Phần A: Lý do chọn chuyên đềHệ phơng trình đối xứng là dạng toán hay trong chơng trình Toán của bậc học Phổ thông.. Điều đó giúp cho học sinh biết huy động các kĩ năng Toán vào việc giải
Trang 1Phần A: Lý do chọn chuyên đề
Hệ phơng trình đối xứng là dạng toán hay trong chơng trình Toán của bậc học Phổ thông
Để giải quyết tốt đợc bài toán dạng này, học sinh cần vận dụng nhiều kiến thức Toán Điều đó giúp cho học sinh biết huy động các kĩ năng Toán vào việc giải một bài toán cụ thể và còn rèn luyện cho học sinh kỹ năng về t duy Tính cần cù trong học tập, biết vận dụng các kiến thức đã học vào việc giải quyết một bài toán cụ thể
Chính vì lí do đó, nên tôi đã su tầm và dạy cho học sinh chuyên đề:
“Hệ phơng trình đối xứng”
Phần b: những nội dung cụ thể
I Hệ phơng trình đối xứng loại I:
Phần 1- Định nghĩa: Dựa vào lý thuyết đa thức đối xứng
- Phơng trình n ẩn x1, x2, , xn gọi là đối xứng với n ẩn nếu thay xi bởi xj; xj bởi xi thì phơng trình không thay đổi
- Khi đó phơng trình luôn biểu diễn đợc dới dạng:
x1 + x2 + + xn
x1x2 + x1x3 + + x1xn + x2x1 + x2x3 + + xn-1xn
x1x2 xn
- Hệ phơng trình đối xứng loại I là hệ mà trong đó gồm các phơng trình đối xứng
- Với học sinh phổ thông ta đa vào hệ đối xứng loại I với 2 ẩn số, với học sinh chuyên ta nên đa vào hệ đối xứng loại I với 3 ẩn số
- Để giải đợc hệ phơng trình đối xứng loại I ta phải có định lý Viet
*) Nếu đa thức F(x) = a0xn + a1xn-1 + an, a0 ≠ 0, ai P có nghiệm trên P là c1, , cn thì
1
0
2
1 2 1 3 1 n 2 1 2 3 n-1 n
0
n n
1 1 n
0
-a
c + c + + c =
a
a
c c + c c + + c c + c c + c c + + c c =
a
a
c c c =(-1)
a
phần 2 - Hệ ph ơng trình đối xứng loại I, 2 ẩn:
A Lý thuyết:
1.Định lý Vi-et cho ph ơng trình bậc 2 (lớp 10)
Nếu phơng trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 có 2 nghiệm x1, x2 thì
1 2
1 2
-b
S = x + x =
a c
P = x x =
a
Ngợc lại nếu 2 số x1, x2 có 1 2
1 2
x + x = S
x x = P
thì x1, x2 là nghiệm của phơng trình
X2 - SX + P = 0
2.Định nghĩa: Hệ gồm 2 phơng trình đối xứng gọi là hệ đối xứng loại I, 2 ẩn
Một phơng trình 2 ẩn gọi là đối xứng nếu đổi vị trí hai ẩn thì phơng trình không đổi
VD:
x + y + xy = 2
x + xy + y = 4
3.Cách giải:
+ Biểu diễn từng phơng trình của hệ qua x+y và xy
+ Đặt S = x+y, P = xy, ta có hệ mới chứa ẩn S, P Giải nó tìm S, P
+ Với mỗi cặp S, P ta có x, y là nghiệm của phơng trình X2 - SX + P = 0
+ Tuỳ theo yêu cầu của bài toán ta giải hoặc biện luận hệ ẩn S, P và phơng trình
======================================================== 1
Trang 2X2 - SX + P = 0 để có kết luận cho bài toán.
