Đang tải... (xem toàn văn)
Chu kì và biên độ dao động của con lắc lần lượt là 0,4 s và 8 cm, chọn trục Ox thẳng đứng, chiều dương hướng xuống, gốc tọa độ O tại vị trí cân bằng, gốc thời gian t = 0 lúc vật qua vị t[r]
(1)CHUYÊN ĐỀ – DAO ĐỘNG CƠ CHỦ ĐỀ: DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA
♦ CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: Xác định đại lượng thường gặp dao động điều hịa. Ví dụ 1: Cho phương trình dao động điều hịa sau:
a
x 5cos t
(cm). b.
x 5cos t
(cm)
c x 5cos t (cm) d
x 10sin t
(cm)
Xác định A, ω, φ, f, T dao động điều hịa ? Hướng dẫn giải:
a
x 5cos t
(cm)
- Biên độ: A = (cm) - Tần số góc: ω = 4π (rad/s)
- Pha ban đầu: 6rad
- Tần số:
4
2 f f Hz
2
.
- Chu kì:
1
T 0,5 s
f
b
x 5cos t
(cm)
Vì biên độ A > nên phương trình dao động điều hịa viết lại:
x 5cos t 5cos t
4
(cm)
- Biên độ: A = (cm) - Tần số góc: ω = 2π (rad/s)
- Pha ban đầu:
rad
- Tần số:
2
f Hz
2
.
- Chu kì:
1
T s
f
(2)c x5cos t 5cos t (cm) - Biên độ: A = (cm)
- Tần số góc: ω = π (rad/s) - Pha ban đầu: rad
- Tần số: f 2 0,5 Hz
.
- Chu kì:
1
T s
f 0,5
d
x 10sin t
(cm)
- Biên độ: A = 10 (cm) - Tần số góc: ω = 5π (rad/s)
- Pha ban đầu: 3rad
- Tần số:
5
f 2,5 Hz
2
.
- Chu kì:
1
T 0,4 s
f 2,5
Ví dụ 2: Một chất điểm dao động điều hịa theo phương trình
x 6cos t
, trong x tính cm, t tính s Xác định li độ, vận tốc gia tốc chất điểm
t 0,25 s . Hướng dẫn giải: Khi t = 0,25 s thì:
- Li độ chất điểm:
3
x 6cos 0,25 6cos 6cos 3 cm
6 6
- Vận tốc chất điểm:
v x ' Asin t 24 sin 24 sin 12 37,68
6
(cm/s)
- Gia tốc chất điểm:
2 2
a v' Acos t 16 6cos 96 48 820,5
6
(cm/s2).
Hoặc:
2
a x 16 3 820,5
(3)Ví dụ 3: Một vật nhỏ có khối lượng 100 g dao động điều hòa quỹ đạo thẳng dài 20 cm, với tần số góc rad/s Tính tốc độ cực đại gia tốc cực đại vật
Hướng dẫn giải:
- Biên độ dao động vật: 20
A 10 cm
2
- Tốc độ cực đại vật: vmax A 6.10 60 cm/s 0,6 m/s
- Gia tốc cực đại vật: amax 2A 10 360 cm/s 2 3,6 m/s 2
Ví dụ 4: Một vật dao động điều hòa quỹ đạo dài 40 cm Khi vật vị trí có li độ 10 cm vật có vận tốc 20 3 cm/s Tính tốc độ cực đại gia tốc cực đại vật.
Hướng dẫn giải:
- Biên độ dao động vật: 40
A 20 cm
2 Tìm ω = ?
Từ hệ thức độc lập với thời gian:
2
2
2 2 2
v v 20
x A rad/s
A x 20 10
- Tốc độ cực đại vật: vmax A 20 40 cm/s
- Gia tốc cực đại vật: amax 2A 20 80 2 2cm/s2
Ví dụ 5: Một chất điểm dao động điều hịa với chu kì 0,314 s biên độ cm Tính vận tốc chất điểm qua vị trí cân qua vị trí có li độ cm
Hướng dẫn giải: - Tìm ω = ?
2
20 rad/s T 0,314
- Khi vật qua vị trí cân vận tốc vật đạt giá trị cực đại:
max
v A20.8160 cm/s - Khi vật qua vị trí có li độ x = cm thì:
2
2 2 2
2
v
x A v A x 20 139 cm/s
Ví dụ 6: Một chất điểm dao động điều hịa theo phương trình x 2,5cos10t (cm) Vào thời điểm pha dao động đạt giá trị
Khi đó, li độ, vận tốc, gia tốc vật ?
Hướng dẫn giải: Pha dao động
, ta suy ra: 10t t 30 s
(4)- Li độ vật là:
x 2,5cos 10 2,5.cos 1,25 cm
30
- Vận tốc vật là:
25 3
v x ' Asin t 10.2,5.sin 10 25.sin cm/s 22 cm/s
30
- Gia tốc vật là:
2 2
a v' Acos t 10 2,5.cos 250 125 cm/s
3
Ví dụ 7: Một vật dao động điều hịa theo phương trình x 5cos t (cm) Vật qua vị trí cân theo chiều dương vào thời điểm ? Khi độ lớn vận tốc ?
Hướng dẫn giải:
Khi vật qua vị trí cân x =
nên:
5cos t cos t cos t
2
Vì vật qua vị trí cân theo chiều dương nên v >
4 t k2 t 0,5k
2
với k Z
Khi đó: vmax A 20 cm/s
Ví dụ 8: Một vật nhỏ có khối lượng m = 50 g, dao động điều hòa với phương trình x 20cos 10 t
2
(cm) Xác định độ lớn chiều vectơ vận tốc, gia tốc và lực kéo thời điểm t = 0,75T Lấy 2 10.
Hướng dẫn giải:
Lúc
2
t 0,75T 0,75 0,75 0,15 s 10
thì:
Vận tốc vật là:
v x ' Asin t 10 20.sin 10 0,15 120 sin 2
(cm/s).
Gia tốc vật là:
2 2
a v' Acos t 100 20.cos2 20000 cm/s 200 m/s
Lực kéo về:
F ma 0,05 200 10 N
(5)Ví dụ 9: Một vật dao động điều hòa theo phương ngang với biên độ cm chu kì 0,2 s Tính độ lớn gia tốc vật có vận tốc 10 10 cm/s Lấy 2 10.
Hướng dẫn giải:
Ta có:
2
10 rad/s T 0,2
Ta chứng minh công thức:
2
2
2
v a A
Giả sử vật dao động điều hòa theo phương trình x Acos t thì:
2 2
2 2
2
2 2 2
2
v A sin t (1)
v Asin t v A sin t
a
a Acos t a A cos t A cos t (2)
Lấy (1) cộng (2), ta được:
2
2 2 2 2 2 2
2
a
v A a A v a A v 10 100 1000
2 2
a 10 2000 1000 10 10 10 100 1000 cm/s 10 m/s
Ví dụ 10: Một vật dao động điều hịa với phương trình
x 20cos 10 t
(cm) Xác định thời điểm vật qua vị trí có li độ x = cm theo chiều ngược với chiều dương kể từ thời điểm t =
Hướng dẫn giải:
Ta có:
1
20cos 10 t cos 10 t cos 0,42
2
Vì v < nên 10 t 0,42 k2
t 0,008 0,2k
với k Z .
Vì t > nên vật qua vị trí có li độ x = cm lần ứng nghiệm dương nhỏ họ nghiệm k =
Vậy t = 0,192 s
Ví dụ 11: Một vật dao động điều hịa với phương trình
x 4cos 10 t
(cm) Xác định thời điểm gần vận tốc vật 20 3 cm/s tăng kể từ lúc t = 0.
