SANG KIEN KINH NGHIEM HINH HOC

Hai góc ở vị trí trong cùng phía (hoặc ngoài cùng phía) bằng nhau thì hai đường thẳng đó song song với nhau. 2) – Hai đường thẳng cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì song song[r]

Phương pháp Chứng minh Hình học HọC SINH GIỏI Giáo viên: Đinh Vũ Hưng Trang

Thông minh nghĩa biết cách hỏi hợp lý, nghe chăm chú, trả lời dí dỏm ngừng nói cần thiết A Phương pháp “So sánh hai đoạn thẳng”

Để chứng minh hai đoạn thẳng ta sử dụng phương pháp sau đây: 1)

Trong tam giác cân, hai cạnh bên Trong tam giác đều, cạnh Các cạnh đa giác

2) Trong hai tam giác cạnh tương ứng 3)

Hai đoạn thẳng đoạn thẳng thứ ba

Trung tuyến thuộc cạnh huyền tam giác vng nửa cạnh huyền Đường trung bình ứng với cạnh tam giác nửa cạnh

Đường trung trực đoạn thẳng chia đoạn thẳng thành hai đoạn thẳng Đường trung tuyến tam giác chia cạnh tương ứng thành hai đoạn thẳng

a Trong hình bình hành: – Các cạnh đối diện

– Các đường chéo cắt trung điểm đường b Trong hình thang cân:

Hai cạnh bên Hai đường chéo

c Trong hình chữ nhật: Các cạnh đối diện

Các đường chéo cắt trung điểm đường Hai đường chéo

d Trong hình thoi: Các cạnh bên

Các đường chéo cắt trung điểm đường e Hình vng có tất tính chất

f Trong đường tròn hay hai đường trịn nhau: Các dây cách tâm

Các dây trương cung

g Hai tiếp tuyến phát xuất từ điểm đến đường trịn h Một điểm nằm tia phân giác góc cách hai cạnh góc i Hai đoạn thẳng nghiệm hệ thức

Để chứng minh đoạn thẳng a lớn đoạn thẳng b, ta sử dụng phương pháp sau đây: 1) Hai đoạn thẳng a b hai đoạn thẳng dối diện với hai góc A B tam giác ABC A > B 2) a = m + n b, m, n độ dài ba cạnh tam giác

3) a độ dài cạnh huyền b độ dài cạnh góc vng tam giác vuông

4) a b hai dây cung đường tròn (hay hai đường tròn nhau) mà khoảng cách từ tâm đường tròn đến a nhỏ khoảng cách từ tâm đường tròn đến b

5) Cung nhỏ đường tròn trương dây a lớn cung nhỏ đường tròn trương dây b

7) Nếu a = b đưa đến điều vơ lý

áp dụng: Các Bài tập dành cho “ tất học sinh”

1) Cho hình thang ABCD Đường phân giác góc A cắt cạnh BC điểm E Cm: AB = BE

2) Cho tam giác ABC Trong nửa mặt phẳng bờ AB có chứa điểm C, ta dựng đường vng góc với AB A lấy điểm D cho AD = AB Trên nửa mặt phẳng bờ AC có chứa điểm B ta dựng đường vng góc

với AB A lấy điểm E cho AE = AC Chứng minh CD = BE

3) Trên tia phân giác góc nhọn xOy ta lấy điểm A Vẽ hai đường tròn qua O A Đường tròn thứ cắt Ox M cắt Oy P Đường tròn thứ hai cắt Ox N Oy Q Chứng minh MN = PQ

4) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn Kẻ hai đường cao BI CK Gọi M trung điểm cạnh BC Chứng minh MI = MK

5) Cho tam giác ABC trung tuyến AM thuộc cạnh BC Trên tia đối tia MA lấy điểm D cho MD = MA Chứng minh BD = AC

6) Cho đường trịn dường kính AB Từ A B kẻ hai dây cung song song với nhau, hai dây cung cắt đường tròn C D Chứng minh AC = BD

7) Hai đường trịn (O) (O’) có bán kính nhau, cắt A B Đường tròn (O) cắt đường nối tâm C đường tròn (O’) cắt đường nối tâm D Chứng minh AC = BD

8) Cho đường trịn dường kính AB M điểm đường tròn Đường tròn (A; AM) cắt đường tròn (O) điểm thứ hai N Chứng minh BM = BN

9) Qua điểm P nằm đường tròn (O), ta kẻ hai dây cung APB CPD cho OP tia phân giác góc hợp hai dây cung AB CD Chứng minh AB = CD AD = BC

10) Cho tam giác ABC vuông A Kẻ đường cao AH Trên tia BH lấy điểm D cho HD = HB Kẻ DI vng góc với AC I kẻ CK vng góc với AD K Chứng minh DI = DK B>C

11) Cho tam giác ABC Kẻ đường cao AH BK Tia AH cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC D Kẻ CE vng góc với BD E Chứng minh CE = CK

12) Cho hình thang ABCD Qua giao điểm I hai đường chéo ta kẻ đường thẳng song song với cạnh đáy AB, đường cắt cạnh bên AD E cắt cạnh bên BC F Chứng minh IE = IF

13) Cho hình chữ nhật ABCD Trên tia đối tia AD, lấy điểm F cho AF = AB Trên tia đối tia AB, lấy điểm E cho AE = AD Đường thẳng FC cắt AB N đường thẳng EC cắt AD M Chứng minh MD = BN

14) Cho tam giác ABC Gọi I tâm đường trịn nội tiếp tam giác Tia AI cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác điểm D Chứng minh DC = DB = DI

15) Cho đường trịn dường kính AB Từ đầu mút A ta kẻ dây cung AC từ đầu mút B ta kẻ tiếp tuyến với đường tròn Tia phân giác cắt BC F, cắt đường tròn H, cắt tiếp tuyến B điểm D Chứng minh BF = BD, HF = HD B AC

16) Cho tam giác ABC, AD phân giác góc A Từ D kẻ đường song song với AB, cắt AC điểm E Qua E kẻ đường song song với BC, cắt AB F Chứng minh AE = BF

17) Cho đường trịn (O) điểm C ngồi đường trịn Từ C kẻ hai tiếp tuyến CA, CB đến đường tròn (O) Lấy điểm P đoạn thẳng AB kẻ đường vng góc với OP, đường cắt đoạn thẳng CB điểm D cắt tia CA điểm E Chứng minh PE = PD, AE = BD

B Phương pháp “So sánh hai góc –Số đo góc”

Để chứng minh hai góc ta sử dụng phương pháp sau đây: 1) Tia phân giác góc chia góc thành hai góc

2) – Trong tam giác cân, hai góc đáy

Trong tam giác cân, đường trung tuyến, đường cao kẻ từ đỉnh đồng thời đường phân giác góc đỉnh

Tam giác có tất tính chất

3) Hai đường thẳng song song hợp với cát tuyến: Những góc so le nhau,

Những góc so le ngồi nhau, Những góc đồng vị

4) – Hai góc có cạnh tương ứng song song nhọn tù Hai góc có cạnh tương ứng vng góc nhọn tù 5) – Hai góc góc thứ ba

Hai góc bù với góc thứ ba Hai góc phụ với góc thứ ba

Hai góc n lần với góc thứ ba

6) – Trong hai tam giác góc tương ứng – Trong hai tam giác đồng dạng góc tương ứng

7) Trong đường tròn hay hai đường trịn nhau, góc nội tiếp (hoặc góc tia tiếp tuyến dây cung qua tiếp điểm) chắn cung

8) Nếu hai tiếp tuyến đường trịn cắt điểm tia kẻ từ giao điểm qua tâm đường trịn tia phân giác góc tạo hai tiếp tuyến

9) – Các góc đối củahình bình hành, hình chữ nhật, hình thoi, hình vng Các góc đáy hình thang cân

Các góc đa giác

Để chứng minh góc a lớn góc ò ta sử dụng phương pháp sau đây: 1) Hai góc a ị hai góc đối diện với hai cạnh a b tam giác mà a > b

2) Hai góc a ị có đỉnh chung, có cạnh chung, nằm phía cạnh chung cạnh thứ hai góc ị nằm cạnh chung cạnh thứ hai góc ị

3) Hai góc a ị nội tiếp đường tròn dây cung (hay cung) bị chắn a lớn dây cung (hay cung) bị chắn ò

4) Nếu a = ò dẫn đến điều vơ lý

Để tính số đo góc tốn ta sử dụng phương pháp sau đây: 1) Tổng góc tam giác 1800

2) Góc ngồi tam giác tổng hai góc khơng kề với 3) Mỗi góc tam giác 600

4) Góc lớn tam giác vng có số đo 900 Các góc cịn lại nhỏ 900 5) Hai góc kề Hình bình hành, Hình chữ nhật, Hình thoi, Hình vng có tổng 1800

6) Hai góc phía, ngồi phía hai đường thẳng song song bị cắt cát tuyến có tổng 1800

7) Hai góc đối tứ giác nội tiếp bù

áp dụng: Các Bài tập dành cho “ tất học sinh”

1) Cho tam giác ABC (AB > AC) Trên cạnh AB ta lấy điểm D cho DB = AB – AC Từ A kẻ AH ⊥ CD Chứng minh = D AH CAH 

2) Cho tam giác ABC cân A Kẻ đường cao AH xuống cạnh BC Gọi M trung điểm cạnh AC Chứng minh  A HM = HAM

3) Từ điểm M ngồi đường trịn (O), ta kẻ tiếp tuyến MA với đường tròn tia MA, lấy điểm B cho AB = AM Chứng minh  A MO = ABO

4) Cho tam giác ABC, Kẻ phân giác AD góc Từ chân D phân giác, ta kẻ đường song song với AB, cắt AC E Qua E, ta kẻ đường song song với AD, cắt BC F Qua F, kẻ đường song song với AB cắt AC I Tìm tất góc góc B A = 2.B A

5) Cho tam giác ABC Trên tia đối tia AB, ta lấy điểm B’ cho B’A = BA tia đối tia AC lấy điểm C’ cho C’A = CA Chứng minh  A CB = AC'B'

6) Cho tam giác cân ABC P điểm cạnh đáy BC Gọi M trung điểm BC, N trung điểm PC Qua M kẻ đường vng góc với BC, cắt AB E Qua N kẻ đường vng góc với BC, cắt AC F Chứng minh  E PF= A

7) Từ điểm D cạnh đáy BC tam giác cân ABC, ta kẻ đường vng góc DI xuống cạnh bên AC Chứng minh  1 IDC=BAC2

8) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Gọi H chân đường cao kẻ từ đỉnh A đến cạnh BC Chứng minh  O AC=BAH

9) Trên nửa đường trịn dường kính AB, ta lấy điểm C D điểm đoạn thẳng AB cho đường vng góc kẻ từ D với đoạn AB, cắt đoạn thẳng AC điểm E cắt tiếp tuyến điểm C với nửa đường tròn điểm F Chứng minh  F CE=FEC

10) Cho góc nhọn Trên tia Ox, lấy hai điểm A B Trên tia Oy, lấy hai điểm C, D cho OA = OC, OB = OD Đoạn thẳng AC cắt BD M Chứng minh điểm M nằm tia phân giác góc x Oy xOy 

11) Cho tam giác ABC, > Trên cạnh AC, ta lấy điểm D cho hệ thức sau thỏa mãn: AB 2= AD.AC Chứng minh B C  ABD=ACE

12) Cho đường tròn hai dây cung AB = AC Trên cung AC (không chứa điểm B), ta lấy điểm M Gọi S giao điểm AM BC Chứng minh  A SC=MCA

13) Cho tam giác ABC nội tiếp đường trịn Từ điểm M cung AC, Ta vẽ dây cung MN // AB, dây cung cắt BC I cắt đường tròn N Chứng minh tam giác BIM cân

14) Cho tam giác ABC vuông A Trên tia AB ta lấy điểm D cho AD = AC tia AC, ta lấy điểm E cho AE = AB Kẻ đường cao AH tam giác ABC Đường thẳng AH cắt DE điểm M Hãy so sánh tam giác ABC, ADE tìm góc tương ứng

15) Trên tia phân giác Oy góc, ta lấy điểm A vẽ đường tròn (A; OA) Đường tròn cắt tia Ox điểm B tia Oy điểm C Chứng minh x Oy  O BA=OCA

16) Cho tam giác ABC, Lấy cạnh BC hai điểm M N cho, Chứng minh B < C < A CAM=B BAN=C  C MA=BNA

17) Cho tam giác ABC Gọi N, P, Q trung điểm cạnh AB, BC, CA I, J, K trung điểm đoạn thẳng NP, BP, CN Chứng minh QJI=JQK

18) Cho tam giác ABC, Lấy điểm M cạnh AB Trên tia CA lấy điểm N cho AM = AN (điểm N đoạn thẳng AC) Chứng minh A=2.BBMD=ABC

Ni chẳng răn lỗi cha, Dạy trị không nhiêm lỗi thầy Cha nghiêm, Thầy giỏi mà học không nên Tội

C Phương pháp “ Chứng minh hai đường thẳng vng góc với ”

1) Trong tam giác cân (hay tam giác đều), đường phân giác góc đỉnh đường trung tuyến thuộc cạnh đáy đồng thời đường cao thuộc cạnh đáy

2) Định nghĩa: Tam giác vng tam giác có hai cạnh vng góc với Để chứng minh tam giác tam giác vng, ta chứng minh:

- Tam giác nội tiếp nửa đường trịn - Tam giác có tổng hai góc 900hoặc 1v

- Tam giác có đường trung tuyến ứng với cạnh nửa cạnh - Tam giác có độ dài cạnh thỏa mãn hệ thức Pytago hệ

3) Đường phân giác hai góc kề bù vng góc với 4) – Nếu a // b mà a c b c ⊥ ⊥

– Nếu a // b c // d mà a c b d ⊥ ⊥

5) – Các đường chéo hình thoi (hoặc hình vng) vng góc với – Các cạnh hình chữ nhật (hoặc hình vng) vng góc với

6) – Đường kính qua trung điểm dây cung khơng qua tâm vng góc với dây cung

– Đường kính qua trung điểm cung qua trung điểm dây cung vng góc với dây cung

7) – Tiếp tuyến đường trịn vng góc với bán kính qua tiếp điểm Hai đường trịn cắt đường nối tâm vng góc vơí dây chung

Đường trung trực đoạn thẳng vng góc với đoạn thẳng

áp dụng: Các Bài tập dành cho “ tất học sinh”

1 Cho tam giác ABC vuông góc A BC có điểm D cho CD = CA Trên cạnh AB ta lấy điểm E cho AE = AH (AH đường cao của) Chứng minh: ABC?

a) b) ADEH DEAB ⊥ ⊥

2 Cho góc xOy điểm M nằm góc Từ M kẻ Gọi A trung điểm OM H trung điểm BC Chứng minh MBOy AHBC ⊥ ⊥

3 Cho nửa đường trịng đường kính AB Trong nửa mặt phẳng bờ AB, có chứa nửa đường tròn ta kẻ tia Ax, By vng góc với AB Tại điểm C nửa đường tròn, ta dựng tiếp tuyến với nửa đường tròn Tiếp tuyến cắt tia Ax điểm D cắt tia By điểm E Gọi O trung điểm đoạn thẳng

AB Chứng minh OEOD ⊥

4 Cho ba điểm B, H, C cho BC = 13 cm; BH = cm, HC = cm Từ H ta dựng đường vuông góc với đường thẳng BC đường thẳng vng góc này, chọn điểm A cho AH = cm Chứng minh

