Đang tải... (xem toàn văn)
Gi¶i vµ biÖn luËn hÖ theo m.[r]
Bài tập đáp án Bài tập 1: Giải hệ ph-ơng trình sau: 19 x + y = − x + y = −10 x − y = 16 2 x − y = −12 20 2 x + y = 2 x + y = − x + y = 10 x + y = 21 5 x + y = −7 3 x − y = −18 x + y = 3 x − y = −8 22 − x + y = −3 4 x + y = −6 2 x − y = 16 3 x + y = 10 23 x + y = 2 x − y = x + y + ) 3 x − y = x + y = 6 24 x − y = −5 2 x − y = − x + y = 3x + y = −5 25 3x − y = 12 x + y = −2( x − 1) 7 x + y = x + y + 4 x + y = 26 2 x − y = 10 2 x + y = − ( x + y ) 6 x + y = y − 10 5 x + y = 27 5 x − y = 10 3 x + y = −2 − x − y = 5 x − y = 10 2 x + y = 28 3 x + y = 2 x − y = −1 4 x − y = −12 11 − x + y = −10 29 2 x + y = −3 x − 20 2 x + y = −1 4 x + y = x − y − 12 12 2 x + y = −2 30 5 x − y = 3 x − y = −3 10 x − y = 13 2 x − y = 31 3 x + y = − x 3 x + y = 5( x + y ) = −3 x + y − 14 2 x + y = 32 2 x − y = − x + y = −5 4 x − 10 y = 15 x − y = −5 33 2 x + y = 3 x + y = x − y = 16 3 x − y = 12 34 − x + y = −4( x − 1) 4 x + y = −1 5 x + y = −( x + y ) + 17 − x + y = 22 35 x + y = −1 3 x + y = 22 3 x − y = −8 18 3 x + y = 36 0 x + y = x + y = x − y = −4 Bµi tËp 2: Giải hệ ph-ơng trình sau: 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 2 x + y = 2 x + y − = x − y = 2 x − y = 3 x + y − = 9 x + y − = 2 x − y = 4 x − y − = x + y = 2 x + y = 18 − x + y = −3 x + y = x − y = 2 x + y = −5 2 x + y = x − y = − x + y = x + y = x − y = 3x − y = 3 x + y = 6 x + y = 2 x − y = 4 x − y = 12 3 x + y = 2 x − y = x + y = −2 2 x − y = 2 x + y = 3 x − y = 15 3 x + y = 5 x + y = 12 2 x + y = 2 x + y = 2 x − y = 4 x − y = 10 1 1 x − y =1 2 + = x y x + y + x − y = − =1 x + y x − y 1 x − y − = 3 + =1 x y − 2 x +1 + + x + 10 x x + y + x + y = 2x − = x + y x + y x − + y −1 = − =1 x − y − x − y + x + y = 1,1 − = 0,1 x − y x + y y 2x x +1 + y +1 = x + y = −1 x + y + 11 −3 x − y + x + y = −2 − 10 = x − y x + y x − + y −1 = − =1 x − y − 1 x + y = 1 + = x y 15 12 x x y − y + 12 = x − x =2 x − 12 y Bµi 3: a) b) c) d) Gi¶i: =1 y =1 y mx + y = Cho hệ phơng trình: x + my = Giải hệ phơng trình m = Giải biện luận hệ phơng trình theo tham số m Tìm m để hệ phơng trình có nghiƯm (x; y) tho¶ m·n x - y = Tìm hệ thức liên hệ x y không phơ thc vµo m mx + y = a) Thay m = vào hệ phơng trình x + my = thµnh 2 x + y = x + y = ⇔ ta có hệ phơng trình trở y = − x y = 1− 2x 2 x + (1 − x ) = ⇔ x + − 4x = y = − 2.0 y = 1− 2x y =1 x = ⇔ −3 x = ⇔ ⇔ x = VËy víi m = hệ phơng trình có nghiệm nhÊt ( x ; y) = ( ; 1) b) Giải hệ phơng trình theo tham số m Ta cã mx + y = ⇔ x + my = y = − mx x + m (1 − mx ) = ⇔ y = − mx 2−m x = − m ⇔ ⇔ y = − mx 2 ⇔ x + m − m x = 2−m y = − m − m x = − m − m2 ⇔ y = − mx 2 − m (*) (1 − m ) x = 2m − m = − y − m2 x = − m − m2 ⇔ − m − 2m + m y = − m2 x = − m − m2 ⇔ − 2m y = − m