[r]
(1)Đáp án đề
CâuI Nội dung 2điểm
1
TXĐ D= R y’ =
x+2¿2 ¿ ¿
> ∀x∈D
Hàm số đồng biến khoảng (-∞;-2) (-2;+∞) khơng có cực trị
0.25
x →2+¿
lim y ¿
= +∞, lim y
x →−2− = -∞ ⇒ x = -2 tiệm cận đứng lim y
x →± ∞ = ⇒ y = tiệm cận ngang
0.25 Bảng biến thiên :
x -∞ -2 +∞ y +∞
-∞
0.25
Điểm đặc biệt : (0 ; 0), (1 ; 2/3), (2 ; 1) , (-1 ;-2), tâm đối xứng I(-2 ;2)
Đồ thị :
0.25
2
Gọi M(x0 ; 2x0 x0+2
) điểm (C ) Ttiếp tuyến ∆ (C ) M : y - 2x0
x0+2 =
x0+2¿2 ¿ ¿
(x – x0) ⇔ 4x – (x0 = 2) ❑2 y + 2x0 = (∆)
0.25
d(I, ∆) =
x0+2¿
+2x0 −8−2¿
¿ x0+2¿4
¿ 16+¿
√¿ ¿ ¿
=
x0+2¿4 ¿ 16+¿
√¿ 8|x0+2|
¿
x0+2¿2 ¿ 4¿
√¿ 8|x0+2|
¿
(bđt Cô –Si)
⇒ d(I, ∆) 8|x0+2|
2√2|x02| = √2
0.25
⇒ d(I, ∆) đạt giá trị lớn ⇔ (x0 +2)4 = 16
y’ + +
2
y
O -2
2
(2)⇔
x0=0,(y0=0) ¿
x0=−4,(y0=4) ¿
¿ ¿ ¿
0.25
Vậy có hai tiếp tuyến thỏa mãn đề : y = x y = x + 0.25
Câu II 1điểm
1
Với điều kiện cosx ,phương trình tương đương với : cos2x.cos2x – sin2x = cosx2 + cos3x – 1
⇔ cos2x( cos2x – cosx) = 0
0.25
⇔ 2cos2x – cosx – = 0 0.25
⇔
cosx=1
¿
cosx=−1
¿ ¿ ¿ ¿
0.25
⇔
x=n2π(n∈Z) ¿ x=±2π
3 +k2π(k∈Z) ¿
¿ ¿ ¿
0.25
2
Từ hệ pt suy : y nên
Hpt ⇔
x2+1
y +x+y=4 x+y¿2−2 x
2 +1 y =2 ¿
¿ ¿{
¿ Đặt u = x
2 +1
y v = x + y Ta có hệ phương trình :
7
4
2 u
v v u
⇔
¿ u=4− v v2+2v −15=0
¿{ ¿
⇔
¿u=1 v=3
¿ ¿ ¿ u=9
¿ v=−5
¿ ¿ ¿ ¿ ¿
0.25
Với u = 1, v = ta có hệ phương trình :
0.25 (thỏa mãn đk cosx
(3)¿ x2+1=y
x+y=3 ¿{
¿
⇔
¿ x2+x −2=0
y=3− x ¿{
¿
⇔
¿x=1 y=2
¿ ¿ ¿ x=−2
¿ y=5
¿ ¿ ¿ ¿ ¿ Với u= 9, v = -5 ta có hệ phương trình
¿ x2+1=9y x+y=−5
¿{ ¿
hệ phương trình vơ nghiệm 0.25
Vậy hệ phương trình có nghiệm (1 ; 2) , (-2 ; 5) 0.25
Câu III 1điểm
Ta có
1+tanx 2¿
2
1+sinx 1+cosx=
1 2¿
Do :
I = 12
1+tan x 2¿
2.exdx=1
2∫0
π
2
(1+tan2x 2+2 tan
x 2).e
xdx
¿ ∫
π
2 ¿
0.25
I = 12
(1+tan2x 2)e
xdx+
¿
∫
π
2 ¿
∫
π
2 tanx
2.e
x
dx
0.25
Đặt u = ex ⇒ du = exdx, dv =
2(1+tan x
2)dx ⇒ v = tan x Do :
I = extan x
¿π
2
¿0
-
∫
π
2 tanx
2.e
x
dx + ∫
π
2 tanx
2.e
x
dx
0.25
Vậy I = e ❑π4 0.25
Câu IV 1điểm
N
A
K
I O
M
D
C B
S
0.25 Từ giả thiết suy ACD tam giác
đều cạnh a
⇒ CM AD CM = a√3
2
⇒ SBCDM =
2 (BC + DM).CM = 3a
2
√3
(4)Gọi N = BM AC ⇒ M trọng tâm tam giác ABD SA // (P) ⇒ (SAC) (P) = NK // SA
Dựng KI // SO với I AC ⇒ KI (ABCD)
0.25 ∆SOC đồng dạng với ∆KIC ⇒ KISO=CK
CS (1) ∆SAC đồng dạng với ∆KNC ⇒ CK
CS = CN CA =
CO+ON
CA =
OA+1 3OA OA =
2
(2) Từ (1) (2) ⇒ KI
SO=
3 ⇒ KI =
a√3
3
0.25
VK.BCDM =
3 SBCDM.KI = a
8 (đvtt) 0.25
Câu V 2 điểm
1
< a , < b ⇒ (a – 1)(b – 1) ⇒ ab – a – b + ⇒ a + b – ab ⇒
ab
1 a+
1
b - (1)
0.25
Tương tự ta có : bc1 ≥1 b+
1
c−1 (2) Và
ca ≥ c+
1
a−1 (3) Cộng bất đẳng thức vế theo vế ta có :
ab+ bc +
1 ca≥2(
1 a+
1 b+
1 c) -
0.25
Ta có ( +