Hướng dẫn giải: Ta có:
v x ' 40 sin 10 t
20 40 sin 10 t 20 40 cos 10 t
3
(6)3 cos 10 t cos
6
Vì v tăng nên:
1
10 t k2 t 0,2k
6 30
với k Z
Vì t > nên thời điểm gần t s
6
Dạng 2: Viết phương trình dao động điều hòa. ♦ Phương pháp:
- Chọn trục tọa độ Ox
- Gốc tọa độ O vị trí cân - Chiều dương …
- Gốc thời gian …
• Phương trình dao động điều hịa vật có dạng: x Acos t • Phương trình vận tốc vật: x Asin t
1 Xác định tần số góc ω: 2 f
T
t T
N
với N số dao động toàn phần mà vật thực thời gian t
- Nếu lắc lò xo:
k m
với k (N/m); m (kg)
- Nếu lắc đơn:
g
- Khi độ dãn lị xo vị trí cân ∆ℓ:
k g
k mg
m
- Hệ thức độc lập: 2
v A x
2 Xác định biên độ dao động:
+ A2
với ℓ chiều dài quỹ đạo
+ Nếu đề cho chiều dài lớn ℓmax chiều dài nhỏ lị xo ℓmin thì:
max
A
2
+ Nếu đề cho li độ x ứng với vận tốc v thì:
2
2
v A x
(7)+ Nếu đề cho vận tốc v gia tốc a thì:
2
2
2
v a A
+ Nếu đề cho tốc độ cực đại thì:
max
v A
+ Nếu đề cho gia tốc cực đại thì:
max
a A
+ Nếu đề cho lực hồi phục cực đại thì:
max max
F F kA A=
k
+ Nếu đề cho lượng dao động thì:
2
1 2W
W kA A
2 k
3 Xác định pha ban đầu φ (dựa vào điều kiện ban đầu): Dựa vào điều kiện ban đầu toán t =
x Acos v Asin
• Chú ý:
• Khi thả nhẹ hay bng nhẹ vật v = 0, A = x
• Khi vật theo chiều dương v > 0, theo chiều âm v < • Pha dao động t
•
sin cos
• cos cos
Ví dụ 12: Một lắc lị xo dao động với biên độ A = cm với chu kì T = 0,5 s Viết phương trình dao động lắc trường hợp sau:
a Lúc t = 0, vật qua vị trí cân theo chiều dương b Lúc t = 0, vật vị trí biên
c Lúc t = 0, vật có li độ 2,5 cm theo chiều dương Hướng dẫn giải:
Phương trình dao động điều hịa vật có dạng: x Acos t Phương trình vận tốc là: v Asin t
a Lúc t = 0, vật qua vị trí cân theo chiều dương
2
4 rad/s T 0,5
Chọn t = lúc x = v > 0, đó: Acos cos
Asin sin
Vậy phương trình dao động điều hòa vật là:
x 5cos t
(8)b Lúc t = 0, vật qua vị trí có li độ cm theo chiều dương • Trường hợp 1: Vật vị trí biên dương
Chọn t = lúc x = A v = 0, đó: 5cos cos
0 Asin sin
Vậy phương trình dao động điều hòa vật là: x 5cos t (cm) • Trường hợp 2: Vật vị trí biên âm
Chọn t = lúc x = A v = 0, đó:
5 5cos cos Asin sin
Vậy phương trình dao động điều hòa vật là: x 5cos t (cm) c Lúc t = 0, vật có li độ 2,5 cm theo chiều dương
Chọn t = lúc x = 2,5 cm v > 0, đó:
2,5 5cos cos
Asin sin 0
Vậy phương trình dao động điều hòa vật là:
x 5cos t
(cm)
Ví dụ 13: Một lắc lò xo dao động điều hòa với chu kì T = s Lúc t = 2,5 s vật qua vị trí có li độ x5 2 cm vận tốc v10 2 cm/s Viết phương trình dao động điều hịa lắc
Hướng dẫn giải:
Phương trình dao động điều hịa có dạng: x Acos t Phương trình vận tốc: v Asin t
Ta có:
2
2 rad/s T
Tìm A = ?
2
2 2
2
2
10 v
A x 50 50 100 A 10 cm
2
Chọn t = 2,5 s lúc x5 2 cm v10 2 cm/s, đó: 10cos (1)
10 20 sin (2)
Lấy (2) chia (1), ta được:
2 tan tan
(9)Vậy phương trình dao động điều hịa:
x 10cos t
(cm)
Ví dụ 14: Vật dao động điều hòa với tần số f = 0,5 Hz Tại t = 0, vật có li độ x = cm và vận tốc v = +12,56 cm/s Viết phương trình dao động vật
Hướng dẫn giải:
Phương trình dao động điều hịa vật có dạng: x Acos t Phương trình vận tốc: v Asin t
Tìm ω = ?
Ta có: 2 f 0,5rad/s
Chọn t = lúc x = cm v = +12,56 cm/s, đó:
4 Acos Acos
Asin 12,56 Asin 4
Từ (1), ta suy ra:
4
A cm
2 cos
4 2
Vậy phương trình dao động điều hịa:
x 2cos t
(cm)
Ví dụ 15: Một vật dao động điều hòa thực 10 dao động s, vật qua vị trí cân có vận tốc 20π cm/s Chọn chiều dương chiều lệch vật, gốc thời gian lúc vật qua vị trí có li độ x 2,5 3 cm chuyển động vị trí cân Viết phương trình dao động vật
Hướng dẫn giải:
Phương trình dao động vật có dạng: x Acos t Phương trình vận tốc vật: v Asin t
Chu kì dao động vật:
t
T 0,5 s
n 10
Tần số góc vật:
2
4 rad/s T 0,5
Khi vật qua vị trí cân vận tốc vật cực đại nên:
max max
v 20
v A A cm
4
(10)3 2,5 5cos cos
2
6 Asin sin 0
Vậy phương trình dao động vật là:
x 5cos t
(cm)
Ví dụ 16: Con lắc lị xo gồm cầu có khối lượng 300 g, lị xo có độ cứng 30 N/m treo vào điểm cố định Chọn gốc tọa độ vị trí cân bằng, chiều dương hướng xuống, gốc thời gian lúc vật bắt đầu dao động Kéo cầu xuống khỏi vị trí cân cm truyền cho vận tốc ban đầu 40 cm/s hướng xuống Viết phương trình dao động vật
Hướng dẫn giải:
Phương trình dao động vật có dạng: x Acos t Phương trình vận tốc vật: v Asin t
Ta có:
k 30
10 rad/s m 0,3
Tìm A = ?
Từ hệ thức độc lập:
2 2
2 2
2 2
v v 40
A x A x 4 cm
10
Chọn t = lúc x = cm v = 40 cm/s, đó:
cos
4 2cos 2
4
40 40 sin
sin
2
Vậy phương trình dao động vật là:
x 2cos 10t
(cm)
Dạng 3: Xác định li độ, vận tốc, gia tốc lực hồi phục thời điểm hay ứng với pha cho.
♦ Phương pháp:
Muốn xác định x, v, a Fhp thời điểm hay ứng với pha cho ta cần thay t hay pha cho vào biểu thức x, v, a
- Biểu thức li độ: x Acos t - Biểu thức vận tốc: v x ' Asin t - Biểu thức gia tốc: a v' 2Acos t
- Nếu xác định x ta xác định a Fhp sau:
2
a x Fhp kxm x2
(11)+ Nếu v > 0; a > 0; Fhp > 0: vận tốc, gia tốc, lực hồi phụ chiều với chiều dương trục tọa độ
+ Nếu v < 0; a < 0; Fhp < 0: vận tốc, gia tốc, lực hồi phụ ngược chiều với chiều dương trục tọa độ
Ví dụ 17: Một có khối lượng m = 100 g dao động điều hịa theo phương trình x 5cos t
6
(cm) Lấy 2 10 Xác định li độ, vận tốc, gia tốc, lực hồi phục
trong trường hợp sau: a Ở thời điểm t = s b Pha dao động 1200. Hướng dẫn giải:
a Ở thời điểm t = s
- Li độ:
3
x 5cos 5cos 2,5 cm
6
- Vận tốc:
v 10 sin 10 sin cm/s
6
- Gia tốc: a 2x 4 2,5 32 100 cm/s 2
- Lực hồi phục: Fhp m x2 0,1.40.2,5 3.10 0,1 N
b Khi pha dao động 1200.