ABAC ⊥

5 Cho hình vng ABCD Trên tia BC, ta lấy điểm M nằm điểm B, C tia CD ta lấy điểm N cho DN = BM đường vng góc với MA M đường vng góc với NA N cắt F Chứng minh: CFCA ⊥

7 Tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O, H chân đường cao kẻ từ A Tia phân giác góc OAH cắt đường trịn điểm M Chứng minh OMBC ⊥

8 Cho hình vng ABCD Trên cạnh AD lấy điểm E cạnh DC lấy điểm F cho AE = DF Gọi M N trung điểm đoạn thẳng EF BF Chứng minh AFMN ⊥

9 Cho hình bình hành ABCD có AB = AC Đường thẳng qua B song song với AC, cắt đường thẳng chứa cạnh DC điểm E Chứng minh AEBC ⊥

10 Cho mớt hình vuơng ABCD Trên tia BC ta lấy điểm M nằm ngồi đoạn thẳng BC tia CD ta lấy điểm N cho DN = BM Kẻ từ M đường thẳng song song với AN kẻ từ N đường thẳng song song với AM Hai đường thẳng cắt điểm F Chứng minh AMAN AFMN ⊥ ⊥ 11 Từ điểm P ngồi đường trịn tâm O, ta kẻ tiếp tuyến PA cát tuyến PCD đến đường trịn

Phân giác góc CAD cắt đường tròn điểm E Chứng minh OECD ⊥

12 Cho bốn điểm A, B, C, D theo thứ tự cho AB = BC = CD Gọi M đỉnh tam giác đáy BC P giao điểm đường thẳng AM với đường vng góc với đường thẳng AD kẻ từ điểm D Chứng minh rằng: a) AM = MP b) BM // CP c) d) MCAM PCMD ⊥ ⊥

13 Cho hai đường trịn tam O O’ ngồi Kẻ tiếp tuyến chung tiếp tuyến chung ngoài, chúng cắt M N Chứng minh: a) b) OMO'M ONO'N ⊥ ⊥

14 Cho , kẻ đường cao BH, CH’ Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác Chứng minh: ABC?OAHH' ⊥ 15 Cho hình vng ABCD Trên cạnh AD lấy điểm M cạnh DC lấy điểm N cho AM = DN

Chứng minh: a) BM = AN b) BMAN BNCM⊥ ⊥ c) Hai đường CM AN cắt I Chứng minh BIMN ⊥

16 Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn Các đường thẳng AB CD cắt điểm N Các đường thẳng AD CB cắt điểm M Chứng minh đường phân giác góc AMB AND vng góc với

17 Cho tam giác cân ABC nội tiếp đường tròn D điểm cung nhỏ BC Nối CD DB Trên tia DB ta lấy đoạn DE = CD Nối CE cắt AD I cắt đường tròn điểm F Gọi M trung điểm AC Chứng minh

a) AD phân giác góc BDC b) c) ADCE MIFD ⊥ ⊥

Sự tiến từ ngữ đẹp, song động tiến thay đổi thay đổi có kẻ thù

D Phương pháp “ Chứng minh đường thẳng song song” 1) Khi hai đường thẳng tạo với cát tuyến:

Hai góc vị trí so le (hoặc so le ngồi) nhau, Hai góc vị trí đồng vị nhau,

Hai góc vị trí phía (hoặc ngồi phía) hai đường thẳng song song với

2) – Hai đường thẳng song song với đường thẳng thứ ba song song với Hai đường thẳng vng góc với đường thẳng thứ ba song song với

Đường trung bình ứng với cạnh tam giác song song với cạnh Đường trung bình hình thang song song với hai cạnh đáy

4) Nếu đường thẳng chia hai cạnh tam giác thành đoạn thẳng tương ứng tỷ lệ song song với cạnh cịn lại

áp dụng: Các Bài tập dành cho “ tất học sinh”

1 Cho góc xOy Trên tia Ox ta lấy hai điểm A B Trên tia Oy ta lấy hai điểm C D cho OC = OA OD = OB Chứng minh AC // BD

2 Hai đường tròn tâm O O’ cắt hai điểm A B Qua A kẻ cát tuyến cắt đường tròn tâm O M đường tròn tâm O’ M’ Qua B ta kẻ cát tuyến cắt đường tròn tâm O điểm M đường tròn tâm O’ N’ Chứng minh MN // M’N’

3 Cho đường tròn tâm O Lấy ba điểm A, B, C Vẽ đường trịn đường kính BC, đường cắt đường thẳng AB điểm I Gọi M trung điểm đoạn thẳng AB Chứng minh OM // CI

4 Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Từ H ta kẻ Gọi M trung điểm cạnh BC, N trung điểm cạnh AB Đường thẳng MN cắt đường thẳng AH điểm D Chứng minh EF // DB HFAB HEAC⊥ ⊥

5 Cho tứ giác lồi ABCD Gọi M, N, P, Q trung điểm cạnh AB, BC, CD, DA Chứng minh MN // QP

6 Cho hai hình bình hành ABCD ABEF có chung cạnh AB Chứng minh DE // CF

7 Cho , M điểm cạnh AB, N trung điểm cạnh AC Trên tia MN ta lấy điểm cho NP = MN Chứng minh: MC // AP CP // AB ABC?

8 Cho tam giác ABC trung tuyến AM thuộc cạnh BC Tia phân giác góc AMB cắt cạnh AB điểm P tia phân giác góc AMC cắt cạnh AC điểm Q Chứng minh PQ // BC

9 Cho ba tia Ox, Oy, Oz xuất phát từ điểm O Từ điểm B B’ nằm tia Oy, ta kẻ đường, và, Chứng minh AC // A’C’ BAOx B'A'Ox BCOz B'C'Oz⊥ ⊥ ⊥ ⊥

10 Chứng minh dây không nối đấu mút cung với đầu mút cung khác cung ấy, song song với

11 Cho tam giác ABC Kẻ đường cao AH Tia AH cắt đường tròn điểm H’ Đường kính qua A cắt đường trịn điểm thứ hai A’ Chứng minh A’H’ // BC

12 Cho hai đường tròn đồng tâm Từ điểm I nằm đường trịn lớn nằm ngồi đường trịn nhỏ, ta kẻ hai tiếp tuyến đến đường tròn nhỏ Tiếp tuyến thứ cắt đường tròn lớn A C Tiếp tuyến thứ hai cắt đường tròn lớn B D Chứng minh AB // CD

13 Cho góc xOy Kẻ tia phân giác Ot lấy điểm I Đường trịn tâm I, bán kính OI cắt Ox điểm A, cắt Ot điểm B cắt Oy điểm C Đường thẳng AB cắt cạnh Oy E Đường thẳng CB cắt cạnh Ox điểm D Chứng minh: a) CE = AD b) AC // DE

14 Cho nửa đường trịn tâm O, đường kính AB Kẻ tiếp tuyến Ax, By tiếp tuyến điểm M nửa đường tròn Tiếp tuyến cắt Ax C By D Gọi N giao điểm AD BC, P giao điểm OC AM, Q giao điểm OD BM

a) Chứng minh MN // AC b) Chứng minh PQ //AB

15 Cho hình bình hành ABCD Đường phân giác góc A cắt đường chéo BD điểm M đường phân giác góc D cắt đường chéo AC điểm N Chứng minh MN // AD

16 Cho phần tư đường tròn tâm O, giới hạn hai bán kính vng góc OA, OB Trên cung AB ta lấy hai điểm M N cho AM = BN Các đường thẳng AM BN giao điểm C Chứng minh: a) MN // AB b) OCMN ⊥

18 Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm O, kéo dài cạnh AB CD cho gặp điểm M Chứng minh đường phân giác góc M song song với phân giác góc họp thành hai đường chéo Khơng có kho báu quý học thức Hãy tích lũy lấy nó, lúc cịn đủ sức

E Phương pháp “ Chứng minh ba điểm thẳng hàng”

1) Điểm M gọi điểm nằm hai điểm A, B ta có AM + MB = AB

2) Nếu hai góc vị trí đối đỉnh mà có hai cạnh nằm đường thẳng hai cạnh cịn lại nằm đường thẳng

3) Hai góc kề bù có cạnh chung hai cạnh cịn lại nằm đường thẳng Hai góc kề bù có tổng số đo 1800(hoặc 2v)

4) Để chứng minh ba điểm A, B, M thẳng hàng, ta chứng minh:

MA, MB song song với đường thẳng

MA, MB vng góc với đường thẳng (hoặc hai đường thẳng song song) Đường thẳng AB qua M

 0AMB1802v==

MA, MB hai tia phân giác hai góc đối đỉnh

5) Các điểm A, M, B thuộc tập hợp điểm đường thẳng (như đướng caon, đường trung trực, đường trung tuyến, đường phân giác, đường trung bình…)

áp dụng: Các Bài tập dành cho “ tất học sinh”

1 Cho điểm M nằm hai điểm A, B điểm O không nằm đường thẳng AB Gọi A’, B’ M’ điểm đối xứng điểm A, B, M qua điểm O chứng minh A’, B’, M’ thẳng hàng Cho tam giác ABC Gọi H trực tâm tam giác A điểm đối xứng đỉnh A qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác I trung điểm cạnh BC Chứng minh điểm đối xứng trực tâm H qua cạnh BC nằm đường trịn ngoại tiếp tam giác chứng minh ba điểm A’, I, H thẳng hàng

3 Chứng minh đường thẳng Simson tam giác: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn Từ điểm M đường trịn ta kẻ đường vng góc MI, MJ, MK xuống đường thẳng AB, AC, BC Chứng minh ba điểm I, J, K thẳng hàng

4 Chứng minh đường thẳng Euler tam giác: Cho tam giác ABC Gọi H trực tâm, G trọng tâm, O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác, M N trung điểm cạnh BC, AC Chứng minh: a) b)c) Ba điểm H, G, O thẳng hàng ABH? MNO? AHG? MOG?

5 Trong nửa đường trịn đường kính AB, ta lấy dây BC Từ điểm H nằm hai điểm A, B ta kẻ đường vng góc với AB, đường cắt đường thẳng BC điểm E đường trịn đường kính BE cắt nửa đường trịn đường kính AB điểm D Chứng minh ba điểm A, D, E thẳng hàng

6 Cho tam giác ABC vng góc A lấy AB, AC làm cạnh huyền, ta vẽ tam giác vuông cân ABD, ACE phía ngồi tam giác ABC Chứng minh ba điểm D, A, E thẳng hàng

7 Cho hình thang cân ABCD (AD = BC), đường chéo AC BD cắt điểm I; E trung điểm CD; F trung điểm AB Chứng minh ba điểm E, I, F thẳng hàng

8 Cho đường trịn tâm O, đường kính AB Lấy điểm C nằm hai điểm A, B Vẽ đường trịn đường kính BC, tâm O’ Đường trung trực đoạn thẳng AC cắt đường tròn O hai điểm

S

D, E Đường thẳng DB cắt đường tròn O’ điểm F Chứng minh ba điểm E, C, F thẳng hàng

9 Cho Kẻ đường cao BP CQ cắt điểm H gọi I, J, K trung điểm đoạn thẳng AH, PQ, BC Chứng minh ba điểm I, J, K thẳng hàng ABC?

10 Cho hai đường tròn tâm O O’ cắt hai điểm A, B Đường thẳng OA cắt đường tròn O điểm C đường tròn O’ điểm F Đường thẳng O’A cắt đường tròn O điểm E đường tròn O’ điểm D Hai đường thẳng CE DF cắt điểm H Chứng minh:

a) Ba điểm C, B, D thẳng hàng b) Ba điểm H, A, B thẳng hàng

11 Cho tam giác ABC vng góc A Gọi O tâm đường trịn qua A tiếp xúc với đường thẳng BC điểm B; O’ tâm đường tròn qua A tiếp xúc với đường thẳng BC điểm C Đường thẳng CA cắt đường tròn O điểm E đường thẳng BA cắt đường tròn O’ điểm D Gọi M trung điểm cạnh BC Chứng minh:

a) Ba điểm O, A, O’ thẳng hàng b) Ba điểm B, O, E thẳng hàng c) vng OMO'?

12 Cho góc xOy Trên cạnh Ox ta đặt đoạn AB Trên cạnh Oy ta đặt đoạn CD = AB Gọi M N trung điểm đoạn thẳng AC BD Dựng hình bình hành BAMP DCMP Chứng minh: a) Ba điểm P, N, O thẳng hàng b) MN song song với phân giác góc x Oy 

13 Cho hình chữ nhật ABCD Nối C với điểm E đoạn thẳng DO lấy điểm F tia CE cho EF = CE Từ F kẻ FG vng góc với đường thẳng AB Chứng minh: FHDA ⊥

a) AF // DB b) E, H, G thẳng hàng

14 Cho hình vng ABCD Lấy điểm E hình vuông cho tam giác CED tam giác Lấy phía ngồi hình vng hai điểm F G cho tam giác AGD cân G Chứng minh: FCB?

a) A, E, F thẳng hàng b) G, F tâm O hình vng thẳng hàng

15 Cho hình thang ABCD Các đường thẳng AD BD giao điểm E Giao điểm hai đường chéo AC BD G Gọi F H trung điểm hai cạnh đáy DC AB Chứng minh:

a) Các điểm F, G, H thẳng hàng b) Các điểm E, F, G, H thẳng hàng

Người hỏi điều chưa biết nhà Bác học Người xấu hổ khoông dám hỏi kẻ thừ F Phương pháp “ Chứng minh chứng minh đường đồng quy ”

1) – Đưa phương pháp chứng minh điểm thẳng hàng

– Chứng minh đường thẳng thứ ba qua giao điểm hai đường thẳng 2) Trong tam giác:

Ba đường trung tuyến đồng quy điểm (trọng tâm)

Ba đường cao đồng quy điểm (trực tâm)

Ba đường phân giác đồng quy điểm (tâm đường tròn nội tiếp tam giác) Ba đường trung trực đồng quy điểm (tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác)

3) “Nếu nhiều đường thẳng định hai đường thẳng song song đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ chúng đồng quy”

4) Định lý Ceva: “Trên cạnh BC, CA, AB tam giác ABC ta lấy điểm tương ứng P, Q, R Điều kiện cần đủ để ba đường thẳng AP, BQ, CR đồng quy ” PBQCRA1PCQARA ++=-

5) Chú ý: Việc chứng minh đường thẳng qua điểm cố định thường đưa việc chứng minh đường thẳng đồng quy chứng minh điểm thẳng hàng

áp dụng: Các Bài tập dành cho “ tất học sinh”

1 Cho hình bình hành ABCD Trên cạnh AB ta lấy điểm M cạnh CD ta lấy điểm N cho DN = BM Chứng minh ba đường thẳng MN, DB, AC đồng quy điểm

2 Cho hình thang ABCD, M N trung điểm hai đáy AB CD Chứng minh đường thẳng MN, AD BC đồng quy điểm

3 Cho tam giác ABC vng góc A; AH đường cao AM đường trung tuyến thuộc cạnh huyền Từ H ta kẻ; Gọi Q trung điểm cạnh AC Qua C kẻ Cx // DE Chứng minh: a) b) đường thẳng AH, QM Cx đồng quy điểm HDAB HEAC AMDE ⊥ ⊥ ⊥

4 Cho hình bình hành ABCD Trên tia AD ta lấy điểm E cho DE = AD Trên tia AB ta lấy điểm F cho BF = AB Chứng minh:

a) Ba điểm E, C, F thẳng hàng b) Ba đường thẳng AC, EB, FD đồng quy

5 Cho tam giác ABC Các tia phân giác góc B C giao điểm E Các tia phân giác góc B C giao điểm F Chứng minh đường thẳng AB, EF, AC đồng quy Cho tam giác ABC Đường tròn đường kính AC đường trịn đường kính AB cắt điểm D (khác