x = − m − m2 (m ≠ ±1 ) − m − 2m ; 2 Vậy hệ phơng trình có nghiÖm nhÊt (x; y ) = − m − m víi m ≠ ±1 - Xét m = => Phơng trình (*) 0x = 1, phơng trình vô nghiệm nên hệ ®· cho v« nghiƯm - XÐt m = - => Phơng trình (*) 0x = 3, phơng trình vô nghiệm nên hệ đà cho vô nghiệm c) Để hệ phơng trình có nghiệm (x; y) thoả mÃn x - y = − m − 2m − = ⇔ − m2 − m2 ⇔ − m − (1 − 2m ) =1 − m m ( m + 1) = ⇔ m2 + m = ⇔ m = ⇔ m + = m = m = −1 ⇔ m = (nhËn), m = - (lo¹i) VËy víi m = hpt có nghiệm thoả mÃn điều kiện: x - y = d) Tìm hệ thức liên hệ x y không phụ thuộc vào m (1) mx + y = ( 2) Xét hệ phơng trình x + my = y = m ⇒ ⇒ mx = − y x Từ phơng trình ( ) y 1− y x+ m= .y = x x thay vào phơng trình ( ) ta có phơng trình y y2 x+ = x2 + y − y = 2x x2 + y − y − 2x = ⇔ ⇔ ⇔ x 2 đẳng thức liên hệ x y không phụ thuộc vào m Vậy x + y − y − x = m ( m − 1) x + y = x + m − 1) y = Bµi 4: Cho hƯ phơng trình: ( có nghiệm (x ; y) a) Giải hệ phơng trình m = b) Tìm hệ thức liên hệ x y không phụ thuộc vào m c) Giải biện luận hƯ theo m, trêng hỵp hƯ cã nghiƯm tìm giá trị m thoả mÃn: 2x2 - 7y = 2x 3y d) Tìm giá trị m để biểu thức x + y nhận giá trị nguyên Giải: m ( m 1) x + y = x + m − 1) y = a) Thay m = vào hệ phơng trình ( thành ta có hệ phơng trình trở 3 ( − 1) x + y = x + ( − 1) y = ⇔ 3 x = x + y = ⇔ 2 x + y = 4 x + y = − 2 x + y = ⇔ ⇔ x + y = 4 x = x = 2 y= − 4 + 2y = 3 ⇔ ⇔ x = 2 y = ⇔ x = y = VËy với m = hệ phơng trình có nghiÖm nhÊt ( x ; y) = 1 ; 3 b) T×m hƯ thức liên hệ x y không phụ thuộc vµo m m ( m − 1) x + y = x + ( m − 1) y = Xét hệ phơng trình phơng trình ( ) 2− x+ y m= y thay ⇒ my = − x + y ⇒ x + my − y = Tõ x − x2 + y = − x + y 2 VËy x − y − x + y + = vào m c) Giải hệ phơng (1) ta phơng trình x+ y y x+ y x + y = y y ⇔ x − x2 + y 2 − x + y = y y ⇔ 2 x − y − 3x + y + = ⇔ vµo 2− x+ y 2− x+ y − 1 x + y = y y 2− x 2− x+ y x + y = y y ⇔ ⇔ (1) ( 2) m= cã 2− x+ y y phơng trình: đẳng thức liên hệ x y không phụ thuộc trình m ( m 1) x + y = x + ( m − 1) y = theo tham sè m ta cã hpt ( m − 1) x + ( m − 1) y= m ( m − 1) ( m − 1) x −= x m ( m − 1) − m ( m − 1) x + y = − ⇔ x + ( m − 1) y = 2 x + ( m − 1) y = x + ( m − 1) y = ⇔ ( m − 2m + − 1) x= m − m − m ( m − ) x =( m + 1)( m − ) (*) 2 x + ( m − 1) y = ⇔ ⇔ x + ( m − 1) y = m +1 m +1 = = x x m m m + m +1 ( m − 1) y =− + ( m − 1) y = 2 m m ⇔ ⇔ 2 m +1 x = m 2m − m − ( m − 1) y = m ` ⇔ ⇔ m +1 x = m m −1 ( m − 1) y = m ⇔ m +1 x = m y = m m +1 ; Vậy hệ phơng trình có nghiệm nhÊt (x; y ) = m m ( m ≠ 0,m ≠ ) - Víi m = phơng trình (*) trở thành 0x = -2 , phơng trình vô nghiệm nên hệ đà cho vô nghiệm - Với m = phơng trình (*) trở thành 0x = , phơng trình vô số nghiệm nên hệ đà cho vô số nghiệm, nghiệm tổng quát hệ x) ( x R; y = +) Để hệ phơng trình có nghiƯm nhÊt (x; y) tho¶ m·n 2x2 - 