De on thi Dai hoc nam 2012 ischool Nha Trang Dap ande 2

[r]

Đáp án đề

CâuI Nội dung 2điểm

1

TXĐ D= R y’ =

x+2¿2 ¿ ¿

> ∀x∈D

Hàm số đồng biến khoảng (-∞;-2) (-2;+∞) khơng có cực trị

0.25

x →2+¿

lim y ¿

= +∞, lim y

x →−2− = -∞ ⇒ x = -2 tiệm cận đứng lim y

x →± ∞ = ⇒ y = tiệm cận ngang

0.25 Bảng biến thiên :

x -∞ -2 +∞ y +∞

-∞

0.25

Điểm đặc biệt : (0 ; 0), (1 ; 2/3), (2 ; 1) , (-1 ;-2), tâm đối xứng I(-2 ;2)

Đồ thị :

0.25

2

Gọi M(x0 ; 2x0 x0+2

) điểm (C ) Ttiếp tuyến ∆ (C ) M : y - 2x0

x0+2 =

x0+2¿2 ¿ ¿

(x – x0) ⇔ 4x – (x0 = 2) ❑2 y + 2x0 = (∆)

0.25

d(I, ∆) =

x0+2¿

+2x0 −8−2¿

¿ x0+2¿4

¿ 16+¿

√¿ ¿ ¿

=

x0+2¿4 ¿ 16+¿

√¿ 8|x0+2|

¿

x0+2¿2 ¿ 4¿

√¿ 8|x0+2|

¿

(bđt Cô –Si)

⇒ d(I, ∆) 8|x0+2|

2√2|x02| = √2

0.25

⇒ d(I, ∆) đạt giá trị lớn ⇔ (x0 +2)4 = 16

y’ + +

2

y

O -2

2

⇔

x0=0,(y0=0) ¿

x0=−4,(y0=4) ¿

¿ ¿ ¿

0.25

Vậy có hai tiếp tuyến thỏa mãn đề : y = x y = x + 0.25

Câu II 1điểm

1

Với điều kiện cosx ,phương trình tương đương với : cos2x.cos2x – sin2x = cosx2 + cos3x – 1

⇔ cos2x( cos2x – cosx) = 0

0.25

⇔ 2cos2x – cosx – = 0 0.25

⇔

cosx=1

¿

cosx=−1

¿ ¿ ¿ ¿

0.25

⇔

x=n2π(n∈Z) ¿ x=±2π

3 +k2π(k∈Z) ¿

¿ ¿ ¿

0.25

2

Từ hệ pt suy : y nên

Hpt ⇔

x2+1

y +x+y=4 x+y¿2−2 x

2 +1 y =2 ¿

¿ ¿{

¿ Đặt u = x

2 +1

y v = x + y Ta có hệ phương trình :

 

 

 

7

4

2 u

v v u

⇔

¿ u=4− v v2+2v −15=0

¿{ ¿

⇔

¿u=1 v=3

¿ ¿ ¿ u=9

¿ v=−5

¿ ¿ ¿ ¿ ¿

0.25

Với u = 1, v = ta có hệ phương trình :

0.25 (thỏa mãn đk cosx

¿ x2+1=y

x+y=3 ¿{

¿

⇔

¿ x2+x −2=0

y=3− x ¿{

¿

⇔

¿x=1 y=2

¿ ¿ ¿ x=−2

¿ y=5

¿ ¿ ¿ ¿ ¿ Với u= 9, v = -5 ta có hệ phương trình

¿ x2+1=9y x+y=−5

¿{ ¿

hệ phương trình vơ nghiệm 0.25

Vậy hệ phương trình có nghiệm (1 ; 2) , (-2 ; 5) 0.25

Câu III 1điểm

Ta có

1+tanx 2¿

2

1+sinx 1+cosx=

1 2¿

Do :

I = 12

1+tan x 2¿

2.exdx=1

2∫0

π

2

(1+tan2x 2+2 tan

x 2).e

xdx

¿ ∫

π

2 ¿

0.25

I = 12

(1+tan2x 2)e

xdx+

¿

∫

π

2 ¿

∫

π

2 tanx

2.e

x

dx

0.25

Đặt u = ex ⇒ du = exdx, dv =

2(1+tan x

2)dx ⇒ v = tan x Do :

I = extan x

¿π

2

¿0

 -

∫

π

2 tanx

2.e

x

dx + ∫

π

2 tanx

2.e

x

dx

0.25

Vậy I = e ❑π4 0.25

Câu IV 1điểm

N

A

K

I O

M

D

C B

S

0.25 Từ giả thiết suy ACD tam giác

đều cạnh a

⇒ CM AD CM = a√3

2

⇒ SBCDM =

2 (BC + DM).CM = 3a

2

√3

Gọi N = BM AC ⇒ M trọng tâm tam giác ABD SA // (P) ⇒ (SAC) (P) = NK // SA

Dựng KI // SO với I AC ⇒ KI (ABCD)

0.25 ∆SOC đồng dạng với ∆KIC ⇒ KISO=CK

CS (1) ∆SAC đồng dạng với ∆KNC ⇒ CK

CS = CN CA =

CO+ON

CA =

OA+1 3OA OA =

2

(2) Từ (1) (2) ⇒ KI

SO=

3 ⇒ KI =

a√3

3

0.25

VK.BCDM =

3 SBCDM.KI = a

8 (đvtt) 0.25

Câu V 2 điểm

1

< a , < b ⇒ (a – 1)(b – 1) ⇒ ab – a – b + ⇒ a + b – ab ⇒

ab

1 a+

1

b - (1)

