[r]
(1)Bài tập đáp án Bài tập 1: Giải hệ phơng trình sau:
1 ¿
− x+3y=−10 x −5y=16
¿{ ¿
19 ¿
3x+2y=8 2x −3y=−12
¿{ ¿
37 ¿
2x+y=4 2x+0y −6=0
¿{ ¿
2 ¿
2x+y=7 − x+4 y=10
¿{ ¿
20 ¿
2x+y=5 x+7y=9
¿{ ¿
38 ¿
x −2y=2 2x −4y=1
¿{ ¿
3 ¿
3x −5y=−18 x+2y=5
¿{ ¿
21 ¿
5x+3y=−7 3x − y=−8
¿{ ¿
39 ¿
3x+2y −2=0 9x+6y −4=0
¿{ ¿
4 ¿
4x+3y=−6 2x −5y=16
¿{ ¿
22 ¿
−2x+y=−3 3x+4y=10
¿{ ¿
40 ¿
2x − y=2 4x −2y −4=0
¿{ ¿
5 ¿
2x − y=x+3y+3 3x −3y=9
¿{ ¿
)
23 ¿
x+y=2 x+3y=6
¿{ ¿
41 ¿
x+2y=4 2x+9y=18
¿{ ¿
6 ¿
2x −4y=3 − x+2y=1
¿{ ¿
24 ¿
x −2y=−5 3x+4y=−5
¿{ ¿
42 ¿
−2x+y=−3 x+y=3
¿{ ¿
7 ¿
x+y=−2(x −1) 7x+3y=x+y+5
¿{ ¿
25 ¿
3x −2y=12 4x+y=5
¿{ ¿
43 ¿
x − y=0 2x+y=−5
¿{ ¿
8 ¿
2x+5y=−(x+y) 6x+3y=y −10
¿{ ¿
26 ¿
2x − y=10 5x+2y=6
¿{ ¿
44 ¿
2x+y=0 x −4y=0
¿{ ¿
9 ¿
3x+y=−2 −9x −3y=6
¿{ ¿
27 ¿
5x −2y=10 5x −2y=6
¿{ ¿
45 ¿
− x+y=3 x+2y=3
¿{ ¿
10 ¿
2x+5y=7 2x −3y=−1
¿{ ¿
28 ¿
3x+2y=8 4x −3y=−12
¿{ ¿
46 ¿
x − y=2 3x −2y=9
¿{ ¿
11 ¿
− x+3y=−10 2x+y=−1
¿{ ¿
29 ¿
2x+y=−3x −20 4x+y=x −2y −12
¿{ ¿
47 ¿
3x+y=2 6x+2y=3
(2)12 ¿ 2x+3y=−2 3x −2y=−3
¿{ ¿
30 ¿
5x − y=1 10x −2y=0
¿{ ¿
48 ¿
2x −3y=6 4x −6y=12
¿{ ¿
13 ¿
2x − y=3 3x+y=7
¿{ ¿
31 ¿
3x+2y=− x 5(x+y)=−3x+y −5
¿{ ¿
49 ¿
3x+2y=6 2x −3y=4
¿{ ¿
14 ¿
2x+y=7 − x+2y=−5
¿{ ¿
32 ¿
2x −5y=1 4x −10y=2
¿{ ¿
50 ¿
x+2y=−2 2x − y=1
¿{ ¿
15 ¿
x −2y=−5 3x+2y=1
¿{ ¿
33 ¿
2x+y=5 x − y=1
¿{ ¿
51 ¿
2x+y=5 3x − y=15
¿{ ¿
16 ¿
3x −2y=12 4x+3y=−1
¿{ ¿
34 ¿
− x+2y=−4(x −1) 5x+3y=−(x+y)+8
¿{ ¿
52 ¿
3x+2y=8 5x+2y=12
¿{ ¿
17 ¿
−5x+3y=22 3x+2y=22
¿{ ¿
35 ¿
x+y=−1 3x −2y=−8
¿{ ¿
53 ¿
2x+3y=5 2x+3y=1
¿{ ¿
18 ¿
3x+y=0 x+2y=5
¿{ ¿
36 ¿
0x+y=3 x −2y=−4
¿{ ¿
54 ¿
2x −3y=5 4x −6y=10
¿{ ¿ Bµi tập 2: Giải hệ ph ơng trình sau:
1 ¿
1 x−
1 y=1
x+ y=5 ¿{
¿
5 ¿
1 x+y+
1 x − y=3
x+y− x − y=1 ¿{
¿
9 ¿
1 x−
2 y −2=2
x+ y −2=1
¿{ ¿
2 ¿
2 x+1+
3 y=1
x+1+ y=1 ¿{
¿
6 ¿
2 x − y+
6
x+y=1,1
x − y−
x+y=0,1 ¿{
¿
10 ¿
x x+y+
3 x+y=5 2x
x+y− x+y=3 ¿{
(3)3 ¿ x −2+
1 y −1=2
x −2− y −1=1 ¿{
¿
7 ¿
2x x+1+
y y+1=3 x
x+1+ 3y y+1=−1 ¿{
¿
11 ¿
−3 x − y+
2
2x+y=−2
x − y− 10
2x+y=2 ¿{
¿
4 ¿
2 x −2+
2 y −1=2
x −2− y −1=1 ¿{ ¿ ¿ x+ y=
6x+ 5y=
2 15 ¿{ ¿ 12 ¿ x y − x y+12=1 x
x −12− x y=2 ¿{
¿
Bµi 3: Cho hệ phơng trình:
1 mx y x my
a) Giải hệ phơng trình m =
b) Giải biện luận hệ phơng trình theo tham sè m
c) Tìm m để hệ phơng trình có nghiệm (x; y) thoả m n x - y = 1ó
d) Tìm hệ thức liên hệ x y không phụ thuộc vào m Giải:
a) Thay m = vào hệ phơng trình
1 mx y x my
ta cã hƯ ph¬ng trình trở thành
2 2 x y x y
2 2
y x x x
2
y x x x y x x 2.0 y x y x
VËy víi m = hệ phơng trình có nghiệm nhÊt ( x ; y) = ( ; 1) b) Giải hệ phơng trình theo tham số m
Ta cã mx y x my
y mx
x m mx
1
2
y mx
x m m x
1 (*)
y mx
m x m
2 y mx m x m 2 m y m m m x m 2 2 1 m m y m m x m 2 2 2
m m m
y m m x m 2 2 m y m m x m
(m 1)
Vậy hệ phơng trình có nghiÖm nhÊt (x; y ) = 2
2 ; 1 m m m m
víi m 1
- XÐt m = => Phơng trình (*) <=> 0x = 1, phơng trình vô nghiệm nên hệ đ cho vôÃ
nghiệm
- XÐt m = - => Ph¬ng trình (*) <=> 0x = 3, phơng trình vô nghiệm nên hệ đ cho vôÃ
nghiệm
(4) 2
2 1
m m
m m
2 m 1 2 m 1 m2 m2m0 m m. 10
0 m m
1 m m
m = (nhËn), m = - (lo¹i)
VËy víi m = hpt có nghiệm thoả m n điều kiƯn: x - y = 1·
d) T×m hƯ thức liên hệ x y không phụ thuộc vào m
Xét hệ phơng trình
1 mx y x my
1
Từ phơng trình 1 mx 1 y
1 y m
x
thay
1 y m
x
vào phơng trình 2 ta có phơng trình
1
y
x y
x
2 y y x
x
x2 y y2 2x x2 y y2 2x0
Vậy x2 y y2 2x0là đẳng thức liên hệ x y không ph thuc vo m
Bài 4: Cho hệ phơng tr×nh:
1
1
m x y m
x m y
cã nghiÖm (x ; y) a) Giải hệ phơng trình m =
b) Tìm hệ thức liên hệ x y không phụ thuộc vào m
c) Giải biện luận hệ theo m, trờng hợp hệ có nghiệm tìm giá trị m tho¶ m n: 2x· 2 - 7y = 1
d) Tìm giá trị m để biểu thức
2x 3y x y
nhận giá trị nguyên. Giải:
a) Thay m = vào hệ phơng trình
1
1
m x y m
x m y
ta có hệ phơng trình trở thành
3
3
x y
x y
2
2
x y
x y
4
2
x y
x y
3
2
x
x y
4
2
3 x
y
4
2
3 x
y
2
3 x
y
3 x y
VËy víi m = th× hƯ phơng trình có nghiệm ( x ; y) =
4 ; 3
b) T×m hệ thức liên hệ x y không phụ thuộc vào m
Xét hệ phơng trình
1
1
m x y m
x m y
1
Từ phơng trình 2 x my y 2 my 2 x y
2 x y m
(5)thay
2 x y m
y
vào phơng trình 1 ta có phơng trình:
2
1
x y x y
x y y y 2
x y y x y
x y y y 2
x x y
x y y y 2
2x x y x y
y y
2x x 2y2 2 x y x2 y2 3x y 2 VËy
2 3 2 0
x y x y đẳng thức liên hệ x y không phụ thuộc vào m.