7y = m +1 1 2m + 4m + 2 − = − = m ⇔ m ⇔ ⇔ 2m + 4m + − m = m2 m2 m ( m − ) ( m − 1) = ⇔ m − 3m + = ⇔ m − = m − =0 ⇔ ⇔ Vậy với m = hệ phơng trình cã 2x2 - 7y = m = (lo¹ i) m = m = nghiÖm thoả mÃn điều kiện: 2x 3y m +1 y= x + y ta đợc biểu thức m vào biÓu thøc A = m ; d) Thay m +1 2m + − − m m m ( m + 2) − 2m − m + 2m − m +1 m +1+1 + : m m m m+2 m m = = = m+2 = A = ( m + 2) 5 − 2− m+2 m+2 = m+2 = 2x − 3y §Ĩ biĨu thøc A = x + y nhËn giá trị nguyên x= 5 m + nhận giá trị nguyên m + nhận giá trị nguyên 5M( m + ) ⇔ (m+2) m + = m + =−1 m + = m + =−5 ⇔ lµ íc cđa Mµ m = − m =−1 − m= − m =−5 − ⇔ ¦(5) = m = −1 m = −3 m = m = {1; 5} Kết hợp với điều kiện m ≠ ; m ≠ VËy víi c¸c gi¸ trị m {7; 3; 1;3} 2x 3y x + y nhận giá trị nguyên giá trị biÓu thøc mx + y = Giải biện luận hệ theo m Bài Cho hƯ pt: 2x − y = Bµi lµm: 2x − y = 2⇔ mx + y = + (1) (2 + m)x = (2) 2x y = Xét phơng trình (1) (2 + m)x = - NÕu + m = m = - phơng trình (1) có dạng 0x = Do phơng trình (3) vô nghiệm ⇒ hƯ v« nghiƯm - NÕu + m ≠ m - Thì phơng trình (1) cã nghiÖm nhÊt x = + m + Thay x = + m vào phơng tr×nh (2) ta cã:y = 2x – = −m 2+m = x 2+m y = − m 2+m VËy víi m ≠ - th× hƯ cã nghiƯm nhÊt Tãm l¹i: +) Víi m = - (3) 2+m- = hệ phơng trình vô nghiệm x = + m y = − m 2+m +) Víi m ≠ - th× hƯ cã nghiƯm nhÊt x= − y = 2y + p mx Tìm giá trị m p để hệ phơng trình Bài a) Có nghiệm b) Có vô số nghiệm c) Vô nghiệm Giải: Thay x = y vào phơng trình thứ hai, ta cã: m(7 - y) = 2y + p (m + 2)y = 7m - p (1) a) NÕu m + ≠ m ≠ −2 => Phơng trình (1) có nghiệm nên hệ đà cho cã nghiÖm nhÊt 7m − p m + , thay vµo x = – y => x = - 7m − p m +2 14 + p Tõ (1) => y = = m +2 14 + p 7m − p VËy m ≠ hệ phơng trình có nghiệm ( m + ; m + ) b) NÕu m = - => Phơng trình (1) trở thành 0.y = - 14 – p HƯ v« sè nghiÖm khi: -14 – p = p = - 14 VËy m = - vµ p = - 14 hệ vô số nghiệm c) Nếu m = - p 14 phơng trình(1) vô nghiệm nên hệ vô nghiệm *) Cách khác: Hệ phơng a) Hệ có b) Hệ vô c) Hệ vô p mx 2y = trình đà cho x + y = m ≠ −2 m ≠ −2 nghiÖm nhÊt p m −2 = = => m = - 2, p = - 14 sè nghiÖm −2 ≠ p m = => m = - 2, p ≠ −14 nghiƯm Bµi : Phơng pháp: c (1) ax + by = c (2) Cho hệ phơng trình : ax + by = x = x0 y = y0 Tìm giá trị tham số để hệ phơng trình có nghiệm Cách Thay Thay Cách chứa Bài8 1: x = x0; y = y0 lần lợt vào (1) giải x = x0; y = y0 lần lợt vào (2) giải 2: Thay x = x0; y = y0 vào hai phơng trình giải hệ phơng trình ẩn tham số : Cho hệ phơng trình 3x − 2y = (5n + 1)x − (n − 2)y = n − 4n − (1) (2) Tìm n để hệ có nghiệm (x; y) = (1; - 2) Giải: Thay (x; y) = (2; 1) vào (1) ta cã: – 2.(- 2) = ⇔ + = (luôn với n) VËy (2; 1) lµ nghiƯm cđa (1) Thay (x; y) = (1; -2) vµo (2) ta cã: (5n + 1) + 2.