0.25

Tương tự ta có : bc1 ≥1 b+

1

c−1 (2) Và

ca ≥ c+

1

a−1 (3) Cộng bất đẳng thức vế theo vế ta có :

ab+ bc +

1 ca≥2(

1 a+

1 b+

1 c) -

0.25

Ta có ( +

abc¿ (a + b + c) = a + b + c + ab+

1 bc +

1 ca ⇒ ( + abc1 ¿ (a + b + c) a + b + c + 2( 1a+1

b+ c¿ -

1 a+

1 b+

1 c (a+b+c)(¿)+1

a+ b+

1 c−3

√¿ 2.3 +

a+ b+

1

c - ( theo bđt Cô –Si) Vậy ( + abc1 ¿ (a + b + c) +

a+ b+

1 c

0.25

Đẳng thức xảy a = b = c = 0.25

Câu VI.a 2điểm

1

AB qua A(1 ;-2) AB CH ⇒ AB : x + y + = B = AB BN nên tọa độ điểm B nghiệm hpt

¿ x+y+1=0 2x+y+5+0

¿{ ¿

⇒

¿ x=−4

y=3 ¿{

¿ ⇒ B(-4 ; 3)

0.25

Gọi A’ điểm đối xứng A qua BN A’ BC

Phương trình đường thẳng d qua A vng góc với BN d : x – 2y – = Gọi I = d BN tọa độ điểm M nghiệm hệ pt :

¿ x −2y −5=0

2x+y+5+0 ¿{

¿

⇒

¿ x=−1 y=−3

¿{ ¿

⇒ I( 1;-3) I trung điểm AA’ nên A’(-3 ;-4)

Phương trình đường thẳng BC : 7x + y + =

C= BC CH nên tọa độ điểm C nghiệm hệ pt :

¿ 7x+y+25=0

x − y+1=0 ¿{

¿

⇒

x=−13 ¿ y=−9

4 ¿ ¿{

¿ ¿ ¿

¿

⇒ C( −13 ;−

9 )

0.25

BC = 15√2

4 , d(A,BC) = √2 ; SABC = 45

24

0.25

2

Mp(P) qua O nên(P) có pt dạng : Ax + By + Cz = với A2 + B2 + C2 0

( P) ( Q)  1.A + 1.B + 1.C = ⇒ C= -A – B (1) 0.25 d(M,(P) = √2  ( A + 2B – C)2 = √2 ( A2 + B2 + C2) (2)

Từ (1) (2)  8AB + 5B2 = 

B=0 ¿ A=−5

8B ¿ ¿ ¿ ¿

0.25

 B =  C = -A  (P) : x – z = 0.25

 A= -

8B  (P) : 5x – 8y + 3z =

0.25

Câu VII.a 1 điểm

N( Ω ) = C ❑177 = 19448 0.25

Gọi A biến cố : « đội tuyển có mặt danh thủ Cường Thủy » Ta có trường hợp sau :

Đội tuyển có Cường khơng có Thủy : số cách chọn nam lại C ❑36 , Số cách chọn nữ khơng có Thủy : C ❑39

Số cách chọn đội tuyển : C ❑36 C ❑39 = 1680

0.25

 Đội tuyển có Thủy (khơng có Cường) : Số cách chọn nữ lại C ❑92 Số cách chọn nam (khơng có Cường) : C ❑64

Số cách chọn đội tuyển : C ❑64 C ❑92 = 540

 n(A) = 1680 + 540 = 2220

0.25

Xác suất biến cố A : P(A) = n(A)

n(Ω) = 555

4862 ≈0,11

0.25

Câu VI.b 2điểm

AC BH  AC: x – y = 0.

A = d AC nên tọa độ điểm A nghiệm hệ phương trình :

¿ x −4y −2=0

x − y=0 ¿{

¿

 x = y = -

1  A( − 3;−

2 ) M trung điểm AC  C(

3;

3 ) 0.25

BC // d  BC: x – 4y + m = 0

C BC  m =  BC : x – 4y + = 0

0.25 B = BH BC nên tọa độ điểm B nghiệm hệ phương trình :

 ¿ x=−4

y=1 ¿{

¿

 B(-4; 1). 0.25

2

A Ox, C Oz  A(a; 0; 0), C(0; b; 0) với ac 0.  (P) : x

a+ y 3+

z c=1 M(4; 0;-3) (P) 

a−

c=1  4c – 3a = ac

0.25

VOABC =

3SOAC OB =

|ac|

2

VOABC =  |ac| = 

ac=6 ¿ ac=−6

¿ ¿ ¿ ¿

0.25

Ta có

¿4c −3a=6 ac=6

¿ ¿ ¿ 4c −3a=−6

¿ ac=−6 ¿ ¿ ¿ ¿ ¿



¿a=−4 c=−3

2 ¿ ¿ ¿ a=2

¿ c=3

¿ ¿ ¿ ¿ ¿

0.25

Vậy có hai mp thỏa mãn đề : (P1) : - 4x+3y−23z=1 ; (P2) : x2+3y+3z=1 0.25

Câu VII.b 1điểm

Gọi z = a + bi với a,b R  |z|=√aa+b2 1z=a −bi

a2+b2

0.25

|1z|=

√a2

+b2 ; – z = – a – bi

 1− a¿

+b2

¿

|1− z|=√¿

0.25

|z|=|1

z|=|1− z| 

√a2+b2=

√a2+b2

1−a¿2+b2 ¿ ¿ ¿ ¿ ¿

√a2+b2=√¿



¿ a2+b2=1

a=1 ¿{

¿



¿a=1 b=√3 ¿ ¿ ¿ a=1

2 ¿ b=−√3

2 ¿ ¿ ¿ ¿ ¿

Vậy z = 2+

√3

2 i z = 2−

√3 i