c) Giải hệ phơng trình
1
1
m x y m
x m y
theo tham sè m ta cã hpt
1
1
m x y m
x m y
1
1
m x m y m m
x m y
1
1
m x x m m
x m y
2 2 1 1 2
1
m m x m m
x m y
2 (*)
1
m m x m m
x m y
1 m x m m m y m 1 m x m m m y m ` 1 m x m m m m y m 1 m x m m m y m 1 m x m y m
Vậy hệ phơng trình có nghiÖm nhÊt (x; y ) =
1 ; m m m
(m 0,m2)
- Víi m = phơng trình (*) trở thành 0x = -2 , phơng trình vô nghiệm nên hệ đ cho vôÃ
nghiệm
- Với m = phơng trình (*) trở thành 0x = , phơng trình vô số nghiệm nên hệ đ choÃ
vô số nghiệm, nghiệm tổng quát hệ
(xR; y x)
+) Để hệ phơng trình có nghiệm (x; y) thoả m n 2x· 2 - 7y = 1
2
1 m
m m 2
2
1
m m
m m
2m24m 2 7m m m2 3m 2 m m1 0
m m
2 (lo¹i)
m
m <=> m = 1
VËy víi m = th× hệ phơng trình có nghiệm thoả m n điều kiÖn: ·
2x2 - 7y = 1
d) Thay m x m ; y m
vµo biĨu thøc A =
2x 3y x y
(6)A =
1
2
1 m
m m
m
m m
=
2
1 m
m m
m
=
2 :
m m
m m
=
2
m m
=
2
2 m
m
=
2
2
m
m m
=
5
2
m
§Ĩ biĨu thøc A =
2x 3y x y
nhận giá trị nguyên
5
2
m
nhận giá trị nguyên
5
m nhận giá trị nguyên 5m2 (m+2) ớc Mà Ư(5) = 1; 5
2
2
2
2
m m m m
1 2
5 m
m m m
1 3
7 m m m m
KÕt hợp với điều kiện m0; m2 Vậy với giá trị m 7; 3; 1;3 giá trÞ cđa biĨu thøc
2x 3y x y
nhận giá trị nguyên
Bµi 5 Cho hƯ pt:
mx y
2x y Giải biện luận hệ theo m.
Bµi lµm:
2x y mx y
(2 m)x (1) 2x y (2)
+ Xét phơng trình (1) (2 + m)x =
- NÕu + m = m = - phơng trình (1) có dạng 0x = (3) Do phơng trình (3) vô nghiệm hệ vô nghiệm
- NÕu + m 0 m -
Thì phơng trình (1) có nghiệm x =
3
2 m
+ Thay x =
3
2 m vào phơng trình (2) ta cã:y = 2x – =
6
2 m - =
4 m 2 m
VËy víi m - th× hƯ cã nghiƯm nhÊt
3 x
2 m
4 m
y
2 m
Tãm l¹i:
(7)+) Víi m - th× hƯ cã nghiƯm nhÊt
3 x
2 m m y
2 m
Bài 6 Tìm giá trị m p để hệ phơng trình
x 7 y mx 2y p
a) Cã mét nghiÖm nhÊt b) Cã v« sè nghiƯm
c) V« nghiƯm
Giải:
Thay x = y vào phơng tr×nh thø hai, ta cã:
m(7 - y) = 2y + p <=> (m + 2)y = 7m - p (1)
a) NÕu m + 0 <=> m => Phơng trình (1) có nghiệm nên hệ đ cho có nghiệmÃ
duy
Tõ (1) => y =
7m p
m
, thay vµo x = – y => x = -
7m p
m
=
14 p
m
Vậy m hệ phơng trình cã nghiÖm nhÊt (
14 p
m
;
7m p
m
)
b) NÕu m = - => Phơng trình (1) trở thành 0.y = - 14 – p HƯ v« sè nghiƯm khi: -14 – p = <=> p = - 14
VËy m = - vµ p = - 14 hệ vô số nghiệm
c) Nếu m = - p 14 phơng trình(1) vô nghiệm nên hệ vô nghiệm
*) Cách khác:
Hệ phơng trình đ cho <=> Ã
mx 2y p
x y 7
a) HÖ cã nghiÖm nhÊt <=>
m 2 m 2
1 1
b) HÖ v« sè nghiƯm <=>
p
m 2
1 1 7