0
120 t
2
- Li độ:
x 5cos 5sin 2,5 cm
2 6
- Vận tốc:
v 5sin 10 cos cm/s
2 6
- Gia tốc:
2
a x40 2,5 100 cm/s
- Lực hồi phục:
2
hp
F m x 10 4.10 2,5.10 0,1 N
Ví dụ 18: Một vật dao động điều hịa theo phương trình x 4cos t (cm) Tính tần số dao động, li độ vận tốc vật sau bắt đầu dao động s
Hướng dẫn giải:
- Tần số dao động vật:
2 f f Hz
2
- Li độ dao động vật sau vật dao động s:
x 4cos 5 4cos20 4 cm
(12)O A x
M A/2
N
v x ' Asin t 4.sin 5 16 sin 20 0 cm/s Dạng 4: Xác định thời gian ngắn vật qua li độ x1 đến x2:
♦ Phương pháp:
Ta dùng mối liên hệ dao động điều chuyển động trịn để tính
- Khi vật dao động điều hòa từ x1 đến x2 tương ứng với vật chuyển động trịn từ M đến N
• Chú ý: x1 hình chiếu M lên trục Ox
x2 hình chiếu N lên trục Ox
- Thời gian ngắn vật từ x1 đến x2 thời gian vật chuyển động tròn từ M đến N là:
MN
MON
t t T
360
MN
MON
t t T
2
Tổng quát: t T
- Khi vật từ x = đến
A x
2
T t
12
- Khi vật từ
A x
2
đến x = A T t
6
- Khi vật từ x = đến
A x
2
A x
2
đến x A
T t
8
- Vật lần liên tiếp qua
A x
2
T t
4
- Vận tốc trung bình vật dao động lúc này: tb s v
t
(∆s tính dạng 3) Ví dụ 19: Một vật dao động điều hòa với phương trình x Acos t Tính
a Thời gian vật từ vị trí cân đến
A x
2
b Thời gian vật từ vị trí
A x
2
đến
A x
2
theo chiều dương c Tính vận tốc trung bình vật câu a
Hướng dẫn giải:
a Thời gian vật từ vị trí cân x = đến
A x
2 ứng với vật chuyển động tròn từ M đến N Khi đó, quỹ đạo vật quét góc là:
T
MON t t t
T
(13)O x
M
A/2
N
mà:
A
cosNOx cos NOx
A 3
2
Vậy:
.T
T 6 T
t
2 12
b Thời gian vật từ vị trí
A x
2
đến
A x
2
Khi vật từ vị trí
A x
2
đến
A x
2
tương ứng với vật chuyển động tròn từ M đến N
MON
3
Vậy:
T
t T T
2
c Vận tốc trung bình vật từ x = đến
A x
2
tb
A
s 2 6A v
T
t T
12
Dạng 5: Xác định thời điểm vật qua vị trí li độ x0 có vận tốc v0. ♦ Phương pháp:
Phương trình li độ vật có dạng: x Acos t Phương trình vận tốc vật: v Asin t 1 Khi vật qua vị trí có li độ x0 thì:
0
x
x Acos t cos t cos
A
t k2
2 t k
(t > 0) • Với k N 0
(14)P
-A A x
A/2 M
O N
Khi có điều kiện vật ta loại bớt nghiệm t 2 Khi vật có vận tốc v0 thì:
0
v
v Asin t sin t sin
A
t k2
t k2
2
t k
2
t k
• Với k N
0
• Với k N *
0
Ví dụ 20: Một vật dao động điều hịa theo phương trình x 8cos2 t (cm) Kể từ t = 0 vật qua vị trí cân lần thứ thời điểm ?
Hướng dẫn giải: Ta có:
1 8cos2 t cos2 t t k t k
2
với k N Vì t > nên k = 0, 1, 2, 3,
Vật qua vị trí cân lần thứ ứng với k = t s
4
Ví dụ 21: Một vật dao động điều hịa theo phương trình
x 4cos t
( x tính cm t tính s) Kể từ t = 0, vật qua vị trí x = cm lần thứ ba theo chiều dương vào thời điểm ?
Hướng dẫn giải:
Vật qua vị trí x = cm theo chiều dương nên v > 0, ta có điều kiện:
2 4cos t cos t
x 6
4 t k2
v
24 sin t sin t
6
1
t k
8
với k = 1, 2, 3, 4,
Vật qua vị trí x = cm lần thứ ba ứng với k = 1 11
t s
8 8
Cách 2: Sử dụng mối liên hệ chuyển động tròn với dao động điều hịa. Lúc t = vật vị trí có li độ
4
x A cm
2
(15)P
-A A x
A/2 M
O N
vật vị trí M
Vật qua vị trí x = cm theo chiều dương tức qua điểm P Vật qua điểm P lần thứ ba ứng với góc quét là:
2.2 MOP
với MOP
6
Vậy,
3 11
4
2 2
Thời điểm vật qua vị trí x = cm lần thứ ba là:
11
11
t s
4
Ví dụ 22: Một vật dao động điều hịa theo phương trình
x 4cos t
( x tính cm t tính s) Kể từ t = 0, vật qua vị trí x = cm lần thứ 2009 vào thời điểm ?
Hướng dẫn giải: Ta có:
1
2 4cos t cos t cos t k2
6 6
1
4 t k2 t k
6 24
1
t k
4 t k2
8
Vật qua vị trí x = cm lần thứ 2009 ứng với k = 1004 nghiệm
Vậy
1 1 12049
t 1004 502 s
24 24 24
Cách 2: Sử dụng mối liên hệ chuyển động tròn với dao động điều hòa. Lúc t = vật vị trí có li độ
A
x cm
2
Mỗi chu kì (1 vịng) vật qua vị trí x = cm lần
Qua vị trí x = cm lần thứ 2009 vật phải quay 1004 vịng tiếp tục từ M đến N, tức góc quét là:
12049 1004.2 2008
6 6
Suy ra:
12049
12049
t s
4 24
(16)Ví dụ 23: Một vật dao động điều hịa theo phương trình
x 10cos t
(cm) Tìm thời điểm vật qua vị trí có li độ x = cm lần thứ hai theo chiều dương
Hướng dẫn giải: Ta có:
1 10cos t cos t cos
2 2
1
t k
12
2 t k2
5
t k
12
với k Z t > k = 1, 2, 3,
Vì qua vị trí x = cm theo chiều dương nên v >
Khi đó,
20 sin t
Để thỏa mãn điều kiện v > 0, ta chọn:
t k
12
Vật qua vị trí x = cm lần thứ hai nên k =
Vậy:
5 19
t s
12 12
Ví dụ 24: Vật dao động điều hịa theo phương trình x 5cos t (cm) qua vị trí cân lần thứ ba (kể từ lúc t = 0) vào thời điểm ?
Hướng dẫn giải:
Ta có: 5cos t cos t t k
1
t k
2
với k Z
Vì t > nên k = 0, 1, 2, 3,
Vật qua vị trí cân lần thứ ba ứng với k =
Vậy
1
t 2,5 s
Ví dụ 25: Một chất điểm dao động điều hòa theo phương trình
2 x 4cos t
3
(x tính cm t tính s) Kể từ t = 0, chất điểm qua vị trí có li độ x2 cm lần thứ 2011 thời điểm ?
Hướng dẫn giải: Ta có:
2 2
2 4cos t cos t cos
3 3
(17)t 3k
2
t k2
t 3k
3
với k Z
Với k = vật qua vị trí x = 2 cm lần thứ thời điểm t = s
Với k = vật qua vị trí x = 2 cm lần thứ hai ba thời điểm s s
Vậy vật qua vị trí x = 2 cm lần thứ 2011 ứng với k = 1005
Suy ra, t = + 3.1005 = 3016 s
Ví dụ 26: Một vật dao động điều hịa theo phương trình
x 10cos 10 t
(cm) Xác định thời điểm vật qua vị trí x = cm lần thứ 2008
Hướng dẫn giải: Ta có:
1 10cos 10 t cos 10 t cos
2 2
1
10 t k2 t k
2 60
10 t k2
5
10 t k2 t k
2 60
với k Z
Vì t > nên vật qua vị trí x = cm lần thứ 2008 ứng với k = 1004
Vậy
1 1 1004 12047
t k 201 s
60 60 60
Dạng 6: Tính quãng đường mà vật khoảng thời gian cho. ♦ Phương pháp:
- Phương trình dao động vật có dạng: x Acos t - Phương trình vận tốc vật: x Asin t
• Tính số chu kì dao động từ thời điểm t1 đến t2:
2
t t m
N n
T T
với T
• Xét chu kì:
+ Vật quãng đường là: 4A
+ Vật qua vị trí (li độ) lần - Nếu m = thì:
+ Quãng đường mà vật số chu kì là: ST = 4nA + Số lần vật qua vị trí x0 là: MT = 2n
- Nếu m ≠ thì:
(18)O N
x M
P
Sau vẽ hình vật phần lẽ m
T chu kì dựa vào hình vẽ để tính Slẽ số lần Mlẽ vật qua vị trí x0 tương ứng
- Khi đó: + Quãng đường mà vật là: S = ST + Slẽ + Số lần vật qua x0 là: M = MT + Mlẽ
Ví dụ 27: Một vật dao động điều hịa theo phương trình
x 4cos t
(x tính bằng cm t tính s) Tính quãng đường mà vật thời gian 3,75 s
Hướng dẫn giải:
Chu kì dao động vật: 2
T s
2
Khoảng thời gian 3,75 s ứng với 3T 0,75 s
- Quãng đường mà vật chu kì là: S3T = 4nA = 4.3.4 = 48 (cm) - Quãng đường mà vật thời gian 0,75 s
0,75s
S MO ON NO OP MO 4 OP
Với:
MO
cos MO Acos cm
3 A
OP
cos OP Acos cm
6 A
0,75s
S 4 10 cm
Vậy tổng quãng đường mà vật thời gian 3,75 s là:
3T 0,75s
S S S 48 10 61,5 cm
♦ DẠNG BÀI TẬP TỔNG HỢP
Bài 1: Một chất điểm dao động điều hòa trục Ox Khi chất điểm qua vị trí cân tốc độ 20 cm/s Khi chất điểm có tốc độ 10 cm/s gia tốc có độ lớn 40 cm/s2 Biên độ dao động chất điểm ?