(n - 2) = n2 – 4n – ⇔ 7n – = n = n2 – 4n – ⇔ n(n –11) = ⇔ n = 11 VËy víi n = hc n = 11 hệ đà cho có nghiệm (x; y) = (1; - 2) (1) 5m(m − 1)x + my =(1 − 2m) (2) Bài Cho hệ phơng trình 4mx + 2y = m + 3m + Tìm m để hệ cã nghiÖm nhÊt (x = 1; y = 3) Giải: Thay x = 1; y = vào (1) ta cã: 5m2 – 5m + m = – 4m + 4m2 ⇔ m2 Thay x = 1; y = vµo (2) ta cã: m = = ⇔ m = −1 (I) m = ⇔ m(m – 1) = ⇔ m = 4m + = m2 + 3m + Tõ (I) vµ (II) ⇒ Víi m = th× hƯ pt cã nghiƯm (x = ; 2mx + (n − 2)y = Bµi 10 Cho hệ phơng trình : (m + 3)x + 2ny = Tìm m; n để hệ có nghiệm (x = 3; y = - 1) Gi¶i: Thay x = 3; y = - vµo hƯ pt ta cã: (m + 3).3 + 2n.(−1) = ⇔ 6m + (n − 2).(−1) = (II) y = 3) −4 3m − 2n = 14 ⇔ 12m − 2n = m = n = VËy với m = n = hệ cã nghiÖm (x = 3; y = - 1) −8 (1) 3x + 2y = Bµi 11 Cho hƯ phơng trình 3mx + (m + 5)y = (m 1)(m + 1) (2) Tìm m để hệ có nghiệm nhÊt (x; y) tho¶ m·n : 4x – 2y = - (3) Giải: Điều kiện để hệ có nghiÖm nhÊt: (I) −5 3(m + 5) + 6m ≠ ⇔ m ≠ Do (x; y) lµ nghiệm hệ phơng trình (I) thoả mÃn (3) ⇒ (x; y) lµ nghiƯm cđa (1), (2), (3) −8 x = −2 3x + 2y = y = Kết hợp (1) (3) ta cã: 4x − 2y = Thay x = - 2, y = -1 vào phơng trình (2) ta đợc: 6m – (m +5) = m2 - ⇔ m2 – 5m + = m = −5 m = ⇔ (tháa m·n m ≠ ) Vậy m = m = hƯ (I) cã nghiƯm tho¶ m·n 4x – 2y = - (1) mx + y = (2) Bài 12 Cho hệ phơng trình 2mx + 3y = (I) Tìm m để hệ có nghiệm tho¶ m·n: (2m – 1)x + (m + 1)y = m (3) Giải: Điều kiện để hệ có nghiệm nhÊt: m.3 ≠ 2.m ⇒ m ≠ Tõ (1) ⇒ y = – mx Thay vµo (2) ta cã: 2mx + 3(5 - mx) = ⇔ x = m (m ≠ 0) 9m Thay x = m vµo y = – mx ta cã: y = - m = - VËy víi m ≠ hƯ (I) cã nghiƯm x = m ; y = - Thay x = m ; y = - vào phơng trình (3) ta đợc: (2m 1) m + (m + 1)(- 4) = m ⇔ 18 - m - 4m – = m ⇔ 5m2 – 14m + = m = m = (tho¶ m·n m ≠ 0) ⇔ (m – 1).(5m – 9) = ⇔ VËy víi m = m = hệ (I) cã nghiƯm nhÊt tho¶ m·n (2m – 1)x + (m + 1)y = m (m + 2)x + 2y = Bµi 13 Cho hƯ pt: mx y = Tìm m Z để hệ có nghiệm số nguyên Giải: Từ (2) ta cã: y = mx – Thay vµo (1) ta ®ỵc: ⇔ 3mx + 2x = −2 ⇔ x.(3m + 2) = (m ≠ ) ⇔ x = 3m + (m + 2)x + 2(mx - 1) = 4m − Thay vµo y = mx – ⇒ y = 3m + m – ⇒ y = 3m + 7; −7;1; −1} §Ĩ x∈ Z ⇔ 3m + ∈ Z ⇔ 3m + ∈ ¦(7) = { +) 3m + = - ⇔ m = - +) 3m + = ⇔ m = ∉ Z (lo¹i) −1 +) 3m + = ⇔ m = ∉ Z (lo¹i) +) 3m + = -1 ⇔ m = - 4m − Thay m = - vµo y = 3m + ⇒ y = 4m − Thay m = - vµo y = 3m + ⇒ y = (t/m) (t/m) KÕt ln: m∈ Z ®Ĩ hƯ cã nghiƯm nguyên m = -3 m = -1 (m − 3)x + y = Bµi 14 Cho hệ phơng trình : mx + 2y = Tìm m để hệ có nghiệm nguyên Giải: Từ (1) ta cã y = – (m – 3).x ⇔ y = – mx + 3x Thay vµo (2) ta cã: mx + 2.(2 – mx + 3x) = ⇔ - mx + 6x = ⇔ x.