4.Bài tập:
Loại 1: Giải hệ đơn thuần
VD1: Giải hệ x + y + xy = 22 2
x + xy + y = 4
(I)
Giải: (I) (x + y) + xy = 22
(x + y) - xy = 4
Đặt S = x+y, P = xy ta có S + P = 22
S - P = 4
S + P = 22
S + S - 6 = 0
S + P = 2 S=2 S=-3
S = 2
P = 0
S = - 3
P = 5
Với S = 2, P = 0 có x, y là nghiệm của phơng trình X2 - 2X = 0 X = 0
X = 2
{(x;y)} = {(0;2); (2;0)}
Với S = -3, P = 5 có x, y là nghiệm của phơng trình X2 + 3X +5 = 0 vô nghiệm
Vậy hệ có tập nghiệm {(x;y)} = {(0;2); (2;0)}
Loại 2: Đối xứng giữa các biểu thức của ẩn
VD2: Giải hệ x (x + 2)(2x + y) = 92
x + 4x + y = 6
(II)
Giải: (II) x (x + 2)(2x + y) = 92
(x + 2x) + (2x + y) = 6
2x + y = 32
x + 2x = 3
Giải ra đợc nghiệm của hệ {(x;y)} = {(1;1); (-3;9)}
VD3: Giải hệ
5 5
x + y = 4
xy = - 2
Giải:
5 5
5 5
x + y = 4
x y = - 32
Vậy x5, y5 là nghiệm của phơng trình X2 - 4X -32 = 0 X = 8
X = - 4
Vậy
5 5 5 5
x = 8
y = - 4
x = - 4
y = 8
5 5 5 5
x = 8
y = - 4
x = - 4
y = 8
Chú ý: Với hệ có dạng
n n
x + y = a (1)
xy = b (2)
Trang 3+ Nâng hai vế của (2) lên luỹ thừa n và coi xn, yn nh nghiệm của phơng trình
X2 - aX + bn = 0
+ Giải và biện luận phơng trình bậc hai, sau đó lấy căn bậc n của nghiệm thu đợc
VD4: Giải hệ
x + xy + y = 19(x - y)
x - xy + y = 7(x - y)
(1) Giải : Đặt -y= t ta đợc hệ
2 2
x + t - xt = 19(x + t)
x + t + xt = 7(x + t)
(2)
Đăt S= x+t ,P= xt ta có
2
S - 3P = 19S
S - P = 7S
(3)
Giải (3) ta đợc S = 0, P = 0 và S = 1 và P = -6
Từ đó suy ra nghiệm của (2)
(1) có nghiệm (x; y) là (0; 0), (3; 2) ,(-2; -3)
VD 5: Giải hệ:
2(x + y) = 3( x y + xy )
x + y = 6
(1)
Giải: Đặt 3 x = u ; y = v ta có hệ 3
2
2(u + v ) =3(u v + uv )
u + v = 6
(2)
Hệ (2) là hệ đối xứng đối với u,v Giải (2) tìm u, v từ đó suy ra nghiệm của (1)
Loại 3: Giải và biện luận hệ theo tham số
VD6: Giải và biện luận hệ:
x y + = m
y x
x + y = 8
Giải: ĐK: x, y ≠ 0 Khi đó hệ trên tơng đơng với:
2 2
x + y
= m xy
x + y = 8
2
(x + y) - 2xy
= m xy
x + y = 8
64 = (m + 2)xy
x + y = 8
Với m = -2: Hệ vô nghiệm
Với m -2: Hệ tơng đơng với
64
xy = m+2
x + y = 8
(*)
Ta có (*) có nghiệm khác 0 khi 64 - 4 64 m-2
0 0 m+2 m+2 Vậy với m =2 thì hệ là x + y = 8
x = y = 4
xy = 16
với m >2 hoặc m < -2 thì hệ có hai nghiệm
với -2 < m < 2 thì hệ vô nghiệm
======================================================== 3
Trang 4VD7: Tìm m để hệ có đúng hai nghiệm
2
2 2
(x + y) = 4
x + y = 2(m + 1)
Giải: Đặt xy= P ,x+y = S hệ trở thành
2 2
S = 2
P = - m + 1
S - 2P = 2(m + 1)
S = - 2
S = 4