Hướng dẫn giải:
- Khi chất điểm qua VTCB tốc độ đạt giá trị cực đại vmax A 20 cm/s
- Đề cho: v 10 cm/s a 40 cm/s 2 Từ công thức:
2 2
2 2 2
max
2 2
v a a a
A A v v v
2
2
2 2 2
max
40
a 3.40
4 rad/s v v 20 10 3.10
mà:
max max
v 20
v A A cm
4
(19)O x A/2
N
M
O A
x -A/2
M
Bài 2: Một chất điểm dao động điều hòa trục Ox với biên độ 10 cm, chu kì s. Mốc vị trí cân Tốc độ trung bình khoảng thời ngắn chất
điểm từ vị trí có động lần đến vị trí có động 3 lần ?
Hướng dẫn giải:
- Cơ vật dao động điều hòa: W W đ Wt
- Vị trí vật có động lần năng:
2
2 2
t t
1 A A
W 3W W kA kx x x
2
- Vị trí vật có động
3 lần năng:
2
2 2
t t t
1 4 3A A
W W W W W kA kx x x
3 3
Thời ngắn chất điểm từ vị trí có động lần đến vị trí có
động
3 lần ứng với vật từ
A x
2
đến
A x
2
Khi đó:
- Góc quét: MON
6
1
t T s
2
- Quãng đường:
A A A
s cm
2 2
Vậy tốc độ trung bình khoảng thời gian ngắn chất điểm từ vị trí có
động lần đến vị trí có động
3 lần là:
tb
5 s
v 30 21,96 cm/s
1 t
6
Bài 3: Một chất điểm dao động điều hịa với chu kì T Trong khoảng thời gian ngắn nhất từ vị trí biên có li độ x = A đến vị trí
A x
2
, chất điểm có tốc độ trung bình ?
Hướng dẫn giải:
- Quãng đường vật từ vị trí có li độ x = A đến vị
trí có li độ
A x
2
(20)A 3A s A
2
- Thời gian vật từ vị trí có li độ x = A đến vị
trí có li độ
A x
2
là:
2
T
2
t T T T
2 2
Vậy,
tb
3A
s 2 9A
v T
t 2T
3
Bài 4: Một vật dao động điều hịa có độ lớn vận tốc cực đại 31,4 cm/s Lấy π = 3,14. Tốc độ trung bình vật chu kì dao động ?
Hướng dẫn giải:
- Quãng đường mà vật chu kì dao động là: s = 4A
- Thời gian vật chu kì T
Ta có: max
2
v A A 31,4 10 cm/s T
10 T
A 5T
2
Vậy tốc độ trung bình vật chu kì dao động là:
tb
s 4A 4.5T
v 20 cm/s
t T T
Bài 5: Một chất điểm dao động điều hịa theo phương trình
x 3cos t
(x tính cm t tính s) Trong giây kể từ thời điểm t = chất điểm qua vị trí có li độ x = +1 cm lần ?
Hướng dẫn giải:
Chu kì dao động vật là:
2 2
T 0,4 s
5
Trong thời gian t s 2,5T 2T 0,5T Lúc t = 0, vật vị trí có li độ
3 A
x cm
2
Trong chu kì đầu vật qua vị trí có li độ x = +1 cm lần, 0,5 chu kì chất điểm qua vị trí có li độ x = +1 cm lần
(21)CHỦ ĐỀ: CON LẮC LÒ XO ♦ TÓM TẮT KIẾN THỨC:
1 Định nghĩa: Con lắc lò xo hệ thống gồm lò xo có độ cứng k, có khối lượng khơng đáng kể, đầu cố định, đầu lại gắn với vật nặng có khối lượng m đặt theo phương ngang phương thẳng đứng
- Phương trình dao động lắc lò xo: x Acos t với
k m
- Chu kì dao động lắc lị xo:
m T
k
- Lực gây dao động điều hòa lắc lò xo ln hướng vị trí cân gọi lực kéo hay lực hồi phục Lực kéo có độ lớn tỉ lệ với li độ lực gây gia tốc cho vật dao động điều hòa
- Lực kéo về: Fkx m x2
2 Năng lượng lắc lò xo: • Động năng:
2 2 2
đ
1 cos t
1 1
W mv m A sin t m A
2 2
• Thế năng:
2 2 2
t
1 cos t
1 1
W kx m A cos t m A
2 2
Nhận xét: Động lắc lò xo (hay vật dao động điều hòa) biến thiên điều hịa tần số góc ' , tần số f ' 2f , chu kì
T T'
2
• Cơ năng:
2 2
đ t
1
W W W m A kA
2
hằng số Nhận xét:
- Cơ lắc lị xo tỉ lệ thuận với bình phương biên độ dao động - Cơ lắc lò xo bảo toàn bỏ qua ma sát
3 Đối với lị xo treo:
• Độ biến dạng lò xo vật VTCB: mg
k
• Chiều dài lị xo VTCB:
CB
(với ℓ
0 chiều dài tự nhiên lị xo) • Chiều dài lớn lị xo (ứng với vật vị trí thấp nhất):
max A CBA
• Chiều dài nhỏ lị xo (ứng với vật vị trí cao nhất):
min A CB A
(22)max CB
2
• Khi A (với Ox hướng xuống) xét chu kì dao động: - Thời gian lò xo nén, tương ứng với vật từ M1 đến M2 - Thời gian lò xo dãn, tương ứng với vật từ M2 đến M1 ♦ CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: Xác định đại lượng thường gặp dao động lắc lị xo:
Ví dụ 1: Con lắc lị xo gồm vật có khối lượng m = 200 g lị xo có độ cứng k = 50 N/m Tính chu kì dao động lắc lò xo Lấy 2 10.
Hướng dẫn giải:
Chu kì dao động lắc lị xo:
2
m 0,2
T 2 .10 2 .10 0,4 s
k 50
Ví dụ 2: Một lắc lị xo dao động với chu kì 0,5 s, khối lượng nặng m = 400 g Lấy 2 10 Tính độ cứng lị xo ?
Hướng dẫn giải:
Ta có:
2
2
2
m m m 4.10.0,4
T T k 64 N/m
k k T 0,25
Ví dụ 3: Một lắc lị xo dao động thẳng đứng Vật có khối lượng m = 200 g Trong 20 s lắc thực 50 dao động tồn phần Tính độ cứng lò xo Lấy 2 10
Hướng dẫn giải:
Chu kì dao động lắc lò xo:
t 20
T 0,4 s
n 50
Mặt khác:
2
2
2
m m m 4.10.0,2
T T k 50 N/m
k k T 0,4
Ví dụ 4: Một lắc lị xo treo thẳng đứng, kích thích cho lắc dao động theo phương thẳng đứng Chu kì biên độ dao động lắc 0,4 s cm, chọn trục Ox thẳng đứng, chiều dương hướng xuống, gốc tọa độ O vị trí cân bằng, gốc thời gian t = lúc vật qua vị trí cân theo chiều dương Lấy
2
g 10 m/s .
Thời gian ngắn kể từ lúc t = đến lực đàn hồi lò xo có độ lớn cực tiểu ?
Hướng dẫn giải: Tại vị trí cân bằng:
m mg k
k g
2
2
m T g 0,4 10
T 2 0,04 m cm
k g 4.10
(23) A
x A 4 cm
Thời gian ngắn lúc vật qua VTCB theo chiều dương đến lực đàn hồi lò xo có độ lớn cực tiểu là:
T T T 7T 7.0,4 2,8 28
t s
4 12 12 12 12 120 30
Dạng 2: Viết phương trình dao động lắc lò xo. ♦ Phương pháp:
- Sử dụng số phương pháp giải giống dao động điều hịa vật phần
- Tìm ω:
k g
m
• Một số kết luận chung để giải nhanh tập trắc nghiệm dạng viết phương trình dao động điều hòa:
- Nếu kéo vật khỏi VTCB khoảng thả nhẹ khoảng cách biên độ dao động
- Nếu chọn gốc thời gian lúc thả vật thì:
+ Nếu kéo vật theo chiều dương 0 + Nếu kéo vật theo chiều âm
- Nếu từ VTCB truyền cho vật vận tốc dao động điều hịa vận tốc
chính vận tốc cực đại,
max
v A
.
