Công thức tổng hợp về dao động điều hoà

Khi đó hình chiếu của điểm M xuống Trục ngang là Khi đó ta nói hình chiếu của một chất điểm chuyển động tròn đều là một dao động điều hòa.. * Chú ý : Úng dụng của hình chiếu chuyển động

Phần 1: MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA

1 Kiến thức nền tảng:

- Quãng đường mà vật đi được trong 1 chu kỳ dao động là S = 4A

- Quãng đường mà vật đi được trong chu kỳ dao động là S = 2A

- Quãng đường mà vật đi được trong chu kỳ dao động là S = A

- Chiều dài quỹ đạo: 2A

2 Mối liên hệ giữa dao động điều hòa và hình chiếu của chuyển động

tròn đều

Xét một vật chuyển động tròn đều trên đường tròn có bán kính A và tốc độ

góc là ω Tại thời điểm ban đầu chất điểm ở vị trí điểm M0 và tạo với trục

ngang một góc φ Tại thời điểm t chất điểm ở vị trí điểm M và góc tạo với

trục ngang là (ωt + φ) Khi đó hình chiếu của điểm M xuống Trục ngang làωt + φ) Khi đó hình chiếu của điểm M xuống Trục ngang là

Khi đó ta nói hình chiếu của một chất điểm chuyển động tròn đều là một dao động điều hòa

* Chú ý : Úng dụng của hình chiếu chuyển động tròn đều vào dao động điều hòa là một công cụ rất mạnh"

trong các dạng bài toán liên quan đến quãng đường và thời gian trong dao động điều hòa Không chỉ giới hạn trong phạm vi của chương Dao động cơ học này mà ở các chương về Dao dộng điện từ hay Dòng điện xoay chiều chúng ta cũng sẽ gặp lại ứng dụng của nó Và việc hiểu để áp dụng được là một yêu cầu cần thiết và giúp chúng ta giải quyết nhanh các bài toán

3 Các dạng bài toán cơ bản:

Dạng 1: Tìm khoảng thời gian ngắn nhất để vật đi từ vị trí có li độ x1 đến x2

Cách giải : Chúng ta sử dụng ứng dụng của hình chiếu dao động điều hòa vào chuyển động tròn đều Các

bước thực hiện như sau :

- Xác định các vị trí x1 và x2 trên trục quỹ đạo

- Tính các góc φ1, φ2 với thỏa mãn (ωt + φ) Khi đó hình chiếu của điểm M xuống Trục ngang là0 ≤ φ1, φ2 ≤ π) )

- Thời gian ngắn nhất cần tìm là:

Một vật dao động điều hòa với chu kỳ T và biên độ là A Tìm thời gian ngắn nhất mà vật đi từ vị trí:

a x = 0 (ωt + φ) Khi đó hình chiếu của điểm M xuống Trục ngang làvị trí cân bằng) đến vị trí x = A

b x = 0 (ωt + φ) Khi đó hình chiếu của điểm M xuống Trục ngang làvị trí cân bằng) đến vị trí

c đến vị trí x = A

Hướng dẫn giải :

Thực hiện các thao tác như ví dụ 1 chúng ta có:

a

b

c

NHẬN XÉT : 3 Trường hợp trên là những trường hợp phổ biến nhất trong các kỳ thi và hầu như các bài

toán lớn hơn thì biến đổi đều đưa về 3 trường hợp trên Từ đó chúng ta cần ghi nhớ công thức:

Khi vật đi từ vị trí cân bằng đến vị trí x = A hoặc x = -A và ngược lại thì

Khi vật đi từ vị trí cân bằng đến vị trí hoặc và ngược lại thì

Khi vật đi từ vị trí đến vị trí x = A hoặc đến x = -A và ngược lại thì

Dạng 2: Tìm quãng đường vật đi được từ thời điểm t1 đến t2

Cách giải : Xác định vị trí và chiều chuyển động của vật dựa vào việc giải các phương trình lượng giác

sau:

(ωt + φ) Khi đó hình chiếu của điểm M xuống Trục ngang làv1 và v2 chỉ cần xác định dấu) Phân tích: Δt = tt = t2 – t1 = n.T + T/2 + T/4 + t0 (ωt + φ) Khi đó hình chiếu của điểm M xuống Trục ngang làn ЄN; 0 ≤ tN; 0 ≤ t0 < T/4)

- Quãng đường đi được trong thời gian n.T + T/2 + T/4 là S1 = n.4A+ 2A + A

- Ta tính quãng đường vật đi được trong thời gian t0 là bằng cách sau:

• Tính li độ x1 và dấu của vận tốc v1 tại thời điểm

• Tính li độ x2 và dấu của vận tốc v2 tại thời điểm t2

• Nếu trong thời gian t0 mà vật không đổi chiều chuyển động (ωt + φ) Khi đó hình chiếu của điểm M xuống Trục ngang làv1 và v2 cùng dấu) thì quãng đường đi được trong thời gian cuối t0 là S2 = |x2 - x1|

• Nếu trong thời gian t0 mà vật đổi chiều chuyển động (ωt + φ) Khi đó hình chiếu của điểm M xuống Trục ngang làv1 và v2 trái dấu) thì để tính quãng đường đi được trong thời gian cuối t0 ta phải biểu diễn chúng trên trục tọa độ rồi tính S2 Từ đó quãng đường tổng cộng là

S = S1 + S2

CHÚ Ý :

+ Nếu Δt = tt = T/2 thì S2 = 2A

+ Tính S2 bằng cách định vị trí x1, x2 và chiều chuyển động của vật trên trục Ox

+ Trong một số trường hợp có thể giải bài toán bằng cách sử dụng mối liên hệ giữa dao động điều hoà và chuyển động tròn đều sẽ đơn giản hơn

+ Tốc độ trung bình của vật đi từ thời điểm t1 đến t2: với S là quãng đường tính như trên Ví

dụ điển hình :

Ví dụ 1: Một vật dao động điều hòa với phương trình Tính quãng đường vật đi được trong 1,1s đầu tiên

Hướng dẫn giải: Quãng đường vật đi được trong 1,1s đầu tiên tức là tính từ lúc vật bắt đầu chuyển động

Như vậy chúng ta phải thay t = 0 vào phương trình li độ và phương trình vận tốc để kiểm tra xem vật bắt đầu đi từ vị trí nào và theo chiều nào

Ta có :

Tại t = 0 :

Vậy vật bắt đầu đi từ vị trí x = - 1cm theo chiều dương Ta lại có

Quãng đường vật đi được là S = 5.4A+ 2A = 22A = 44cm

Ví dụ 2: Một vật dao động điều hòa với phương trình Tính quãng đường vật đi đượctrong 2,25s đầu tiên

Hướng dẫn giải:

Cách 1 : (ωt + φ) Khi đó hình chiếu của điểm M xuống Trục ngang làSử dụng phân tích) Ta có : ; (ωt + φ) Khi đó hình chiếu của điểm M xuống Trục ngang làs) Quãng đường vật đi được trong 2s đầu tiên là S1 = 4A = 16cm

- Tại thời điểm t = 2s :

- Tại thời điểm t = 2,25s :

Từ đó ta thấy trong 0,25s cuối vật không đổi chiều chuyển động nên quãng đường vật đi được trong 0,25s

Vậy quãng đường vật đi được trong 0,25s là S =

Cách 2: (ωt + φ) Khi đó hình chiếu của điểm M xuống Trục ngang làSử dụng mối liên hệ giữa dao động điều hòa và chuyển động tròn đều)

Tương tự như trên ta phân tích được Δt = tt = 2,25s = T + 0,25(ωt + φ) Khi đó hình chiếu của điểm M xuống Trục ngang làs)

Trong một chu kỳ T vật đi được quãng đường S1 = 4A = 16cm

Xét quãng đường vật đi được trong 0,25s cuối Trong thời gian 0,25s cuối thì góc mà vật quét được trên đường tròn bán kính A = 4cm là Độ dài hình chiếu của vật chính là quãng

Từ đó ta cũng tìm được quãng đường mà vật đi được là S =

Dạng 3: Tính quãng đường lớn nhất và nhỏ nhất vật đi được trong khoảng thời gian 0 < Δt = tt < T/2

Cách giải:

NHẬN XÉT : Vật có vận tốc lớn nhất khi qua VTCB, nhỏ nhất khi qua vị trí biên nên trong cùng một

khoảng thời gian quãng đường đi được càng lớn khi vật ở càng gần VTCB và càng nhỏ khi càng gần vị trí biên Sử dụng mối liên hệ giữa dao động điều hoà và chuyển đường tròn để để giải bài toán Góc quét Δt = tφ =ωΔt = tt

• Quãng đường lớn nhất khi vật đi từ M1

đến M2 đối xứng qua trục sin (ωt + φ) Khi đó hình chiếu của điểm M xuống Trục ngang làhình 1)