(6- m) = (m ≠ 6) ⇔ x = − m Thay vµo y = – (m – 3).x ta cã: §Ĩ x∈ Z ⇔ − m ∈ Z ⇔ - m ∈ ¦(4) +) – m = ⇔ m = +) – m = -1 ⇔ m = +) – m = ⇔ m = +) – m = - ⇔ m = +) – m = ⇔ m = +) – m = - ⇔ m = 10 24 − 6m 6−m ⇒ y = Thay m = vµo y = 24 − 6m − m ⇒ y = 18 Thay m = vµo y = 24 − 6m 6−m ⇒ y = Thay m = vµo y = 24 − 6m − m ⇒ y = 17 Thay m = vµo y = 24 − 6m 6−m ⇒ y = Thay m = vµo y = Thay m = 10 vµo y = 24 − 6m 6−m ⇒ y = = 24 − 6m y = 6−m {1; −1;2; −2;4; −4} (t/m) (t/m) (t/m) (t/m) (t/m) (t/m) Kết luận: Để hệ có nghiệm nguyên th× m ∈ {5;7;4;8;2;10} mx −(1 y= m2 (2+ 2x + my = m + 2m Cho hệ phơng trình : Bài 15 a) Chứng minh hệ phơng trình có nghiệm với m b) Tìm m để biểu thức: x2 + 3y + nhận GTNN Tìm giá trị Giải: a) XÐt hai trêng hỵp Trêng hỵp 1: m = => Hệ phơng trình có nghiệm (x ; y) = (1 ; 0) Trêng hỵp 2: m 0, hệ phơng trình có nghiệm 10 a ≠ b a' b' hay ab ' ≠ a ' b m.m ≠ ( −1).2 m2 + ≠ Do m2 ≥ víi mäi m ⇒ m2 + > víi mäi m Hay m2 + ≠ víi mäi m Vậy hệ phơng trình có nghiệm với mäi m b) Rót y tõ (1) ta cã: y = mx m2 (3) Thế vào (2) ta đợc 2x + m(mx – m2) = m2 + 2m +2 ⇔ 2x + m2x – m3 = m2 + 2m +2 ⇔ 2x + m2x = m3 + m2 + 2m +2 ⇔ x(2 + m2)=(m3 + 2m) + (m2 + 2) ⇔ x(2 + m2) =(m + 1)(m2 + 2) m2 + ≠ ⇔ x = m + Thay vµo (3) ⇒ y = m.(m + 1) – m2 = m Thay x = m + 1; y = m vµo x2 + 3y + ta đợc: x2 + 3y + = (m + 1)2 + 3m + = m2 + 5m + 5 25 m+ )− 4 = (m2 + 2 5 −5 (m + )2 ≥ (m + )2 − ≥ 2 4 Do = VËy Min(x2 −5 −5 + 3y + 4) = m = 3mx − y= 6m2 − m − 5x + my = m + 12m Bài 16 Cho hệ phơng trình : Tìm m để biểu thức: A Giải: Tõ (1) ta cã: y = 3mx 5x + m.( 3mx ⇔ x.(5 + 3m2) = 6m3 + = x ⇔ = 2y2 – x2 (1) (2) nhËn GTLN T×m giá trị - 6m2 + m + Thay vµo (2) ta cã: 6m2 + m + 2) = m2 +12m 10m (5 + 3m2 ≠ víi mäi m) 6m3 + 10m = 2m 3m2 + Thay x = 2m vµo y = 3mx - 6m2 + m + ta đợc y = m + Thay x = 2m ; y = m + vào A ta đợc: A = 2(m + 2)2 (2m)2 = -2(m2 – 4m – 4) A = - 2(m2 – 4m + – 8) = - 2(m2 – 4m + 4) +16 2 = −2(m − 2) + 16 ≤ 16 Do −2(m − 2) ≤ ( ∀m ) VËy MaxA = 16 m = Bài 17 Biết cặp số (x ; y) nghiệm hệ phơng trình m x + y = 2 −m + x + y = HÃy tìm giá trị tham số m ®Ĩ biĨu thøc P = xy + 2(x + y) đạt giá trị nhỏ 11 m x + y = xy m − = Hớng dẫn: Biến đổi hệ phơng trình trở thành: Hệ phơng trình có nghiệm 2 m ≥ 4(m − 3) 3m ≤ 12 −2 ≤ m ≤ 2 Khi ®ã P = (m + 1) − ≥ −4 VËy MinP = - m = - (tháa m·n −2 m ) Bài 18 Giả sử (x ; y) nghiệm hệ phơng trình x + y = 2a − 2 x + y = a + 2a − X¸c định giá trị tham số a để hệ thỏa mÃn tích xy đạt giá trị nhỏ nhất; lớn ? Hớng dẫn: Biến đổi hệ phơng trình trở thµnh: x + y = 2a − 3a − 6a + xy = Hệ phơng trình có nghiệm ( 2a − 1) ≥ 3a −26a + 2a2 − 8a + ≤ − (a − 1)2 + Ta cã xy = 2 a ≥2− Víi ≥ => xy a ≤2+ Víi ≤ => xy 2 = > a −1 ≥ − ( 32 − ) + 12 = 2 = > a −1 ≤ + ( 32 + ) + 12 = 2 = > ( a − 1) 2 ≤a ≤2+ ≥ 1 − 2 = − ≤ 1 + 2 = + 2 2 11 − 2 = > ( a − 1) 2 11 + 11 − ≤ xy ≤ 11 + 2 Do ®ã 11 − 2 VËy Min(xy) = 11 + 2 vµ Max(xy) = 2− a = 2+ 2 2 a = Bài 19 Tìm giá trị tham số m để hệ phơng trình 12 (m + 1)x y = m + x + (m − 1)y = cã nghiƯm nhÊt tháa m·n ®iỊu kiƯn x + y đạt giá trị nhỏ Hớng dẫn: Tìm đợc