abc¿ (a + b + c) = a + b + c + ab+
1 bc +
1 ca ⇒ ( + abc1 ¿ (a + b + c) a + b + c + 2( 1a+1
b+ c¿ -
1 a+
1 b+
1 c (a+b+c)(¿)+1
a+ b+
1 c−3
√¿ 2.3 +
a+ b+
1
c - ( theo bđt Cô –Si) Vậy ( + abc1 ¿ (a + b + c) +
a+ b+
1 c
0.25
Đẳng thức xảy a = b = c = 0.25
Câu VI.a 2điểm
1
AB qua A(1 ;-2) AB CH ⇒ AB : x + y + = B = AB BN nên tọa độ điểm B nghiệm hpt
¿ x+y+1=0 2x+y+5+0
¿{ ¿
⇒
¿ x=−4
y=3 ¿{
¿ ⇒ B(-4 ; 3)
0.25
Gọi A’ điểm đối xứng A qua BN A’ BC
Phương trình đường thẳng d qua A vng góc với BN d : x – 2y – = Gọi I = d BN tọa độ điểm M nghiệm hệ pt :
¿ x −2y −5=0
2x+y+5+0 ¿{
¿
⇒
¿ x=−1 y=−3
¿{ ¿
⇒ I( 1;-3) I trung điểm AA’ nên A’(-3 ;-4)
(5)Phương trình đường thẳng BC : 7x + y + =
C= BC CH nên tọa độ điểm C nghiệm hệ pt :
¿ 7x+y+25=0
x − y+1=0 ¿{
¿
⇒
x=−13 ¿ y=−9
4 ¿ ¿{
¿ ¿ ¿
¿
⇒ C( −13 ;−
9 )
0.25
BC = 15√2
4 , d(A,BC) = √2 ; SABC = 45
24
0.25
2
Mp(P) qua O nên(P) có pt dạng : Ax + By + Cz = với A2 + B2 + C2 0
( P) ( Q) 1.A + 1.B + 1.C = ⇒ C= -A – B (1) 0.25 d(M,(P) = √2 ( A + 2B – C)2 = √2 ( A2 + B2 + C2) (2)
Từ (1) (2) 8AB + 5B2 =
B=0 ¿ A=−5
8B ¿ ¿ ¿ ¿
0.25
B = C = -A (P) : x – z = 0.25
A= -
8B (P) : 5x – 8y + 3z =
0.25
Câu VII.a 1 điểm
N( Ω ) = C ❑177 = 19448 0.25
Gọi A biến cố : « đội tuyển có mặt danh thủ Cường Thủy » Ta có trường hợp sau :
Đội tuyển có Cường khơng có Thủy : số cách chọn nam lại C ❑36 , Số cách chọn nữ khơng có Thủy : C ❑39
Số cách chọn đội tuyển : C ❑36 C ❑39 = 1680
0.25
Đội tuyển có Thủy (khơng có Cường) : Số cách chọn nữ lại C ❑92 Số cách chọn nam (khơng có Cường) : C ❑64
Số cách chọn đội tuyển : C ❑64 C ❑92 = 540
n(A) = 1680 + 540 = 2220
0.25
Xác suất biến cố A : P(A) = n(A)
n(Ω) = 555
4862 ≈0,11
0.25
Câu VI.b 2điểm
AC BH AC: x – y = 0.
A = d AC nên tọa độ điểm A nghiệm hệ phương trình :
¿ x −4y −2=0
x − y=0 ¿{
¿
x = y = -
(6)1 A( − 3;−
2 ) M trung điểm AC C(
3;
3 ) 0.25
BC // d BC: x – 4y + m = 0
C BC m = BC : x – 4y + = 0
0.25 B = BH BC nên tọa độ điểm B nghiệm hệ phương trình :
¿ x=−4
y=1 ¿{
¿
B(-4; 1). 0.25
2
A Ox, C Oz A(a; 0; 0), C(0; b; 0) với ac 0. (P) : x
a+ y 3+
z c=1 M(4; 0;-3) (P)
a−
c=1 4c – 3a = ac
0.25
VOABC =
3SOAC OB =
|ac|
2
VOABC = |ac| =
ac=6 ¿ ac=−6
¿ ¿ ¿ ¿
0.25
Ta có
¿4c −3a=6 ac=6
¿ ¿ ¿ 4c −3a=−6
¿ ac=−6 ¿ ¿ ¿ ¿ ¿
¿a=−4 c=−3
2 ¿ ¿ ¿ a=2
¿ c=3
¿ ¿ ¿ ¿ ¿
0.25
Vậy có hai mp thỏa mãn đề : (P1) : - 4x+3y−23z=1 ; (P2) : x2+3y+3z=1 0.25
Câu VII.b 1điểm
Gọi z = a + bi với a,b R |z|=√aa+b2 1z=a −bi
a2+b2
0.25
|1z|=
√a2
+b2 ; – z = – a – bi
1− a¿
+b2
¿
|1− z|=√¿
0.25
|z|=|1
z|=|1− z|
√a2+b2=
√a2+b2
1−a¿2+b2 ¿ ¿ ¿ ¿ ¿
√a2+b2=√¿
¿ a2+b2=1
a=1 ¿{
¿
(7)
¿a=1 b=√3 ¿ ¿ ¿ a=1
2 ¿ b=−√3
2 ¿ ¿ ¿ ¿ ¿
Vậy z = 2+
√3
2 i z = 2−
√3 i