=> m = - 2, p = - 14
c) HƯ v« nghiƯm <=>
p
m 2
1 1 7
=> m = - 2, p 14
Bµi : Phơng pháp:
Cho hệ phơng trình :
ax by c (1) a x b y c (2)
Tìm giá trị tham số để hệ phơng trình có nghiệm
0
x x
y y
C¸ch 1:
Thay x = x0; y = y0 lần lợt vào (1) giải
Thay x = x0; y = y0 lần lợt vào (2) giải
Cách 2: Thay x = x0; y = y0 vào hai phơng trình giải hệ phơng trình chứa ẩn tham số
(8)
3x 2y 7 (1)
(5n 1)x (n 2)y n 4n 3 (2)
Tìm n để hệ có nghiệm (x; y) = (1; - 2) Giải: Thay (x; y) = (2; 1) vào (1) ta có:
3 – 2.(- 2) = 7 + = (luôn với n) Vậy (2; 1) nghiệm (1)
Thay (x; y) = (1; -2) vµo (2) ta cã: (5n + 1) + 2.(n - 2) = n2 – 4n –
7n – = n2 – 4n – n(n –11) =
n n 11
VËy víi n = n = 11 hệ đà cho có nghiệm (x; y) = (1; - 2)
Bµi Cho hệ phơng trình
2
2
1
5m(m 1)x my (1 2m) (1)
4mx 2y m 3m (2)
Tìm m để hệ có nghiệm (x = 1; y = 3) Giải:
Thay x = 1; y = vµo (1) ta cã:
5m2 – 5m + m = – 4m + 4m2 m2 =
m
m
(I) Thay x = 1; y = vµo (2) ta cã:
4m + = m2 + 3m + m(m – 1) =
m m
(II)
Tõ (I) (II) Với m = hệ pt cã nghiÖm (x = ; y = 3)
Bài 10 Cho hệ phơng trình :
2mx (n 2)y (m 3)x 2ny 5 Tìm m; n để hệ có nghiệm (x = 3; y = - 1)
Gi¶i: Thay x = 3; y = - vµo hƯ pt ta cã:
(m 3).3 2n.( 1) 6m (n 2).( 1)
3m 2n 12m 2n 14
m n
VËy với m = n = hệ cã nghiÖm (x = 3; y = - 1)
Bài 11 Cho hệ phơng trình
3x 2y (1)
3mx (m 5)y (m 1)(m 1) (2) (I) Tìm m để hệ có nghiệm (x; y) thoả mãn :
4x – 2y = - (3) Gi¶i:
Điều kiện để hệ có nghiệm nhất:
3(m + 5) + 6m 0 m 5 3
Do (x; y) lµ nghiƯm cđa hƯ phơng trình (I) thoả mÃn (3)
(x; y) nghiệm (1), (2), (3)
Kết hợp (1) vµ (3) ta cã:
3x 2y 4x 2y
x
y
(9)
m m
(tháa m n m·
5 3
)
VËy m = hc m = hệ (I) có nghiệm thoả mÃn 4x – 2y = -
Bµi 12 Cho hệ phơng trình
mx y (1) 2mx 3y (2)
(I)
Tìm m để hệ có nghiệm thoả mãn:
(2m – 1)x + (m + 1)y = m (3) Gi¶i:
Điều kiện để hệ có nghiệm nhất: m.32.m m Từ (1) y = – mx Thay vào (2) ta có:
2mx + 3(5 - mx) = x =
9
m (m0)
Thay x =
9
m vµo y = – mx ta cã: y = -
9m m = - VËy víi m0 hÖ (I) cã nghiÖm x =
9
m; y = - Thay x =
9
m; y = - vào phơng trình (3) ta đợc: (2m – 1)
9
m+ (m + 1)(- 4) = m
18 -
9
m - 4m – = m 5m2 – 14m + = 0
(m – 1).(5m – 9) =
m 1 9 m
5
(tho¶ m·n m0)
VËy víi m = hc m =
9
5 hệ (I) có nghiệm thoả mÃn (2m – 1)x + (m + 1)y = m
Bµi 13 Cho hÖ pt:
(m 2)x 2y
mx y
Tìm mZ để hệ có nghiệm số nguyên Giải:
Từ (2) ta có: y = mx – Thay vào (1) ta đợc: (m + 2)x + 2(mx - 1) = 3mx + 2x =
x.(3m + 2) = (m
2 3
) x =
7 3m 2.