P = 1 - m
Vậy (x;y) là nghiệm của:
2 2
X - 2X + 1 - m = 0
X - 2X + 1 - m = 0
2 2
(X - 1) = m (X + 1) = m
Để hệ có đúng hai nghiệm thì m=0 khi đó 2 nghiệm là {(x;y)} = {(1;1); (-1;-1)}
Loại 4: Một số bài toán giải bằng cách đa về hệ
VD1: Giải hệ phơng trình: 3 3 3
x + 1 - x =
2 (ĐHSP-91) Giải: Đặt
3 3
x = u 1-x = v
Vậy ta có hệ :
3 3
3
u + v =
2
u + v = 1
2
3
u + v =
2 (u + v) (u + v) - 3uv = 1
3
u + v =
2 19 u.v = 36
u, v là nghiệm của phơng trình 2 3 19
X - X + = 0
2 36
6 + 5
u =
8
6 - 5
u =
8
3
3
6 + 5
u = ( )
8
6 - 5
u = ( )
8
Vậy phơng trình có 2 nghiệm {x} = { 6 + 5 3 6 - 5 3
VD2: Cho x, y, z thoả mãn: x + y + z = 5
xy + yz + xz = 8
(I) CMR: 7
1 x
3
Giải: (I) y + z = 5 - x
x(y + z) + yz = 8
Đặt y + z = S; yz = P y, z là ngiệm của phơng trình X2 - SX + P = 0
S2 - 4P 0
Trang 5Tõ hÖ cã S = 5 - x S = 5 - x2
Sx + P = 8 P = x - 5x + 8
VËy (5-x)2 -4(x2-5x+8) 7
0 1
3
x
Do vai trß cña x,y,z lµ nh nhau nªn ta cã 7 7
1 y ,1 z
B Bµi tËp:
I) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh:
1)
3 3
5 5 2 2
1
x y
(§HAN -97)
2)
2 2
4 2 2 4
5
13
x y
x x y y
(§HNT-98)
35
x y y x
x x y y
4)
2 2
4
2 8 2
5)
( 1)( 1) 72
x x y y
xy x y
6)
2 2
2 2
1 ( )(1 ) 5
1 ( )(1 ) 49
x y
xy
x y
x y
(§HNT_99)
7)
2 2
2 2
1 1
4
1 1
4
x y
x y
x y
x y
(§HAN-99)
8)
7 1 78
x xy y xy
(§H HH-99)
9)
2 2 3 3
4
280
x y
======================================================== 5
Trang 66 6
x + y = 1
x - 3x = y - 3y
11)
4 4
6 6
1 1
x y
x y
II giải Hệ phơng trình có tham số:
1 Giải và biện luận:
a) x y2 24 2
(QHQT-99)
b)
(129-III)
c)
1
2 5 2
2
2
x y
x y
x y
m
x y
(ĐHT-96)
2 Tìm các giá trị của m để hệ phơng trình
a) 5 4 4
1
x y xy
có nghiệm (ĐHQG-99)
1
x y xy m
x y xy m
có nghiệm duy nhất (HVQS-00)
c)
2
2 2
4
x y
có đúng hai nghiệm (19-I)
d) 2 22 21
2 3
có nghiệm (x; y) và x.y đạt nhỏ nhất (4I)
3 x xy y m2 2
(1II)
a Giải hệ khi m = 5
b Tìm các giá trị của m để hệ có nghiệm
4 2 2
3 8
x xy y m
x y xy m
(7I)
a Giải hệ khi m = 7/2
Trang 7b Tìm các giá trị của m để hệ có nghiệm
5
1
x xy y m
x y xy m
(40II)
a Giải hệ khi m=2
b Tìm giá trị m đẻ hệ có nghiệm (x,y) với x > 0, y > 0
6 Cho x,y,z thoả mãn;
2 2 2 2
1
xy yx xz
CMR: 4 4
, ,
3 x y z 3
III PHƯƠNG TRìNH GIảI BằNG CáCH ĐƯA Về Hệ
1 Giải phơng trình: 4 x1418 x 3 (ĐHKT-95)
2 Tìm m để mỗi ptrình sau có nghiệm
a 1 x 1x m (ĐHQG-98)
c 31 - x + 1 + x = m3 (ĐHNT-98)
phần 3 - Hệ ph ơng trình đối xứng loại I, 3 ẩn:
a Định nghĩa: Là hệ ba ẩn với các phơng trình trong hệ là đối xứng