điểm A).Nửa đường trịn đường kính BC cắt cạnh AB điểm E cắt cạnh AC điểm F Chứng minh: a) Ba điểm B, D, C thẳng hàng b) Ba đường thẳng AD, BE, CF đồng quy

7 Cho hình thang ABCD Từ đỉnh D đáy nhỏ ta kẻ đường thẳng song song với cạnh bên BC, đường cắt đường chéo AC điểm M Qua đỉnh C ta kẻ đường song song với cạnh bên AD, đường cắt cạnh đáy AB điểm F Qua F ta lại kẻ đường song song với đường chéo AC, đường cắt cạnh bên BC điểm P Chứng minh:

a) MP // AB b) Ba đường thẳng MP, CF, DB đồng quy

Điều mà anh biết khí giới anh, điều mà anh khơng biết lại khí giới người khác G Phương pháp “ Xác định hình dạng hình ”

1 Xác định tam giác cân: Một tam giác cân thì:

Hai góc đáy Hai cạnh bên

Đường trung tuyến thuộc cạnh đáy đồng thời đường cao, đường phân giác góc đỉnh Muốn chứng minh tam giác cân, ta cần rõ thỏa mãn ba điều kiện

2 Xác định tam giác đều: Tam giác tam giác:

Có ba cạnh Có ba góc

Là tam giác cân có góc 600 3 Xác định tam giác vuông:

Định nghĩa: Tam giác vng tam giác có hai cạnh vng góc với Để chứng minh tam giác tam giác vng, ta chứng minh:

Tam giác nội tiếp nửa đường trịn

Tam giác có tổng hai góc 900hoặc 1v

Tam giác có đường trung tuyến ứng với cạnh nửa cạnh Tam giác có độ dài cạnh thỏa mãn hệ thức Pytago hệ 4 Xác định hình thang:

Hình thang tứ giác lồi có hai cạnh đối song song Hình thang cân hình thang có:



Hai góc đáy



Hai cạnh bên



Hai đường chéo

5 Xác định hình bình hành, hình thoi, hình vng, hình chữ nhật: a) Một tứ giác hình bình hành có tính chất:

Có cặp cạnh đối diện song song

Có cặp cạnh đối diện song song

Có hai đường chéo cắt trung điểm đường Có hai cặp góc đối

Có hai cặp cạnh đối diện

b) Một tứ giác hình chữ nhật có tính chất Có bốn góc vng (hoặc ba góc vng)

Là hình bình hành có hai đường chéo Là hình bình hành có hai góc

c) Một tứ giác hình thoi có tính chất: Có bốn cạnh

Là hình bình hành có hai cạnh liên tiếp

Là hình bình hành có hai đường chéo vng góc với

Là hình bình hành có đường chéo phân giác góc đỉnh d) Một tứ giác hình vng có tính chất:

Là hình chữ nhật có hai đường chéo Là hình thoi có hai đường chéo

Là hình chữ nhật có hai đường chéo vng góc với Là hình thoi có góc vng

áp dụng: Các Bài tập dành cho “ tất học sinh”

1 Cho đường tròn tâm O ba điểm A, B, C đường tròn cho AB = BC Từ điểm B kẻ Từ điểm C kẻ BMOA CNOB⊥ ⊥

a) Chứng minh: cân b) Gọi I điểm cung AB Chứng minh OMN?OIMN ⊥

2 Cho tam giác ABC nội tiếp đường trịn tâm O Gọi I điểm cung BAC Nối AI từ điểm C ta kẻ đường vng góc với đường thẳng AI, đường cắt tia BA điểm D chứng minh cân A ACD?

3 Cho tam giác ABC Trên cạnh AB, BC, CA ta lấy điểm P, Q, R cho AP = BQ = CR Chứng minh PQR?

4 Trên đường thẳng có ba điểm A, B, C theo thứ tự Trên nửa mặt phẳng bờ đường thẳng cho, ta vẽ tam giác DAB EBC Gọi M, N trung điểm DC AE Chứng minh BMN?

6 Cho tam giác ABC (AB > AC) Gọi H chân đường cao kẻ từ đỉnh A; M, N, P trung điểm cạnh AB, AC, BC

a) Chứng minh tứ giác MNHP hình thang cân b) Có nhận xét ABC tam giác cân?

7 Cho tam giác ABC Tia phân giác góc B cắt cạnh AC D Qua D kẻ đường thẳng song song với cạnh BC, đường cắt cạnh AB E Kẻ đường thẳng, đường cắt cạnh BC F a) Chứng minh cân b) Chứng minh tứ giác BEDF hình thoi EHBD BED?⊥

c) Tam giác ABC phải thỏa mãn điều kiện để tứ giác BEDF hình vng?

8 Cho đường trịn tâm O dây AB Gọi M điểm cung lớn AB N điểm cung nhỏ AB Tia phân giác góc cắt đường trịn điểm P tia phân giác góc cắt đường tròn điểm Q Gọi I giao điểm AP BQ Chứng minh: M AB MBA  

a) Tứ giác ABPQ hình thang cân b) Từ giác PIQM hình bình hành c) Các đường thẳng AP, BQ, MN đồng quy

9 Cho góc nhọn xOy Trên cạnh Ox ta lấy hai điểm A B (A O B) cạnh Oy ta lấy hai điểm C D (C O D) Gọi M, N, P, Q trung điểm đoạn thẳng AC, AD, BD, BC a) Chứng minh tứ giác MNPQ hình bình hành

b) Với điều kiện giả thiết thì:

?MNPQ hình chữ nhật ?MNPQ hình thoi ?MNPQ hình vng

10 Cho hai đường trịn có bán kính nhau, tâm O O’, cắt hai điểm A, B Qua A kẻ cát tuyến cắt đường tròn O điểm C cắt đường tròn O’ điểm D

a) Chứng minh cân BCD?

b) Xét hình dạng tứ giác AOBO’ trường hợp điểm O’ nằm đường tròn O BCD?

11 Cho tam giác ABC Đường phân giác góc đường phân giác góc cắt đường trung bình ứng với cạnh BC điểm M vàP Các đường phân giác ngồi góc cắt đường trung bình điểm N Q Chứng minh: a) B C B CAPCP     ⊥

b) Các tứ giác APCQ AMBN hình chữ nhật c) Tứ giác APIM nội tiếp

12 Cho ba điểm A, B, C theo thứ tự đường thẳng d Trong nửa mặt phẳng bờ đường thẳng d, ta dựn g nửa đường tròn đường kính AB đường kính BC Kẻ tiếp tuyến chung ngồi hai nửa đường trịn có tiếp điểm M đường trịn đường kính AB N đường trịn đường kính BC Tiếp tuyến chung điểm B hai nửa đường tròn cắt MN điểm I Trên tia BI, lấy điểm D cho ID = BI Chứng minh:

a) Tứ giác MBND hình chữ nhật

b) Các điểm A, M, D thẳng hàng điểm C, N, D thẳng hàng c) Điểm D nằm đường tròn đường kính AC

d) Xác định vị trí điểm B đoạn AC để tứ giác MBND hình vng

13 Cho hình bình hành ABCD Giao điểm hai đường chéo AC BD điểm O Một đường tròn tâm O cắt cạnh AB E, cạnh BC F, cạnh CD G cạnh DA H

a) Chứng minh: ?Các điểm F, O, H thẳng hàng ?Các điểm E, O, G thẳng hàng b) Chứng minh O trung điểm FH, EG c) Tứ giác EFGH hình gì?

14 Cho đường trịn tâm O bán kính DA Ta vẽ ba góc tâm,  0AOB60= 0BOC90=  0COD20=

a) Chứng minh tứ giác ABCD hình thang cân

b) Gọi M, N, P, Q trung điểm đoạn thẳng AB, BC, CD, AD Xác định hình tính tứ giác MNPQ

c) Chứng minh đường chéo MNPQ qua điểm I, giao điểm BD AC qua trung điểm đoạn IO

Hãy học suy nghĩ trái tim học cảm xúc lý trí

H Phương pháp “ Chứng minh nhiều điểm nằm đường tròn Chứng minh tứ giác nội tiếp”

1) Định nghĩa: Tập hợp tất điểm cách điểm O cho trước khoảng cách không đổi R > gọi đường tròn tâm O bán kính R Ký hiệu (O;R)

Muốn chứng minh nhiều điểm nằm đường tròn, ta chứng minh chúng cách điểm cho trước gọi tâm

Muốn chứng minh nhiều điểm nằm đường tròn, ta chứng minh chúng nằm đường thẳng mà bờ đường thẳng qua hai điểm cho điểm cịn lại nhìn hai điểm dước góc

2) – Một tứ giác có tổng hai góc đối diện 2v (hay 1800) tứ giác nội tiếp dược đường tròn Sử dụng cung chứa góc

Trong đa giác hình thang cân, hình chữ nhật, hình vng, đa giác nội tiếp đường tròn

áp dụng: Các Bài tập dành cho “ tất học sinh”

1 Cho tam giác ABC, đường cao AH Từ trung điểm M cạnh BC, ta kẻ Chứng minh năm điểm A, D, H, M, E nằm đường tròn MDAB MEAC⊥ ⊥

2 Cho tam giác ABC, I tâm đường tròn nội tiếp tâm giác; D giao điểm tia AI với đường tròn ngoại tiếp tam giác Gọi J giao điểm đường phân giác góc B C a) Chứng minh ba điểm B, I, C nằm đường tròn tâm điểm D

b) Chứng minh ba điểm A, I, J thẳng hàng bốn điểm B, I, C, J nằm đường tròn

3 Cho đường trịn tâm O hai bán kính vng góc OA, OB Trên cung nhỏ AB ta lấy điểm M cung lớn BA, lấy điểm N cho BN = AM Các tia AM NB cắt điểm C

a) Chứng minh tứ giác BOAC NOMC nối tiếp b) Chứng minh NBAM ⊥

4 Cho tứ giác lồi ABCD Các tia đối tia AB tia DC cắt điểm P Biết rằng, đoạn thẳng PA, PB, PC, PD thoả mãn hệ thức: PA PB = PC PD Chứng minh tứ giác ABCD nội tiếp

5 Cho tam giác ABC Gọi A’, B’, C’ chân đường cao hạ xuống cạnh BC, CA, AB M, N, L trung điểm cạnh Chứng minh sáu điểm A’, B’, C’, M, N, L nằm đường tròn

6 Cho tam giác ABC, đường cao AA’, BB’, CC’ giao trực tâm H; M, N, L trung điểm cạnh BC, CA, AB P, Q, R trung điểm đoạn thẳng AH, BH, CH Chứng minh năm

điểm L, Q, R, N, B’ nằm đường tròn

7 Cho tam giác ABC vuông A (AB < AC) Kẻ đường cao AH Trên đoạn HC, lấy điểm D cho HD = HB Đường trịn tâm H, bán kính AH cắt tia AD điểm E Chứng minh:

a) Tứ giác AHEC nội tiếp b) CEAC ⊥

8 Cho tam giác ABC có Chứng minh đỉnh B, C, trực tâm H tam giác điểm I, tâm đường tròn nội tiếp tam giác nằm đường tròn 0A60=

9 Cho M điểm nằm nửa đường tròn tâm O, đường kính AB Kẻ Từ H kẻ Chứng minh: a) Tứ giác MCHD hình chữ nhật MHAB HCMA HDMB⊥ ⊥ ⊥

b) Tứ giác ABCD nội tiếp c) MOCD ⊥

10 Cho tam giác vuông ABC, cạnh huyền BC đường cao AH Một góc vng xHy có tia Hx cắt cạnh AB điểm P tia Hy cắt cạnh AC điểm R Chứng minh:

a) Tứ giác APHR nội tiếp

b) Đường tròn ngoại tiếp tứ giác APHR cắt cạnh BC điểm thứ hai H’ Chứng minh điểm A, H’ trung điểm M đoạn PR nằm đường thẳng

11 Cho tam giác ABC Kẻ đường cao AD, BE, CF Gọi H trực tâm Chứng minh: a) b) Các tứ giác BFHD, DHEC BFED nội tiếp  A BEACF=

12 Cho hai đường tròn tâm O O’cắt hai điểm A B Kẻ cát tuyến qua B vuông góc với AB, cắt đường trịn O điểm C, cắt đường tròn O’ điểm D

a) Chứng minh điểm A, O, C thẳng hàng; điểm A, O’, D thẳng hàng

b) Tia CA cắt đường tròn O’ điểm I, tia DA cắt đường tròn O điểm K Chứng minh tứ giác CKID nội tiếp c) Chứng minh đường thẳng BA, CK, DI đồng quy

13 Cho đường tròn tâm O A điểm đường tròn Từ A, ta kẻ tiếp tuyến AB, AC đến đường tròn (B C tiếp tuyến) Ta kẻ, cắt OA điểm I Gọi M, N trung điểm đoạn thẳng OA IA Chứng minh: BHAC⊥

a) Ba điểm A, B, C nằm đường tròn tâm điểm M tứ giác ABOC nội tiếp b) BI = BO c) NH // MC d) Tứ giác BICH hình thoi

e) BC cắt OA K Chứng minh tứ giác BKHA nội tiếp được; tứ giác KIHC nội tiếp Khoa học giúp ta trở nên nhà thơng thái, Lý trí giúp ta nên người

I Phương pháp “ Chứng minh tính chất phần tử” 1 Chứng minh đường trung tuyến:

Đưa việc chứng minh hai đoạn thẳng

Dựa vào tính chất trọng tâm (giao điểm ba đường trung tuyến), đưa toán việc chứng minh ba điểm thẳng hàng ba đường thẳng đồng quy

2 Chứng minh đường phân giác:

Dựa vào định nghĩa tia phân giác: tia nằm hai cạnh góc, hợp với hai cạnh góc

Dựa vào tính chất tia phân giác: điểm nằm tia phân giác góc cách hai cạnh góc 3 Chứng minh đường cao, đường trung trực:

Việc chứng minh đường cao thường đưa việc chứng minh đường thẳng vng góc với nhau, đơi lúc sử dụng đến tính chất trực tâm (giao điểm ba đường cao tam giác)

Việc chứng minh đường trung trực thường quy việc chứng minh đường thẳng vng góc với 4 Chứng minh tính chất tiếp xúc:

Chứng minh đường thẳng tiếp xúc với đường trịn (tiếp tuyến): tiếp tuyến với đường trịn vng góc với bán kính tiếp điểm

Chứng minh hai đường tròn tiếp xúc: hai đường tròn tâm O O’ có bán kính R R’ tiếp xúc với khi: OO’ = R + R’

5 Chứng minh phân tử cố định: Muốn chứng minh đường thẳng đường tròn qua điểm cố định, ta xác định vị trí điểm

áp dụng: Các Bài tập dành cho “ tất học sinh”

1 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O; H trực tâm tam giác D điểm đối xứng đỉnh A qua tâm O Đường thẳng HD cắt đoạn thẳng BC điểm M Chứng minh AM trung tuyến tam giác ABC AHD

2 Cho hình bình hành ABCD Lấy cạnh AB điểm E cho lấy DC điểm F cho 1BEBA3= 1DFDC3=

a) Chứng minh tâm O hình bình hành trung điểm đoạn thẳng EF

b) Tia EF cắt đường thẳng BC điểm G cắt đường thẳng AD điểm H Chứng minh HFFEEG == c) Chứng minh CE trung tuyến ACG?

