số hạng chứa x4 khai triển:    3 x 18 1  26) Tìm số hạng không phụ thuộc vào x khai triển:  x3   x   19 27) Tìm hệ số x khai triển 2  x  ĐS: T10  C199 210 28) Tìm hệ số x khai triển 3  x 15 ĐS: T8  C157 38  2  29) Tính hệ số x y khai triển x  y 13 ĐS: T  C138  1287 30) n 1  31) Tìm số hạng đứng khai triển:  x   biết hệ số số hạng thứ khai triển 3  n   32) Cho  x3   Tìm hệ số số hạng chứa x2 biết tổng hệ số số hạng khai triển x   11 33) Biết tổng tất hệ số khai triển  x  1 1024 Tìm hệ số số hạng chứa x12 n 2  34) Tìm hệ số số hạng chứa x khai triển:  x   x    35) Tìm x để khai triển:  x lg x 1  12 x  có số hạng thứ 200   1  36) Tìm số hạng không chứa x khai triển  x   x  17    x3  Tìm số hạng không chứa x khai triển 37) Trong khai triển   x    38) (ĐH-D-2004 Tìm số hạng không chứa x khai triển nhị thức Newton  x   với x > x  39) Biết hệ số x khai triển 1 3x  90 Tìm n n  40) Trong khai triển nhị thức x x  x 28 / 15  n tìm số hạng không phụ thuộc vào x biết Cnn + Cn-1n + Cn-2n = 79 Phạm Ngoc Chuyên- THPT Quỳnh Lưu 2- 11/5/2013 ĐS: 792 Nhi thức Newton 41) Khi khai triển rút gọn đơn thức đồng dạng từ biểu thức: 1  x   1  x   1  x    1  x  11 Ta đa thức: P( x )  A0  A1.x  A2 x   A11.x11 Tính A7 =? 42) Khi khai triển rút gọn đơn thức đồng dạng từ biểu thức 1  x  x3  Ta đa thức: Px  A0  A1 x2  A2 x  Tính A7 43) (Đại học Thuỷ lợi, 2000) Khai triển rút gọn đa thức: Q  x   1  x   1  x    1  x  10 14 Ta đa thức: Q  x   a0  a1 x   a14 x14 Xác định hệ số a9 Tìm hệ số x8 khai triển biểu thức: 1  x 1  x  44) (ĐH-A-2004) 45) Tìm hệ số chứa x5 y z 6t khai triển  x  y  z  t  20 46) Tìm hệ số chứa x6 y z khai triển:  x  y  z  ĐS: 126126.106 15 47) Cho : 1  x  x  x   a0  a1 x  a28 x 28 1.Tính a3 2.Tính a0  a1  a2  a28 48) Tìm hệ số số hạng chứa x khai triển: 1  x  3x  10 49) Tìm hệ số x khai triển biểu thức: P x   1  x   1  x   1  x   1  x    50) Trong khai triển:   x  Tìm số hạng chứa x khai triển  x  n 1  51) (ĐH-A-2003) Tìm hệ số số hạng chứa x khai triển nhị thức Newton của:   x5  , biết x  n 1 n rằng: Cn4  Cn3  7(n  3) ( n số nguyên dương, x > ) Với n số nguyên dương, gọi a3n 3 hệ số x3n 3 khai triển thành đa thức 52) (ĐH-D-2003) x  1  x   Tìm n để a3n3  26n n n n   53) (ĐH-A-2006) Tìm hệ số số hạng chứa x khai triển nhị thức Newton của:   x  , biết x  n 20 rằng: C2n1  C2n1  C2n1   C2n1   ( n số nguyên dương, x > ) 26  a  54) Trong khai triển:  b  21 b a   Tìm số hạng có số mũ a b  55) Tìm hạng tử số nguyên khai triển  3  19 Phạm Ngoc Chuyên- THPT Quỳnh Lưu 2- 11/5/2013 Nhi thức Newton 56) Tìm giá trị lớn giá trị: Cn0 , Cn1 , Cn2 , , Cnn 57) Tìm hệ số có giá trị lớn khai triển:  a  b  , biết tổng hệ số 4096 n 58) Tìm hệ số lớn khai triển: (1 + x)n 59) Tìm số hạng có giá trị lớn khai triển 1 2    3 3 ĐS: 1792/2187 Cho khai triển: 1  x   a0  a1 x   an x n Trong n  N * hệ số a0 , a1, , an n 60) (ĐH-A-2008) thỏa mãn hệ thức: a0  61) (ĐH-A-2002) a a1   nn  4096 Tìm số lớn số: a0 , a1 , , an 2 Cho khai triển nhị thức: n n n 1 n 1 n x x 1 x 1 x 1       3x    3x  0 1 n 1  n 2     Cn    Cn       Cn      Cn   ( n số nguyên              dương ) Biết khai triển Cn  5Cn số hạng thứ tư 20n, tìm n x x 1 x 62) (ĐH-A-2005) Tìm số nguyên dương n cho: C2n1  2.2C2n1  3.22 C23n1  4.23 C24n1    2n  1 22 n C22nn11  2005 22  1 23  2n1  n Cn  Cn   Cn n 1 63) (ĐH-B-2003) Cho n số nguyên dương Tính tổng: Cn0  64) (ĐH-D-2002) Tìm số nguyên dương n cho: Cn0  2Cn1  4Cn2   2n Cnn  243 65) Xác định hệ số chứa x11 KT:  x    3x3  1 biết: C22nn  3C22nn1   1 3k C22nnk  32n.C20n  1024 n 66) Tính tổng n n! i  j  k n i ! j !k !  k ĐS: 3n 1  ĐS:     1 3  n! j 67) Tính tổng:   1 i ! j !k ! 3i  j i  j k n k n Bài 1: (ĐH TK-2002) Gọi a1, a2,…, a11 hệ số khai triển sau:  x  1 x  2  x11  a1x10   a11 Hãy tìm hệ số a5 10 Bài 2: Tìm hệ số x5 khai triển x 1  x   x 1  3x  ( Khối D-2007) Bài 3: Tìm hệ số x5y3z6t6 khai triển đa thức  x  y  z  t  ( Đề “TH&TT” -2003) Bài 4: (TT ĐH- chuyên Phan Bội Châu-Nghệ An) Xác định hệ số x11 khai triển đa thức: 20 x    3x3  1 biết: n n C22nn  3C22nn1    1 3k C22nnk   32n C20n  1024 k n   Bài 5: (LAISAC) Khai triển P  x    x3   ta P  x   a0 x3n  a1 x3n5  a2 x3n10  Biết ba hệ 2x   số đầu a0, a1, a2 lập thành cấp số cộng Tính số hạng thứ x4 Phạm Ngoc Chuyên- THPT Quỳnh Lưu 2- 11/5/2013