- Chọn gốc thời gian lúc truyền cho vật vận tốc
chiều truyền vận
tốc chiều với chiều dương,
chiều truyền vận tốc ngược chiều dương Ví dụ 5: Con lắc lò xo treo thẳng đứng gồm vật có khối lượng 100 g lị xo có khối lượng khơng đáng kể, có độ cứng 40 N/m Kéo vật nặng thẳng đứng xuống phía cách vị trí cân cm thả nhẹ cho vật dao động điều hòa Chọn trục Ox thẳng đứng, gốc O trùng với vị trí cân bằng, chiều dương chiều vật bắt đầu chuyển động, gốc thời gian lúc thả vật Lấy g = 10 m/s2 Viết phương trình dao động vật. Hướng dẫn giải:
Phương trình dao động vật có dạng: x Acos t
Ta có:
k 40
400 20 rad/s m 0,1
Chọn t = lúc x A5 cm , đó: x
cos
A
(24)Vậy phương trình dao động vật là: x 5cos 20t (cm)
Ví dụ 6: Một lắc lị xo gồm vật nặng có khối lượng 400 g, lị xo có khối lượng khơng đáng kể, có độ cứng 40 N/m Kéo vật nặng khỏi vị trí cân cm thả nhẹ Chọn chiều dương chiều với chiều kéo vật, gốc thời gian lúc thả vật Viết phương trình dao động vật
Hướng dẫn giải:
Phương trình dao động vật có dạng: x Acos t
Ta có:
k 40
100 10 rad/s m 0,4
Chọn t = lúc x = A = (cm), đó:
4 4cos cos 1
Vậy phương trình dao động vật là: x 4cos10t (cm)
Ví dụ 7: Một lắc lị xo gồm vật nặng có khối lượng 50 g dao động trục Ox với chu kì 0,2 s chiều dài quỹ đạo 40 cm Viết phương trình dao động lắc Chọn gốc thời gian lúc lắc qua vị trí cân theo chiều âm
Hướng dẫn giải:
Phương trình dao động vật có dạng: x Acos t
Ta có:
2
10 rad/s T 0,2
Biên độ dao động: L 40
A 20 cm
2
Chọn t = lúc x = v < 0, đó: Acos cos
Asin sin
Vậy phương trình dao động vật là:
x 20cos 10 t
(cm)
Ví dụ 8: Một lắc lị xo treo thẳng đứng gồm vật nặng có khối lượng m gắn vào lị xo có khối lượng khơng đáng kể, có độ cứng k = 100 N/m Chọn trục tọa độ thẳng đứng, gốc tọa độ vị trí cân bằng, chiều dương từ xuống Kéo vật nặng xuống phía cách vị trí cân cm truyền cho vận tốc 20 2 cm/s theo chiều từ xuống vật nặng dao động điều hòa với tần số Hz Chọn gốc thời gian lúc vật bắt đầu dao động Cho g = 10 m/s2 = π2 Viết phương trình dao động vật.
Hướng dẫn giải:
Phương trình dao động vật có dạng: x Acos t Ta có: 2 f 2 rad/s
(25)
2
2 2
2 2
2
2
20
v v
A x A x 50 50 10 cm
4
Chọn t = lúc x cm v 20 cm/s 2, đó:
cos
5 10cos 2
4
4 10.sin 20 2
sin
2
Vậy phương trình dao động vật là:
x 10cos t
(cm)
Ví dụ 9: Một lị xo có độ cứng 50 N/m đặt nằm ngang, đầu cố định vào tường, đầu lại gắn vào vật có khối lượng 500 g Kéo vật khỏi vị cân đoạn
x cm truyền cho vật vận tốc v = 10 cm/s theo chiều dương Viết phương
trình dao động vật Hướng dẫn giải:
Phương trình dao động vật có dạng: x Acos t
Ta có:
k 50
100 10 rad/s m 0,5
Từ hệ thức độc lập:
2 2
2 2
2 2
v v 10
A x A x 3 cm
10
Chọn t = lúc x cm v = 10 cm/s, đó:
cos
3 2cos 2
6 10.2.sin 10
sin
2
Vậy phương trình dao động vật là:
x 2cos 10t
(cm) hoặc:
5 x 2cos 10t
6
(cm)
Dạng 3: Bài toán liên quan đến động năng, lắc lị xo. ♦ Phương pháp:
(26)• Thế năng:
2 2
t
1
W kx kA cos t
2
• Động năng:
2 2 2
đ
1 1
W mv m A sin t kA sin t
2 2
Nhận xét: Thế động lắc lị xo biến thiên tuần hồn tần số góc ' tần số f ' 2f chu kì
T T '
2
• Trong chu kì dao động có lần động (hay nói cách khác có vị trí quỹ đạo) nên khoảng thời gian liên tiếp hai lần động
năng T 4.
• Cơ năng:
2 2 2
đ t
1 1
W W W mv kx m A kA
2 2
hằng số
Ví dụ 10: Một lắc lị xo có biên độ dao động cm, có tốc độ cực đại m/s cơ J Tính độ cứng lò xo, khối lượng vật nặng tần số dao động lắc
Hướng dẫn giải:
Lưu ý: áp dụng cơng thức tính động năng, đại lượng đổi hệ SI
Từ công thức tính năng:
2
2
2 2
1 2W 2.1
W kA k 800 N/m
2 A 5.10 25.10
Từ công thức:
2 2
max 2
max
800 5.10
k kA
v A A m kg
m v
1 k 800
f 3,18 Hz
2 m 2
Ví dụ 11: Một lắc lị xo có độ cứng 150 N/m có lượng dao động 0,12 J. Khi lắc có li độ cm vận tốc m/s Tính biên độ chu kì dao động lắc
Hướng dẫn giải:
Năng lượng dao động lắc năng:
2
1 2W 2.0,12
W kA A 0,04 m cm
2 k 150
Từ hệ thức độc lập:
2 2
2
2 2 2
v v 100 100 50
A x rad/s 28,87 rad/s
A x 2 3
(27)
2
T s 0,22 s
50 25
Ví dụ 12: Một lắc lị xo gồm vật nặng có khối lượng 50 g, dao động điều hòa trên trục Ox với chu kì 0,2 s chiều dài quỹ đạo 40 cm Tính độ cứng lị xo lắc Lấy 2 10.
Hướng dẫn giải:
Chiều dài quỹ đạo:
L 40
L 2A A 20 cm
2
Từ công thức tính chu kì:
2
2
m m 4.10.0,05
T k 50 N/m
k T 0,2
Cơ lắc:
2
1
W kA 50 0,2 J
2
Ví dụ 13: Một lắc lò xo treo thẳng đứng gồm vật nặng có khối lượng m lị xo có khối lượng khơng đáng kể, có độ cứng 100 N/m Kéo vật nặng xuống phía cách vị trí cân cm truyền cho vận tốc 20 2 cm/s vật dao động điều hòa với tần số Hz Cho g = 10 m/s2 = π2 m/s2 Tính khối lượng vật nặng cơ lắc
Hướng dẫn giải:
Từ cơng thức tính tần số: 2
1 k k 100
f m 0,625 kg 62,5 g
2 m f 4.10.2
mà: 2 f 2 rad/s Từ hệ thức độc lập:
2
2 2
2
2
20 v
A x 50 50 100 A 10 cm 0,1 m
4
Cơ lắc:
2
2
1
W kA 100 0,1 0,5 J
2
Ví dụ 14: Một lắc lò xo dao động điều hịa Biết lị xo có độ cứng 36 N/m vật nhỏ có khối lượng 100 g Lấy 2 10 Xác định chu kì tần số biến thiên tuần hoàn
của động lắc Hướng dẫn giải:
Chu kì dao động lắc:
2
m 0,1
T 2 0,1 s
k 36
(28)Tần số dao động lắc:
1
f Hz
1 T
3
Vậy: chu kì dao động động năng:
T 3
T ' s
2
tần số dao động động năng: f ' 2f 2.3 Hz
Ví dụ 15: Một lắc lị xo gồm vật nhỏ có khối lượng 50 g Con lắc lò xo dao động điều hòa theo phương trình x Acos t Cứ sau khoảng thời gian 0,05 s động vật lại Lấy 2 10 Tính độ cứng lị xo.