với m hệ có nghiệm nhÊt lµ = x Ta cã x m +1 m 2 m +1 + m +1 = ( + ) + ≥ 2 m 8 2 m m + y = Min (x + y) = C¸ch kh¸c: m +1 ;y = m + m 2 =0 m = - (tháa m·n m ≠ ) 2 x + y = m + m + = S (1 − S)m + m + = m (* ) Ta cÇn tìm S để phơng trình (*) có nghiệm m - XÐt hai trêng hỵp *) Trêng hỵp 1: S = => m = - (tháa m·n m ≠ ) *) Trêng hỵp 2: S ≠ , để phơng trình có nghiệm S VËy Min S = 8 = −1 = = −4 2(1 − S) 2(1 − ) = - mx + y = Cho hệ phơng trình: x + my = Giải hệ phơng trình m = Giải hệ phơng trình theo tham số m Tìm m để hệ phơng trình có nghiệm (x; y) thoả mÃn x - y = Tìm hệ thức liên hệ x y không phụ thuộc vào m Min (x + y) = Bµi 20 a) b) c) d) Giải: b 2a m = − m mx + y = a) Thay m = vào hệ phơng trình x + my = ta có hệ phơng trình trở thµnh y = − x y = 1− 2x 2 x + y = 2 x + (1 − x ) = x + y = ⇔ ⇔ x + − 4x = y = − 2.0 y = 1− 2x y =1 x = ⇔ −3 x = ⇔ ⇔ x = VËy víi m = hệ phơng trình có nghiệm nhÊt lµ ( x ; y) = ( ; 1) 13 b) Giải hệ phơng trình theo tham số m y = − mx x + m (1 − mx ) = Ta cã hệ phơng trình mx + y = ⇔ x + my = y = − mx 2⇔ x + m − m x = ⇔ - Trêng hỵp 1: m2 = y = − mx 2 − m (*) (1 − m ) x = m = ±1 x + y = hÖ phơng trình +) Nếu m = 1, thay vào hệ phơng trình ta có: x + y = 1 = 1 vô nghiệm v× − x + y = +) Nếu m = -1, thay vào hệ phơng trình ta cã: x − y = x − y =−1 x − y = - Trêng hợp 2: m2 = hệ vô nghiệm v× ≠ m ≠ ±1 −1 ≠ −1 −1 2−m y = − m − m x = − m − m2 y = − mx y = − mx 2−m x= m x m − = − (*) ) ( m2 Hệ phơng trình − 2m 2m − m − m − 2m + m y= = y y = − 2 − m2 1− m 1− m x = − m x = − m x = − m 2 − m2 1− m 1− m ⇔ ⇔ ⇔ Vậy với m hệ phơng tr×nh cã mét nghiƯm nhÊt − m − 2m ; 2 (x; y ) = − m − m Tóm lại: Nếu m = hệ phơng trình vô nghiệm Nếu m hệ phơng tr×nh cã mét nghiƯm nhÊt − m − 2m ; 2 (x; y ) = − m − m c) Để hệ phơng trình có nghiệm (x; y) tho¶ m·n x - y = − m − 2m − = m ( m + 1) = ⇔ − m2 − m2 ⇔ − m − (1 − 2m ) =1 − m ⇔ m + m = ⇔ m = m = m = −1 m + = ⇔ ⇔ Víi m = - (loại) m = (nhận) Vậy với m = hệ phơng trình có nghiệm thoả mÃn điều kiện: x - y = d) Tìm hệ thức liên hệ x y không phụ thuộc vào m 14 Xét hệ phơng tr×nh (1) (1) mx + y = ( 2) x + my = ⇒ mx = y m= y x phơng trình y m= x Thay vào phơng trình ( ) ta có phơng trình y y − y2 = x+ y x + = x2 + y − y = 2x x ⇔ ⇔ x 2 x + y y 2x = , đẳng thức liên hệ x y không phụ thuéc ⇔ vµo m Tõ m ( m − 1) x + y = x + m − 1) y = Bài 21 Cho hệ phơng trình: ( cã nghiƯm nhÊt (x ; y) a) Gi¶i hệ phơng trình m = b) Tìm hệ thức liên hệ x y không phụ thuộc vào m c) Giải biện luận hệ theo m, trờng hợp hệ có nghiệm tìm giá trị m thoả mÃn: 2x2 - 7y = 2x 3y d) Tìm giá trị m để biểu thức x + y nhận giá trị nguyên (Đề thi tuyển sinh THPT Năm học : 2004 – 2005) Gi¶i: m ( m − 1) x + y = x + m − 1) y = a) Thay m = vào hệ phơng trình ( thành ta có hệ phơng trình