d) Hình bình hành ABCD phải thỏa mãn điều kiện để ta có góc GAC góc vng

3 Cho tam giác ABC vng khơng cân Từ đỉnh góc vuông A, ta kẻ đường cao AH trung tuyến AM đường phân giác AD góc A Chứng minh AD phân giác góc H AM 

4 Cho góc xOy Trên tia Ox ta lấy đoạn OA tia Oy ta lấy đoạn OB = OA Kẻ đường vng góc A với Ox đường vng góc B với Oy Hai đường cắt I Chứng minh tia OI phân giác góc xOy

5 Cho đường trịn tâm O, đường kính AB Trên đường tiếp tuyến với đường tròn O điểm B, ta lấy điểm M Từ A kẻ đường song song với OM, đường cắt đường tròn điểm T Chứng minh MT tiếp tuyến đường trịn

6 Cho tam giác ABC vng đỉnh A, chiều cao AH Vẽ đường tròn tâm A, bán kính AH Kẻ từ B C tiếp tuyến BD CE với đường tròn Chứng minh:

a) Ba điểm D, A, E thẳng hàng BD // CE

b) Chứng minh đường thẳng DE tiếp xúc với đường trịn đường kính BC điểm A

7 Trên đường thẳng d, cho hai điểm A, B Trong nửa mặt phẳng bờ đường thẳng d, ta dựng tia vng góc Ax, By với đường thẳng d Trên tia Ax lấy điểm C tia By lấy điểm D cho: Lấy C D làm tâm, ta vẽ đường tròn tiếp xúc với đường thẳng d A B Chứng minh đường tròn tiếp xúc với 2ABAC.BD4=

8 Cho tam giác ABC vng góc A Vẽ đường trịn qua A tiếp xúc với BC B C Chứng minh đường tròn tiếp xúc với

9 Trên đường thẳng cho hai điểm cố định A, B Trong nửa mặt phẳng bờ AB, ta vẽ hai đường tròn tiếp xúc với đường thẳng A B Hai đường trịn tiếp xúc ngồi với M Chứng minh tiếp tuyến chung điểm M hai đường trịn ln ln qua điểm cố định 10 Cho hai điểm cố định A, B điểm M đoạn thẳng AB Trong nửa mặt phẳng bờ AB, ta

dựng tam giác vuông cân MAD (vuông A) MBC (vuông B) Chứng minh đường thẳng DC luôn qua điểm cố định M thay đổi vị trí đoạn AB

11 Cho đường tròn tâm O đường kính cố định AB; C điểm cung AB M làmột điểm di động cung AC Kẻ gọi D giao điểm đường phân giác góc với đường trịn Chứng minh điểm D điểm cố định điểm M vạch cung AC MHAB ⊥AMB

12 Cho tam giác ABC có trực tâm H Hai đường thẳng song song ()và v ()lần lượt qua A H điểm B C có hình chiếu vng góc xuống l ()là M Nl, có hình chiếu vng góc xuống ()là Q P Gọi A’ chân đường cao xuất phát từ A tam giác ?l'?? '?

a) Chứng minh đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật MNPQ qua điểm cố định b) Chứng minh đường chéo MP NQ qua điểm cố định mà ta phải tìm

13 Cho tam giác ABC vng góc A nội tiếp nửa đường trịn tâm O, đường kính BC Đường trịn đường kính AO cắt cạnh AB điểm P cạnh AC điểm Q

a) Xác định hình tính tứ giác APOQ

b) Chứng minh đoạn PQ có độ dài phương không đổi điểm A di chuyển nửa đường tròn 14 Cho tam giác ABC Trên tia đối tia AB, ta đặt đoạn AD = AC kẻ tia Ax // DC Chứng

minh tia Ax phân giác góc BAC

15 Cho hình vng ABCD Trên tia đối tia CB ta lấy điểm M tia CD ta lấy điểm N cho DN = BM Đường song song với AN kẻ qua M đường song song với AM kẻ qua N cắt điểm F Chứng minh điểm F nằm phân giác góc MCN

16 Trên đường thẳng d, cho ba điểm cố định A, B, C theo thứ tự Một đường trịn thay đổi ln ln qua B C Kẻ tiếp tuyến AM Chứng minh đường trịn tâm A, bán kính AM ln qua hai điểm cố định

17 Cho tam giác ABC vng góc A, đường cao AH AC > AB Trên đoạn CH ta lấy điểm D cho DH = BH Đường tròn tâm H, bán kính AH cắt tia AD điểm E Chứng minh:

a) Tứ giác ACEH nội tiếp b) CEAE ⊥

c) Tia CB phân giác góc ACE

18 Cho tam giác cân ABC, nội tiếp đường tròn Lấy điểm D cung BC Chứng minh tia AD phân giác góc B DC

19 Cho (I) (J) hai đường tròn tâm I, tâm J tiếp xúc với điểm A; đường tiếp tuyến chung tiếp xúc với (I) B với (J) C Tiếp tuyến chung điểm A cắt BC điểm E

a) Chứng minh E trung điểm BC

b) Chứng minh IJ tiếp xúc với đường trịn đường kính BC B AC1v= 

c) Chứng minh, đường tròn đường kính IJ tiếp xúc với BC IEJ1v=

20 Cho tam giác ABC vng góc A, đường cao AH Từ H kẻ Gọi M N trung điểm đoạn thẳng HB, HC Chứng minh đường thẳng DE tiếp xúc với đường tròn đường kính MN HEAC HDAB⊥ ⊥ 21 Cho tâm giác cân ABC (AB = AC), đường cao AD, BE, CF cắt điểm O

a) Chứng minh tứ giác AEOF nội tiếp Xác định tâm I đường tròn ngoại tiếp tứ giác b) Chứng minh tứ giác DE, DF tiếp tuyến kẻ từ D đến đường tròn ngoại tiếp tứ giác AEOF

22 Cho hai đường thẳng x’x // y’y Một điểm M di động x’x điểm N di động y’y Tia phân giác góc x’MN y’NM cắt điểm P; tia phân giác góc xMN yNM cắt điểm Q Chứng minh đoạn thẳng PQ có phương khơng đổi M, N di chuyển

23 Cho đoạn thẳng AB có độ dài 2a hai đường thẳng Ax, By vng góc với AB nửa mặt phẳng bờ AB Một điểm M di động Ax điểm N di động By cho diện tích hình thang vng AMNP ln số không đổi Chứng minh đường thẳng MN qua điểm cố định 22a3

24 Trên hai cạnh AB AC tam giác vuông ABC phía ngồi tam giác, ta vẽ nửa đường trịn đường kính AB, AC Một cát tuyến thay đổi qua A, cắt nửa đường tròn D E Chứng minh đường thẳng vuông góc với DE trung điểm ln ln qua điểm cố định

Tất chiến thắng chiến thắng thân

J Phương pháp “ Chứng minh hệ thức Tam giác, Đường tròn” 1) Sử dụng liên hệ tam giác:

Đối với đẳng thức: đưa việc chứng minh đoạn thẳng (hoặc góc nhau) Đối với bất đẳng thức: sử dụng định lý:

Trong tam giác, cạnh nhỏ tổng lớn hiệu hai cạnh khác

Góc ngồi tam giác tổng hai góc khơng kề với (Do đó, lớn góc khơng kề với nó)

Trong tam giác, đối diện với góc lớn cạnh lớn ngược lại (Aựp dụng trường hợp tam giác có hai cặp cạnh tương ứng cạnh thứ ba không nhau)

Trong hai đường xiên đường có hình chiếu lớn lớn ngược lại

Trong đường trịn, dây lớn trương cung lớn ngược lại; dây nhỏ cách xa tâm ngược lại (áp dụng cho hai đường trịn có bán kính nhau)

2) Sử dụng định lý Thalès:

Khi toán, việc chứng minh hệ thức liên hệ với đường thẳng song song ta nên sử dụng định lí Thalès tam giác: “Một đường thẳng cắt hai cạnh tam giác song song với cạnh thứ ba định hai đoạn cặp đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ”

3) Sử dụng việc tính tốn diện tích:

4) Sử dụng định lý Pythagore hệ quả: tam giác ABC vng góc A, AH đường cao thì: ; ; ; 222BCABAC=+2AHBH.CH=2ACBC.CH=2ABBC.BH=

5) Sử dụng tam giác đồng dạng: Trong hai tam giác đồng dạng cạnh tương ứng tỉ lệ với

áp dụng: Các Bài tập dành cho “ tất học sinh”

1 Cho nửa đường trịn đường kính AB Tiếp tuyến điểm M nửa đường tròn cắt tiếp tuyến với đường tròn hai điểm A, B điểm D E Chứng minh: DE = DA + EB

2 Chứng minh tam giác ABC, M trung điểm cạnh BC thì: ABACAM2+<

3 Cho đường tròn O hai dây AB, CD (AB > CD) cắt điểm P ngồi đường trịn Gọi H trung điểm AB, K trung điểm CD Chứng minh: vàPH > PK  H POKPO<

4 Cho tam giác ABC Kẻ trung tuyến AD Từ điểm P đoạn BC, ta kẻ đường song song với AD, đường cắt cạnh AB điểm M cắt tia đối tia AC điểm N Chứng minh PMPN2AD +=

5 Cho tứ giác lồi ABCD, Từ điểm M đường chéo AC, ta kẻ Chứng minh BD1v==MNBC MPAD MNMP1ABCD+=

 ⊥ ⊥

6 Cho tam giác cân ABC Từ điểm M cạnh đáy BC, ta kẻ Kẻ đường cao BH Chứng minh ME + MD = BH MDAB MEAC⊥ ⊥

7 Cho hình bình hành ABCD Trên cạnh BC lấy điểm M cạnh AB lấy điểm N cho AM = CN Từ D kẻ Chứng minh DI = DK DIAM DKBN⊥ ⊥

8 Cho hình chữ nhật ABCD điểm O hình chữ nhật Chứng minh: 2222OAOCODOB+=+

9 Cho hình chữ nhật ABCD Nối đỉnh A với điểm P đường chéo BD kẻ đường vng góc với AP điểm P; đường cắt cạnh BC điểm E cắt đường thẳng CD điểm F Chứng minh hệ thức: AP2= PE + PF

10 Từ điểm A ngồi đường trịn, ta kẻ hai tiếp tuyến AB, AC cát tuyến ADE Chứng minh hệ thức: BD EC = EB CD

11 Cho hình bình hành ABCD Từ đỉnh C, ta kẻ cát tuyến cắt đường chéo DB điểm E, cắt cạnh AB điểm G cắt tia đối tia AD điểm F Chứng minh hệ thức:2ECEF.EG=

12 Cho tam giác ABC điểm M tam giác Đường thẳng AM cắt cạnh BI điểm I Chứng minh hệ thức: a) MA + MB + MC < AB + BC + CA

b) MA + MB > AB; MB + MC > BC; MC + MA > AC c) ABBCCAMAMBMCABBCCA2++<++<++

d) IC + IB = BC; IA < IC + CA; IA + IB < CA + CB e) MA + MB < IA + IB f) MA + MB < CA + CB

13 Cho tam giác ABC điểm M tam giác Chứng minh tổng khoảng cách từ điểm M đến ba cạnh tam giác khơng phụ thuộc vào vị trí điểm M

14 Trên đáy tam giác cân ABC, đường cao AH, ta lấy điểm P Kẻ đường thẳng vng góc P với BC, cắt cạnh AC N cắt tia đối tia AB M Chứng minh: a) AM = AN b) Từ đó, suy tổng PM + PN khơng phụ thuộc vị trí điểm P PMPNAH2 +=

15 Cho góc xOy Trên cạnh Ox ta lấy hai điểm D, E kẻ đường thẳng song song với qua D E Các đường cắt cạnh Oy F G Nối FE từ G kẻ đường song song với FE, đường cắt cạnh Ox điểm H Chứng minh: OE2= OD OH

16 Cho tứ giác ABCD Các đường chéo AC, BD cắt điểm O Qua O kẻ OE // BC OF //AB Chứng minh: a) b) EF // BD AEAFABAD=

17 Cho tam giác ABC vng góc đỉnh A AB = c; AC = b; AD đường phân giác góc A a) Chứng minh D cách AB, AC

b) Gọi khoảng cách từ điểm D đến cạnh góc vng d Chứng minh hệ thức 111dbc=+

18 Cho tam giác ABC vuông A (AC > AB) Từ trung điểm I cạnh AC, ta kẻ Chứng minh: BD2 – CD2 = AB2IDBC⊥

19 Cho đường trịn tâm O bán kính R điểm P cố định đường trịn Qua P kẻ hai dây thay đổi AB, CD vng góc với (A, B, C, D điểm nằm đường tròn) Chứng minh: a) Tổng AB2 + CD2là số khơng đổi, khơng phụ thuộc vào vị trí dây AB, CD

b) PA + PB2 + PC2 + PD2 = 4R2

20 Cho tam giác ABC nội tiếp nửa đường tròn đường kính BC Từ điểm D BC, ta kẻ đường vng góc với BC, đường cắt AC E, cắt đường tròn F cắt tia đối tia AB G Chứng minh hệ thức: DF = DB DC = DE DG

21 Cho tam giác vuông cân BAC, vuông A Kẻ trung tuyến BD Từ điểm E, giao điểm BD với đường tròn ngoại tiếp tam giác, ta kẻ Chứng minh hệ thức: AF = 3EF EFAC⊥

22 Cho tam giác ABC nội tiếp đường trịn Đường phân giác góc A cắt đường tròn E Chứng minh hệ thức: BE2= ED AE

23 Cho tam giác ABC, kẻ đường phân giác AD góc A Kẻ đường trịn qua điểm A tiếp xúc với cạnh AC điểm F Chứng minh: a) ED // BC b) Ta có hệ thức AD2= AE AC = AF AB

24 Cho đường trịn tâm O, bán kính R người ta dựng hình bình hành ngoại tiếp đường trịn a) Chứng minh hình bình hành hình thoi

b) Tìm hệ thức liên hệ độ dài đường chéo AC, BD với độ dài cạnh hình thoi bán kính R c) Chứng minh ta có hệ thức: 222111ACBD4R+=

Khó khăn để quật ngã ta, mà để ta quật ngã chúng K Phương pháp “ Bất đẳng thức hình học”

1) Một số kí hiệu sau dùng để yếu tố tam giác: a, b, c tương tự độ dài ba cạnh BC, CA, AB tam giác ABC tương ứng độ lớn góc ba đỉnh A, B, C ,, aò?

ma, mb, mctương ứng độ dài trung tuyến dựng từ đỉnh A, B, C h a, hb, hctương ứng độ dài đường cao dựng từ đỉnh A, B, C l a, lb, lctương ứng độ dài phân giác dựng từ ba đỉnh A, B, C

R r tương ứng độ dài bán kính đường trịn ngoại tiếp đường tròn nội tiếp tam giác ABC SABClà diện tích tam giác ABC

r a, rb, rctương ứng bán kính đường trịn bàng tiếp góc A, B, C tam giác ABC 2) Kiến thức bản:

Với ba điểm A, B, C ta có Dấu (=)xảy điểm C nằm hai điểm A B ABACCB=x+

Trong tam giác, góc đối diện với cạnh lớn góc lớn Cạnh đối diện với góc lớn cạnh lớn

Trong tam giác vng, cạnh huyền lớn cạnh góc vng Trong tam giác, góc đối diện với cạnh nhỏ góc nhọn

Trong hai đường xiên kẻ từ điểm đến đường thẳng, đường có hình chiếu lớn lớn Ngược lại, đường xiên lớn có hình chiếu lớn

Trong tam giác, cạnh nhỏ tổng hai cạnh lớn hiệu hai cạnh Trong đường trịn hai đường tròn nhau:



Cung lớn dây trương cung lớn



Đường kính dây cung lớn

; ; ABC1SAB.AC2= ABC1SBC.BA2= ABC1SCA.CB2=

áp dụng: Các Bài tập dành cho “Học sinh Giỏi ”

1 Chứng minh tam giác ta có: abcabcm2a+-+<<

2 Chứng minh tứ giác lồi ABCD ta có bất đẳng thức AB + CD < AC + BD

3 Chứng minh tam giác có hai cạnh tổng cạnh lớn đường cao tương ứng lớn tổng cạnh nhỏ đường cao tương ứng

4 Cho hình vng có độ dài đường chéo Trên cạnh lấy điểm nối lại để tứ giác lồi Chứng minh chu vi tứ giác không nhỏ

5 Chứng minh trong: tam giác, góc góc nhọn, góc vng góc tù tuỳ theo cạnh đối diện nhỏ hơn, hay lớn hai lần trung tuyến kẻ tới cạnh

6 Chứng minh tam giác ABC, trung tuyến AM: a) Nếu BC < AM 0A90<

b) Nếu BC > AM 0A90> c) Nếu BC = 2AM 0A90=

7 Cho tam giác ABC có đường cao BH khơng nhỏ cạnh AC, đường cao CK khơng nhỏ cạnh A B tính góc Từ đó, chứng minh tam giác khoảng cách từ trực tâm đến đỉnh hai lần khoảng cách từ giao điểm đường trung trực tới cạnh đối diện ABC?