Hướng dẫn giải:
Trong chu kì có lần động vật nhau, khoảng thời
gian hai lần liên tiếp động vật lại T
4 .
T
t T 4t 4.0,05 0,2 s
mà:
2
2
m m 4.10.0,05
T k 50 N/m
k T 0,2
Ví dụ 16: Một lắc lị xo gồm lị xo nhẹ vật nhỏ dao động điều hòa theo phương ngang với tần số góc 10 rad/s Biết rắng động vật vận tốc vật có độ lớn 0,6 m/s Xác định biên độ dao động lắc
Hướng dẫn giải:
Cơ vật: W W đ Wt
mà: Wđ Wt nên
2 2 2
đ
1 m
W 2W kA mv A 2v 2v
2 k
v 0,6
A 2 0,06 m cm 10
Dạng 4: Tìm độ biến dạng cực đại, cực tiểu, chiều dài lò xo cực đại, cực tiểu vật dao động.
♦ Phương pháp:
ℓ0: chiều dài tự nhiên lò xo (chiều dài lị xo chưa biến dạng) • Khi lị xo nằm ngang:
- Chiều dài cực đại lò xo: ℓmax = ℓ0 + A - Chiều dài cực tiểu lị xo: ℓmin = ℓ0 – A • Khi lò xo treo thẳng đứng:
- Chiều dài vật vị trí cân bằng: ℓcb = ℓ0 + ∆ℓ
(29)Ví dụ 17: Một lắc lò xo treo thẳng đứng dao động điều hòa với chu kì 0,4 s, biên độ cm, chưa treo vật lò xo dài 44 cm Lấy g = π2 m/s2 Xác định chiều dài cực đại và cực tiểu lị xo q trình vật dao động
Hướng dẫn giải:
Ta có:
2 2
T rad/s
T 0,4
Tại vị trí cân bằng:
2 2
mg g
mg k 0,04 m cm
k
- Chiều dài cực đại lò xo: max 0 A 44 54 cm
- Chiều dài cực tiểu lò xo: min 0 A 44 42 cm
Ví dụ 18: Một lị xo có độ cứng 25 N/m Một đầu lị xo gắn vào điểm O cố định. Treo vào đầu lại lị xo hai vật có khối lượng 100 g 60 g Tính độ dãn lị xo vật vị trí cân tần số góc dao động Lấy g = 10 m/s2.
Hướng dẫn giải: Tại VTCB:
1
1
m m g 0,16.10
m m g k 0,064 m 6,4 cm
k 25
Ta có:
1
k 25 12,5 rad/s m m 0,16 0,4
Dạng 5: Xác định lực tác dụng cực đại, cực tiểu tác dụng lên vật lên điểm treo của lò xo.
♦ Phương pháp:
1 Lực hồi phục (Lực tác dụng lên vật): Đối với lò xo nằm ngang. - Lực hồi phục Fkx ma (luôn hướng vị trí cân bằng).
Độ lớn: F k x m x
- Lực hồi phục đạt giá trị cực đại: Fmax kA (khi vật qua vị trí biên
x A).
- Lực hồi phục đạt giá trị cực tiểu: Fmin 0 (khi vật qua VTCB x = 0)
2 Lực tác dụng lên điểm treo lò xo (Đối với lò xo treo thẳng đứng): - Lực tác dụng lên điểm treo lò xo hợp lực lực đàn hồi Fđh
trọng lực P
đh
F F P
Độ lớn: F k x
- Độ dãn lò xo vật VTCB: mg g mg k
k
(30)- Lực cực tiểu tác dụng lên điểm treo là: + Nếu A thì: Fmin k A
+ Nếu A thì: Fmin 0
Ví dụ 19: Một lắc lò xo gồm nặng có khối lượng 100 g, lị xo có độ cứng là 100 N/m, khối lượng không đáng kể, treo thẳng đứng Cho lắc dao động với biên độ cm Lấy g = 10 m/s2 2 10 Xác định tần số tính lực đàn hồi cực đại cực tiểu trình vật dao động
Hướng dẫn giải:
Ta có:
k 100
10 rad/s m 0,1
10
2 f f Hz
2
Tại VTCB:
2
mg g 10
0,01 m cm A
k 10 100
- Lực đàn hồi cực đại: Fmax k A 100 0,01 0,05 6 N
- Lực đàn hồi cực tiểu: Fmin 0
Ví dụ 20: Một lắc lị xo treo thẳng đứng, đầu có vật m dao động với biên độ 10 cm tần số Hz Tính tỉ số lực đàn hồi cực tiểu lực đàn hồi cực đại lò xo trình vật dao động Lấy g = 10 m/s2 2 10.
Hướng dẫn giải:
Ta có: 2 f 2 rad/s
2
2
mg g 10
0,25 m 25 cm A
k
- Lực đàn hồi cực đại: Fmax k A
- Lực đàn hồi cực tiểu: Fmin k A
Vậy tỉ số lực đàn hồi cực tiểu lực đàn hồi cực đại lò xo trình vật dao động là:
min max
k A
F A 25 10 35
F k A A 25 10 15
Ví dụ 21: Một lắc lị xo treo thẳng đứng có vật nặng có khối lượng 100 g Kích thích cho lắc dao động theo phương thẳng đứng thấy lắc dao động điều hịa với tần số 2,5 Hz trình vật dao động, chiều dài lò xo thay đổi từ 20 cm đến 24 cm Xác định chiều dài tự nhiên lị xo tính lực đàn hồi cực đại, lực đàn hồi cực tiểu trình vật dao động Lấy g = 10 m/s2 2 10.
Hướng dẫn giải:
(31)Tại VTCB:
2
mg g 10
0,04 m cm
k 25
Chiều dài lò xo thay đổi từ 20 cm đến 24 cm tức min 20 cm max 24 cm
max 24 20
A cm
2
Mặt khác:
max A max A 24 18 cm
Hoặc sử dụng cơng thức min suy 0
2
2
k
k m 0,1 25 N/m m
- Lực đàn hồi cực đại: Fmax k A 25 0,04 0,02 1,5 N
- Lực đàn hồi cực tiểu: Fmin k A 25 0,04 0,02 0,5 N
Ví dụ 22: Một lắc lò xo treo thẳng đứng gồm lị xo có chiều dài tự nhiên 20 cm và độ cứng 100 N/m, vật nặng có khối lượng 400 g Kéo vật nặng xuống phía cách vị trí cân cm thả nhẹ cho lắc dao động điều hòa Lấy g 2 10 m/s 2 Xác định độ lớn lực đàn hồi lị xo vật vị trí cao thấp quỹ đạo Hướng dẫn giải:
Ta có:
2
k 100 100.10 100 10
5 rad/s
m 0,4 4
Tại VTCB:
2
mg g 10
0,04 m cm A
k 25
- Độ biến dạng lị xo vật vị trí cao nhất: A Vậy lực đàn hồi lò xo vật vị trí cao là:
cn
F k A 100 0,06 0,04 2 N - Lực đàn hồi lò xo vật vị trí thấp nhất:
tn
F k A 100 0,04 0,06 10 N
Dạng 6: Sự thay đổi chu kì T, tần số f lắc lò xo thay đổi vật nặng. ♦ Phương pháp:
- Cho lị xo có độ cứng k
• Gắn vật m1 vào lị xo k ta chu kì dao động là:
2
1
1
m m
T T
k k
• Gắn vật m2 vào lị xo k ta chu kì dao động là:
2
2
2
m m
T T
k k
• Gắn vào lị xo k đồng thời hai vật có tổng khối lượng m1m2 chu kì dao động
(32)2 2 2
1 2 2
m m m m m m m m
T T 4 4
k k k k k k
2 2
1
T T T
• Gắn vào lị xo k đồng thời hai vật có tổng khối lượng m1 m2 với m1m2
chu kì dao động là:
2 2 2
1 2 2
m m m m m m m m
T T 4 4
k k k k k k
2 2
1
T T T
Ví dụ 23: Một lị xo có độ cứng k gắn với vật nặng m1 có chu kì dao động T1 = 1,8 s Nếu gắn lị xo với vật nặng m2 chu kì dao động T2 = 2,4 s Tìm chu kì dao động gắn đồng thời hai vật vào lị xo
Hướng dẫn giải:
Áp dụng công thức trên:
2 2 2 2
1 2
T T T T T T 1,8 2,4 3 s
Ví dụ 24: Viên bi có khối lượng m1 gắn vào lị xo k hệ dao động với chu kì 0,6 s, viên bi có khối lượng m2 gắn vào lị xo k hệ dao động với chu kì 0,8 s Nếu gắn hai viên bi m1 m2 với gắn vào lị xo k hệ có chu kì dao động bao nhiêu? Hướng dẫn giải:
Ta có: T T12 T22 0,62 0,82 1 s
Ví dụ 25: Cho lắc lị xo có độ cứng k vật nặng có khối lượng m, dao động điều hịa với chu kì s Muốn tần số dao động lắc 0,5 Hz khối lượng vật phải ?