• Quãng đường nhỏ nhất khi vật đi từ M1 đến M2 đối xứng qua trục cos (ωt + φ) Khi đó hình chiếu của điểm M xuống Trục ngang làhình 2)

CHÚ Ý : + Trong trường hợp Δt = tt > T/2

Tách:

Trong đó:

Trong thời gian quãng đường luôn là n.2A

Trong thời gian Δt = tt’ thì quãng đường lớn nhất, nhỏ nhất tính như trên

+ Tốc độ trung bình lớn nhất và nhỏ nhất của trong khoảng thời gian Δt = tt:

và với Smax; Smin tính như trên

Ví dụ điển hình :

Ví dụ 1: Một vật dao động điều hòa với biên độ A và chu kỳ là T Tìm quãng đường:

a Nhỏ nhất mà vật đi được trong

b Lớn nhất mà vật đi được trong

c Nhỏ nhất mà vật đi được trong

Hướng dẫn giải :

a Góc mà vật quét được là :

Áp dụng công thức tính Smin ta có:

b Góc mà vật quét được là:

Áp dụng công thức tính Smax ta có:

c Do Quãng đường mà vật đi được trong luôn là 2A Quãng đường nhỏ nhất mà vật đi được trong chính là quãng đường nhỏ nhất mà vật đi được trong Theo câu a ta tìm được quãng đường nhỏ nhất mà vật đi được trong là

Vậy quãng đường nhỏ nhất mà vật đi được trong là

Ví dụ 2 : Một vật dao động điều hòa với biên độ A và chu kỳ T Tìm tốc độ trung bình nhỏ nhất và tốc độ

trung bình lớn nhất của vật trong

Hướng dẫn giải : Góc quét

Dạng 4: Bài toán tìm li độ, vận tốc dao động sau (ωt + φ) Khi đó hình chiếu của điểm M xuống Trục ngang làtrước) thời điểm t một khoảng thời gian Δt = tt Biết tại thời

điểm t vật có li độ x = x0

Cách giải:

* Từ phương trình dao động điều hoà: x = Acos(ωt + φ) Khi đó hình chiếu của điểm M xuống Trục ngang làωt + φ) cho x = x0 Lấy nghiệm ωt + φ = α với

ứng với x đang giảm (ωt + φ) Khi đó hình chiếu của điểm M xuống Trục ngang làvật chuyển động theo chiều âm vì v < 0) hoặc ωt + φ = -α ứng với x đang tăng (ωt + φ) Khi đó hình chiếu của điểm M xuống Trục ngang làvật chuyển động theo chiều dương)

* Li độ và vận tốc dao động sau (ωt + φ) Khi đó hình chiếu của điểm M xuống Trục ngang làtrước) thời điểm đó Δt = tt giây là:

hoặc

Ví dụ điển hình :

Một vật dao động điều hòa với phương trình:

a Biết li độ của vật tại thời điểm t là 4cm Xác định li độ của vật sau đó 0,25s

b Biết li độ của vật tại thời điểm t là - 6cm Xác định li độ của vật sau đó 0,125s

c Biết li độ của vật tại thời điểm t là 5cm Xác định li độ của vật sau đó 0,3125s

Hướng dẫn giải:

4 Bài tập tương tự luyện tập

Bài 1: Một vật dao động điều hòa với phương trình Gọi M và N là hai biên của vậttrong quá trình dao động Gọi I và J tương ứng là trung điểm của OM và ON Hãy tính vận tốc trung bình của vật trên đoạn từ I tới J

Bài 2: Một vật dao động điều hòa với biên độ là A và chu kỳ T Tìm:

a) Quãng đường nhỏ nhất mà vật đi được trong

b) Quãng đường lớn nhất mà vật đi được trong

c) Tốc độ trung bình lớn nhất mà vật đi được trong

Bài 3: Một vật dao động điều hòa với phương trình Quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian từ t1 = 1,5s đến t2 = là bao nhiêu?