8 Chứng minh tam giác vuông độ dài đường phân giác góc vng khơng vượt q nửa độ dài hình chiếu vng góc cạnh huyền lên đường thẳng vng góc với đường phân giác

9 cho tam giác ABC có Đường cao AH, trung tuyến AM phân giác AD 0CB90<< a) Chứng minh D nằm H M

b) Cho biết Tính ABCADMSS14= ABCAHM7SS50= BAC

10 Cho tam giác ABC có ba góc nhọn Gọi H trực tâm tam giác ABC K chân đường cao vẽ từ A Chứng minh rằng: ABC? 2BCKH.KA4=

11 Cho tam giác ABC Trên cạnh BC, CA, AB lấy ba điểm I, J, K ch K khác A, B Chứng minh Dấu (=)xảy nàox? 2ABAJ.BI4=

12 Cho (O; R) dây cung AB với Hai tiếp tuyến A B (O; R) cắt C 

0AOB120=-a) Chứng minh Tính theo r ABC? ABCS

b) Lấy điểm M thuộc cung nhỏ Vẽ tiếp tuyến M (O; r) cắt AC D cắt BC E Chứng minh AD + BE = DE BC

c) Trên đoạn BC, CA, AB lấy điểm I, J, K cho K khác A, B Chứng minh

0IKJ60=2ABAJ.BI4=

13 Cho tứ giác ABCD Gọi M N trung điểm cạnh BC CD Gọi P trung điểm AB Chứng minh rằng:

a) 2ABCD1S(AMAN) 2==+

b) Dấu (=)xảy nàox? ()1PNADBC2= +

14 Cho có ba góc nhọn Gọi H trực tâm Các đường cao AM, BN, CL Chứng minh: a) b) ABC? ABC?HMHNHL1AMBNCL++= AMBNCL9HMHNHL++=

15 Cho hình vng ABCD nội tiếp đường tròn (O; r) m điểm đường trịn Chứng minh rằng: a) b) 44442MAMBMCMD24R+++= 2MA.MB.MC.MD6R<

16 Cho có trung tuyến CM vng góc với trung tuyến BN Chứng minh: a) 2cotgBcotgC3+=

b) AC2 + AB2 = 5BC2

17 Cho tứ giác ABCD có AB = a; CD = c AD = BC, Gọi M, N, P, Q trung điểm đoạn thẳng AB, AC, CD BD Chứng minh rằng: Dấu (=)xảy nàox?   0ADCDCB90+=2MNPQ(ac)

S8-=

18 Cho tam giác ABC nội tiếp (O; R) chứng minh với điểm M nằm mặt phẳng tam giác ABC, ta có bất đẳng thức: Dấu (=)xảy nào? MAMBMC+=

19 Cho tứ giác ABCD có AC = AD Chứng minh BC < BD

20 Cho tứ giác ABCD có Chứng minh AB < AC ABBDACCD+=+

21 Cho O điểm nằm tam giác Các tia AO, BO, CO cắt BC, CA, AB P, Q, R Chứng minh rằng: ABC?

a) b) Dấu (=)xảy nàox? OPOQOR1APBQCR++= APBQCR9OPOQOR++=

c) Trong ba tỉ số có tỉ số khơng nhỏ 2, tỷ số không lớn OAOBOC;;OPOQOR

22 Cho tứ giác ABCD Chứng minh rằng: Dấu (=)xảy tứ giác ABCD nội tiếp AB.CDAD.BCAC.BDx +=

23 cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) lấy điểm E đường chéo AC cho Chứng minh rằng:  A BEDAC=

a) AB DC = DB AE b) AB CD + AD BC = AC BD

24 Cho đường trịn tâm P bán kính R đường trịn tâm O bán kính r cắt A B (R khác r) kẻ tiếp tuyến chung CD (P) (Q), C thuộc (P), D thuộc (Q) CD cắt AB K Đường thẳng qua C song song với AD cắt đường thẳng qua D song song với AC E Chứng minh rằng: a) Ba điểm A, B, E thẳng hàng b) BE < R +r

25 Cho tứ giác ABCD Gọi O giao điểm AC BD Kí hiệu S1 = SAOB; S2 = SCOD; S = SABCD a) Chứng minh rằng: 12SSS+=

b) Khi ABCD hình thang hệ thức nào?

26 Cho tam giác ABCD Chứng minh Dấu (=)xảy nàox? ()2ABCD1SACBD8= +

27 Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh: AB = c; BC = a; CA = b Gọi la, lb, lclà độ dài ba đường phân giác ứng với cạnh BC, CA, AB Chứng minh rằng: abc111111abclll++<++

28 Cho tam giác ABC có O điểm tam giác Vẽ AO, BO, CO cắt BC, CA, AB P, Q, R Chứng minh OP + OQ + OR < BC ABC>>

29 Cho tứ giác ABCD có đường chéo AC = 2a; BD = 2b Chứng minh cạnh tứ giác không bé 22ab+

30 Cho O điểm nằm tam giác Các tia AO, BO, CO cắt BC, CA AB P, Q, R Chứng minh: ABC?OAOBOC32OPOQOR ++=

31 Cho tam giác ABC có ba góc nhọn Chứng minh rằng:

a) Dấu (=)xảy nàox? b) abchhh9r++=abc1112mmmR++=

32 Cho tứ giác ABCD điểm O bên tứ giác Gọi S diện tích tứ giác ABCD Chứng minh rằng: Dấu (=)xảy nàox? 2222OAOBOCOD2S+++=

33 Chứng minh hai hình chữ nhật có chu vi hình chữ nhật có hiệu độ dài cạnh nhỏ hình chữ nhật có diện tích lớn

34 Xét hình vng hình tam giác Nếu hai hình có diện tích hình có chu vi lớn hơn? 35 Cho tam giác ABC có diện t ích S hình chữ nhật MNPQ nột tiếp tam giác ABC (M thuộc cạnh

AB, N thuộc cạnh AC, P Q thuộc cạnh BC) Gọi diện tích hình chữ nhật MNPQ S1 Chứng minh 1S2S=

36 a) Chứng minh hình thang cân ABCD với hai đáy AB// CD, ta có 2222ACBDADBC2AB.CD+=++ b) Chứng minh với tứ giác lồi ABCD ta có: 2222ACBDADBC2AB.CD+=++

37 Bên tam giác ABC lấy điểm O tuỳ ý Tia AO, BO, CO cắt BC, CA, AB D, E, F Chứng minh rằng:

a) b) c) Dấu (=)xảy nàox? OAOBOC2ADBECF++= OAOBOC6ODOEOF++= OAOBOC 8ODOEOF=

38 Cho tam giác ABC có góc B tù Trên cạnh BC lấy điểm M N cho BM = CN Chứng minh rằng: AB + AC > AM + AN

39 Trên dây cung không qua tâm O (O; R) lấy hai điểm C D cho AC = CD = DB Kẻ bán kính OE qua C kẻ bán kính OF qua D Chứng minh rằng: a) b) AEBF= AEEF=  

40 Trên cạnh tam giác ABC lấy A1 thuộc cạnh BC, B1 thuộc cạnh CA C1 thuộc cạnh AB Chứng minh rằng: diện tích ba tam giác AB1C1, BC1A1, CA1B1không vượt phần tư diện tích tam giác ABC Với điều kiện tam giác có diện tích phần tư diện tích tam giác ABC?

Cần phải học nhiều để nhận thức biết cịn L Phương pháp “ Tam giác đồng dạng”

Muốn chứng minh hai tam giác ABC A’B’C’ đồng dạng, ta cần nhớ tính chất sau đây: 1) Hai tam giác có góc xen hai cạnh tương ứng tỉ lệ đồng dạng nhau: AA'ABCABACA'B'A'C' = ? = A'B'C'

  ⇒   ?

S

2) Hai tam giác có hai góc đơi đồng dạng với nhau: AA'ABCBB' = ? = A'B'C'

  ⇒   ?

S

3) Hai tam giác có ba cạnh tỉ lệ với đơi đồng dạng với nhau:

áp dụng: Các Bài tập dành cho “ tất học sinh” ABBCCAABCA'B'B'C'C'A'==⇒? A'B'C'? S

1 Giả sử AC đường chéo lớn hình bình hành ABCD Từ C kẻ CE vng góc với AB CF vng góc với AD Chứng minh rằng: 2AB.AEAD.AFAC+=

2 Cho hai đường tròn tâm O O’ có bán kính khác Hai đường tròn cắt A B tiếp tuyến đường tròn (O’) B cắt đường tròn (O) C tiếp tuyến đường tròn (O) B cắt đường tròn (O’) D

a) Chứng minh hai tam giác ABC ADB đồng dạng b) Chứng minh: 2ABAC.AD= 22BCACADBD=

c) Tính tỉ số theo bán kính hai đường trịn (O) (O’) BCBD

3 Cho tam giác ABC vuông, cân đỉnh A Trên cạnh AB kéo dài ta đặt đoạn BD = AB vàDE = AB Chứng minh: A BCADCAEC=+

  

4 Cho tam giác ABC vuông đỉnh A Kẻ đường cao AH vẽ đường trịn tâm A, bán kính AH Từ B C kẻ tiếp tuyến BD CE với đường tròn

a) Chứng minh BD // CE b) Chứng minh 2DEBD.CE4=

c) Đường thẳng HD cắt đường thẳng AB M đường thẳng HE cắt đường thẳng AC N Chứng minh đoạn thẳng MN AH cắt trung điểm đường

d) Tính diện tích tam giác DHE, biết AB = cm; AC = cm

5 Cho hình thang ABCD, đường chéo AC BD cắt điểm I góc A D vng Gọi a, b, c độ dài cạnh AD, AB, DC

a) Chứng minh hai đường chéo AC BD vng góc với ta có hệ thức: 2abc= b) Chứng minh hệ thức điều kiện cần đủ để hai đường chéo AC BD vng góc với

c) Chứng minh đường thẳng nối trung điểm M, N đáy DC, AB tiếp xúc I với đường trịn đường kính AD đường chéo AC BD vng góc với

d) Biết b = 12cm; c = cm đường chéo AC BD vng góc với Tính cạnh BC M Phương pháp “ Tứ giác ”

S

Chúng ta học tứ giác sau đây: hình bình hành; hình thoi; hình chữ nhật; hình vng; hình thang; tứ giác nội tiếp được; tứ giác ngoại tiếp Sau số tính chất cần nhớ loại tứ giác ấy:

1 Hình bình hành:

1 Hình bình hành tứ giác (lồi) có hai cặp cạnh song song với đơi Hình bình hành làtứ giác (lồi) có hai cạnh song song Hình bình hành có hai góc đối nhau, có hai góc kề bù

4 Hai đường chéo hình bình hành cắt trung điểm đường

Chú ý: hình thoi, hình chữ nhật, hình vng hình bình hành đặc biệt Vì vậy, bốn tính chất nói hình bình hành tính chất hình thoi, hình chữ nhật, hình vng Ngồi ra, hình thoi, hình chữ nhật, hình vng cịn có tính chất khác

2 Hình thoi:

1 Hình thoi hình bình hành có hai cạnh liền nhau Hình thoi hình bình hành có hai đường chéo vng góc với

3 Mỗi đường chéo hình thoi đường phân giác hai góc hình thoi có hai đỉnh nằm đường chéo

4 Diện tích hình thoi có hai đường chéo d1 d2là 121Sdd2= 3 Hình chữ nhật:

1 Hình chữ nhật hình bình hành có góc vng Mọi hình bình hành nội tiếp hình chữ nhật Diện tích hình chữ nhật có hai kích thước a b S = ab

4 Hình vng: Hình vng hình chữ nhật có hai cạnh liền nhau Hai đường chéo hình vng vng góc với Diện tích hình vng có cạnh a S = a2

5 Hình thang:

1 Hình thang tứ giác (lồi) có hai cạnh song song với Đường trung bình hình thang nửa tổng hai đáy Hình thang cân tứ giác nội tiếp

4 Diện tích hình thang có hai đáy a, b đường cao h lứ: 1S(ab)h2=+

Chú ý: theo định nghĩa hình thang hình bình hành hình thang đặc biệt 6 Tứ giác nội tiếp được:

1 Một tứ giác (lồi) nội tiếp có hai góc đối bù

2 Tâm đường trịn ngoại tiếp tứ giác giao điểm bốn đường trung trực bốn cạnh 7 Tứ giác ngoại tiếp được:

1 Một tứ giác (lồi) ngoại tiếp có tổng hai cặp cạnh đối nhau, nói cách khác tứ giác (lồi) ABCD ngoại tiếp nếu: AB + CD = AD + BC

2 Cho tứ giác ABCD có chu vi p, ngoại tiếp đường trịn bán kính r thì: ABCD1Spr2=

áp dụng: Các Bài tập dành cho “ tất học sinh”

1 Cho tứ giác lồi ABCD nội tiếp đường tròn Các đường thẳng AB CD cắt E đường thẳng AD BC cắt F Đường phân giác góc AEC cắt BC M AD N Đường phân giác góc BFD cắt AB P CD Q Chứng minh hình MPNQ hình thoi

2 Cho tam giác cân ABC (AB = AC) đường tròn qua ba đỉnh tam giác Vẽ đường kính PQ song song với BC Từ P Q vẽ dây PN QM nằm phía đường kính PQ theo thứ tự song song với cạnh bên tam giác ABC

a) Tứ giác MNPQ hình gì? Tại sao?