Thay vµo y = mx – y =
7
3m 2.m – y =
4m 3m §Ĩ xZ
7
(10)+) 3m + = 7 m =
5
3 Z (lo¹i)
+) 3m + = 1 m =
1 3
Z
(lo¹i)
+) 3m + = -1 m = -
Thay m = - vµo y = 4m
3m y = (t/m)
Thay m = - vµo y = 4m
3m y = (t/m)
Kết luận: mZ để hệ có nghiệm nguyên m = -3 m = -1
Bài 14 Cho hệ phơng tr×nh :
(m 3)x y mx 2y
Tìm m để hệ có nghiệm nguyên Giải:
Tõ (1) ta cã y = – (m – 3).x y = – mx + 3x
Thay vµo (2) ta cã: mx + 2.(2 – mx + 3x) = 8 - mx + 6x =
x.(6- m) = (m 6)
x = 4
6 m Thay vµo y = – (m – 3).x ta cã: y =
24 6m m
§Ĩ xZ
4
6 m Z - m ¦(4) = 1; 1;2; 2;4; 4 +) – m = m =
+) – m = -1 m = +) – m = m = +) – m = - 2 m = +) – m = 4 m = +) – m = - 4 m = 10
Thay m = vµo y =
24 6m m
y = - (t/m) Thay m = vµo y =
24 6m m
y = 18 (t/m) Thay m = vµo y =
24 6m m
y = (t/m) Thay m = vµo y =
24 6m m
y = 17 (t/m) Thay m = vµo y =
24 6m m
y = (t/m) Thay m = 10 vµo y =
24 6m m
y = (t/m)
Kết luận: Để hệ có nghiệm nguyên m 5;7;4;8;2;10
Bài 15 Cho hệ phơng trình :
2
2
mx y m
2x my m 2m
(1)
(11)a) Chứng minh hệ phơng trình ln có nghiệm với m b) Tìm m để biểu thức: x2 + 3y + nhận GTNN Tìm giá trị đó.
Giải:
a) Xét hai trờng hợp
Trờng hợp 1: m = => Hệ phơng trình có nghiệm nhÊt lµ (x ; y) = (1 ; 0)
Trờng hợp 2: m 0, hệ phơng trình cã nghiÖm nhÊt
<=>
a b
a ' b ' hay ab 'a ' b <=> m.m ( 1).2 <=> m2 + 0
Do m2 0 víi mäi m m2 + > víi mäi m
Hay m2 + víi mäi m
Vậy hệ phơng trình có nghiệm với mäi m b) Rót y tõ (1) ta cã: y = mx – m2 (3)
Thế vào (2) ta đợc
2x + m(mx – m2) = m2 + 2m +2 2x + m2x – m3 = m2 + 2m +2 2x + m2x = m3 + m2 + 2m +2 x(2 + m2)=(m3 + 2m) + (m2 + 2) x(2 + m2) =(m + 1)(m2 + 2) m2 + 0
x = m +
Thay vµo (3) y = m.(m + 1) – m2 = m
Thay x = m + 1; y = m vào x2 + 3y + ta đợc:
x2 + 3y + = (m + 1)2 + 3m + = m2 + 5m + 5
= (m2 +
5 25
m )
2 =
2
5 5
(m )
2 4
Do
2 5 (m ) 0
2
VËy Min(x2 + 3y + 4) =
5
m =
Bµi 16 Cho hệ phơng trình :
2
2
3mx y 6m m (1) 5x my m 12m (2)
Tìm m để biểu thức: A = 2y2 – x2 nhận GTLN Tìm giá trị đó
Gi¶i:
Tõ (1) ta cã: y = 3mx - 6m2 + m + Thay vµo (2) ta cã:
5x + m.( 3mx - 6m2 + m + 2) = m2 +12m
x.(5 + 3m2) = 6m3 + 10m (5 + 3m2 0 víi mäi m)
3
2
6m 10m
x 2m
3m
Thay x = 2m vào y = 3mx - 6m2 + m + ta đợc y = m + 2
Thay x = 2m ; y = m + vào A ta đợc: A = 2(m + 2)2 – (2m)2 = -2(m2 – 4m – 4)
A = - 2(m2 – 4m + – 8)
= - 2(m2 – 4m + 4) +16
= 2(m 2) 1616 Do 2(m 2) 0 m VËy MaxA = 16 m =
Bµi 17 Biết cặp số (x ; y) nghiệm hệ phơng trình
2 2
x y m
x y m
(12)Hớng dẫn: Biến đổi hệ phơng trình trở thành:
2
x y m
xy m
Hệ phơng trình cã nghiÖm
<=>
2 2
m 4(m 3)3m 12 2m2
Khi P =
2
(m 1) 44
