Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 10 cấp trường năm 2020-2021 có đáp án - Trường THPT Phùng Khắc Khoan, Hà Nội sẽ giúp các em kiểm tra lại đánh giá kiến thức của mình và có thêm thời gian chuẩn bị ôn tập cho kì thi học sinh giỏi sắp tới được tốt hơn. Mời các bạn cùng tham khảo.
SỞ GD VÀ ĐT HÀ NỘI TRƯỜNG THPT PHÙNG KHẮC KHOAN-THẠCH THẤT KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2020 – 2021 MƠN THI: TỐN 10 Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian phát đề) Đề thi gồm: 01 trang ĐỀ CHÍNH THỨC Câu (2,5 điểm) Cho parabol (P): y = x – x + đường thẳng (dm): y = x + 2m + (m tham số) Biện luận số giao điểm (P) (dm) theo tham số m Câu (4,5 điểm) Giải bất phương trình sau : a/ f ( x ) = 1 − 0 x −3 b/ x 5x x2 5x 28 Câu (5 điểm) 1/ Cho lục giác ABCDEF có AB vng góc với EF hai tam giác ACE BDF có trọng tâm Chứng minh AB2 + EF = CD 2/ Cho tam giác ABC có góc thoả mãn hệ thức: cot A + cot C = cot B a.Chứng minh cot A = b2 + c2 − a 4s b Xác định góc hai đường trung tuyến AA1 CC1 tam giác ABC = Câu (3,0 điểm) Trong mặt phẳng với tọa độ Oxy, cho tam giác ABC, BE CD đường cao tam giác.Giả sử D(2;0), E(1;3) đường thẳng BC có phương trình : y = - 2x a/ Tìm tọa độ M biết M trung điểm BC b/ Tìm tọa độ điểm B biết B có hồnh độ dương Câu (2 điểm) Tìm m để phương trình: + x + − x + 16 − x = m có nghiệm Câu (3điểm) Cho số thực x, y, z thỏa mãn x + y + z = 0, x2 + y2 + z2 = Tìm giá trị nhỏ biểu thức S = x + y + z HẾT -Thí sinh khơng mang tài liệu máy tính vào phịng thi Giám thị khơng cần giải thích thêm Họ tên thí sinh: Số báo danh: Họ tên, chữ kí CBCT 1: Họ tên, chữ kí CBCT 2: SỞ GD VÀ ĐT HÀ NỘI TRƯỜNG THPT PHÙNG KHẮC KHOAN-THẠCH THẤT KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2020 – 2021 ĐÁP ÁN MƠN THI: TỐN 10 Lưu ý: Điểm tồn lấy điểm lẻ đến 0,25; thí sinh làm cách khác cho điểm tối đa Nội dung Điểm Cho parabol (P): y = x – x + đường thẳng (dm): 2,5 y = x + 2m + (m tham số) 1) Biện luận số giao điểm (P) (dm) theo tham số m Xét phương trình hoành độ: x2 – 2x + = 3x + 2m + 1 x – 5x + – 2m = (1) Ta có: = 8m + 13 Câu 0,5 13 ( >0) (1) có hai nghiệm phân biệt, (dm) cắt (P) (2,5 +) Nếu m − điểm) hai điểm phân biệt 0,5 13 +) Nếu m = − ( = ) (1) có nghiệm kép, (dm) cắt (P) điểm 0, 13 +) Nếu m − ( ) (1) vơ nghiệm, (dm) không cắt (P) 1 Câu − 0 Giải bất phương trình: 1/ f ( x ) = 2(5, x −3 2,0 điểm) Ta có 5− x 1 1 − 0 − 0. 0 x −3 x −3 2 ( x − 3) Đặt t = x , bpt trở thành 0,5 5−t Cho − t = t = Cho ( t − 3) t −3 = t = 0,5 Bảng xét dấu a 0,5 Căn bảng xét dấu ta x hay x 0,5 Đáp án thi HSG mơn Tốn 10 - Năm học 2020-2021 Trang 1/4 trang b x2 b) Bất phương trình x2 Đặt t 5x 28 , t 5x x2 Bất phương trình trở thành t t2 5t Suy x2 24 5x 28 t x2 5x 24 5x t2 28 2,5 24 0,5 5t x2 5x 36 Vậy bất phương trình có tập nghiệm S x 0,5 9; 0,5 a/ Cho lục giác ABCDEF có AB vng góc với EF hai tam giác ACE BDF có trọng tâm Chứng minh AB2 + EF = CD Câu (5 điểm) ( Ta