b Định lý Vi-et cho ph ơng trình bậc 3:
Cho 3 số x, y, z có:
x + y + z = α
xy + yz + zx = β xyz = γ
Thì x, y, z ;à nghiệm của phơng trình X3 - αX2 + βX - γ = 0 (*)
Thậy vậy: (X - x)(X - y)(X - z) = 0
[ X2 - (x + y)X + xy ](X - z) = 0
X3 - X2z - X2(x + y) + (x + y)zX + xyX - xyz = 0
X3 - αX2 + βX - γ = 0
(*) có nghiệm là x, y, z phơng trình X3 - αX2 + βX - γ = 0 có 3 nghiệm là x, y, z
c.Cách giải:
+ Do các phơng trình trong hệ là đối xứng nên ta luôn viết đợc dới dạng α, β, γ
Khi đó ta đặt
x + y + z = α
xy + yz + zx = β xyz = γ
Ta đợc hệ của α, β, γ
+ Giải phơng trình X3 - αX2 + βX - γ = 0 (1) tìm đợc nghiệm (x, y, z) của hệ
Chú ý: (1) có nghiệm duy nhất hệ vô nghiệm
(1) có 1 nghiệm kép duy nhất hệ có nghiệm
(1) có 2 nghiệm : 1 nghiệm kép, 1 nghiệm đơn hệ có 3 nghiệm
(1) có 3 ngiệm hệ có 6 nghiệm
d Bài tập:
VD1: Giải hệ: 2 2 2
3 3 3
x + y + z = 2
x + y + z = 6
x + y + z = 8
Giải: áp dụng hằng đẳng thức ta có:
======================================================== 7
Trang 8x2 + y2 + z2 = (x + y + z)2 - 2(xy + yz + zx).
x3 + y3 + z3 = (x + y + z)3 - 3(x + y + z)(xy + yz + zx) + 3xyz
Vậy 6 = 22 - 2(xy + yz + zx) xy + yz + zx = -1
8 = 23 - 3.2.(-1) + 3xyz xyz = -2
x, y, z là nghiệm của phơng trình:t3 - 2t2 - t + 2 = 0
t = 1
t = - 1
t = 2
Vậy hệ có 6 cặp nghiệm (1;-1;2); (-1;1;2); (1;2;-1); (-1;2;1); (2;1;-1); (2;-1;1)
VD2: Giải hệ
x + y + z = 9 (1)
xy + yz + zx = 27 (2)
1 1 1 + + = 1 (3)
x y z
Giải: ĐK: x, y, z ≠ 0 Từ (3) xy + yz + zx
= 1 xyz
Do (2) xyz = 27
Vậy hệ
x + y + z = 9
xy + yz + zx = 27 xyz = 27
Do đó (x; y; z) là nghiệm của phơng trình: X3 - 9X2 + 27X - 27 = 0
(X - 3)3 = 0
X = 3
Vậy hệ có nghiệm là (3; 3; 3)
VD3: Giải hệ 2 2 2 2
x + y + z = a
x + y + z = a
x + y + z = a
Giải: x2 + y2 + z2 = (x + y + z)2 - 2(xy + yz + zx) xy + yz + zx = 0
x3 + y3 + z3 = (x + y + z)3 - 3(x + y + z)(xy + yz + zx) + 3xyz xyz = 0
Vậy có:
x + y + z = 0
xy + yz + zx = 0 0
xyz
(x; y; z) là nghiệm của phơng trình: X3 - aX2 = 0 X = 0
X = a
Vậy hệ có nghiệm là {(a; 0; 0); (0; a; 0); (0; 0; a)}
e.Chú ý: Có nhiều vấn đề cần lu ý khi giải hệ loại này
+ Với cách giải theo định lý Vi-et từ hệ ta phải đa ra đợc x + y + z; xy + yz + zx; xyz có thể nó là
hệ quả của hệ nên khi tìm đợc nghiệm nên thử lại
+ Vì là hệ đối xứng giữa các ẩn nên trong nghiệm có ít nhất 2 cặp nghiệm có cùng x, cùng y hoặc cùng z nên có thể giải hệ theo phơng trình cộng, thế
VD:
x + y + z = 9 (1)
xy + yz + zx = 27 (2)
1 1 1 + + = 1 (3)
x y z
Trang 9Giải: Rõ ràng x = 0, y = 0, z = 0 không là nghiệm của hệ
Với x ≠ 0, y ≠ 0, z ≠ 0, nhân hai vế của (3) với xyz ta có xy + yz + zx = xyz (4)
Từ (2) x2(y + z) + xyz = 27x (6)
Từ (1), (5), (6) ta có: x2(9 - x) + 27 - 27x = 0
x3 - 9x2 + 27x - 27 = 0
(x - 3)3 = 0 x = 3 Thay x = 3 vào (1), (5) ta có: y + z =6
yz = 9
y = z = 3
Vậy hệ có nghiệm là x = y = z = 3
Ii Hệ phơng trình đối xứng loại iI:
1.Hệ đối xứng loại 2, 2 ẩn:
A Định nghĩa:
- Hệ phơng trình 2 ẩn mà khi đổi vị trí hai ẩn trong hệ ta có phơng trình này trở thành phơng trình kia gọi là hệ đối xứng loại 2, 2ẩn
- Cách giải: Trừ từng vế của hai phơng trình ta có phơng trình tích có mối liên quan giữa x, y rồi thay vào 1 phơng trình của hệ
B Bài tập ví dụ:
VD1: Giải hệ
3 3
x = 3x + 8y
y = 3y + 8x
Giải:
(I)
3
x = 3x + 8y
(x - y)(x + xy + y + 5) = 0
3
x = 3x + 8y
x = y
x - 11x = 0
x = ± 11
x = y
x = y
Vậy hệ có tập nghiệm:
(x, y) = (0,0); ( 11, 11); (- 11,- 11)
VD2: Giải hệ:
4 4
x + y - 1 = 1
y + x - 1 = 1
Giải:
Đặt 4 x - 1 = u 0; y - 1 = v 0 4
Hệ trở thành
u + 1 + v = 1 u + v = 0
v + 1 + u = 1 v + u = 0
u = 0
v = 0
(Do u, v ≥ 0) x = 1
y = 1
Vậy hệ có nghiệm (1,1)
VD3: Cho hệ
2 2
x=y -y+m y=x -x+m
(I)
a.Tìm m để hệ có nghiệm
b Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất
======================================================== 9
Trang 10Giải:(I)
2 2
x = ± y
x - y = y - y - x + x
x = y - y + m
x = y - y + m
x = y - y + m x - 2x + m = 0
x = - y x = - y
x = y - y + m y + m = 0
a)Hệ có nghiệm
' x ' y
Δ 0 1 - m 0 m 1
m 0
- m 0 m 0
Δ 0
b) C1: Hệ có nghiệm duy nhất
' x ' y ' x ' y
Δ = 0
Δ < 0
Δ < 0
Δ = 0
1 - m = 0
- m < 0
1 - m < 0
- m = 0
m = 1.
Vậy m = 1
C2: Giả sử hệ có nghiệm (x0, y0) thì hệ cũng có nghiệm (y0, x0) Nếu hệ có nghiệm duy nhất thì điều kiện cần là x0 = y0
Thay x = y = x0 vào ta có x0 = x0 - x0 + m
x0 - 2x0 + m = 0
Do x0 cũng là duy nhất ∆’xo = 0 1 - m = 0 m = 1
Điều kiện đủ:
Thay m = 1 vào hệ ta có:
2 2
x = y - y + 1
y = x - x + 1
2
2 2
x = y - y + 1
x + y = x + y - x - y + 1
2
x = y - y + 1 x = 1
y = 1 (x - 1) + (y - 1) = 0
Vậy với m = 1 thì hệ có nghiệm duy nhất (1;1)
VD1: Giải phơng trình: x + 1 = 2 2x - 13 3 (73II)
Giải: Đặt 3 2x - 1 = t 2x - 1 = t3
Ta có hệ
3 3
x + 1 = 2t
t + 1 = 2x
3
x + 1 = 2t (x - t)(x + xt + t + 1) = 0
3
x - 2x + 1 = 0
x = t
2
(x - 1)(x + x - 1) = 0
x = t
x = 1
- 1 ± 5
x =
2
Vậy phơng trình có 3 nghiệm 1; - 1 ± 5
2 .
C Bài tập:
1.Giải hệ phơng trình:
Trang 111 3 2x + =
y x
1 3 2y + =
x y
(ĐHQG - 99)
b
2
2
3 2x + y =
x 3 2y + x =
y
(ĐHTL- 01)
c
3
3
x + 1 = 2y
y + 1 = 2x
(ĐHTN - 01)
d x + y + 9 = 9
y + x + 9 = 9
(TH - 94)
e x + 2 - y = 2
y + 2 - y = 2
(TH - 96)
g x + 5 + y - 2 = 7
y + 5 + y - 2 = 7
(ĐHNG - 00)
h
2 2
x = 1 - y
y = 1 - x
2
2
2
x - (x + y) = 2m
y - (x + y) = 2m
(ĐHCĐ - 99)
a Giải hệ với m = 0
b Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất
3 Tìm m để hệ:
x = y + 7x - mx
y = x + 7y - my
có nghiệm duy nhất
4 Giải phơng trình: a x + x + 5 = 52 (112III)
b x - 3 3x + 2 = 23 3 (TH - 94)
2 Hệ ph ơng trình đối xứng loại 2, 3 ẩn:
A Dùng chủ yếu là phơng pháp biến đổi tơng đơng bằng phép cộng và thế Ngoài ra sử dụng sự
đặc biệt trong hệ bằng cách đánh giá nghiệm, hàm số để giải
B Ví dụ: Giải hệ
2
2
2
x + 2yz = x (1)
y + 2zx = y (2)
z + 2xy = z (3)
Giả bằng cách cộng (1), (2), (3) và lấy (1) trừ đi (2) ta có hệ đã cho tơng đơng với hệ
2
2
x + 2yz = x (x + y + z) = x + y + z (x - y)(x + y - 2z - 1) = 0
======================================================== 11
Trang 12Hệ này đơng tơng với 4 hệ sau:
x + 2yz = x x + 2yz = x
x + y + z = 0 (I) x + y + z = 0 (II)
x =y x + y - 2z - 1 = 0
x + 2yz = x x + 2yz = x
x + y + z = 1 (III) x + y + z = 1 (IV)
x =y x + y - 2z - 1 = 0
Giải (I):
(I)
2
x + 2yz = x
2y + z = 0
x = y
2
x + 2yz = x
z = - 2x
x = y
2 2
x - 4x = x
z = - 2x
x = y
x = 0 -1
x = 3
z = - 2x
x = y
Vậy (I) có 2 nghiệm (0;0;0); (-1 -1 2
; ;
3 3 3) Làm tơng tự (II) có nghiệm (2 -1 -1
; ;
3 3 3 );(
-1 2 -1
; ;
3 3 3 )
Hệ (III) có nghiệm (0;0;1); (1 1 1
; ;
3 3 3)
Hệ (IV) có nghiệm (0;1;0); (1;0;0)
Vậy hệ đã cho có 8 nghiệm kể trên
VD2: Giải hệ phơng trình:
2 2
2 2
x + y + z = 1
x + y + z = 1
x + y + z = 1
Giải: Hệ
2 2
x + y + z = 1 (y - z)(y + z - 1) = 0 (x - z)(x + z - 1) = 0
x + y + z = 1 x + y + z = 1 y=z (I) y = z (II) x=z x + z - 1 = 0
x + y + z = 1 x + y + z = 1
z + y - 1 = 0 (III) z + y -
x = z
1 = 0 (IV)
x + z - 1 = 0
Giải các hệ bằng phơng pháp thế đợc 5 nghiệm (-1;-1;-1); (0;0;1); (0;1;0);