VËy MinP = - <=> m = - (tháa m n à 2m2) Bài 18 Giả sử (x ; y) nghiệm hệ phơng trình
2 2
x y 2a
x y a 2a
Xác định giá trị tham số a để hệ thỏa m n tích xy đạt giá trị nhỏ nhất; lớn ?ã
Hớng dẫn: Biến đổi hệ phơng trình trở thành:
2
x y 2a
3a 6a
xy
2
Hệ phơng trình có nghiệm <=>
2a 12 3a2 6a 2a2 8a 2 a 2
2 2
Ta cã xy =
2
3 (a 1)
2
Víi
2
2 2
a a 1 a 1
2 2
=> xy
3
3 2 11
2 2
Víi
2
2 2
a a 1 a 1
2 2
=> xy
3
3 2 11
2 2
Do
3
11 xy 11
4
VËy Min(xy) =
3
11
4 <=> a =
2
2
vµ Max(xy) =
3
11
4 <=> a =
2
2
Bài 19 Tìm giá trị tham số m để hệ phơng trình
(m 1)x y m
x (m 1)y
có nghiệm thỏa m n điều kiện x + y đạt giá trị nhỏ nhấtã
(13)2
2
m m
x ; y
m m
Ta cã x + y =
2
2
2
2 7
m m ( )
m 2 2 8
m m
Min (x + y) =
2
7 0
8 m 2 2
<=> m = - (tháa m n · m0) C¸ch kh¸c:
2
2
m m
x y S (1 S)m m (*)
m
Ta cần tìm S để phơng trình (*) có nghiệm m - Xét hai trờng hợp
*) Trêng hỵp 1: S = => m = - (tháa m n · m 0)
*) Trờng hợp 2: S 1, để phơng trình có nghiệm 0
<=>
7 S
8
VËy Min S =
7
8 m = b 2a
=
1 4
2(1 S) 2(1 )
8
Min (x + y) =
7
8 <=> m = - 4
Bài 20 Cho hệ phơng trình:
1 mx y x my
a) Giải hệ phơng trình m =
b) Giải hệ phơng tr×nh theo tham sè m
c) Tìm m để hệ phơng trình có nghiệm (x; y) thoả mãn x - y = d) Tìm hệ thức liên hệ x y không phụ thuộc vào m Giải:
a) Thay m = vào hệ phơng trình
1 mx y x my
ta có hệ phơng trình trở thành
2
2
x y
x y
1
2 2
y x
x x
1
2
y x
x x
1
3
y x
x
1 2.0 y x
y x
VËy víi m = hệ phơng trình có nghiệm ( x ; y) = ( ; 1) b) Giải hệ phơng trình theo tham số m
Ta có hệ phơng trình
1 mx y x my
1
y mx
x m mx
1
2
y mx
x m m x
2
1 (*)
y mx
m x m
(14)+) NÕu m = 1, thay vµo hệ phơng trình ta có:
x y
x y
hệ phơng trình vô nghiƯm v×
1 1
1
+) NÕu m = -1, thay vµo hệ phơng trình ta có:
x y
x y
<=>
x y
x y
hệ vô nghiƯm v×
1 1
1
- Trêng hỵp 2: m2 <=> m
Hệ phơng trình
1 (*)
y mx
m x m
1
y mx
m x
m
2
2
1
1
m
y m
m m x
m
2
2
1
m m y
m m x
m
2
2
2
1
1
m m m
y
m m x
m
2
2
2
m y
m m x
m
VËy víi m 1 th× hƯ phơng trình có nghiệm
(x; y ) = 2
2 ; 1
m m
m m
Tãm l¹i:
NÕu m = 1 hệ phơng trình vô nghiệm
Nếu m hệ phơng trình có nghiệm
(x; y ) = 2
2 ; 1
m m
m m
c) Để hệ phơng trình có nghiệm (x; y) thoả mÃn x - y =
2
2 1
m m
m m
2 m 1 2 m 1 m2 m2m0 m m. 1 0
0 m m
1
m m Với m = - (loại) m = (nhận)
Vậy với m = hệ phơng trình có nghiệm thoả mÃn điều kiện: x - y =
d) Tìm hệ thức liên hệ x y không phụ thuộc vào m
Xét hệ phơng trình
1 mx y x my
1
Từ phơng trình 1 mx 1 y
1 y m
x
Thay
1 y m
x
vào phơng trình 2 ta có phơng trình
1
y
x y
x
2 y y x
x
(15) x2 y y2 2x0, đẳng thức liên hệ x y không phụ thuc vo m.