3 Cho tứ giác lồi ABCD, ngoại tiếp đường tròn tâm O Chứng minh đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với đường tròn nội tiếp tam giác ACD

4 Cho tứ giác lồi ABCD thỏa điều kiện sau đây:

?AB // CD ?AB > CD ?BC = CD = DA ?Ta kí hiệu Fvà tỉ số F1 F2lần lượt diện tích tam giác ABC ACD Tính ; F2 ACBC D ABa=a ⊥

5 Cho tứ giác lồi ABCD có hai đường chéo AC BC cắt E Chứng minh bán kính đường tròn nội tiếp tam giác EAB, EBC, ECD, EDA tứ giác ABCD hình thoi

6 Chứng minh hình trịn nhận cạnh tứ giác lồi làm đường kính phủ kín tứ giác

7 Chứng minh khoảng cách từ điểm tuỳ ý nằm hình bình hành ABCD tới đỉnh gần hình bình hành khơng vượt q bán kính R đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC

N Phương pháp “ Diện tích”

Muốn tìm diện tích hình ta cần nhớ số tính chất cơng thức sau đây: 1) Hai hình có diện tích

2) Hình (H) phân hoạch thành hai hình (H1) (H2) diện tích hình (H) tổng diện tích hai hình (H1) (H2)

3) Diện tích tam giác: ; ac11Sahch22?== 1Spr2? = 4) Diện tích tam giác cạnh a: 2a3S4=

5) Diện tích hình bình hành: S = ah 6) Diện tích hình thoi: 121Sdd2= 7) Diện tích hình chữ nhật: S = ab

8) Diện tích hình vng cạnh a: S = a2 9) Diện tích hình thang: 1S(ab)h2=+

10) Diện tích hình trịn bán hình R: 2SR?= p

11) Diện tích hình quạt tương ứng với cung n0: 20RnS360p=

12) Hai tam giác đồng dạng với tỉ số đồng dạng k tỉ số diện tích chúng k2

; áp dụng: Các Bài tập dành cho “ tất học sinh” ABC? A'B'C'?ABkA'B'=2ABCA'B'C'SkS = ⇒

S

1 Cho lục giác ABCDEF Gọi M K trung điểm cạnh CD DE; L giao điểm AM BK Chứng minh diện tích tam giác ABL diện tích tứ giác MDKL Tính độ lớn góc AM BK Qua điểm O cho trước tam giác vẽ ba đường thẳng song song với ba cạnh tam giác Các đường thẳng chia tam giác thành sáu phần, ba phân số tam giác có diện tích S1, S2, S3 Tính diện tích tam giác cho

3 Cho biết diện tích S góc đỉnh C tam giác ABC Với cạnh AC BC tam giác ABC có cạnh AB bé nhất?

4 Gọi K M trung điểm cạnh AB CD tứ giác lồi ABCD; L N nằm hai cạnh tứ giác cho KLMN hình chữ nhật Chứng minh diện tích hình chữ nhật KLMN nửa diện tích tứ giác ABCD

5 Hãy tìm tứ giác lồi điểm cho đoạn thẳng nối điểm với trung điểm cạnh chia tứ giác cho thành bốn phần có diện tích

6 Cho tam giác ABC có diện tích Hai người chơi trị chơi sau: Người thứ chọn điểm X cạnh AB, người thứ hai chọn điểm Y cạnh BC người thứ tiếp tục chọn điểm Z cạnh CA Mục tiêu người thứ làm cho diện tích tứ giác XYZ lớn Mục tiêu người thứ hai làm cho diện tích tam giác XYZ nhỏ Hỏi người thứ làm cho diện tích tam giác XYZ đạt giá trị

lớn bao nhiêu?

7 Cho đường chéo hình thang chia hình thang thành tam giác Tìm diện tích hình thang biết diện tích tam giác kề với đáy S1 S2

8 Các cạnh đối AB DE, BC EF, CD FA lục giác ABCDEF song song với Chứng minh hai tam giác ACE BDF có diện tích

9 Cho tập hợp hữu hạn điểm mặt phẳng, khơng có ba điểm thẳng hàng Biết diện tích tam giác với đỉnh điểm khơng vượt q đơn vị Chứng minh tất điểm tập hợp phân bố bên tam giác có diện tích đơn vị

10 Chứng minh diện tích tam giác nội tiếp hình bình hành khơng thể lớn nửa diện tích hình bình hành

11 Cho điểm P tam giác ABC Tìm cạnh tam giác điểm Q cho đường gấp khúc APQ chia tam giác thành hai phần có diện tích

12 Cho tứ giác lồi ABCD có diện tích Trên cạnh AB CD lấy điểm A’, B’ C’, D’ cho ; a + b < Xác định diện tích A’B’C’D’ AA'CC'aABCD==BB'DD'bABCD==

13 Điểm S chọn tam giác ABC cho tam giác ABS, BCS, CAS có diện tích Chứng minh S trọng tâm tam giác ABC

14 Trên cạn AB, BC, CA tam giác ABC chọn điểm C; A; B cho Chứng minh diện tích tam giác tạo đường thẳng AAdiện tích tam giác ABC 1; BB1; CC1bằng 111111AC2CB;BA2AC;CB2BA===17

15 Từ tam giác cho cắt hình chữ nhật có diện tích lớn

16 Chứng minh cạnh tam giác nhỏ diện tích tam giác nhỏ 34 O Phương pháp “ Các tốn cực trị Hình học phẳng”

Các tốn cực trị Hình học tốn địi hỏi tìm điều kiện hình đại lượng Hình học đạt giá trị lớn nhỏ Để giải toán ta thường sử dụng kiến thức sau:

1) Trong tam giác, canh lớn hiệu hai cạnh nhỏ tổng chúng 2) Độ dài đường gấp khúc nối hai điểm lớn độ dài đoạn thẳng nối hai điểm

3) Cho đường xiên đường vng góc kẻ từ điểm tới đường thẳng:



Đường vng góc ngắn đường xiên



Đường xiên có hình chiếu lớn 4) Đường kính dây cung lớn đường tròn

áp dụng: Các Bài tập dành cho “ tất học sinh”

1 Cho đường thẳng d hai điểm A, B thuộc nửa mặt phẳng có bờ đường thẳng d Tìm điểm cho có giá trị lớn Md MAMB- ∈

2 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn bán kính R điểm M chạy cung bé AB Hãy chứng minh tổng khoảng cách từ M đến A B khơng lớn đường kính đường trịn

3 Tìm hình chữ nhật nội tiếp đường trịn có chu vi lớn Chứng minh hình chữ nhật có diện tích lớn

4 Tam giác DMN gọi nội tiếp tam giác ABC ba đỉnh tam giác DMN nằm ba cạnh tam giác ABC Hãy tìm tam giác nội tiếp tam giác ABC cho trước cho có chu vi nhỏ

5 Qua đỉnh A tam giác ABC dựng đường thẳng d cho tổng khoảng cách từ đỉnh B C tới d lớn Cho điểm M nằm tam giác ABC có cạnh a, b, c Gọi khoảng cách từ điểm M đến cạnh a, b, c tương ứng x,y, z Hãy xác định vị trí điểm M tam giác cho biểu thức: đạt giá trị nhỏ abcPxyz =++

7 Cho tam giác ABC cân đỉnh A nội tiếp đường tròn (O; R) Một tia Ax nằm hai tia AB, AC cắt BC D (O; R) E Tìm vị trí tia Ax cho độ dài DE lớn

8 Cho đường trịn (O; R) có AB dây cung cố định không qua tâm O, C điểm di động cung lớn AB (C không trùng với A B) Gọi D tiếp tuyến C đường tròn (O;R); M , N chân đường vng góc vẽ từ A B đến d Tìm vị trí C cho khoảng cách MN dài nhất, ngắn

9 Cho đường tròn (O; R) dây BC cố định biết Một điểm A di động cung lớn BC Tìm vị trí A cho diện tích phần mặt phẳng giới hạn cung nhỏ BC, dây AB dây AC lớn Tính diện tích theo R BCR3 =

10 Cho hình vng ABCD cạnh a Xét hình thang có bốn đỉnh bốn cạnh hình vng hai đáy song song với đường chéo hình vng Tìm hình thang có diện tích lớn tìm diện tích lớn 11 Trong tứ giác ABCD có AB = AD = a, BC = CD = b tứ giác có bán kính đường trịn nội tiếp lớn nhất?

Tính bán kính theo a b

12 Trong tam giác có đáy a đường cao tương ứng hacho trước Hãy tìm tam giác có chu vi nhỏ P Phương pháp “ Nguyên tắc cực hạn”

Trong trình tìm kiếm lời giải nhiều tốn Hình học, có lợi xem xét phần tử biên, phần tử giới hạn đó, tức phần tử mà đại lượng Hình học nhận giá trị lớn giá trị nhỏ nhất, chẳng hạn cạnh lớn nhất, cạnh nhỏ tam giác; góc lớn hay góc nhỏ đa giác …v.v… Những tính chất phần tử biên, phần tử giới hạn nhiều giúp tìm lời giải thu gọn tốn Phương pháp tiếp cận tới lời giải toán gọi “Nguyên tắc cực hạn” áp dụng: Phương pháp Chứng minh Hình học HọC SINH GIỏI  Giáo viên:

Các Bài tập dành cho “ tất học sinh”

1 Một nước có 80 sân bay, mà khoảng cách hai sân bay khác Mỗi máy bay cất cánh từ sân bay bay đến sân bay gần Chứng minh sân bay khơng thể có q máy bay

2 Cho tam giác ABC có ba góc nhọn Lấy điểm P bất kỳ, chứng minh khoảng cách lớn khoảng cách từ P đến đỉnh A, B, C tam giác không nhỏ lần khoảng cách bé khoảng cách từ điểm P đến cạnh tam giác

3 Cho tứ giác lồi ABCD có hai đường chéo AC BD cắt E Chứng minh bán kính bốn đường trịn nội tiếp tam giác EAB, EBC, ECD, EDA mà tứ giác ABCD hình thoi

4 Chứng minh tất cạnh tam giác nhỏ diện tích tam giác nhỏ 34 Chứng minh bốn hình trịn đường kính bốn cạnh tứ giác phủ kín miền tứ giác ABCD

6 Gọi O giao điểm tứ giác lồi ABCD Chứng minh tam giác AOB, BOC, COD, DOA có chu vi tứ giác ABCD hình thoi

7 Trên mặt phẳng cho điểm, khơng có ba điểm thẳng hàng Người ta tô 2000 điểm màu đỏ tơ 2000 điểm cịn lại màu xanh Chứng minh tồn cách nối tất

điểm màu đỏ với tất điểm màu xanh 2000 đoạn thẳng khơng có điểm chung 22000ì Cho tứ giác ABCD thoả mãn bán kính đường trịn nội tiếp bốn tam giác ABC, BCD, CDA DAB

nhau Chứng minh ABCD hình chữ nhật

9 Cho 2000 đường thẳng phân biệt ba đường thẳng số chúng đồng quy Chứng minh 2000 đường thẳng cho đồng quy điểm

10 Trên mặt phẳng cho 2000 điểm, khoảng cách chúng đôi khác Với điểm số 2000 điểm với điểm gần Chứng minh với cách nối khơng thể nhận đường gấp khúc khép kín

11 Trên mặt phẳng cho 2000 điểm thoả mãn ba điểm số chúng thẳng hàng Chứng minh 2000 điểm cho thẳng hàng

12 Bên đường trịn tâm O bán kính R = có điểm phân biệt Chứng minh tồn hai điểm số chúng mà khoảng cách hai điểm nhỏ

13 Trên cạnh tam giác ABC lấy điểm C (đơn vị diện tích) thuộc cạnh AB, A1 thuộc cạnh BC B1 thuộc cạnh CA Biết độ dài đoạn thẳng AA1; BB1; CC1không lớn Chứng minh ABC1S3=

14 Trên mặt phẳng cho 2000 điểm không thẳng hàng Chứng minh tồn đường tròn qua số 2000 điểm cho mà đường trịn khơng chứa bên đường thẳng số 1997 điểm cịn lại

15 Cho tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn tâm O Chứng minh đường chéo AC BD giao O tứ giác ABCD hình thoi

Q Phương pháp “ Nguyên tắc Dirichlet”

từ trở lên” Việc chứng minh nguyên tắc đơn giản (bằng phương pháp phản chứng) Tuy nhiên, lại phương pháp có hiệu để giải nhiều tốn hình học phức tạp Ngun tắc Dirichlet cho kiểu chứng minh không kiến thiết, tức khơng thể nói chắn thỏ nhốt chung vào chuồng cụ thể mà cần biết chắn phải có chuồng Việc vận dụng nguyên tắc Dirichlet vào giải tốn cịn giúp bạn học sinh bước đầu làm quen với khái niệm đẳng cấu toán học Để áp dụng nguyên tắc Dirichlet cần phải làm xuất tình nhốt thỏ vào chuồng thỏa mãn điều kiện:

Số thỏ nhiều số chuồng

Thỏ phải nhốt hết vào chuồng, khơng bắt buộc chuồng phải có thỏ

áp dụng: Các Bài tập dành cho “ tất học sinh”

1 Trong hình vng mà độ dài cạnh cho trước 33 điểm phân biệt, khơng có điểm thẳng hàng Người ta vẽ đường trịn có bán kính bằng, có tâm điểm cho Hỏi có hay khơng ba điểm số điểm nói cho chúng thuộc vào phần chung ba hình trịn có tâm ba điểm

2

2 Trên mặt phẳng cho 25 điểm cho từ điểm số chúng tìm điểm có khoảng cách nhỏ Chứng minh tồn hình trịn có bán kính chứa khơng 13 điểm

3 Cho hình vng ABCD đường thẳng phân biệt thỏa mãn đường thẳng chia hình vng thành tứ giác có diện tích tỉ lệ với Chứng minh tồn đường thẳng đồng quy điểm Cho đa giác gồm 1999 cạnh Người ta sơn đỉnh đa giác màu xanh đỏ Chứng minh

phải tồn đỉnh sơn màu tạo thành tam giác cân

5 Cho tam giác ABC có cạnh Đánh dấu điểm phân biệt tam giác ABC Chứng minh phải tồn điểm số mà khoảng cách chúng nhỏ 0,5

6 Bên hình vng có cạnh 1, lấy 51 điểm phân biệt Chứng minh phải tồn điểm số 51 điểm nằm hình trịn có bán kính 17

7 Bên hình trịn (O; R) có diện tích người ta lấy 17 điểm phân biệt Chứng minh tìm ba điểm tạo thành tam giác có diện tích bé

8 Bên sân hình chữ nhật có chiều dài 4m chiều rộng 3m có chim ăn Chứng minh phải có chim mà khoảng cách đậu chúng nhỏ m

9 Các điểm mặt phẳng tô màu: xanh, đỏ, vàng Chứng minh tồn điểm tô màu mà khoảng cách chúng

10 Trên mặt phẳng cho 100 điểm phân biệt Nối điểm với 66 điểm số 99 điểm lại đoạn thẳng Chứng minh xảy trường hợp có điểm số điểm 100 điểm cho không nối với

11 Cho điểm phân biệt nằm bên hình vng ABCD có cạnh Chứng minh tìm điểm hình vng cho cho khoảng cách từ đến điểm cho lớn 10 353+

12 Mỗi điểm mặt phẳng tô màu xanh đỏ Chứng minh tìm điểm tô màu tạo thành tam giác có cạnh

13 Mỗi điểm mặt phẳng tô hai màu đen đỏ Chứng minh tồn tam giác mà đỉnh tơ màu

14 Trên mặt phẳng cho 2000 đường thẳng phân biệt đôi cắt Chứng minh tồn đường thẳng mà góc tạo chúng không lớn 01802000

15 Bên đường trịn có bán kính 2000 có 8000 đoạn thẳng có độ dài Chứng minh dựng đường thẳng d song song vng góc với đường thẳng l cho trước, cho d cắt đoạn thẳng cho

R Phương pháp “ Tìm tập hợp điểm”

Khi giải toán “tập hợp điểm” ta thường làm sau: tập hợp điểm M có tính chất hình (H) tập hợp điểm có tính chất tập hợp điểm thuộc hình (H) hai tập hợp Muốn ta phải chứng minh phần a a

1) Phần thuận:

Lấy điểm M có tính chất, ta chứng minh M thuộc hình (H): Sau phải xét xem điểm M nằm toàn hay phần hình (H) Phần gọi phần giới hạn, cần trình bày cuối phần thuận trước chứng minh phần đảo aM ()M(H) a⇒∈

2) Phần đảo:

Lấy điểm M’ thuộc hình (H) (hoặc phần hình (H)) giới hạn chứng minh M’ có tính chất: Chỉ sau chứng minh phần thuận lẫn phần đảo (hoặc cặp mệnh đề tương đương) ta phép kết luận tập hợp điểm M có tính chất hình (H) (hoặc phần hình đó) a M'(H)M'()∈⇒aa

3) Trong thực hành, việc giải toán tập hợp điểm quy việc phân tích tốn cho đưa tập hợp điểm biết Với tốn phức tạp, q trình phân tích phải

kéo dài đưa tập hợp điểm Ta minh hoạ sơ đồ sau: Phần thuận: M()M() M()M(H) a ị⇒ ⇒⇒ ⇒∈?