trở ( − 1) x + y = 2 x + y = 3 x = 4 x + y = − 2 2 x + ( − 1) y = x + y = ⇔ ⇔ x + y = ⇔ x + y = 4 4 x = x = x = x = 4 + 2y = y = y= − 2y = 3 ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ VËy víi m = hệ phơng trình có nghiệm nhÊt 1 ; ( x ; y) = 3 b) T×m hƯ thức liên hệ x y không phụ thuộc vào m Xét hệ phơng trình Từ phơng trình x+ y m= y ⇒ ( 2) m ( m − 1) x + y = x + ( m − 1) y = (1) ( 2) ⇒ my = − x + y ⇒ x + my − y = 15 2− x+ y y Thay vào phơng trình (1) ta có phơng tr×nh: 2− x+ y− y 2− x+ y 2− x+ y 2− x+ y − 1 x + y = x + y = y y y y ⇔ m= ⇔ ⇔ 2− x 2− x+ y x + y = y y 2 2x − x + y = − x + y 2 VËy x − y − x + y + = vµo m c) Giải hệ phơng x x2 + y 2 − x + y = y y 2 x − y − 3x + y + = đẳng thức liên hệ x y không phụ thuộc trình m ( m 1) x + y = x + ( m − 1) y = theo ( m − 1) x + ( m − 1) y= m ( m − 1) m ( m − 1) x + y = − ⇔ x + ( m − 1) y = x + ( m − 1) y = ⇔ 2 ( m − 2m + − 1) x= m − m − x + ( m − 1) y = ⇔ ⇔ - XÐt hai trêng hỵp: tham sè m, ta cã hpt x m ( m − 1) − ( m − 1) x −= x + ( m − 1) y = m ( m − ) x =( m + 1)( m − ) (*) x + ( m − 1) y = *) Trờng hợp 1: m m , hệ phơng trình m +1 m +1 x = m x = m m +1 ( m − 1) y =− m + + ( m − 1) y = 2 m m ⇔ ⇔ m +1 m +1 m +1 x = m x = m x = m m −1 2m − m − y = ( m − 1) y = ( m − 1) y = m m m ⇔ ⇔ ` ⇔ m +1 ; Vậy hệ phơng trình có nghiÖm nhÊt (x; y ) = m m ( m ≠ 0,m ≠ ) *) Trêng hợp 2: m = m = - Với m = phơng trình (*) trở thành 0x = -2 , phơng trình vô nghiệm nên hệ đà cho vô nghiệm - Với m = phơng trình (*) trở thành 0x = , phơng trình vô số nghiệm nên hệ đà cho vô số nghiệm, nghiệm tổng quát hệ là: x) (x R; y = +) Để hệ phơng trình có nghiệm (x; y) thoả mÃn 2x2 - 7y = m +1 1 2m + 4m + 2 − = − = m ⇔ m ⇔ ⇔ 2m + 4m + − m = m2 m2 m ( m − ) ( m − 1) = ⇔ m − 3m + = ⇔ m − = m − =0 ⇔ ⇔ m = (lo¹ i) m = m = 16 VËy víi m = hệ phơng trình có nghiệm thoả mÃn ®iỊu kiƯn: 2x2 - 7y = 2x − 3y m +1 x= y= x + y ta đợc biĨu thøc m ; m vµo biĨu thøc A = d) Thay m +1 2m + − − m m m ( m + 2) − 2m − m + 2m − m +1 m +1+1 + : m m m m+2 m m = = = m+2 = A = ( m + 2) 5 − 2− m+2 m+2 = m+2 = 2x − 3y 2− x+ y ⇔ m + nhận giá trị Để biểu thức A = nhận giá trị nguyên nguyên m + nhận giá trị nguyên 5M( m + ) (m+2) ớc Mà Ư(5) = {±1; ±5} m + = m = −1 m = − m + =−1 m = −3 m =−1 − m + = m = m= − m + =−5 m = −7 m =5 Kết hợp với điều kiÖn m ≠ ; m ≠ ta thÊy giá trị m thỏa mÃn 2x 3y ∈ − 7; − 3; − 1;3 { } giá trị biểu thức x+ y nhận giá trị Vậy với m nguyên 2mx + 3y = Bài 22 Cho hệ phơng trình : x + 3my = a) Chøng minh r»ng hƯ lu«n có nghiệm b) Tìm hệ thức liên hệ x, y không phụ thuộc vào m Giải: a) XÐt hai trêng hỵp Trêng hỵp 1: m = => Hệ phơng trình có nghiệm ) (x ; y) = (- ; Trêng hợp 2: m 0, hệ phơng trình có nghiệm nhÊt a ≠ b a' b' hay ab ' ≠ a ' b - §Ĩ hƯ cã nghiƯm nhÊt ta xÐt hiÖu: 2m.3m – 3.