Bài 21 Cho hệ phơng trình:
1
1
m x y m
x m y
cã nghiÖm nhÊt (x ; y) a) Giải hệ phơng trình m =
b) Tìm hệ thức liên hệ x y không phụ thuộc vào m
c) Giải biện luận hệ theo m, trờng hợp hệ có nghiệm tìm giá trị m tho¶ m n: 2x· 2 - 7y = 1
d) Tìm giá trị m để biểu thức
2x 3y x y
nhận giá trị nguyên.
(Đề thi tuyển sinh THPT Năm học : 2004 2005)
Giải:
a) Thay m = vào hệ phơng trình
1
1
m x y m
x m y
ta có hệ phơng trình trë thµnh
3
3
x y
x y
2
2
x y
x y
4
2
x y
x y
3
2
x
x y
4
2
3 x
y
4
2
3 x
y
2
3 x
y
3 x y
Vậy với m = hệ phơng trình có mét nghiÖm nhÊt
( x ; y) =
4 ; 3
b) T×m hƯ thøc liên hệ x y không phụ thuộc vào m
Xét hệ phơng trình
1
1
m x y m
x m y
1
Từ phơng trình 2 x my y 2 my 2 x y
2 x y m
y
Thay
2 x y m
y
vào phơng trình 1 ta có phơng trình:
2
1
x y x y
x y
y y
2
x y y x y
x y
y y
2
x x y
x y
y y
2
2x x y x y
y y
2x x 2y2 2 x y x2 y2 3x y 2 VËy
2 3 2 0
(16)c) Giải hệ phơng trình
1
1
m x y m
x m y
theo tham sè m, ta cã hpt
1
1
m x y m
x m y
1
1
m x m y m m
x m y
1
1
m x x m m
x m y
2 2 1 1 2
1
m m x m m
x m y
2 (*)
1
m m x m m
x m y
- XÐt hai trờng hợp:
*) Trờng hợp 1: m m , hệ phơng trình
1 m x m m m y m 1 m x m m m y m ` 1 m x m m m m y m 1 m x m m m y m 1 m x m y m
VËy hƯ ph¬ng tr×nh cã nghiƯm nhÊt (x; y ) =
1 ; m m m
(m 0,m2) *) Trêng hỵp 2: m = hc m =
- Với m = phơng trình (*) trở thành 0x = -2 , phơng trình vô nghiệm nên hệ đ cho vôÃ
nghiệm
- Với m = phơng trình (*) trở thành 0x = , phơng trình vô số nghiệm nên hệ đ choÃ
vô số nghiệm, nghiệm tổng quát hƯ lµ:
(xR; y 2 x )
+) Để hệ phơng trình có nghiệm (x; y) tho¶ m n 2x· 2 - 7y = 1
2
1 m
m m 2
2
1
m m
m m
2m24m 2 7m m m2 3m 2 m m1 0
m m
2 (lo¹i)
m
m <=> m = 1
VËy víi m = hệ phơng trình có nghiệm thoả m n điều kiện: Ã
2x2 - 7y = 1
d) Thay m x m ; y m
vµo biĨu thøc A =
2x 3y x y
ta đợc biểu thức
A =
1 1 m m m m m m =
2
1 m m m m =
2 : m m m m = 2 m m =
2
2 m m =
2
(17)§Ĩ biĨu thøc A =
2x 3y x y
nhận giá trị nguyên
5
2
m
nhận giá trị nguyên
5
m nhận giá trị nguyên
5m2 (m+2) ớc Mà Ư(5) = 1; 5
2
2
2
2
m m m m
1 2
5 m
m m m
1 3
7 m m m m
Kết hợp với điều kiện m0; m2 ta thấy giá trị m thỏa m nã
VËy víi m 7; 3; 1;3 giá trị biểu thức
2x 3y x y
nhận giá trị nguyên
Bài 22 Cho hệ phơng trình :
2mx 3y x 3my
a) Chøng minh r»ng hƯ lu«n cã nghiệm