Bài 4: Một vật dao động điều hòa với chu kỳ T và biên độ A Hãy tính khoảng thời gian ngắn nhất để vật đi

a Thế năng của con lắc lò xo (Thế năng đàn hồi)

- Là năng lượng sinh ra do sự đàn hồi của lò xo, được tính theo công thức

b Thế năng của con lắc đơn (Thế năng trọng trường)

- Là năng lượng sinh ra do trọng lực của vật năng, được tính theo công thức

Khi góc lệch α nhỏ thì có thể dùng công thức gần đúng

Thay

Vậy với con lắc đơn ta có công thức tính gần đúng thế năng: 3

3.Cơ năng trong dao động điều hòa

,(ωt + φ) Khi đó hình chiếu của điểm M xuống Trục ngang làvới con lắc đơn)

Đặc biệt:

,(ωt + φ) Khi đó hình chiếu của điểm M xuống Trục ngang làvới con lắc lò xo)

, (ωt + φ) Khi đó hình chiếu của điểm M xuống Trục ngang làvới con lắc đơn khi góc lệch lớn)

, (với con lắc đơn khi góc lệch nhỏ)

4 Sự biến thiên của Động năng và Thế năng:

Xét một vật dao động điều hòa với chu kỳ T, có phương trình dao động và phương trình vận tốc lần lượt là:

Khi đó phương trình của Động năng là:

Đặt:

Khi đó Động năng biến thiên điều hòa với tần số góc ω d = 2ω → biến thiên điều hòa với chu kỳ và tần số:

Tương tự ta cũng có phương trình của Thế năng:

Đặt:

Khi đó Thế năng điều hòa biến thiên với Tần số góc, tần số dao động và Chu kỳ dao động lần lượt là:

5 Đồ thị dao động của Động năng và Thế năng trong dao động điều hòa

Ta có:

Vẽ đồ thị ta được:

Nhận xét:

- Từ đồ thị ta thấy rằng cứ sau những khoảng thời gian là Δt = tt = T/4 thì Động năng và Thế năng lại bằng nhau

- Khi Động năng và Thế năng có mối quan hệ với nhau W d = n.W t , để tìm li độ hay tìm vận tốc thì ta thực hiện như sau.

• Tính li độ thì quy về theo Thế năng:

• Tính vận tốc thì quy về theo Động năng:

6 Ví dụ điển hình:

Ví dụ 1: Một con lắc lò xo dao động theo phương ngang với cơ năng W = 0,02J Lò xo có chiều dài tự nhiên là ℓ0 = 20cm và độ cứng của lò xo k = 100 N/m Chiều dài cực đại và cực tiểu của lò xo trong quá trình dao động là bao nhiêu?

* Hướng dẫn giải:

Từ công thức tính cơ năng ta có:

Do lò xo chuyển động theo phương ngang nên Δt = tℓ 0 = 0 → Chiều dài cực đại của lò xo là ℓ max = ℓ 0 + A = 22cm Chiều dài cực tiểu của lò xo là ℓ min = ℓ 0 - A = 18cm

Ví dụ 2: Một con lắc lò xo treo thẳng đứng, vật nặng có m = 100 g, k = 10 N/m, chiều dài tự nhiên của lò xo ℓ0 = 30cm Lấy g = 10 m/s 2

a Tính năng lượng dao động của vật biết rằng khi nó có li độ thì nó có vận tốc là 10 cm/s

b Tìm chiều dài của lò xo khi W d = 3W t

c Tính động năng của vật khi lò xo có chiều dài 38,5cm

d Tính tốc độ v của vật khi W d = W t

* Hướng dẫn giải:

a Khi lò xo treo thẳng đứng ta có:

Mà:

Áp dụng hệ thức liên hệ ta tính được biên độ dao động:

Khi đó năng lượng dao động của vật là:

b Khi W d = 3W t thì ta tính được li độ của vật:

Chiều dài tự nhiên của lò xo là 30cm và tại vị trí cân bằng nó đã giãn 10cm nên tại vị trí cân bằng thì lò xo có chiều dài 40cm

Giả sử chọn chiều dương hướng xuống, khi x = 1,5cm thì lò xo dài 40 + 1,5 = 41,5cm còn khi vật có li độ x = -15cm thì lò xo có chiều dài là 40 - 1,5 = 38,5cm

c Khi lò xo có chiều dài 38,5 cm thì nó có cách vị trí cân bằng 1,5 cm Khi đó |x| = 1,5 cm Áp dụng hệ thức liên hệ

ta tính được tốc độ v của vật:

Khi đó động năng của vật là:

d Khi W d = W t thì ta có:

Ví dụ 3: Một vật dao động điều hòa với chu kỳ T = 0,314s Khi vận tốc của vật có độ lớn 40 cm/s thì động năng

bằng thế năng Tính biên độ dao động của vật

Ví dụ 4: Một con lắc lò dao động điều hòa với biên độ A và tần số góc ω Thế năng của vật gấp ba lần động năng khi

tốc độ của vật có giá trị là bao nhiêu?