Hướng dẫn giải:
2
1 k f
f m' f
2 m m' m
f ' m f '
1 k f '
2 m'
Với:
1
f Hz
T
f ' 0,5 Hz Vậy:
2
1
m' m 4m
0,5
Ví dụ 26: Lần lượt treo vật có khối lượng m1 m2 vào lị xo có độ cứng 40 N/m kích thích cho chúng dao động Trong khoảng thời gian định, vật m1 thực 20 dao động vật m2 thực 10 dao động Nếu treo hai vật vào lị
xo chu kì dao động hệ 2 s
(33)Hướng dẫn giải:
- Chu kì dao động vật m1 là:
1
1 1
1
t
T t n T
n
- Chu kì dao động vật m2 là:
2
2 2
2
t
T t n T
n
Theo đề bài, ta suy ra:
2
2 1
1 1 2
1 2
m
T n k n m n
t t n T n T
T n m n m n
2 k
2 2
2
2
1
m n 20
4 m 4m
m n 10
Mặt khác:
2
2 2 2 2 2
1 2
m m 4
T T T T 4 T m m T 5m
k k k k
2
1 2
40
kT
m 0,5 kg
20 20
2
m 4m 4.0,5 kg
CHỦ ĐỀ: CON LẮC ĐƠN ♦ TÓM TẮT KIẾN THỨC: 1 Định nghĩa:
- Con lắc đơn gồm vật nặng có khối lượng m treo vào sợi dây khơng dãn, có chiều dài ℓ, có khối lượng khơng đáng kể
- Khi dao động nhỏ sin rad, lắc đơn dao động điều hịa với phương trình:
0
s s cos t 0cos t Với:
s
;
0
s
- Chu kì:
T g
- Tần số:
1 g f
T
- Tần số góc:
g
- Lực kéo biên độ góc nhỏ:
2
mg
(34)Lực hồi phục lắc phụ thuộc vào khối lượng vật
- Xác định gia tốc rơi tự nhờ lắc đơn:
2
4 g
T
- Chu kì dao động lắc đơn phụ thuộc vào độ cao, vĩ độ địa lí nhiệt độ môi trường
2 Năng lượng lắc đơn: • Động năng:
2 đ
1
W mv
2
• Thế năng:
2 t
1 W mg cos mg
2
(với 100)
• Cơ năng:
2
đ t 0
1 W W W mg cos mg
2
Nhận xét: Cơ lắc đơn bảo toàn bỏ qua ma sát. 3 Phương trình dao động:
• Phương trình li độ cung li độ góc:
0
s s cos t 0cos t với s; s0 0 • Phương trình vận tốc:
0
v s' s sin t sin t • Phương trình gia tốc:
2 2
0
a v' s cos t s
Lưu ý: s0 đóng vai trị giống A; s đóng vai trị giống x 4 Hệ thức độc lập:
2
a s
2
2 2
0
v v
s s
g
5 Cơ năng:
2 2 2 2
0 0
1 1 g
W m s m m mg
2 2
Nhận xét: Cơ lắc đơn phụ thuộc vào khối lượng vật, của lắc lò xo khơng phụ thuộc vào khối lượng vật
- Tại nơi lắc đơn có chiều dài ℓ1 dao động với chu kì T1, lắc đơn có chiều dài ℓ2 dao động với chu kì T2
• Nếu lắc đơn có chiều dài (ℓ1 + ℓ2) có chu kì dao động T
2 2
1
T T T
• Nếu lắc đơn có chiều dài (ℓ1 – ℓ2) với ℓ1 > ℓ2 chu kì dao động là:
2 2
1
T T T
6 Khi lắc đơn dao động với li độ góc α thì: • Cơ năng: W mg cos
• Vận tốc: v 2g cos 0 cos
(35)7 Khi lắc đơn dao động với li độ góc nhỏ (α ≤ 100) thì: • Cơ năng:
2
1 W mg
2
• Vận tốc: v2 g 20 2
• Lực căng dây: T mg 1,5 2 20
• Lực căng dây cực đại: Tmax mg 1 02
• Lực căng dây cực tiểu:
2
T mg
Dạng 1: Tìm đại lượng dao động điều hòa lắc đơn. ♦ Phương pháp:
Để tìm số đại lượng dao động lắc đơn ta viết biểu thức liên quan đến đại lượng biết đại lượng cần tìm, từ suy đại lượng cần tìm
1 Năng lượng lắc đơn:
Chọn mốc vị trí cân O
• Động năng:
2 đ
1
W mv
2
• Thế hấp dẫn vật li độ góc α: Wt mg cos
• Cơ năng: W W đ Wt
Khi li độ góc α0 nhỏ
2
1 W mg
2
2 Tìm vận tốc vật vật qua li độ góc α quỹ đạo: Áp dụng định luật bảo tồn năng, ta tính được:
0
v 2g cos cos
Ví dụ 1: Tại nơi có gia tốc trọng trường 9,8 m/s2, lắc đơn dao động điều hòa với chu kì
2 s
Tính chiều dài, tần số tần số góc dao động lắc đơn Hướng dẫn giải:
Ta có:
2
2
2
.9,8 T g
T 0,2 m 20 cm
g 4
Tần số:
1
f 1,12 Hz
2
T
7
Tần số góc:
2
7 rad/s
T
(36)Ví dụ 2: Một lắc đơn gồm cầu nhỏ khối lượng 100 g treo vào đầu sợi dây dài ℓ = 50 cm, nơi có gia tốc trọng trường g = 10 m/s2 Bỏ qua ma sát Con lắc dao động điều hịa với biên độ góc 0 100 0,1745 rad Chọn gốc vị
trí cân Tính năng, động năng, vận tốc lực căng dây tại: a Vị trí biên
b Vị trí cân Hướng dẫn giải:
Vì lắc đơn dao động với biên độ góc 0 100 nên:
a Vị trí biên:
- Thế năng:
2
tmax
1
W W mg 0,1.10.0,5 0,1745 0,0076 J
2
- Động năng: Wđ 0
- Vận tốc: v 0
- Lực căng dây:
2
0 0,1745
T mg 0,1.10 0,985 N
2
b Vị trí cân bằng: - Thế năng: Wt 0
- Động năng: Wđmax W 0,0076 J
- Vận tốc:
2 đmax
đmax
1 2W 2.0,0076
W mv v 0,39 m/s
2 m 0,1
- Lực căng dây:
2
0
T mg 1 0,1.10 0,1745 1,03 N
Dạng 2: Thay đổi chu kì dao động lắc đơn chiều dài dây treo thay đổi. Ví dụ 3: Ở nơi Trái Đất, lắc đơn có chiều dài ℓ1 dao động với chu kì T1 = s, chiều dài ℓ2 dao động với chu kì T2 = 1,5 s Tính chu kì dao động lắc đơn có chiều dài (ℓ1 + ℓ2) lắc đơn có chiều dài (ℓ1 – ℓ2)
Hướng dẫn giải:
- Chu kì dao động lắc đơn có chiều dài (ℓ1 + ℓ2) là:
2 2 2 2
1 2
T T T T T T 1,5 2,5 s
- Chu kì dao động lắc đơn có chiều dài (ℓ1 – ℓ2) là:
2 2 2 2
1 2
T T T T T T 1,5 1,32 s
Ví dụ 3: Trong khoảng thời gian nơi Trái Đất lắc đơn thực 60 dao động Tăng chiều dài thêm 44 cm khoảng thời gian đó, lắc thực 50 dao động Tính chiều dài chu kì dao động ban đầu lắc Lấy g = 10 = π2 (m/s2).
Hướng dẫn giải: - Chu kì lúc đầu:
1
1 1
1
t
T t n T
n
(37)- Chu kì sau tăng chiều dài:
2
2 2
2
t
T t n T
n
Theo đề bài, ta có: t1 t2
2
1
1 2 1 2
n T n T n n n n
g g
mà: 2 1 44
nên:
2
2 2
1 1 2 2
1
44n 44.50
n n 44 100 cm m
n n 60 50
- Chu kì lúc đầu:
1
1
1
T 2 2 s
g 10
Dạng 2: Viết phương trình dao động điều hòa lắc đơn. ♦ Phương pháp:
- Chọn trục Ox trùng với tiếp tuyến quỹ đạo - Gốc tọa độ vị trí cân
- Chiều dương chiều lệch vật - Gốc thời gian
• Phương trình li độ cung: s s cos t
• Phương trình vận tốc: v s' s sin0 t
Tìm ω.