b) Tìm hệ thức liên hệ x, y không phụ thuộc vào m Giải:
a) XÐt hai trêng hỵp
Trêng hỵp 1: m = => Hệ phơng trình có nghiệm lµ
(x ; y) = (- ;
5 )
Trêng hỵp 2: m 0, hệ phơng trình có nghiệm
<=>
a b
a ' b ' hay ab 'a ' b
- §Ĩ hƯ cã nghiƯm nhÊt ta xÐt hiÖu: 2m.3m – 3.(-1) = 6m2 + > víi mäi m
- VËy 6m2 + 0 víi mäi m Hay hƯ lu«n cã nghiƯm nhÊt víi mäi m
b) Rút m từ (1) ta đợc m =
5 3y 2x
thay vµo (2) ta cã:
-x +
5 3y 2x
= 2x2 + 8x -15y + 9y2 =
Đây hệ thức liên hệ x, y không phụ thuộc vào m
Bài 23 Cho hệ phơng trình :
2
2
3mx y 3m 2m x my 2m
Tìm hệ thức liên hệ x, y không phụ thuộc vào m Hớng dÉn :
2
2
3mx y 3m 2m x my 2m
2
2
6mx 2y 6m 4m 3x 3my 6m
6mx 3x 2y 3my 4m x my 2m
<=>
6mx 3my 4m 3x 2y x my 2m
Rút m từ (1) ta đợc:
3x 2y 2 m
6x 3y 4
(18)2
3x 2y 3x 2y
x y 2.( )
6x 3y 6x 3y
Đây hệ thức liên hệ x, y không phụ thuộc
vào m
Bµi 24 Cho hệ phương trình ẩn x, y sau:
2 1
mx y m
x my m
a Xác định giá trị m để hệ có nghiệm nhất
b Giả sử (x ; y) là nghiệm nhất hệ Tìm hệ thức liên hệ giữa x, y độc lập với m c Tìm m Z để x, y Z
d Chứng tỏ (x ; y) nằm một đường thẳng cố định (với (x ; y) là nghiệm hệ phương trình) Hướng dẫn:
2
2 (1)
1 (2)
( 1) (3)
mx y m
x my m
m x m m
Với m ± thì hệ phương trình có nghiệm nhất
b/ Rút m từ phương trình thứ nhất và vào phương trình thứ hai ta hệ thức y(y – 1) = (x – 1)(x – 2), đó là hệ thức độc lập với m
c/
2 1
2 (4)
1
m x
m m
1
1 (5)
1
m y
m m
Vì x, y Z
1 z
m
m = (x = 1; y = 0)
m = - (x = 3; y = 2)
d/ Từ (4) và (5) suy x – y = y = x –
Vậy (x ; y) nằm một đường thẳng cớ định y = x –
Bµi 25 : Cho hai hệ phơng trình
x y a ax 2y
( I) vµ (II)
x y x y
a) Với a = 2, chứng tỏ hai hệ phơng trình tơng đơng
b) Với a = 5, chứng tỏ hai hệ phơng trình khơng tơng đơng Hớng dẫn:
a) Thay a = vào hai hệ ta nhận đợc tập nghiệm chúng : S = S’ =
=> Hai hệ phơng trình tơng đơng b) Thay a = vào hệ (I) => S =
Thay a = vµo hƯ (II), hƯ cã nghiƯm nhÊt => S’ =
4 ;
3
Vậy S ≠ S’ , nên hai hệ phơng trình khơng tơng đơng
Bài 26: Tìm giá trị m, n để hai hệ phơng trình sau tơng đơng
x 2y mx ny
( I) vµ (II)
4x 5y 17 3mx 2ny 10
Híng dÉn:
Trớc hết giải hệ (I) đợc kết nghiệm (x = ; y = 1)
Hai hệ phơng trình tơng đơng hệ (II) có nghiệm (x = ; y = 1) Để tìm m, n ta thay x = ; y = vào hệ (II)
KÕt qu¶ m = 32 ,n