(-1) = 6m2 + > víi mäi m - VËy 6m2 + ≠ víi mäi m Hay hƯ lu«n cã nghiƯm nhÊt víi mäi m − 3y 2x b) Rút m từ (1) ta đợc m = thay vµo (2) ta cã: 17 − 3y 2x -x + = ⇔ 2x2 + 8x -15y + 9y2 = Đây hệ thức liên hệ x, y không phụ thuộc vào m 3mx − y= 3m2 − 2m + 2m2 x + my = Bài 23 Cho hệ phơng trình : Tìm hệ thức liên hệ x, y không phụ thuộc vào m Hớng dẫn : 3mx y= 3m2 − 2m + 6mx − 2y = 6m2 − 4m + 2m2 6m2 x + my = ⇔ 3x + 3my = −4m + 6mx − 3my + 4m = 3x + 2y + 6mx − 3x − 2y − 3my = 2m2 2m2 ⇔ x + my = x + my = 3x + 2y + m= 6x − 3y + Thay vµo (2) ta có: Rút m từ (1) ta đợc: x+ 3x + 2y + 3x + 2y + 2 y = 2.( ) 6x − 3y + 6x 3y + Đây hệ thức liên hệ x, y không phụ thuộc vào m 2m mx + y = Bµi 24 Cho hệ phương trình ẩn x, y sau: x + my =m + a Xác định giá trị m để hệ có nghiệm b Giả sử (x ; y) nghiệm hệ Tìm hệ thứ c liên hệ giữ a x, y độc lập vớ i m c Tìm m ∈ Z để x, y ∈ Z d Chứ ng tỏ (x ; y) nằ m đườ ng thẳ ng cố định (với (x ; y) nghiệm hệ phương trình) Hướng dẫn: 2m (1) mx + y = (2) x + my =m + → ( m − 1) x= 2m − m − (3) Vớ i m ≠ ± hệ phương trình có nghiệm b/ Rút m từ phương trình thứ vào phương trình thứ hai ta hệ thức y(y – 1) = (x – 1)(x – 2), hệ thứ c độc lập vớ i m 2m + 1 m x= = 2− (4) y= = 1− (5) m +1 m +1 m +1 m +1 c/ Vì x, y ∈ Z → ∈z m +1 m = ⇒ (x = 1; y = 0) m = - ⇒ (x = 3; y = 2) d/ Từ(4) (5) suy x – y = ⇒ y = x – Vậy (x ; y) nằ m đườ ng thẳ ng cố định y = x – 18 = = x + y a ax − 2y (I ) vµ (I I ) = x + y x−y Bµi 25 : Cho hai hƯ phơng trình= a) Với a = 2, chứng tỏ hai hệ phơng trình tơng đơng b) Với a = 5, chứng tỏ hai hệ phơng trình không tơng đơng Hớng dÉn: a) Thay a = vµo hai hƯ ta nhận đợc tập nghiệm chúng : S = S = => Hai hệ phơng trình tơng đơng b) Thay a = vµo hƯ (I) => S = ∅ {( ; )} 3 Thay a = vµo hƯ (II), hƯ cã nghiƯm nhÊt => S’ = VËy S ≠ S’ , nªn hai hệ phơng trình không tơng đơng Bài 26: Tìm giá trị m, n để hai hệ phơng trình sau tơng đơng = = x 2y mx + ny (I ) vµ (I I ) = = 4x + 5y 17 3mx + 2ny 10 Hớng dẫn: Trớc hết giải hệ (I) đợc kÕt qu¶ nghiƯm nhÊt (x = ; y = 1) Hai hệ phơng trình tơng đơng hƯ (II) cịng cã nghiƯm nhÊt (x = ; y = 1) Để tìm m, n ta thay x = ; y = vµo hƯ (II) KÕt qu¶ m = −2 ,n = 19 ... nghiệm hệ phương trình) Hướng dẫn: 2m (1) mx + y = (2) x + my =m + → ( m − 1) x= 2m − m − (3) Vớ i m ≠ ± hệ phương trình có nghiệm b/ Rút m từ phương trình thứ vào phương trình thứ hai ta hệ. .. 3) .3 + 2n.(−1) = ⇔ 6m + (n − 2).(−1) = (II) y = 3) −4 3m − 2n = 14 ⇔ 12m − 2n = m = n = VËy víi m = n = hệ có nghiệm (x = 3; y = - 1) −8 (1) 3x + 2y = Bài 11 Cho hệ phơng trình 3mx... mx + y = Cho hệ phơng trình: x + my = Giải hệ phơng trình m = Giải hệ phơng trình theo tham số m Tìm m để hệ phơng trình có nghiệm (x; y) thoả mÃn x - y = Tìm hệ thức liên hệ x y không phụ