có AB ⊥ EF AB.EF = suy AB2 + EF = AB + EF ) 2,00 (1) 0,5 Mặt khác ACE BDF có trọng tâm nên AB + CE + EF = (2) có chứng minh Từ (1) (2) suy AB2 + EF = CD 0, b/ Tam giác ABC có góc thoả mãn hệ thức: cot A + cot C = cot B Câu (5 điểm) b2 + c2 − a 4s Xác định góc hai đường trung tuyến 1.Chứng minh cot A = 3đ AA1 CC1 tam giác ABC = b2 + c2 − a Chứng minh cot A = 4s Ta có: cot A = 1, 0, b +c −a a +c −b b +a −c ;cot B = ;cot C = 4s 4s 4s 2 2 2 Khi = Ta có: 2 0, cot A + cot C = cot B b2 + c − a a + b2 − c c + a − b2 + = 4s 4s 4s 0, 5b = a + c Ta có: Đáp án thi HSG mơn Tốn 10 - Năm học 2020-2021 0, Trang 2/4 trang AG = 4 b2 + c a 4 a + b2 c2 AA1 = − ; CG = CC12 = − 9 4 9 4 4 Suy AG + CG = b2 + a + c 5b + 4b = = b AA1 ⊥ CC1 9 Vậy góc AA1 CC1 90° Trong mặt phẳng với tọa độ Oxy, cho tam giác ABC, BE CD đường cao tam giác.Giả sử D(2;0), E(1;3) đường thẳng BC có Câu phương trình (3,0điểm) x + y - = a/ Tìm tọa độ M biết M trung điểm BC b/ Tìm tọa độ điểm B biết B có hồnh độ dương Gọi M trung điểm BC, tứ giác BCDE nội tiếp ta có MD = ME vẽ hình minh họa 3,0 0,5 Gọi M ( m; −2m + 1) , ta có MD = ME nên 5m2 − 8m + = 5m − 10m + m = M ( 0;1) , Ta có B ( b; −2b + 1) , b 0.MB = ( b − ) + ( −2b + − 1) 2 0,5 = 5b MB = MD = 5b = 5, b b = B (1; −1) Câu Tìm m để phương trình: (2 điểm) + x + − x + 16 − x = m có nghiệm + x + − x + 16 − x = m (điều kiện −4 x 4) Điều kiện cần Giả sử hệ có nghiệm x0 Ta có 1,0 0, + x0 + − x0 + 16 − x02 = m + ( − x0 ) + − ( − x0 ) + 16 − ( − x0 ) = m 0, − x0 nghiệm phương trình Vì phương trinh nên x0 = − x0 x0 = m = 12 Đáp án thi HSG mơn Tốn 10 - Năm học 2020-2021 Trang 3/4 trang Điều kiện đủ: Xét m = 12 phương trình cho trở thành 16 − x 16 = ( 4+ x + 4− x ) 0, = + 16 − x = 12 + x + − x + 16 − x 16 + x + + x + 16 − x + = 12 Đẳng thức xảy x = Phương trình có nghiệm x = 0, 0, m = 12 Câu Cho số thực x, y, z thỏa mãn x + y + z = 0, x2 + y2 + z2 = Tìm giá trị (3điểm) nhỏ biểu thức S = x + y + z S = ( x + y + z ) = x2 + y + z + ( x y + y z + z x ) S = x2 + y + z + x ( y + z ) + y ( z + x ) + z ( x + y ) 0, Áp dụng bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối ta có y + z y + z = −x = x x ( y + z ) z2 Chứng minh tương tự y ( z + x ) y , z ( x + y ) z Vì S ( x + y + z ) Thay x + y + z = S 16 S Dấu xảy ra, ( x, y, z ) = ( 2; −2;0 ) hoán vị, ta có S=4 Vậy S = Đáp án thi HSG mơn Tốn 10 - Năm học 2020-2021 0, Trang 4/4 trang ...SỞ GD VÀ ĐT HÀ NỘI TRƯỜNG THPT PHÙNG KHẮC KHOAN-THẠCH THẤT KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2020 – 2021 ĐÁP ÁN MƠN THI: TỐN 10 Lưu ý: Điểm toàn lấy điểm lẻ đến 0,25; thí sinh làm cách... phương trinh nên x0 = − x0 x0 = m = 12 Đáp án thi HSG mơn Tốn 10 - Năm học 202 0-2 021 Trang 3/4 trang Điều kiện đủ: Xét m = 12 phương trình cho trở thành 16 − x 16 = ( 4+ x + 4− x ) 0, = +... z = S 16 S Dấu xảy ra, ( x, y, z ) = ( 2; −2;0 ) hốn vị, ta có S=4 Vậy S = Đáp án thi HSG mơn Tốn 10 - Năm học 202 0-2 021 0, Trang 4/4 trang