sáng kiến kinh nghiệm trong dạy học bất đẳng thức

sáng kiến kinh nghiệm trong dạy học bất đẳng thức tài liệu, giáo án, bài giảng , luận văn, luận án, đồ án, bài tập lớn v...

Onbai.org - eBook.here.vn Download Ti liu thi min phớ Gv: Lờ Xuõn Thng 1 BT NG THC-THT N GIN I.Lý do chọn đề tài. Khi giải các bài toán đặc biệt là các bài toán về các bất đẳng thức tôi nhận thấy các em thờng: + Các em thờng sợ các bất đẳng thức. b qua v khụng cú hng thỳ. bi vỡ tụi nhn thy cỏc em: +Lúng túng thụ động không biết từ đâu,phân tích bài toán nh thế nào ?. +Không nắm vững các bất đẳng thức quan trọng cũng nh các hệ quả của các bất đẳng thức nh côsi, bunhiacopski ,vv + Khụng nm ủc mt s bt ủng thc ủn gin thng gp v cú nhiu ng dng. +Khi giải đợc bài toán rồi thì dừng lại, không tiếp tục tìm tòi khai thác, biến đổi thay đổi giả thuyết và giải bài toán bằng nhiều cách, từ đó nếu có thể suy ra bài toán tổng quát. Để khắc phục đợc hạn chế trên, định hớng các em t duy lôgíc. Tôi mạnh dạn đa ra một vài kinh nghiệm nhỏ trong bài viết này hy vọng các em học tập hiệu quả hơn bằng cách tip cn vn ủ bng mt bt ủng thc ht sc quen thuc, dễ chứng minh d nh v ủc bit cú rt nhiu ng dng lp 10 cng nh chng trỡnh ph thụng. Bi toỏn: Vi hai s dng x v y ta cú: 1 1 1 1 ( ) 4 x y x y + + (1) ng thc xy ra khi x =y. Bt ủng thc (1) cú nhiu cỏch chng minh ủõy ủa ra hai cỏch chng minh ph bin nht. Cỏch 1 . Vi hai s dng x v y ta cú: )( yx + 2 0 (x + y) 2 1 1 1 1 4 ( ) 4 xy x y x y + + Rừ rng, ủng thc xy ra khi x = y. Cỏch 2 . ỏp dng bt ủng thc Cụ-si cho hai s dng ta cú y x + ,2 xy 1 1 1 1 2 2 . x y x y xy + = T ủú: ( ) x y + ( 1 1 1 1 1 1 ) 4 ( ) 4 x y x y x y + + + V ủng thc xy ra khi x =y. Tng quỏt : Cho hai s x, y dng v a, b l hai s bt kỡ ta cú: ( ) 2 2 2 ( ) a b a b x y x y + + + hay ( ) 2 2 2 ( ) a b a b x y x y + + + . Onbai.org - eBook.here.vn Download Ti liu thi min phớ Gv: Lờ Xuõn Thng 2 Du bng sy ra khi v ch khi a b x y = . ( chng minh bt ủng thc ny cng cú nhiu cỏch chng minh xin dnh cho bn ủc). II. Biện pháp thực hiện. Để làm đợc việc này cần có nhiều việc phải làm. Thứ nhất: yêu cầu và rèn luyện cho học sinh nắm vững các lý thuyết cơ bản nh côsi,bunhiacopski,trêbsep,v,vvà các cách chứng minh thông thờng. Thứ hai: Khi cho các em làm bài tập tôi đặc biệt hớng cho các em phân tích các bài toán bằng cách trả lời câu hỏi: -Vai trò các số hạng nhân tử có bình đẳng không? -Bất đẳng thức có xảy ra dấu bằng không? Nếu xảy ra thì thì các số hạng phải thoả mn điều kiện nào. Từ đó cho phép áp dụng bât đẳng thức hợp với giả thuyết của bài toán. Thứ ba : Khuyến khích các em biến đổi các bất đẳng thức về bất đẳng thức quen thuộc. đặc biệt là bất dẳng thức (1) Thứ t: Sau khi khuyến khích các em giải bài toán theo nhiều cách, nhiều công cụ. Tổng quát bài toán.Công việc này rất có lợi cho t duy cũng nh khả năng tổng hợp kiến thức của các em. III. Phạm vi nghiên cứu. Sáng kiến này đợc thực hiện ở các lớp khối tại trờng THPT Triệu Sơn 4. V. Thực hiện Bi toỏn 1 . Cho ba s dng a, b, c, ta cú: 1 1 1 1 1 1 1 ( ) 2 a b b c c a a b c + + + + + + + (2) ng thc xy ra khi a = b = c. p dng (1) ta cú ngay ủiu phi chng minh. * Phỏt trin: p dng (2) cho 3 s a+b, b+c, c+a ta ủc: 1 1 1 1 1 1 1 ( ) 2 2 2 2 a b c b c a c a b a b b c c a + + + + + + + + + + + + + (3) * Kt hp (2) v (3) ta cú Bi toỏn 2 . Vi a, b, c l cỏc s dng: 1 1 1 1 1 1 1 ( ) 2 2 2 4 a b c b c a c a b a b c + + + + + + + + + + (4) ng thc xy ra khi a = b = c. Chỳ ý : Nu thờm gi thit 1 1 1 4 a b c + + = thỡ bi toỏn 2 l ni dung cõu V, thi i hc v Cao ủng khi A, nm 2005. Onbai.org - eBook.here.vn – Download Tài liệu – ðề thi miễn phí Gv: Lê Xuân Thắng 3 Bài toán 3 . Chứng minh rằng với a, b, c dương: 1 1 1 1 1 1 2 2 2 3 3 3 a b c b c a c a b a b b c c a + + ≤ + + + + + + + + + + + (5) Giải: Vận dụng bất ñẳng thức (1) ta có: 1 1 4 2 3 2 ( 3 ) ( 2 ) 2 a b b c a a b b c a a b c + ≥ = + + + + + + + + + 1 1 4 2 3 2 ( 3 ) ( 2 ) 2 b c c a b b c c a b b c a + ≥ = + + + + + + + + + 1 1 4 2 3 2 ( 3 ) ( 2 ) 2 c a a b c c a a b c c a b + ≥ = + + + + + + + + + Cộng vế với vế các bất ñẳng thức trên và rút gọn ta có bất ñẳng thức (5) ðẳng thức xảy ra khi: 3 2 3 2 3 2 a b b c a b c c a b a b c c a a b c + = + +   + = + + ⇔ = =   + = + +  Bài toán 4 . Hãy xác ñịnh dạng của tam giác ABC nếu các góc của nó luôn thỏa mãn ñẳng thức sau: 1 2 2 2 1 . 1 . 1 . 4. . . 2 2 2 2 2 2 2 2 2 A B C tg tg tg B C C A A B A B C tg tg tg tg tg tg tg tg tg + + = + + + Giải : ðặt tg x = , , 2 2 2 A B C y tg z tg = = thế thì x, y, z dương và xy + yz + zx=1 Hệ thức trở thành: 1 1 1 1 4 x y z yz zx xy xyz + + = + + + Ta có: 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 4 4 4 1 1 1 1 1 4 4 4 x y z yz zx xy x y z xy yz zx yz xy zx yz zx xy yz zx xy x x y y z z xy yz zx yz xy zx yz zx xy yz zx xy x z x y y z xy yz zx xy yz zx yz xy zx x y z x + + = + + + = + + ≤ + + + + + + + + +       ≤ + + + + + =       + + + + + +           + + + + + = + + = + + =     + + +     1 4 yz xyz = ðẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: x = y = z hay tam giác ABC ñều. Onbai.org - eBook.here.vn Download Ti liu thi min phớ Gv: Lờ Xuõn Thng 4 Bi toỏn 5 . Cho x, y, z l cỏc s thc tha món ủiu kin x + y + z = 0, x + 1>0, y + 1 > 0, z + 4 > 0. Hóy tỡm giỏ tr ln nht ca 1 1 4 x y z Q x y z = + + + + + Gii: t a = x + 1 > 0, b = y + 1 > 0, c = z + 4 > 0. Ta cú: a + b + c = 6 v 1 1 4 1 1 4 3 a b c Q a b c a b c = + + = + + Theo bt ủng thc (1) ta cú: 1 1 4 4 4 16 8 ( ) 3 8 1 3 3 3 a b c a b c a b c Q + + + = + + + = ng thc xy ra khi v ch khi: 3 1 2 2 3 1 6 a b a b x y a b c c z a b c = = = = = + = = = + + = Vy: 1 3 MaxQ = ủt ủc khi 1 2 1 x y z = = = . Bi toỏn 6 : Chứng minh rằng : 2 2 2 1 1 1 6 4 6 4 6 4 4 4 4 x y z x y y z z x x y z + + + + + + + với x, y, z là các số dơng. Dấu bằng sảy ra khi nào ? Giải : ( ) 2 2 1 1 1 1 4 4 4 6 4 6 4 6 4 x x x x y x y x y x y + + = + + + . Tơng tự ta cũng có 1 1 4 1 1 4 ; 4 4 6 4 4 4 6 4 y z y z y z z x z x + + + + . Cộng từng vế bất dẳng thức trên ta có bất dẳng thức cần chứng minh. Dờu bằng sảy ra khi và chỉ khi x=y=z=1. Bi toỏn 7 : Cho 3 s thc dng a, b v c tho :ab+bc+ca = abc. chng minh rng : ( ) ( ) ( ) 4 4 4 4 4 4 1 3 3 3 3 3 3 a b b c c a ab a b bc b c ca c a + + + + + + + + Onbai.org - eBook.here.vn Download Ti liu thi min phớ Gv: Lờ Xuõn Thng 5 Giải: ta có ab+bc+ca = abc 1 1 1 1 a b c + + = . Đặt 1 1 1 ; ; x+y+z=1 x y z a b c = = = . Khi đó ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 3 3 4 4 4 4 6 64 4 3 3 3 3 2 3 3 2 3 3 3 3 2 2 1 1 1 3 3 2 2 2 3 3 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x y a b x y x yx y x y ab a b x x y y x y x y x y xy x y x y x y x y x y x y x y x y x x y y x y x y x y + + + + = = = + + + + + + + + + + + + = = + = + + + + + + Tơng tự ta có ( ) ( ) 4 4 4 4 3 3 3 3 ; 2 2 y z z x b c c a bc b c ca c a + + + + + + Cộng vế với vế ba bất đẳng thức trên ta có ( ) ( ) ( ) 4 4 4 4 4 4 1 3 3 3 3 3 3 a b b c c a x y z ab a b bc b c ca c a + + + + + + + = + + + . Suy ra điều phải ch ng minh Bi toỏn 8: Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc x t t y y z z x A t y y z z x x t = + + + + + + + Vi x, y, z, t l cỏc s dng. Gii : Ta cú: ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) 4 4 1 1 1 1 ( ) ( ) 4 4 4 ( ) ( ) 4 4( ) 4 0 x t t y y z z x A t y y z z x x t x y t z y x z t t y y z z x x t x y t z t y z x y z x t x y t z x y z t x y z t x y z t z y z t = + + + + + + + = + + + + + + + + = + + + = + + + + = + + + + + + + + + + + + = + + + + + + + + + = = + + + Onbai.org - eBook.here.vn – Download Tài liệu – ðề thi miễn phí Gv: Lê Xuân Thắng 6 Vậy MinA=0 khi x = y = z = t. Trên ñây là một số bài toán áp dụng bất ñẳng thức (1) sau ñây là một số bài tập tương tự: Bài 1 . Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh các bất ñẳng thức: 1 1 1 1 1 1 1 1/ . 2 3( ) 2 3( ) 2 3( ) 4 1 1 1 1 1 1 1 2 / 2 3 2 3 2 3 2 2 2 2 a b c b c a c a b a b b c c a a b c b c a c a b a c b a c b   + + ≤ + +   + + + + + + + + +     + + ≤ + +   + + + + + + + + +   Bài 2 . Chứng minh rằng nếu a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện abc = ab + bc + ca thì: 1 1 1 17 2 3 2 3 2 3 96 a b c b c a c a b + + < + + + + + + Bài 3 . Cho x > 0, y > 0 thỏa mãn x + y 1 ≤ . Tìm giá trị nhỏ nhất của: 1 2 4 2 2 A xy xy x y = + + + Bài 4. Cho tam giác ABC có chu vi a + b + c = k (không ñổi), BC = a, CA = b, AB = c. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 2 2 2 ab bc ca T a b c b c a c a b = + + + + + + + + Bài 5. Cho tam giác ABC có chu vi 2p=a+b+c (a,b, c là ñộ dài 3 cạnh). Chứng minh rằng: 1 1 1 1 1 1 2 p a p b p c a b c   + + ≥ + +   − − −   III. Mở rộng. Cho x, y,z là ba số dương. chứng minh rằng: ( ) 1 1 1 1 1 ( ) 7 9 x y z x y z ≤ + + + + ;Dấu bằng sảy ra khi và chỉ khi x=y=z Tổng quát: Cho ba số a, b, c bất kì, x, y, z la ba số thực dương ta có: ( ) ( ) 2 2 2 2 6 a b c a b c x y z x y z + + + + ≥ + + .(Bất ñẳng thức s-vac) Dấu bằng sảy ra khi và chỉ khi a b c x y z = = . Chứng minh: Áp dụng bất ñẳng thức bunhiacopski ta có: Onbai.org - eBook.here.vn Download Ti liu thi min phớ Gv: Lờ Xuõn Thng 7 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 . a b c a b c x y z x y z x y z x y z a b c + + + + = + + + + + + T ủú suy ra ủiu phi chng minh. IV. p dng Bi toỏn 1: Chứng minh rằng : 2 2 2 a b c a b c b c a + + + + với a, b, c là các số thực dơng. Giải : á p dụng bất đẳng thức (6) ta có : ( ) 2 2 2 2 a b c a b c a b c b c a a b c + + + + = + + + + . Suy ra điều phải chứng minh. Dấu bằng sảy ra khi và chỉ khi a b c a b c b c a = = = = Bi toỏn 2 : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 6 6 6 3 3 3 3 3 3 a b c B b c c a a b = + + + + + trong đó a, b, c là các số thực dơng thỏa mn 1 a b c + + = Giải : á p dụng bất đẳng thức (6) ta có : ( ) ( ) 2 3 3 3 6 6 6 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 2 2 a b c a b c a b c B b c c a a b a b c + + + + = + + = + + + + + . Mặt khác theo bất đẳng thức Bunhiacovski ta có : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 4 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 1 3 3 1 9 9 9 a b c a b c aa a bb b cc c a b c a b c a b c a b c = + + + + = + + + + + + = + + + + . Vậy 1 18 B Bi toỏn 3 : Cho các số thực dơng x, y, z, t thỏa mn xyzt=1. chứng minh rằng ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 3 3 1 1 1 1 4 3 x yz zt ty y xz zt tx z yt xt xy t yz zx xy + + + + + + + + + + + Giải : Onbai.org - eBook.here.vn Download Ti liu thi min phớ Gv: Lờ Xuõn Thng 8 đặt 1 1 1 1 ; ; ; y z t= x a b c d = = = , theo bài ra ta có abcd = 1 và ( ) 2 3 3 1 1 1 1 1 1 a x yz zt ty b c d a bc dc bd = = + + + + + + ; tơng tự ta có : ( ) ( ) ( ) 2 2 2 3 3 3 1 1 1 ; ; b c d y xz zt tx a c d z yt xt xy a b d t yz zx xy a b c = = = + + + + + + + + + + + + Công các vế bất đẳng thức trên ta có : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 3 3 2 2 2 2 2 4 1 1 1 1 3 4 4 3 3 3 x yz zt ty y xz zt tx z yt xt xy t yz zx xy a b c d a b c d b c d a c d a b d a b c a b c d a b c d abcd + + + + + + + + + + + + + + = + + + + + + + + + + + + + + + + + = = (M rng t nhiờn bt ủng thc (6) cho bn s) Dấu bằng sảy ra khi và chỉ khi 1a b c d a b c d b c d a c d a b d a b c = = = = = = = + + + + + + + + Bi toỏn 4 : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức ( ) ( ) ( ) 8 8 8 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a b c B b c a c b a = + + + + + , trong đó a, b, c là các số thực dơng thỏa điều kiện 1 ab bc ca + + = Giải : á p dụng bất đẳng thức (6) ta có : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 4 4 4 8 8 8 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 4 4 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 a b c a b c B b c a c b a b c a c b a a b c a b c a b b c a c + + = + + + + + + + + + + + + = + + + + + Xét biểu thức 2 2 2 2 2 2 a b b c a c + + . Theo bất đẳng thức Bunhiacovski ta có : Onbai.org - eBook.here.vn Download Ti liu thi min phớ Gv: Lờ Xuõn Thng 9 2 2 2 2 2 2 4 4 4 a b b c a c a b c + + + + . Do đó ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 2 2 4 a b c a b c a b c B a b c a b c a b c + + + + + + = = + + + + + + + . Mát khác cũng theo bất đẳng thức Bunhiacovski ( ) 2 4 4 4 1 ab bc ca a b c = + + + + . Bi toỏn 5 : Cho x,y,z>0 v tho : 2 2 2 1 3 x y z + + Tỡm giỏ tr nh nht ca: 3 3 3 2 3 5 2 3 5 2 3 5 y x z x y z y z x z x y + + + + + + + + Nh n xét: Các số x, y, z có vai trò bình đẳng. dự đoán dấu bằng sảy ra khi và chỉ khi chúng bằng nhau và bằng 1 3 . Giải: á p dụng bất đẳng thức (6) ta có : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 3 4 4 4 2 2 2 2 3 5 2 3 5 2 3 5 2 3 5 2 3 5 2 3 5 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 8 2 8 10 1 2 2 2 30 x y z x y z x y z y z x z x y x xy xz y yz yx z xz yz x y z x y z x y z x y z xy yz zx x y z x y z x y z x y z + + = + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + = + + Dấu bằng sảy ra khi và chỉ khi 2 2 2 2 2 2 2 3 5 2 3 5 2 3 5 1 3 1 2 2 2 3 x y z x xy xz y yz yx z xz yz x y z x y z x y z = = + + + + + + = = = = = + + = . Bi toỏn 6 : Cho a,b,c>0 v tho : a.b.c = 1 Chng minh rng: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 3 3 3 3 a b c b c a c a b + + + + + Nh n xét: -Các số x, y, z có vai trò bình đẳng. dự đoán dấu bằng sảy ra khi và chỉ khi chúng bằng nhau và bằng 1. - Để đơn giản biểu thức ta có thể đặt 1 1 1 ; ; b c . a x y z = = = Onbai.org - eBook.here.vn Download Ti liu thi min phớ Gv: Lờ Xuõn Thng 10 Giải: Đặt 1 1 1 ; ; b c . a x y z = = = Theo giả thiết ta có: xyz = 1 Ta có ( ) 2 3 3 2 2 2 1 1 1 x a b c y z x y z = = + + + ; tơng tự ta có: ( ) 2 3 3 2 2 2 1 1 1 y b a c x z y x z = = + + + ; ( ) 2 3 3 2 2 2 1 1 1 z c b a y x z y x = = + + + . Do đó á p dụng bất đẳng thức (6) ta có : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 2 2 y x z y z x z y x b c a a b c c a b x y z x y z xyz x y z + + = + + + + ++ + + + + + + = = + + Dấu bằng sảy ra khi và chỉ khi 1 x y z = = = Bi toỏn 7 : Cho 3 s thc dng x,y,z >o tho : 3 x y z + + .Tỡm GTNN ca A = 2 2 2 y x z x yz y zx z xy + + + + + Giải: á p dụng bất đẳng thức (6) ta có : ( ) 2 2 2 2 x y z y x z x yz y zx z xy x y z yz zx xy + + + + + + + + + + + + .Ta có yz zx xy x y z + + + + . Do đó ( ) 2 2 2 2 3 2 2 x y z y x y z x z x y z x y z x yz y zx z xy + + + + + + = + + + + + + + + Dấu bằng sảy ra khi và chỉ khi 3 1 x y z x y z x y z x y z x yz y zx z xy + + = = = = = = = = + + + [...]... x+y+z 6 VI Kết quả thực hiện Đây l một phần khó thực hiện trên đối tợng học sinh đa dạng nên gặp không ít khó khăn.Tuy nhiên qua khảo sát học sinh kết quả thu đợc tơng đối khả quan Kết quả nh sau Khối 10 Khối 11 Giỏi 25% 27% Khá 31% 25% TB 10% 11% Yếu 26% 29% Kém 18% 8% Trên đây l môt số kinh nghiệm có đợc trong quá trình dạy học, tìm tòi tự bồi dỡng nghiệp vụ chuyên môn, cỏc bi t p ủ c su t m v ch... 1 Từ abc = ab + bc + ca suy ra + + = 1 đặt x = ; y = ; z = thì x + y + z = 1 a b c a b c áp dụng bất đẳng thức (7) ta có : 1 2 3 36 1 x + 2 y + 3z a + 2b + 3c = + + x y z x + 2 y + 3z a + 2b + 3c 36 1 y + 2 z + 3x 1 z + 2x + 3 y Tơng tự ta cũng có ; ; b + 2c + 3a 36 c + 2a + 3b 36 Cộng ba bất đẳng thức trên ta có 6( x + y + z) 1 3 1 1 1 + + = < a + 2b + 3c b + 2c + 3a c + 2a + 3b 36 6 16 Cách2... trong quá trình dạy học, tìm tòi tự bồi dỡng nghiệp vụ chuyên môn, cỏc bi t p ủ c su t m v ch n l c k l ng t ủ thi ủ i h c cỏc nm v b ủ thi tuy n sinh M c dự ủó r t c g ng song kinh nghi m cũn h n ch Rất mong sự quan tâm đóng góp ý kiến của các đồng chí để b i viết n y đợc ho n thiện hơn Triệu sơn 22/5/2009 Tỏc gi Lê Xuân Thắng 14 ... 10t + 3 10 10 D u b ng x y ra khi v ch khi x = y = z = 1 ủpcm 3 Bi toỏn 11: Cho x, y, z l các số thực dơng thay đổi v thoả m n điều kiện: x2 ( y + z ) y2 ( z + x) z2 ( x + y) xyz = 1 Tìm GTNN của biểu thức: P = + + y y + 2z z z z + 2x x x x + 2 y y Gi i: x2 ( y + z ) y2 ( z + x ) z2 ( x + y ) x 2 2 yz z 2 2 xy y 2 2 xz + + + + P= y y + 2z z z z + 2x x x x + 2 y y y y + 2z z z z + 2x x x x + 2 y y = . thuyết của bài toán. Thứ ba : Khuyến khích các em biến đổi các bất đẳng thức về bất đẳng thức quen thuộc. đặc biệt là bất dẳng thức (1) Thứ t: Sau khi khuyến khích các em giải bài toán theo. biết từ đâu,phân tích bài toán nh thế nào ?. +Không nắm vững các bất đẳng thức quan trọng cũng nh các hệ quả của các bất đẳng thức nh côsi, bunhiacopski ,vv + Khụng nm ủc mt s bt ủng thc ủn. số hạng nhân tử có bình đẳng không? -Bất đẳng thức có xảy ra dấu bằng không? Nếu xảy ra thì thì các số hạng phải thoả mn điều kiện nào. Từ đó cho phép áp dụng bât đẳng thức hợp với giả thuyết