Phần đảo: tính chất xác định tập hợp điểm Những tập hợp điểm chương trình tốn phổ thơng sở là: M'(H)M'() M'()M'()∈⇒ ⇒⇒ ⇒? ị a ?



Tập hợp điểm cách hai điểm A B cho trước đường trung trực đoạn thẳng AB



Tập hợp điểm cách hai cạnh góc tia phân giác góc



Tập hợp điểm có khoảng cách l không đổi đến đường thẳng cố định xy hai đường thẳng song song với xy



Cho tia Ox, tập hợp điểm M cho có số đo khơng đổi ()là hai tia Oy Oy’ cho góc xOy xOy’ có số đo l MOx a  000180<a<a



Tập hợp điểm M cách điểm O cố định đoạn OM = R (không đổi) đường tròn (O; R)



Tập hợp điểm M nhìn đoạn thẳng AB cho trước góc ()là hai cung tròn đối xứng qua AB l (gọi cung chứa góc vẽ đoạn AB) a AMBkhôngđổi=a=a 

áp dụng: Các Bài tập dành cho “ tất học sinh”

1 Cho góc vng xOy Một điểm M di động cạnh Oy Nối M với hai điểm cố định A, B cạnh Ox Các đường vng góc với MA A với MB B cắt điểm N

a) Chứng minh bốn điểm M, A, B, N nằm đường trịn tìm tập hợp tâm I đường trịn b) Tìm tập hợp điểm N

2 Cho hai điểm A, B cố định đường thẳng d Trong nửa mặt phẳng bờ đường thẳng d, ta kẻ tia Ax, By vng góc với d lấy Ax điểm C, By điểm D thoả mãn hệ thức: AB2= 4AC BD Gọi O trung điểm AB Chứng minh:

a) Hệ thức CD = OC2 + OD2

b) Các cặp tam giác sau đồng dạng ODC AOC; ODC BOD

c) Giả sử C, D thay đổi đoạn thẳng AB, AC, BD ln ln thoả mãn hệ thức (1) Tìm tập hợp hình chiếu trung điểm O lên đoạn CD

3 Cho góc vng xOy Trên cạnh Oy lấy điểm A cố định cạnh Ox có điểm B di động Dựng hình vng ABCD (nằm góc vng xOy) Tìm tập hợp tâm I hình vng

4 Cho nửa đường trịn đường kính AB điểm M di động nửa đường tròn Tiếp tuyến M cắt đường song song với AM, kẻ từ tâm O, điểm P Tìm tập hợp điểm P

5 Cho góc vng xOy điểm P tia phân giác Oz Một đường tròn thay đổi tâm I, qua O P, cắt Ox A Oy B

a) Chứng minh I trung điểm AB Tìm tập hợp điểm I b) Chứng minh PIAB ⊥

c) Gọi Q điểm đối xứng P qua điểm I Tìm tập hợp điểm Q

6 Cho hai đường tròn tâm O O’ có bán kính tiếp xúc ngồi với điểm B Đường thẳng nối tâm OO’ cắt đường tròn tâm O điểm A cắt đường tròn tâm O’ điểm C Ta kẻ hai dây AP thuộc đường tròn tâm O, BM thuộc đường tròn tâm O’, song song với Các tia AP CM cắt điểm H

a) Chứng minh PM = BH b) Tìm tập hợp điểm H c) Tìm tập hợp trung điểm I PM

7 Cho góc xOy, điểm B cố định Oy điểm C cố định Ox cho OC = OB, M điểm di động tia BC (M phía ngồi góc xOy) Kẻ MEOy MFOx ⊥ ⊥

a) So sánh góc; B ME BMF x Oy   

b) Từ suy tập hợp điểm có hiệu khoảng cách đến hai cạnh tam giác độ dài l cho trước

8 Cho hình chữ nhật ABCD góc vng xAy quay xung quanh đỉnh A Tia Ax cắt đường thẳng BC điểm M tia Ay cắt đường thẳng CD điểm P Dựng hình chữ nhật PAMN

a) Chứng minh tâm O hình chữ nhật cách ba điểm M, P, C Từ suy tập hợp điểm O b) Chứng minh góc Tìm tập hợp điểm N A CN1v=

9 Trên đường thẳng d có hai điểm cố định A, B Từ điểm C thuộc đường thẳng AB, ta kẻ đường vng góc Cx với đường thẳng d lấy Cx đoạn CM = AC

a) Tìm tập hợp điểm M C di chuyển AB

b) Từ B kẻ đường thẳng vng góc với AB lấy đoạn BD = BA Gọi H hình chiếu D lên MB Tìm tập hợp điểm H

c) Từ A B kẻ đường vng góc với MA, MB, đường cắt P Chứng minh tứ giác AMBP nội tiếp đường tròn Xác định tâm O đường trịn tìm tập hợp điểm O 10 Cho đường tròn tâm O điểm A cố định đường trịn Một góc có số đo không đổi, quay xung

quanh điểm A Hai tia Ax, Ay cắt đường tròn điểm B, C x Ay

a) Tìm tập hợp trung điểm I BC

11 Cho nửa đường trịn ANB, tâm O, đường kính AB, M điểm cung AB Kẻ hai bán kính vng góc OC, OD (điểm C hai điểm A, M) Gọi C’và D’ hình chiếu C D AB

a) So sánh tam giác OCC’ ODD’

b) Chứng minh đường phân giác góc C’CO qua điểm cố định F Tính góc CFD c) Xác định hình tính tứ giác CDBF d) Chứng minh: CBDF ⊥

e) Tìm tập hợp giao điểm N CB AD điểm C di chuyển cung AM

12 Cho đường trịn tâm O, đường kính AB tiếp tuyến Ax điểm A Từ điểm M di chuyển Ax, ta kẻ tiếp tuyến MC đến đường tròn

a) Chứng minh tứ giác AOCM nội tiếp b) Tìm tập hợp tâm đường trịn ngoại tiếp AMC?

c) Tìm tập hợp trực tâm d) Tìm tập hợp tâm I đường trịn nội tiếp ABC? ABC?

13 Cho điểm M di động đoạn thẳng cố định AB Gọi Bx đường vng góc với AB B Dựng tam giác AMN Đường vng góc với MN N cắt Bx điểm P

a) Tìm tập hợp điểm N b) Tìm tập hợp trung điểm I BN c) Tìm tập hợp tâm O đường tròn ngoại tiếp tứ giác BPNM

14 Cho ba điểm cố định A, B, C theo thứ tự đường thẳng d Một đường tròn thay đổi qua hai điểm B, C Từ A ta kẻ tiếp tuyến AM với đường trịn Tìm tập hợp điểm M

S Phương pháp “ Dựng hình”

Giải tốn dựng hình thỏa số điều kiện cho trước thước compa (nếu phép sử dụng dụng cụ đề cần nói rõ) Muốn giải tốn dựng hình ta cần trình tự thực phép dựng hình (dựng đường thẳng qua hai điểm biết, dựng đường trịn biết tâm bán kính nó, …) để tạo nên hình thỏa điều kiện đề Nói chung, lời giải tốn dựng hình chia làm phần:

1) Phân tích: giả sử dựng hình thỏa điều kiện đề Phân tích hình để tìm cách đưa tốn cho tốn dựng hình biết

2) Cách dựng: trình bày phép dựng tạo nên hình cần dựng 3) Chứng minh: chứng tỏ hình vừa dựng thoả điều kiện đề

4) Biện luận: xét xem trường hợp tốn có nghiệm có nghiệm, trường hợp tốn vơ nghiệm

Sau tốn dựng hình bản:

1 Dựng đoạn thẳng đoạn thẳng a cho trước

2 Dựng đoạn thẳng có độ dài tổng (hiệu) độ dài hai đoạn thẳng cho trước Dựng trung điểm đoạn thẳng cho trước

4 Dựng góc góc cho trước

5 Dựng đường phân giác góc cho trước

6 Dựng đường thẳng qua điểm cho trước vuông góc với đường thẳng cho trước

7 Dựng đường thẳng qua điểm cho trước song song với đường thẳng cho trước không qua điểm Dựng tam giác biết hai cạnh góc xen hai cạnh ấy, biết cạnh góc kề cạnh ấy, biết ba cạnh Dựng tam giác vng biết cạnh huyền cạnh góc vuông

10 Dựng điểm chia đoạn thẳng cho trước thành nhiều phần

áp dụng: Các Bài tập dành cho “ tất học sinh” Phương pháp Chứng minh Hình học HọC

1 Dựng tam giác vuông biết cạnh góc vng hiệu cạnh huyền cạnh góc vng

2 Cho đường trịn đường kính AB điểm C ngồi đường trịn Chỉ dùng thước thẳng, dựng đường thẳng qua điểm C vng góc với đường thẳng AB

3 Dựng hình bình hành ABCD biết AB = a, tổng hai đường chéo AC + BD = m góc tạo hai đường chéo a

4 Dựng tam giác biết tâm đường tròn nội tiếp, tâm đường tròn ngoại tiếp tâm đường trịn bàng tiếp

5 Cho đường trịn tâm O, bán kính R điểm M đường tròn Hãy dựng dây cung qua M có độ dài a cho trước

6 Dựng tam giác ABC biết cạnh BC đường cao, đường phân giác, đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh A chia góc BAC thành góc

7 Cho bốn đường tròn (O1;r1); (O2; r2); (O3; r3); (O4; r4) Hãy dựng hình vng cho cạnh (hay cạnh kéo dài) tiếp xúc với đường tròn cho

8 Dựng hai đường trịn tiếp xúc ngồi với nhau, có tâm hai điểm cố định cho trước tiếp tuyến chung chúng qua điểm cố định cho trước

9 Dựng tam giác vuông ABC biết cạnh huyền BC = a khoảng cách tâm đường tròn nội tiếp tam giác trọng tâm tam giác nhỏ

10 Cho trước góc 190 Hãy dùng thước thẳng compa để vẽ góc 10 T Phương pháp “ Các phép biến hình”

Phép đối xứng trục

1) Hình đối xứng qua đường thẳng:

a) Định nghĩa 1: hai điểm M M’ gọi đối xứng với qua đường thẳng d d đường trung trực đoạn thẳng NM’

Kí hiệu: phép đối xứng qua trục d SdđịnhnghĩadMM'd(tạiH)M'S(M)HMHM'⊥?= ?=  

b) Định nghĩa 2: hai hình F F’ gọi đối xứng với qua đường thẳng d điểm thuộc hình đối xứng với điểm thuộc hình qua d ngược lại

địnhnghĩaddF'S(F)(MFM'S(M)F')?=∈⇔ ∈= ?

c) Định lý: hai đường thẳng AB A’B’ có điểm A A’; B B’ đối xứng với qua đường thẳng d hai đoạn thẳng đối xứng qua đường thẳng d

Từ định lý ta suy ra: Nếu đỉnh tam giác ABC đối xứng với đỉnh tam giác A’B’C’ qua trục d hai tam giác đối xứng với nhaụ Nếu hai điểm đường thẳng đối xứng với hai điểm đường thẳng khác qua trục d hai đường thẳng đối xứng với nhaụ đdÁS(A)ÁB'ABÁB'S(AB)B'S(B)==⇒== 

2) Trục đối xứng hình:

Định nghĩa: đường thẳng d gọi trục đối xứng hình F điểm đối xứng điểm thuộc hình F qua trục d

cũng thuộc hình F địnhnghĩadcótrụcđốixứngdFFS(F)?=?

3) Trục đối xứng số hình:

a) Một góc có trục đối xứng đường phân giác góc

b) Một đoạn thẳng có trục đối xứng đường trung trực đoạn thẳng

c) Một tam giác cân có trục đối xứng đường trung trực (cũng đường cao, đường phân giác, đường trung tuyến ứng với cạnh đáy)

d) Một hình thang cân có trục đối xứng đường thẳng qua trung điểm hai đáy

e) Hình chữ nhật có hai trục đối xứng hai đường thẳng qua giao điểm đường chéo vng góc với cạnh hình chữ nhật

f) Hình vng có bốn trục đối xứng, hai đường chéo hai đường thẳng qua giao điểm hai đường chéo vng góc với cạnh hình vng

g) Bất kì đường kính trục đối xứng đường trịn Phép đối xứng tâm

1) Hình đối xứng qua điểm:

a) Điểm đối xứng qua điểm: địnhnghĩaoMM'M'S(M)OMOM'2?===? b) Hình đối xứng qua điểm: địnhnghĩaOOF'S(F)(MFM'S(M)F')?=∈⇔ ∈= ? c) Định lí: OOOA'S(A)A'B'ABA'B'S(AB)B'S(B)==⇒== 

d) Hệ quả: OOOOA'S(A)B'S(B)A'B'C'S(ABC)C'S(C)= = ?=? =  ⇒   2) Tâm đối xứng hình:

Định nghĩa: Một số hình có tâm đối xứng: Hình bình hành, hình thoi, hình chữ nhật, hình vng có tâm đối xứng giao điểm hai đường chéo Đường trịn có tâm đối xứng tâm Phép tịnh

tiến địnhnghĩaOcótâmđốixứngHìnhFFS(F)?=? 1) Khái niệm vectơ:

Vectơ đoạn thẳng có định hướng tức đoạn thẳng rõ thứ tự điểm mút Điểm mút đầu gọi gốc, điểm mút thứ hai gọi vectơ Kí hiệu: Đường thẳng AB gọi giá Độ dài đoạn thẳng AB gọi môđun kí hiệu Vectơ nhau: Hai vectơ phương giá chúng song song trùng Các véctơ;; hình bên phương Hai vectơ phương hướng (và) kí hiệu hay ngược hướng (và) kí hiệu Định nghĩa: hai vectơ gọi chúng có môđun hướng ABhaya

AB AB AB AB CD EF AB CD AB CD AB EF AB EF a

                bđịnhnghĩaababab ?= ?=  

2) Phép tịnh tiến:

a) Định nghĩa: Trong mặt phẳng P cho vectơ Phép biến hình mặt phẳng P biến điểm M thuộc P thành điểm M’ thuộc P cho gọi phép tịnh tiến theo kí hiệu V MM'V=   V VT 

b) Cách viết: VT:MM'

3) Một số tính chất phép tịnh tiến: Phép tịnh tiến biến:

a) Đoạn thẳng thành đoạn thẳng phương

b) Đường thẳng thành đường thẳng phương, tia thành tia phương c) Góc thành góc có cạnh tương ứng phương

d) Đường trịn thành đường trịn Phép quay

1) Phép quay:

Cho điểm O góc () Ta quy ước chiều quay ngược chiều kim đồng hồ chiều dương, thuận chiều kìm đồng hồ chiều âm Phép biến hình biến điểm M tuỳ ý mặt phẳng thành điểm M’ cho: gọi phép quay tâm O, góc quay Điểm M’ gọi ảnh điểm M phép quay Kí hiệu: Hoặc Trong hình bên ta có: Hoặc Hoặc ảnh hình phép quay: a00O180=a= OM'OMMOM'= =a a O,M'Q(M) a= O,Q:MM'a0O,60M'Q(M)= 0O,60Q:MM' 0O,90N'Q(N) -= 0O,90Q:NN'-

a) Trong phép quay, tập hợp ảnh tất điểm hình (H) tạo thành hình (H’) gọi ảnh hình (H)

b) Nếu: O,O,O,A'Q(A)A'B'Q(AB)B'Q(B) aaa=⇒  = = 2) Các tính chất phép quay: Phép quay biến: a) Một đoạn thẳng thành đoạn thẳng

b) Một đường thẳng thành đường thẳng, tia thành tia c) Một góc thành góc

d) Một đường trịn thành đường trịn

e) Nếu góc quay phép quay trở thành phép đối xứng tâm (tâm quay tâm đối xứng) 0180a= 3) Cách xác định tâm quay

a) Trường hợp cho biết ảnh điểm A’ = Q(A) góc quay Gọi O tâm quay ta có: OA = OA’ nên O thuộc đường trung trực d đoạn AA’ Vậy tâm quay O giao điểm đường trung trực d cung

chứa góc aa b) Trường hợp cho biết ảnh hai điểm A’ = Q(A); B’ = Q(B)

Nếu AA’ không song song với BB’: tâm quay O giao điểm hai đường trung trực d1, d2của hai đoạn thẳng AA’ BB’

Nếu AA’ // BB’ tâm quay O giao điểm hai đường thẳng AB A’B’

áp dụng: Các Bài tập dành cho “ tất học sinh” Phương pháp Chứng minh Hình học HọC

1 Trong tất tam giác có chung cạnh diện tích nhau, tìm tam giác có chu vi nhỏ Cho trực tâm H tam giác ABC H’ điểm đối xứng H qua BC

a) Chứng minh H’ nằm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

b) Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác AHB, BHC, CHA có bán kính

c) Gọi (O; R) đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Cho B, C cố định A di động (O; R) Tìm tập hợp trực tâm H tam giác ABC

d) Cho trước đường tròn (O; R), điểm A nằm đường tròn điểm H đường tròn Dựng tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O;R) nhận A làm đỉnh H trực tâm

3 Dựng tam giác ABC biết đường tròn ngoại tiếp tam giác, trực tâm H tam giác điểm E cạnh BC Cho đường thẳng d hai điểm E, F nằm hai nửa mặt phẳng đối có bờ đường thẳng d Hãy dựng

tam giác nhận E, F chân hai đường cao đường cao thứ ba nằm đường thẳng d

5 Cho tam giác cân ABC (CA = CB) có Qua A B vẽ tia AL BK (L thuộc BC, K thuộc AC) cho ; AL cắt BK M tính góc ACM, BCM  0ACB100= 0LAB30=  0KBA20=

6 Cho ba điểm O1; O2; O3 điểm M (trong điểm O1; O2; O3; M khơng có ba điểm thẳng hàng) Gọi M1 điểm đối xứng M qua O1; M2 điểm đối xứng M1 qua O2; M3 điểm đối xứng M2 qua O3; M4 điểm đối xứng M3 qua O1; M5 điểm đối xứng M4 qua O2; M6 điểm đối xứng M5 qua O3 Chứng minh M6trùng M

7 Cho ba đường tròn (O ;; Chứng minh 1; R);(O2; R);(O3; R) tiếp xúc ngồi đơi 1: (O1) tiếp xúc với (O2) A; (O2) tiếp xúc với (O3) B; (O3) tiếp xúc với (O1) C điểm M tuỳ ý đường tròn (O1; R) gọi 1AMS(M)=2B1MS(M)=3C2MS(M)=13OMS(M)= 31M(O;R) ∈

8 Cho đường trịn (O) đường kính AB cố định điểm C di động đường tròn Trên tia AC lấy điểm D cho AC = CD Vẽ hình bình hành ADBE Tìm tập hợp điểm E

9 Dựng hình bình hành nội tiếp tứ giác cho trước nhận điểm O cho trước làm tâm đối xứng 10 Dựng hình bình hành biết ba trung điểm ba cạnh

11 Cho tam giác ABC Dựng hình vng BCDE nằm nửa mặt phẳng có bờ đường thẳng BC không chứa đỉnh A Gọi AH đường cao tam giác ABC Từ D E dựng, Chứng minh ba đường thẳng EK, DI, AH đồng quy DIAB EKAC⊥ ⊥

12 Cho hình thang ABCD (BC// AD) có tổng hai đáy lớn tổng hai cạnh bên Gọi M giao điểm đường phân giác hai góc A B, N giao điểm đường phân giác hai góc C D Chứng minh rằng: 2MN(BCAD)(ABCD)=+ -+

13 Cho hình vng ABCD tâm O gọi M N điểm theo thứ tự nằm cạnh AB CD Hãy xác định M N cho đường gấp khúc OMNB có độ dài nhỏ MN // BC Tính độ dài theo cạnh hình vng a Giải tốn đường gấp khúc OMNB có độ dài lớn

15 Cho đường tròn (O; R), dây cung AB cố định điểm M di động đường trịn a) Tìm tập hợp trực tâm H tam giác MAB

b) Tìm tập hợp giao điểm E F đường tròn tâm M bán kính MH đường trịn tâm H bán kính HM 16 Cho đường trịn (O) đường kính EF hai điểm A, B đường tròn Dựng góc nội tiếp cho hai cạnh

góc chắn EF đoạn thẳng có độ dài l cho trước A CB

17 Trên cạnh tam giác ABC miền tam giác, vẽ tam giác ABC1, BCA1, CAB1 Chứng minh rằng:

a) AA1 = BB1 = CC1 b) Ba đường thẳng AA1; BB1; CC1đồng quy điểm 18 Cho tam giác ABC điểm M tuỳ ý

a) Chứng minh khoảng cách từ điểm M đến ba đỉnh tam giác ABC không lớn tổn khoảng cách đến hai đỉnh cịn lại

b) Tìm điều kiện cần đủ để M nằm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

19 Cho góc vng xOy điểm A cố định đường phân giác góc Một đường trịn thay đổi qua hai điểm O A, cắt Ox C cắt Oy D Chứng minh OC + OD số

20 Cho góc vng xOy điểm A cố định Ox Tam giác ABC nằm miền góc xOy có đỉnh B thuộc Oy Tìm tập hợp đỉnh C

21 Cho đường trịn (O) đường kính AB điểm C di động đường tròn Trên tia AC lấy đoạn AD = BC a) Xác định phép quay biến BC thành AD b) Tìm tập hợp điểm D

U Phương pháp “ Hình học Khơng gian” A Phần đại cương:

1 Cách xác định mặt phẳng biểu diễn mặt phẳng: a) Cách biểu diễn mặt phẳng: dùng hình bình hành b) Các cách xác định mặt phẳng:

- Hai đường thẳng cắt xác định mặt phẳng

- Một đường thẳng điểm nằm đường thẳng xác định mặt phẳng - Ba điểm không thẳng hàng xác định mặt phẳng

- Hai đường thẳng song song xác định mặt phẳng 2 Vị trí tương đối đường thẳng mặt phẳng:

a) Vị trí tương đối đường thẳng với đường thẳng không gian: - Hai đường thẳng trùng

- Hai đường thẳng song song

- Hai đường thẳng cắt Đặc biệt: Hai đường thẳng vng góc với - Hai đường thẳng chéo

b) Vị trí tương đối đường thẳng với mặt phẳng không gian: - Đường thẳng nằm mặt phẳng

- Đường thẳng cắt mặt phẳng Đặc biệt: Đường thẳng mặt phẳng vng góc với - Đường thẳng song song với mặt phẳng

c) Vị trí tương đối hai mặt phẳng không gian: - Hai mặt phẳng trùng

- Hai mặt phẳng song song với

- Hai mặt phẳng cắt Đặc biệt: Hai mặt phẳng vng góc với Phương pháp chứng minh:

- Hai đường thẳng trùng nhau, ta chứng minh chúng có hai điểm chung - Hai đường thẳng song song, dùng phương pháp hình học phẳng - Hai đường thẳng cắt nhau, ta chứng minh chúng có điểm chung

Đặc biệt: Hai đường thẳng vng góc với nhau, ta chứng minh chúng tạo thành góc vuông - Hai đường thẳng chéo nhau, ta chứng minh chúng khơng đồng phẳng khơng có điểm chung

Đặc biệt: Đường thẳng mặt phẳng vng góc với nhau, ta chứng minh: Đường thẳng vng góc với hai đường thẳng cắt nằm mặt phẳng

- Đường thẳng song song với mặt phẳng, ta chứng minh:

+ Đường thẳng mặt phẳng điển chung + Đường thẳng song song với đường thẳng nằm mặt phẳng cho

- Hai mặt phẳng trùng nhau, ta chứng minh cách xác định mặt phẳng - Hai mặt phẳng song song với nhau, ta chứng minh:

+ Hai mặt phẳng khơng có điển chung + Hai đường thẳng cắt nằm mặt phẳng song song với mặt phẳng

- Hai mặt phẳng cắt nhau, ta chứng minh chúng có đường thẳng chung

Đặc biệt: Hai mặt phẳng vng góc với nhau, ta chứng minh đường thẳng nằm mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng

B Phần cơng thức tính diện tích hình hình học: Diện tích xung quanh hình lăng trụ đứng là:

Với p chu vi đáy, l độ dài cạnh bên Diện tích tồn phần hình lăng trụ tổng diện tích xung quanh với hai lần diện tích đáy Thể tích hình lăng trụ đứng: Với B diện tích đáy, h độ dài đường cao lpSxq⋅= hBV = ⋅

2 Diện tích xung quanh hình chóp tính theo cơng thức:

Với p chu vi đáy, d độ dài đường cao mặt bên Thể tích hình chóp tính theo cơng thức: Với B diện tích đáy, h độ dài đường cao Diện tích xung quanh hình chóp cụt: Thể tích hình cóp cụt tính theo cơng thức: dpSxq⋅=21 hBV =31 ⋅ ()xq1Spp'd2=+ ()''31BBBBhV++=

3 Diện tích xung quanh hình trụ là: RhSxqπ=2

Thể tích hình trụ là: Diện tích xung quanh hình nón là: Thể tích hình nón là: Diện tích xung quanh hình nón cụt là: Thể tích hình nón cụt là: Hình cầu: hRV2p= RlSxqπ= hRV231p= ()lrRSxq+π= ()hRrrRV++π=2231

Diện tích mặt cầu là:; Thể tích hình cầu là: áp dụng: Các Bài tập dành cho “ tất học sinh”

24RSxqπ=334RV=

1 Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH, đường thẳng d vng góc với mặt phẳng (ABC) A Trên đường thẳng d lấy điểm K

a) Chứng minh BC KH ⊥

b) Kẻ AI đường cao tam giác KAH Chứng minh AI (KBC) ⊥

c) Cho AB = 15 cm, AC = 20 cm, AK = 16 cm Tính độ dài đoạn thẳng BC, KH, IH, IK tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (KBC)

2 Cho hình vng ABCD, O giao điểm hai đường chéo AC BD Một đường thẳng d vuông góc với mp (ABCD) O Lấy điểm S đường thẳng d, nối SA, SB, SC SD

a) Chứng minh AC (SBD) ⊥

b) Chứng minh mp (SAC) mp (ABCD) mp (SAC) mp (SBD) ⊥ ⊥ c) Tính SO biết AB = a SA = a

d) Tính diện tích xung quanh thể tích hình chóp S.ABCD

3 Cho tam giác ABC có độ dài cạnh a Đường thẳng d vng góc với mặt phẳng (ABC) trọng tâm G tam giác ABC Trên đường thẳng d lấy điểm S nối SA, SB, SC

a) Chứng minh SA = SB = SC

b) Tính diện tích tồn phần thể tích hình chóp S.ABC, cho biết SG = 2a Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành tâm O (như hình vẽ)

a) Tìm hình vẽ đường thẳng chéo với đường thẳng SA b) Tìm giao tuyến mặt phẳng (SAC) mặt phẳng (SBD)

c) Gọi M; N trung điểm SC; SD; chứng minh rằng: MN//AB MN song song với mặt phẳng (ABCD)



Bốn điểm A; B; M; N đồng phẳng

d) Tìm giao tuyến mặt phẳng (SBD) mặt phẳng (ABMN), suy giao điểm mặt phẳng (SBD) với đường thẳng AM Không xét mặt phẳng (ABMN) có tìm giao điểm khơng?

5 Cho tia Sx; Sy; Sz vng góc đơi lấy điểm A; B; C tia (khác S)

a) Chứng minh SC vng góc với mặt phẳng (SAB); SB vng góc với mặt phẳng (SAC); SA vng góc với mặt phẳng (SBC);

b) Chứng minh mặt phẳng (SAB); mặt phẳng (SBC); mặt phẳng (SCA) vng góc với đôi

c) Vẽ CH AB Chứng minh SH vng góc với AB Tính SH theo SA, SB, SC ⊥

6 Cho hình chữ nhật ABCD có AB =2cm; AD=4cm Từ A dựng AA’ vng góc với mặt phẳng (ABCD) AA’ =5cm

a) Chứng tỏ ?ACA’ vng, tính độ dài A’C b) Chứng tỏ ?BCA’ vng tìm lại độ dài A’C

c) Hãy vẽ thêm đỉnh B’; C’; D’ để hình hộp chữ nhật ABCD, A’B’C’D’ d) Tính diện tích tồn phần thể tích hình hộp chữ nhật

7 Cho ?ABC vng B có cạnh huyền AC = 6cm Từ A dựng AA’ vng góc với mặt phẳng (ABC) AA’ =4cm 030A=

a) Tính độ dài BA; BC; A’B; A’C

b) Tính thể tích ABCA’ hai cách khác

c) Hãy vẽ thêm hai đỉnh để hình lăng trụ có đáy ?ABC Tính thể tích hình lăng trụ Cho ?ABC cạnh a có trực tâm H; từ H dựng HS vng góc với mặt phẳng (ABC) 33aHS= a) Chứng tỏ S.ABC hình chóp tam giác

b) Tính diện tích xung quanh thể tích hình chóp

c) Gọi A’; B’; C’ trung điểm SA; SB; SC: Chứng tỏ ABC, A’B’C’ hình chóp cụt có chiều cao SH21



Tính diện tích tồn phần thể tích hình chóp cụt

9 Cho hình chữ nhật ABCD có AB =3cm; AD=4cm, quay vịng quanh cạnh BC a) Xác định tên gọi hình sinh yếu tố

b) Tính diện tích xung quanh thể tích hình

10 Cho tam giác vng ABC có hai cạnh góc vuông AB = 4cm; AC = 3cm, quay quanh AB vịng a) Xác định tên gọi hình sinh yếu tố

b) Tính diện tích xung quanh thể tích hình

c) Cắt hình mặt phẳng qua trung điểm I AB song song với mặt phẳng sinh đường thẳng CA Hãy gọi tên tính diện tích xung quanh, thể tích hai hình vừa cắt

11 Cho nửa hình trịn có đường kính AB quay vịng quanh AB a) Gọi tên hình sinh yếu tố