* Hướng dẫn giải:

Ta có:

Vậy khi thì thế năng gấp ba lần động năng

Phần 3: CÁC CÔNG THỨC LIÊN QUAN

1 Cấu tạo:

- Con lắc lò xo gồm một là xo có độ cứng k (ωt + φ) Khi đó hình chiếu của điểm M xuống Trục ngang làN/m) có khối lượng không đáng kể, một đầu cố định, đầu còn lại gắng vào vật có khối lượng m

- Điều kiện để con lắc lò xo dao động điều hòa là bỏ qua ma sát, lực cản và

vật dao động trong giới hạn đàn hồi

2 Phương trình dao động của con lắc lò xo

x = Acos (ωt + φ) Khi đó hình chiếu của điểm M xuống Trục ngang làωt + φ) (ωt + φ) Khi đó hình chiếu của điểm M xuống Trục ngang làcm)

Với:

• x: li độ dao động hay độ lệch khỏi vị trí cân bằng (ωt + φ) Khi đó hình chiếu của điểm M xuống Trục ngang làcm)

• A: Biên độ dao động hay li độ cực đại (ωt + φ) Khi đó hình chiếu của điểm M xuống Trục ngang làcm)

• ω : tần số góc của dao động (ωt + φ) Khi đó hình chiếu của điểm M xuống Trục ngang làrad/s)

• φ : pha ban đầu của dao động (ωt + φ) Khi đó hình chiếu của điểm M xuống Trục ngang làt = 0)

• (ωt + φ) Khi đó hình chiếu của điểm M xuống Trục ngang làωt + φ) : pha dao động tại thời điểm t (ωt + φ) Khi đó hình chiếu của điểm M xuống Trục ngang làrad)

♦ Tần số:

-Tần số dao động của con lắc lò xo

3 Năng lượng dao động của con lắc lò xo

♦ Động năng:

♦ Thế năng (ωt + φ) Khi đó hình chiếu của điểm M xuống Trục ngang làthế năng đàn hồi của lò xo):

♦ Cơ năng:

Đơn vị : k (ωt + φ) Khi đó hình chiếu của điểm M xuống Trục ngang làN.m); m (ωt + φ) Khi đó hình chiếu của điểm M xuống Trục ngang làkg); x (ωt + φ) Khi đó hình chiếu của điểm M xuống Trục ngang làm); A (ωt + φ) Khi đó hình chiếu của điểm M xuống Trục ngang làm)

4 Các dạng dao động của con lắc lò xo

4.1 Con lắc lò xo chuyển động trên mặt phẳng ngang

Đặc điểm:

- Tại vị trí cân bằng lò xo không bị biến dạng,

- Lực đàn hồi tác dụng lên lò xo chính là lực hồi phục với

- Chiều dài tại vị trí cân bằng, chiều dài cực đại, cực tiểu của lò xo trong quá trình vật dao động:

• Chiều dài tại VTCB:

• Chiều dài cực đại :

• Chiều dài cực tiểu :

- Lực đàn hồi tác dụng lên lò xo trong quá trình vật dao động (ωt + φ) Khi đó hình chiếu của điểm M xuống Trục ngang làFdh):

• Phương : cùng phương chuyển động của vật

• Chiều : luôn hướng về phía vị trí cân bằng

• Độ lớn : , với là độ biến dạng của lò xo tại vị trí đang xét (ωt + φ) Khi đó hình chiếu của điểm M xuống Trục ngang làlò xo có thể bị dãn hoặc nén) Gọi x là vị trí đang xét

4.3 Con lắc lò xo chuyển động trên mặt phẳng nghiêng góc α so với phương ngang

Công thức tính : gọi k là độ cứng tương đương của hệ lò xo, khi đó k = k1 + k2

Nếu cùng treo một vật có khối lượng m vào lò xo 1, lò xo 2 và hệ lò xo thì ta có:

5.2 Lò xo ghép nối tiếp:

Sơ đồ ghép : Lò xo 1 – lò xo 2 – vật

Công thức tính : Gọi k là độ cứng tương đương của hệ lò xo, khi đó

Nếu cùng treo một vật có khối lượng m vào lò xo 1, lò xo 2 và hệ lò xo thì ta có:

a Lập phương trình dao động, chọn gốc thời gian là khi vật có vận tốc v=20cm/s và gia tốc

b Tính lực đàn hồi cực đại, cực tiểu của lò xo trong quá trình vật dao động

c Tính thế năng và động năng của vật ở thời điểm t = , với T là chu kỳ dao động

Hướng dẫn giải :

a Gọi phương trình dao động của vật là

Khi treo lò xo thẳng đứng, tại vị trí cân bằng ta có: