Sáng kiến kinh nghiệm năm học- 2009 - 2010

Sáng kiến kinh nghiệm năm học- 2009 - 2010 tài liệu, giáo án, bài giảng , luận văn, luận án, đồ án, bài tập lớn về tất c...

Giáo viên trường trung học cơ sở Buôn Trấp

Trình độ chuyên môn : ĐẠI HỌC SƯ PHẠM – CHUYÊN NGÀNH TOÁN

I/ LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI:

Toán học là một trong những bộ môn khoa học tự nhiên, được phát sinh từ nhu cầuthực tế của con người Dạy toán là dạy hoạt động toán học cho học sinh, trong đó giải bài tập

là hình thức chủ yếu, do đó dạy học giải bài tập có một vị trí vô cùng quan trọng

Đặc trưng của bài tập bộ môn toán nói chung, và thể loại toán về “bất đẳng thức” nóiriêng vô cùng rộng lớn và phong phú cả về thể loại, nội dung cũng như mức độ yêu cầu củatừng thể loại đó Nó luôn là cơ sở, là nền tảng vững chắc cho bộ môn toán học và các bộmôn khoa học tự nhiên khác Loại bài tập này vận dụng được cho nhiều đối tượng học sinhtrong một lớp, một khối và trong nhiều cấp học Đặc biệt dạng bài tập về bất đẳng thức đượcđánh giá là loại bài nhằm phát triển tư duy trí tuệ của học sinh Nó thường được đóng vai tròlàm câu khống chế điểm 9, điểm 10 trong các đề kiểm tra, đề thi hằng năm Nhằm giúp giáoviên chúng ta dễ dàng phát hiện, phân loại đối tượng học sinh, chọn lựa học sinh khá, giỏitrong quá trình dạy học Nếu học sinh biết giải và giải thành thạo loại toán này thì việc học

bộ môn toán sẽ không còn là rào cản hay thách thức đối với học sinh Thế nhưng, theo nhậnđịnh chủ quan của bản thân thì khả năng nhận thức, vận dụng kiến thức bộ môn toán vàothực tiễncũng như niềm đam mê toán học của học sinh hiện nay còn quá khiêm tốn

Toán học là môn học luôn mang tính kế thừa, có nắm chắc kiến thức cơ bản về “bấtđẳng thức” biết vận dụng thành thạo kiến thức này trong việc giải bài tập thì may chăng mới

có thể mở rộng và nâng cao kiến thức sau này Đó là cơ hội để bước vào trường chuyên, lớpchọn, tương lai vào các trường đại học theo mong ước Người ta thường nói ( móng có chắcthì tường mới vững )

Qua nhiều năm dạy học, qua nhiều kì kiểm tra và không ít lần được chọn bồi dưỡnghọc sinh giỏi, bản thân tôi nhận thấy khả năng tiếp thu và vận dụng kiến thức của học sinhcũng như việc ra đề kiểm tra về mảng kiến thức “bất đẳng thức” của một số không ít họcsinh và ngay cả giáo viên vẫn còn nhiều lúng túng Đề bài thường mang tính khuôn mẫu haysao chép từ nhiều tài liệu khác nhau Kết quả bài làm của học sinh còn đặt nặng tính may rủi.Nếu mỗi giáo viên chúng ta cùng nhìn thấy được tầm quan trọng của loại toán này, biết dựavào sự phong phú và tính đa dạng của nó thì chắc chắn khi đứng lớp chúng ta có thể tự tinchủ động được kiến thức Khôn khéo lựa chọn phương pháp giải phù hợp đối với từng loạibài tập cụ thể Hơn thế, mỗi giáo viên chúng ta có thể linh hoạt hơn trong việc giúp học sinhkhắc phục sai lầm khi giải bài tập Tự cải biên đề bài, ra đề bài phù hợp với khả năng củanhiều học sinh Có thể mở rộng, nâng cao kiến thức ngay trên một tiết học Việc làm nàykhông những phù hợp với nhiều đối tượng học sinh, tạo cho không khí lớp học thêm phầnsinh động mà còn phát huy được tố chất toán học đang tiềm ẩn trong mỗi học sinh Đáp ứngđược nhu cầu đổi mới phương pháp dạy học toán hiện nay Thuận lợi cho giáo viên trongviệc phụ đạo học sinh yếu kém, đồng thời bồi dưỡng học sinh khá giỏi

Vậy làm thế nào để mỗi giáo viên chúng ta tự tin hơn, làm chủ được mảng kiến thức

về “Bất đẳng thức” khi truyền tải đến với học sinh, hướng dẫn và giúp học sinh biết tránh sailầm thường mắc khi giải loại bài tập này Từ đó biết cải biên đề bài, tạo mới hệ thống bàitập, biết vận dụng khả năng mở rộng kiến thức nhằm dễ dàng đạt được điểm tối đa trong cácbài kiểm tra, bài thi Giáo viên khi thực thi tiết dạy, không còn quá lệ thuộc vào sách giáokhoa.Đặc biệt hơn, đó là việc ra đề thi, đề kiểm tra ít có, hoặc không có sự trùng lặp đề nămnay với đề năm trước, đề kì này với đề kì trước Chấm dứt được sự ỉ lại hay mong chờ mayrủi trong thi cử, kiểm tra của học sinh Đó chính là lí do mà đề tài cần quan tâm

II/ ĐỐI TƯỢNG, CƠ SỞ VÀ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU:

1) Đối tượng nghiên cứu : Học sinh và một số giáo viên dạy toán của trường trung

học cơ sở Buôn Trấp và các trường lân cận trong huyện Krông Ana, Tỉnh Đắc Lắc

2) Cơ sở nghiên cứu : Căn cứ vào chất lượng học sinh từ lớp 8 đến lớp 9 và học sinh

lớp 9 thi vào lớp 10 các trường THPT, trường THPT chuyên của các năm 19961997; 1997 1998; 2001- 2002; 2002 - 2003; 2005 - 2006 và năm học này

-3) Phương pháp nghiên cứu : Phối hợp đồng loạt tất cả các phương pháp: “trò

chuyện”, “đàm thoại”, “phỏng vấn trực tiếp, gián tiếp”, “điều tra trên phiếu học tập, thôngqua kết quả các bài kiểm tra 15 phút, 45phút, 90 phút, đề thi học sinh giỏi các cấp, đề thi vàolớp 10 THPT qua nhiều năm,v v

Tài liệu nghiên cứu: Sách giáo khoa, sách giáo viên trong toàn cấp học Các đầu sáchtham khảo xuất bản của bộ giáo dục và đào tạo nói về Bất đẳng thức Sách nói về phươngpháp dạy học – dạy học giải bài tập ( của trường đại học sư phạm) v v

III/ NỘI DUNG VÀ KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU :

1) Nhiệm vụ của đề tài : Thực ra, loại toán có dạng “bất đằng thức” các em đã tiếp

cận ngay từ cấp tiểu học Tuy nhiên mức độ yêu cầu của bài tập chỉ mới dừng lại ở phạm vi:quan sát so sánh, điền dấu ( >; < ) vào ô trống hoặc biểu thức nào lớn hơn ? vì sao ? Đối vớihọc sinh lớp 6, lớp 7 các dạng bài tập về bất đẳng thức được tăng dần với mức độ từ thấpđến cao, tuy nhiên cụm từ “bất đẳng thức” vẫn còn là bí mật Có chăng cũng chỉ là dạng bài:

so sánh biểu thức A và biểu thức B; khẳng định sau đúng hay sai? Vì sao? ; chứng minhbiểu thức A > B hoặc A < B Lên đến lớp 8 lớp 9, yêu cầu về mức độ nhận thức cũng nhưvận dụng kiến thức có sự đòi hỏi cao hơn Các em cũng đã biết vận dụng định nghĩa, tínhchất và một số phương pháp thông thường để giải bài tập bất đẳng thức, biết tìm điều kiệncủa chữ để một biểu thức luôn dương, luôn âm, hay biểu thức này lớn hơn biểu thức kia.Vấn đề mà đề tài cần quan tâm ở đây là: Mức độ hiểu biết, nhận thức và khả năng vận dụngkiến thức về “bất đẳng thức” đối với cả giáo viên và học sinh cần phải đạt ở mức cao hơn,linh hoạt, sáng tạo hơn

Đối với học sinh, là người được lĩnh hội kiến thức và vận dụng kiến thức nhằm pháthuy năng lực, phát triển trí tuệ Để việc tiếp thu cũng như vận dụng có hiệu quả về mảngkiến thức này, đòi hỏi các em phải có sự cần cù, chịu khó, biết liên tướng, ghép nối các kiếnthức đã được học một cách liên tục, lôgic, có hệ thống Kiến thức có trước bao giờ cũng làtiền đề cho kiến thức có sau Và ngược lại, kiến thức có sau là sự kế thừa hoặc mở rộng từkiến thức có trước Chính vì vậy học sinh phải có sự đam mê trong việc tự học, tự nghiêncứu và vận dụng Việc làm này, yêu cầu này đối với mọi học sinh thật không dễ chút nào

- Đối với giáo viên, là người trực tiếp truyền tải kiến thức đến với học sinh, là ngườichịu trách nhiệm trong việc ra đề thi, kiểm tra, đánh giá chất lượng học sinh Chất lượng day

-học của thầy được đánh giá bằng sự cân, đo, đong, đếm qua sự đam mê, tự giác nghiên cứu

và hiệu quả vận dụng kiến thức của học sinh thông qua các kì thi Do đó, ngoài việc chăm lotrang bị cho mình có một nghiệp vụ sư phạm vững vàng, một hành trang kiến thức vữngchắc, người giáo viên chúng ta cần phải thường xuyên học hỏi, tự trau dồi cho mình một kĩnăng và nghệ thuật sư phạm trên bục giảng Đặc biệt đối với loại bài tập “bất đẳng thức”,được mệnh danh là loại bài tập khó dạy, khó học nhất Như chúng ta đã biết, việc giải bài tập

là một yêu cầu quan trọng đối với mọi học sinh Hơn nữa, loại bài tập về chứng minh “bấtđẳng thức” rất khó nêu lên một phương pháp tổng quát để chứng minh, do tính đa dạng củacác bất đẳng thức phải chứng minh cũng như các phương pháp chứng minh Vì vậy, khi dạybài tập loại toán này, người dạy không chỉ đơn thuần cung cấp kiến thức mà còn dạy cho họcsinh biết cách suy nghĩ, tìm ra con đường giải Từ đó rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thứcmột cách linh hoạt, sáng tạo để cải biên đề bài, tạo mới hệ thống bài tập Nhằm hình thành

tư duy, phát triển năng lực trí tuệ cho học sinh Đó là nhiệm vụ không thể xem nhẹ đối vớimỗi giáo viên chúng ta

A: GIẢI BÀI TẬP “BẤT ĐẲNG THỨC”

Là giáo viên dạy toán, hẳn ai cũng thấy được việc dạy học sinh biết giải và giải thànhthạo bài tập về đẳng thức đã khó thì việc dạy giải bài tập về “bất đẳng thức” lại càng khóhơn Bởi lẻ khái niệm bất đẳng thức thức vô cùng phức tạp, một bất đẳng thức có thể đúng,nhưng lại có thể sai, đúng trong miền xác định này nhưng lại sai trong miền xác định khác

Ví dụ : 3x +1 > 2x + 5 có giá trị chân lí đúng với mọi x > 4 , nhưng lại sai với mọi x  4 Ngôn ngữ của bất đẳng thức lại được diễn đạt theo nhiều nghĩa khác nhau ( >; < ;   ; ; lớn ,hơn, bé hơn, không lớn hơn, không nhỏ hơn) Nếu học sinh không nắm vững định nghĩa,tính chất của bất đẳng thức thì e rằng việc giải bài tập dạng này thật là khó khăn Để đạtđược nhiệm vụ chung nói trên, cả giáo viên và học sinh cần phải hiểu một cách sâu sắc vànắm vững định nghĩa, tính chất của bất đẳng thức

*Định nghĩa1:Hai biểu thức A và B được nối với nhau bởi một trong các quan hệ( <;  ; >;

) thì ta nói có một bất đẳng thức chẳng hạn: (A>B ; A < B ; A B ; A B) là các bất đẳngthức

Chú ý: a2 0 với aR a2>0 với aR a 0

* Một số bất đẳng thức thường dùng trong khi giải bài tập

Từ đó tìm và chọn lựa phương pháp giảng dạy phù hợp cho từng loại bài, đáp ứng phần lớnnhu cầu của từng đối tượng cần học

Cho dù sử dụng phương pháp dạy học nào thì trước khi dạy giải bài tập, giáo viênchúng ta cần phải cho học sinh được ôn lại kiến thức lí thuyết bổ trợ cho bài tập Nắm được

lý thuyết, hiểu và biết vận dụng, chắc chắn sẽ thành công phần lớn trong việc giải bài tập.Mặc dầu chưa có một phương pháp tổng quát nào nói về chứng minh: “Bất đẳng thức” Song

từ các bài tập cụ thể và yêu cầu cụ thể ta có thể đưa ra “Một số” phương pháp đại cương saudùng để giải bài tập dạng này

+ Phương pháp so sánh

+Phương pháp xét hiệu (dựa vào định nghĩa)

+ Phương pháp biến đổi tương đương (phương pháp biến đổi trực tiếp )

+ Phương pháp dùng bất đẳng thức có sẵn

+ Phương pháp phân tích số hạng

Để giúp giáo viên và học sinh thuận lợi, dễ dàng hơn trong việc dạy cũng như việchọc giải bài tập về bất đẳng thức, Ta có thể tạm chia các bài tập dạng này thành hai loại.( Loại bài có sẵn thuật toán và loại bài chưa có sẵn thuật toán ) Sau đây là một số bài tập cụthể minh họa cho nhận định trên

A.1/ Loại bài tập có sẵn thuật toán :

-Đối với loại bài tập đã có thuật toán, khi dạy giáo viên chúng ta yêu cầu học sinhkhông được xem nhẹ vì đây là cơ sở quan trọng để tiến tới giải các bài tập có nội dung khóhơn, phức tạp hơn Do vậy học sinh cần hiểu rõ thuật toán là:

+ Năm vững quy tắc giải đã học

+ Nhận dạng đúng bài toán

+ Giải theo quy tắc một cách thành thạo

Đối với học sinh lớp 6, lớp 7 các bài tập về “bất đẳng thức” cũng chỉ là dạng bài: sosánh biểu thức A và biểu thức B; khẳng định sau đúng hay sai? Vì sao? Chứng minh số A >số B hoặc số A < số B, cụm từ “ bất đẳng thức” vẫn còn là bí mật

Ví dụ 1: a) so sánh : 200300 với 300200 hoặc chứng minh 200300 > 300200

b) So sánh : -200300 với -300200 hoặc chứng minh -200300 < -300200

c)So sánh : 200-300 với 300-200 hoặc chứng minh 1300 1200

Để dạy loại bài tập này giáo viên chúng ta nên cho học sinh ôn lại kiến thức lũy thừa, nângmột lũy thừa lên một lũy thừa, so sánh hai lũy thừa có cùng cơ số hoặc cùng số mũ So sánhcác số nguyên âm, so sánh nghịch đảo của các số nguyên dương Từ đó hướng dẫn các embiến đổi các số đã cho về mục đích cần so sánh của mình, dùng phép biến đổi từng vế:

1.2 2.3  2009.2010< 1 Đây là một dạng bài quen thuộc, phổ biến rộng rãi trong toàn cấp học Vận dụng được chonhiều đối tượng học sinh, nó tính chất giúp học sinh phát triển trí tuệ, hình thành năng lực tưduy, rèn luyện kĩ năng trình bày lời giải bài tập Vì vậy, khi dạy loại toán này giáo viênchúng ta yêu cầu học sinh nhận xét đặc điểm của từng phân số, tìm ra điểm giống nhau củacác phân số, từ đó rút ra được công thức tổng quát chung cho mọi phân số, tiến hành thựchiện công thức theo thuật giải

Ta có : n n. 1 1  1n n11

1.2 1 2 2.3   2 3 nên

+ Đối với lớp 6, 7 thì yêu cầu: Chỉ ra được công thức tổng quát, vận dụng công thức để tínhgiá trị của biểu thức A.

+ Đối với lớp 8, lớp 9 thì yêu cầu: Chỉ ra và chứng minh được được công thức tổng quát.Dựa vào công thức, dùng khả năng tư duy, lập luận để khẳng định A < 1 hoặc A không là số

Mỗi loại bài tập trên đều có thể triển khai đồng thời cho nhiều đối tượng học sinhtrong một lớp, nhiều lớp trong một khối Chính vì vậy mỗi giáo viên chúng ta trước khi dạydạng này cần nghiên cứu kĩ, tìm hiểu nội dung, mức độ yêu cầu cho từng đối tượng học Để

từ đó cân nhắc, chọn lọc, sắp đặt số lượng bài tập từ dễ đến khó, phân chia bài tập theo nhiềumức độ, đảm bảo tính hệ thống, lôgic, phù hợp cho từng đối tượng học sinh Được như vậythì giờ học mới trở nên lí thú, cuốn hút được học sinh, phù hợp phong trào “Xây dựngtrường học thân thiện, học sinh tích cực” Giáo viên tăng cường cho học sinh cải biên đề bài,tạo ra hệ thống bài tập mới ( bằng cách thay đổi một số dự kiện thích hợp ) Việc làm nàykhông ngoài mục đích khích lệ tinh thần tự học, phát huy tính sáng tạo, phát triển năng lựctrí tuệ, khơi dậy tố chất toán học đang tiếm ẩn trong mỗi học sinh

 Ưu điểm và hạn chế: Các dạng bài đã nêu trên cơ bản đều đơn giản, dễ hiểu, dễ vận

dụng dễ cải biên đề bài Kiến thức được nâng dần từ dễ đến khó, giúp cho học sinh thuộcdiện đại trà cảm nhận được học toán không phải là quá khó Từ đó giúp các em bớt đi mặccảm lo sợ khi học toán Thấy được vẫn còn tia hy vọng về khả năng học toán Phát huy đượctính tích cực, sáng tạo của học sinh khá giỏi Giúp cho giáo viên dễ dàng truyền thụ kiếnthức, cũng như ra đề kiểm tra phù hợp nhiều đối tượng Đáp ứng được nhu cầu đổi mớiphương pháp dạy học hiện nay Hơn thế nữa là thuận lợi cho giáo viên trong việc phụ đạoyếu kém, củng cố kiến thức cơ bản, bồi dưỡng cho học sinh khá giỏi ngay trong một tiết học

- Hạn chế : Đôi khi giáo viên không chủ động được thời gian ( vì lượng bài tập đưa ra quánhiều) Nề nếp lớp học không theo ý muốn

A.2/ Loại bài tập chưa có sẵn thuật toán:

Loại bài tập này chiếm một số lượng khá lớn, nó gây cho học sinh và cả giáo viênkhông ít khó khăn, dẫn đến tâm lí sợ và ngại, thiếu tự tin vào khả năng của mình Đây là mộttrở ngại lớn cho chí tiến thủ vươn lên trong học tập của học sinh và trong dạy học của giáoviên Khi dạy học sinh giải bài tập dạng này, giáo viên chúng ta không chỉ đơn thuần cungcấp lời giải mà quan trọng hơn là dạy cho học sinh biết cách suy nghĩ, tìm ra con đường hợp

lí để giải bài toán Bởi vì “tìm được cách giải một bài toán là một điều phát minh” ( Pôlia –1975) Để giúp giáo viên và học sinh thuận lợi hơn trong khi trình bày lời giải dạng toán

-này, ta có thể sử dụng một số phương pháp đại cương thông thường Thông qua lượng đồgiải toán 4 bước của Pôlia.như sau

B1:Tìm hiểu kĩ nội dung bài tập B2: Xây dựng chương trình giải

B3: Thực hiện chương trình giải B4: Nghiên cứu lời giải

Mỗi giáo viên đều phải hiểu được, đây không phải là một thuật toán để giải bài tập, mà nóchỉ mang tính chất hướng dẫn, gợi ý giúp cho giáo viên vận dụng vào từng bài cụ thể Đócũng là sáng tạo trong dạy học

Sau đây là một số ví dụ cụ thể minh họa cho nhận định trên

e) ( a10 + b10)(a2 +b2) (a8 + b8)( a4+b4)

Đối với loại bài tập này, giáo viên cho học sinh quan sát kĩ đề bài, tìm hiểu xem bàitoán cho biết điều gì, yêu cầu ta phải làm gì ? Để giải được bài tập dạng này ta cần liên hệgiữa cái đã cho và cải phải tìm, dùng phương pháp phân tích để biết vận dụng những kiếnthức nào ? Nếu khó quá, học sinh không thể trả lời thì giáo viên chúng ta nên có một số câuhỏi phụ, nhằm gợi ý, giúp học sinh xây dựng được chương trình giải Sau đó giáo viên phốihợp với học sinh cùng thực hiện chương trình giải theo hướng đã định

Xét hiệu, biến đổi biểu thúc về dạng phân thức ( bằng các phép toán thông thường ) Sau đó

lí luận dấu của tử và mẫu dẫn tới phân thức không âm rồi kết luận 1 2 1 2 2

1a 1b 1ab với ab >1.dấu “ = “ xảy ra  a = b

Tương tự với các câu c, câu d: Giáo viên cho học sinh xét hiệu, phân tích đa hức thành nhân

tử ( bằng các phương pháp nhóm, đặt nhân tử chung ) Lưu ý các nhân tử phải có dạng theomong muốn ( không âm hoặc luôn dương ) Sau đó lập để suy ra điều cần chứng minh Giáoviên nhấn mạnh cho học sinh, phải luôn xét điều kiện để dấu “ = “ xảy ra

Chẳng hạn :

Câu c: a3 + b3 - a2b - ab2 =a b  2 a b  0vì a>0; b>0 ; (a-b)2 0

Câu e:( a10 + b10)(a2 +b2) - (a8 + b8)( a4+b4) = a b a2 2 2 b2 2 a4a b2 2b40vì a2b2

0;( a2 –b2 )0; (a4 +a2b2 +b4) > 0

Vậy ( a10 + b10)(a2 +b2) (a8 + b8)( a4+b4) Dấu “ = ” xảy ra 

b)Phương pháp biến đổi tương đương (phương pháp biến đổi trực tiếp )

Để giải được loại bài tập chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp biến đổi tươngđương, trước tiên giáo viên cho học sinh hiểu rõ và nắm vững quy trình biến đổi tươngđương của bất đẳng thức như sau: Để chứng minh A  B ta biến đổi tương đương như sau:

A  B   C  D

Cuối cùng bất đẳng thức C  D là đúng Khi đó ta kết luận A  B đúng ( đpcm)

Ví dụ 1: Chứng minh rằng : với a,b,c,d,e,R thì : a2 + b2 + c2 + d2 + e2  a ( b+c+d+e)

Muốn giải được bài tập này bằng phương pháp trên, giáo viên cho học sinh nhận xétcác hạng tử của vế trái và các hạng tử sau khi khai triển của vế phải, từ đó giúp các em thấyđược sự cần thiết phải nhân thêm số 2 vào cả hai vế Khai triển, chuyển vế và đưa về dạngtổng các bình phương của các biểu thức Sau đó dùng lập luận và kết luận bài toán Cụ thểbài toán được giải như sau

a2 + b2 + c2 + d2 + e2  a( b+c+d+e) 2(a2 + b2 + c2 + d2 + e2)  2a( b+c+d+e)

Ta có : a2 + 4b2 + 4c2  4ab - 4ac + 8bc  : a2 + 4b2 + 4c2 - 4ab + 4ac - 8bc

a2 4ab4b24c24ac 8bc0  a 2b22.2 c a  2b  2c2  a 2b2c2 0

Ví bất đẳng thức sau đúng nên a2 + 4b2 + 4c2

 4ab - 4ac + 8bc đúng dấu “=” xảy ra khi vàchỉ khi a +2c = 2b

* Ưu điểm : Với các ví dụ và hai phương pháp giải trên, cơ bản vận dụng các phépbiến đổi hằng đẳng thức, nhân đơn đa thức, phân tích thành nhân tử đơn giản, dể hiểu Phùhợp nhiều đối tượng học sinh Thỏa mãn được nhu cầu người học Gây được nhiều hứng thúcho học sinh trong giờ học Học sinh tích cực xây dựng bài, đáp ứng đổi mới phương phápdạy học trong giai đoạn hiện nay

* Hạn chế: Một số bài khó nhìn ra được hằng đẳng thức, đòi hỏi phải phân tích kĩ họcsinh mới có thể hiểu, mặt khác đối tượng học không được đồng đều nên đôi khi giáo viênkhông chủ động được thời gian Nề nếp lớp học không theo ý muốn

c)Phương pháp dùng bất đẳng thức có sẵn :

Trong giải bài tập, các bất đẳng thức có sẵn đóng một vai trò vô cùng quan trọng Nó

là công cụ sắc bén giúp ta giải quyết nhanh, chính xác được nhiều bài tập mà ta tưởng chừngnhư không thể giải được Vì vậy trước khi giải loại bài tập này, giáo viên chúng ta cần chohọc sinh hiểu và nắm vững một số bất đẳng thức thông dụng đối với chương trình thực học + Bất đẳng thức có dạng bình phương : a b 2 0với mọi a, b

+Bất đẳng thức Côsi(cau chy): Với hai số không âm a và b ta có

c d

Sau đây là một số ví dụ minh họa giải bằng phương pháp dùng bất đẳng thức có sẵn

Ví dụ : loại bài dùng bất đẳng thức có “dạng bình phương”

a) Mức độ thấp: Chứng minh rằng : a2 + b2 +c2

 ab + bc + caBất đẳng thức dạng bình phương của một tổng hoặc một hiệu được phổ biến thôngdụng nhất đối với chương trình cấp trung học cơ sở Vận dụng phù hợp được cho nhiều đốitượng học sinh Trước khi dạy giải bài tập này, giáo viên cho học sinh ôn lại tính chất mở

-rộng của bất đẳng thức Yêu cầu học sinh nhận xét các hạng tử ở hai vế của bất đẳng thức, từ

đó nêu hướng sử dụng bất đẳng thức nào Trả lời được yêu cầu này không khó đối với họcsinh Do vậy bài tập dễ dàng được giải quyết như sau:

Ta có: a b 2 0 a2 - 2ab + b2  0  a2 + b2  2ab với a,b

* Loại bài dùng bất đẳng thức Côsi

Đối với chương trình trung học cơ sở, Bất đẳng thức Côsi là một trong những bấtđẳng thông dụng nhất thường xuất hiện nhiều trong hai dạng bài tập.“chứng minh bất đẳngthức” Tìm giá trị nhỏ nhất hoặc giá trị lớn nhất” của biểu thức

Mỗi loại bài tập đều có thể triển khai đồng thời cho nhiều đối tượng học sinh trongmột lớp, nhiều lớp trong một khối Chính vì vậy mỗi giáo viên chúng ta trước khi dạy loạitoán nào cần nghiên cứu kĩ, tìm hiểu nội dung, mức độ yêu cầu cần truyền thụ cho đối tượnghọc Để từ đó cân nhắc, chọn lọc, sắp đặt số lượng bài tập từ dễ đến khó, phân chia bài tậptheo nhiều mức độ, đảm bảo tính hệ thống, lôgic, phù hợp cho từng đối tượng học sinh.Được như vậy thì giờ học mới trở nên lí thú, cuốn hút được học sinh Tạo được sự thânthiện giữ thầy và trò

*/ Dạng 1: Chứng minh bất đẳng thức

Ví dụ1: Mức độ 1 ( dành cho nhiều đối tượng )

Cho a,b,c 0 chứng minh rằng : (a + b)( b +c )(c +a ) 8abc

-Với bài này, cho học sinh nhận xét từng cặp số đối chiếu điều kiện bất đẳng thức Côsi, sau

đó áp dụng cho từng cặp số Rồi dùng tính chất mở rộng nhân vế theo vế của bất đẳng thức

ta được điều phải chứng minh Cụ thể

ba biểu thức không âm Cụ thể:

ta cần cặp số sau: a và b +1

Vì a 4 ; ab12 nên a > 0 , b > 0  b +1 > 0 Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số

a và b + 1 Ta có a + (b +1) 2 a b ( 1)  a + (b +1) 2 ab a  a + b +1 2 12 4 =8

 a + b = 7

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b + 1  a = 4 , b = 3

*/ Dạng 2: Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất : Loại bài tập tìm giá trị nhỏ nhất “min”

hay giá trị lớn nhất “max” được gọi chung là toán cực trị Để giải loại bài tập này, cần nhấnmạnh cho học sinh ngoài việc tìm min , tìm max cần xét điều kiện dấu “=” xảy ra

Ví dụ 1: Cho x 2 Tìm min của x 1

x



Muốn tìm min của biểu thức ta phải biến đổi biểu thức về dạng lớn hơn hoặc bằngmộtsố Xét điều kiện dấu “=” xảy ra, dùng lập luận chỉ ra giá trị nhỏ nhất là số khi xảy ra dấu

-“=” Đối với bài này, hai số x và 1

xkhông thỏa điều kiện bất đẳng thức Côsi Do đó muốndùng bất đẳng thức Côsi ta phải tạo ra hai số không âm có giá trị bằng nhau, rồi mới đượcdùng Cụ thể cho bài giải trên sẽ là :

22

x

x x

*/ Tìm max của a.b */ Tìm max của a2b5

Do bất đẳng thức Cô si có chiều “”, nên học sinh thường quen với loại bài tập tìm “min”.Khi gặp yêu cầu tìm max, học sinh có thể lúng túng không tìm ra hướng giải Để giúp họcsinh nhanh chóng ổn định tinh thần, giáo viên chúng ta gợi ý cho học sinh đọc yêu cầu bàitoán theo hai chiều ( a  b thì b  a) Muốn tìm max ta cần chiều “” Nghĩa là chiều ngượclại của bất đẳng thức Côsi (Hay tìm max là bài toán ngược của bài toàn tìm min) Một khihọc sinh đã thông suốt được lập luận trên thì việc giải bài tìm max sẽ không còn mấy khókhăn Có chăng thì cũng chỉ là yêu cầu lập luận chặt chẽ mà thôi Cụ thể :

*/ Vì a +b = 9 và a; b  0 Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số a và b không âm, ta có