2 f
T
g
2
0
v s s
Tìm s0.
2
2
0
v s s
với s
Khi chiều dài quỹ đạo cung trịn MN thì:
0
MN s
2
0
s Tìm φ.
Dựa vào cách chọn gốc thời gian để xác định φ
(38)bắt đầu thả vật, chiều dương chiều với chiều chuyển động ban đầu vật Viết phương trình dao động theo li độ góc (tính rad)
Hướng dẫn giải:
Phương trình dao động lắc theo li độ góc có dạng: 0cos t
Ta có:
2
g
2,5 rad/s 0,16
0
0 0,157 rad
20
Chọn t = lúc 0, đó:
0
0
cos cos
Vậy phương trình dao động lắc đơn là: 0,157cos 2,5 t (rad)
Ví dụ 5: Một lắc đơn dao động điều hòa với chu kì s Lấy g = 10 m/s2 2 10. Viết phương trình dao động lắc đơn theo li độ dài Biết thời điểm ban đầu vật có li độ góc α = 0,05 rad vận tốc 15,7 cm/s
Hướng dẫn giải:
Phương trình dao động lắc đơn theo li độ dài có dạng: s s cos t
2
rad/s T
Mặt khác:
2
2
g g 10
1 m
Từ hệ thức độc lập:
2
2
0
v s s
với s 0,05.1 0,05 m 5 cm
2
2
0
15,7
s 25 25 50 s cm
Chọn t = lúc s = (cm) v15,7 cm/s 5 cm/s , đó:
cos
5 2cos 2
4 sin 15,7
sin
2
Vậy phương trình dao động lắc đơn là:
s 2cos t
(cm)
(39)β0 α0
I O’
N A
O 1 Chu kì dao động lắc:
- Chu kì dao động lắc trước vướng đinh:
1
T g với 1 chiều dài lắc trước vướng đinh
- Chu kì dao động lắc sau vướng đinh:
2
T g với 2 chiều dài lắc trước vướng đinh
2 Biên độ góc sau vướng đinh (β0):
Chọn gốc O (VTCB) Áp dụng định luật bảo toàn năng, ta có:
A N
W W mg cos mg cos
2 cos 1 cos
Vì góc lệch nhỏ nên:
2
1 cos Do đó:
2
0
2 1 2 1 2
1
0
2
(biên độ góc sau vướng đinh)
0 2
s (biên độ dài sau vướng đinh)
Dạng 4: Xác định chu kì dao động lắc độ cao h so với mặt đất. ♦ Phương pháp:
- Gia tốc trọng trường mặt đất: GM g
R
(với R bán kính Trái Đất) 1 Khi đưa lắc lên độ cao h so với mặt đất: (chiều dài lắc không đổi).
Gia tốc trọng trường lắc độ cao h là:
2
2 2
h
2
GM
GM R g
g
R h R h h
1 R R
- Chu kì dao động lắc mặt đất: T
g
(1)
- Chu kì dao động lắc độ cao h: h
T g
(40)2
2
1 h
2
T g g h h
1 T T
g
T g R R
h
R
hay
T h T R
Nhận xét: Khi đưa lắc lên độ cao h chu kì dao động lắc tăng lên.
Dạng 4: Xác định chu kì dao động lắc nhiệt độ thay đổi (dây treo làm bằng kim loại).
♦ Phương pháp: Xét độ cao, tức gia tốc trọng trường.
Khi nhiệt độ thay đổi chiều dài lắc làm kim loại thay đổi theo nhiệt độ: 01 t
Với: λ: hệ số nở dài kim loại
1
K
ℓ0 chiều dài lắc nhiệt độ 00C
- Chu kì dao động lắc nhiệt độ t1:
1
T g
(1)
- Chu kì dao động lắc nhiệt độ t2:
2
T g
(2) Lấy (1) chia (2), ta được:
2
1
T T
Với:
1
2
1 t t
1
0
2 2
2
1
1 t T
1 t t
T t
Vì t , t1 1 nên ta áp dụng công thức gần đúng:
n m
1 ' n n '
Do đó:
2
2
1
T 1 T
1 t t t t
T 2 2 T 2
2
1
T T t t
2
Nhận xét: - Khi nhiệt tăng chu kì dao động lắc tăng
- Khi nhiệt độ giảm chu kì dao động lắc giảm
♦ Tổng quát:
(41)Dạng 5: Xác định thời gian lắc dao động nhanh hay chậm ngày đêm bao nhiêu.
♦ Phương pháp: • Nếu
T T
lắc dao động khơng đổi hay đồng hồ chạy
• Nếu
T T
lắc dao động chậm hay đồng hồ chạy chậm
• Nếu
T T
lắc dao động nhanh hay đồng hồ chạy nhanh - Thời gian lắc dao động nhanh hay chậm ngày đêm là:
1
T
.86400 T
(1 ngày = 24 h = 86400 s)
Ví dụ 6: Trên mặt đất nơi có gia tốc trọng trường 10 m/s2 Một lắc đơn dao động với chu kì 0,5 s Tính chiều dài lắc Nếu đem lắc lên độ cao km dao động với chu kì (lấy đến chữ số thập phân) Biết bán kính Trái Đất R = 6400 km) Lấy 2 10.
Hướng dẫn giải:
Tại mặt đất:
2
1 2
T g 0,5 10
T 0,0625 m 6,25 cm
g 4
Khi đưa lắc lên độ cao h = km chu kì dao động lắc:
2
2
1
T h h
1 T T 0,5 0,50039 s
T R R 6400
Ví dụ 7: Một lắc đồng hồ coi lắc đơn Đồng hồ chạy mực ngang mặt nước biển Khi đưa đồng hồ lên đỉnh núi cao 4000 m đồng hồ chạy nhanh hay chậm ngày đêm ? Biết bán kính Trái Đất R = 6400 km Coi nhiệt độ không đổi
Hướng dẫn giải:
- Chu kì dao động lắc độ cao h: h
T g
(1)
- Chu kì dao động lắc mực nước biển: T
g
(2) Từ (1) (2), ta suy ra:
2
2
2
1 h
2
GM
h R
T g R h R h
1 GM
T g R R R
h R
(42)2
1 1
T h T T h T h
1
T R T R T R 6400
nên đồng hồ chạy chậm Thời gian chạy chậm ngày đêm là:
1
T
86400 86400 54 s
T 6400
Ví dụ 8: Quả lắc đồng hồ xem lắc đơn dao động nơi có gai tốc trọng trường 9,8 m/s2 Ở nhiệt độ 150C đồng hồ chạy chu kì dao động của lắc s Nếu nhiệt độ tăng lên đến 250C đồng hồ chạy nhanh hay chậm bao lâu ngày đêm Cho hệ số nở dài treo lắc 4.10 K5 1
.
Hướng dẫn giải:
- Chu kì dao động lắc t2 = 250C là:
2
T g
(1)
- Chu kì dao động lắc t1 = 150C là:
1
T g
(2) Từ (1) (2), ta suy ra:
1
0
2 2
2
1 1
1 t T
1 t t
T t
2
2
1
T 1
1 t t t t
T 2
2
1
T 1
t t 4,5.10 25 15 22,5.10
T 2
nên hồ chạy chậm Thời gian đồng hồ chạy chậm ngày đêm là:
5
T
.86400 22,5.10 86400 19,44 s T
Ví dụ 9: Một đồng hồ lắc chạy nơi mặt biển có g = 9,81 m/s2 có nhiệt độ 200C Thanh lắc làm kim loại có hệ số nở dài
5
1,85.10 K
Khi nhiệt độ nơi tăng lên đến 300C đồng hồ chạy nhanh hay chậm ngày đêm ?
Hướng dẫn giải:
- Chu kì đồng hồ nhiệt độ t2 = 300C:
2
T g
(1)
- Chu kì đồng hồ nhiệt độ t1 = 200C:
1
T g
(43)
1
0
2 2
2
1 1
1 t
T
1 t t t t
T t
5
2
1
T 1
t t 1,85.10 30 20 9,25.10
T 2
nên đồng hồ chạy chậm
Thời gian đồng hồ chạy chậm ngày đêm là:
5
T
.86400 9,25.10 86400 7,992 s T