Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 10 cấp trường năm 2020-2021 có đáp án - Trường THPT Đồng Đậu, Vĩnh Phúc (lần 2)

Nhằm giúp các em có thêm tài liệu ôn tập cho kì thi học sinh giỏi môn Toán. Mời các em tham khảo Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 10 cấp trường năm 2020-2021 có đáp án - Trường THPT Đồng Đậu, Vĩnh Phúc (lần 2), để củng cố lại kiến thức môn học, rèn luyện kỹ năng giải đề và nâng cao tư duy Toán học. Chúc các em ôn tập tốt và đạt kết quả cao!

TRƯỜNG THPT ĐỒNG ĐẬU KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG LẦN NĂM HỌC: 2020 - 2021 Số báo danh Mơn thi: TỐN - Lớp 10 THPT ……………………… Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề) Đề thi có 01 trang - gồm 10 câu Câu Tìm tập xác địnhcủa hàm số y  10  x  5 x Câu Cho phương trình  x  ax  1  a  x  ax  1   1 với a tham số a Giải phương trình với a  2 b Khi phương trình 1 có nghiệm thực Chứng minh a  Câu Cho hàm số y  f  x   ax  bx  c có đồ thị hình vẽ bên Tìm giá trị nguyên tham số y m để phương trình f  x    m   f  x   m   có nghiệm phân biệt Câu Giải phương trình O x 3x   x   x  10  3x  x   Câu Giải bất phương trình -1 x    x   x  2 5 x y  xy  y  2( x  y )  Câu Giải hệ phương trình:  2  x  y  Câu Cho hình chữ nhật ABCD có AB  AD , BC  a Tính giá trị nhỏ độ dài vectơ     u  MA  MB  3MC , M điểm thay đổi đường thẳng BC Câu Cho tam giác ABC vuông A , G trọng tâm tam giác ABC Tính độ dài cạnh AB biết cạnh   AC  a , góc hai véc tơ GB GC nhỏ Câu Cho tam giác ABC cân A , nội tiếp đường tròn tâm O Gọi D trung điểm AB , E trọng tâm tam giác ADC Chứng minh OE  CD Câu 10 Với x   0;1 , tìm giá trị nhỏ biểu thức P   x (1   x )  x 1 x -Hết -Thí sinh khơng sử dụng máy tính cầm tay Cán coi thi khơng giải thích thêm SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC ĐÁP ÁN ĐỀ THI HSG LẦN CẤP TRƯỜNG TRƯỜNG THPT ĐỒNG ĐẬU NĂM HỌC 2020-2021 MƠN TỐN 10 Có 06 trang Câu Nội dung 10  x  5 x Tìm tập xác địnhcủa hàm số y  Hàm số xác định Điểm 2,0 10  x  0 5 x 0,5 10  x  0  Hoặc   x  x   20  x   x 3(5  x )   x   x   0 0 2(5  x) 2(5  x)  x    0,5  5  x  0,5 Vậy tập xác định hàm số D  ( 5;5] 0,5 Cho phương trình  x  ax  1  a  x  ax  1   1 với a tham số 2,0 a, Giải phương trình với a  2 b, Khi phương trình 1 có nghiệm thực Chứng minh a  a, với a  2 phương trình 1 thành x  x  1   x  x  1   0,5   x  1   x  1     x  1  2 0,5 x   x  b, Xét phương trình  x  ax  1  a  x  ax  1   1 Đặt t  x  ax  1, x  ax   t  t  at    2 phương trình cho trở thành:  3 Phương trình 1 có nghiệm a t thỏa mãn: a   a   4t  a    a  2 hay a  0,5 Nếu a  2  3 có nghiệm t  0, a   4t  0, suy   có hai nghiệm phân biệt, mâu thuẫn với giả thiết 1 có nghiệm Nếu a  phương trình  3 có nghiệm t  1, điều kiện a   4t  không 0,5 thỏa mãn Vậy a  2,0 Ta có:  f  x   1 f  x    m  2 f  x   m      f  x    m Từ đồ thị hàm số y  f  x  ta suy đồ thị hàm số y  f 0,5  x  sau: y 0,5 x O -1 + Phương trình f  x   1 có hai nghiệm phân biệt Để phương trình cho có nghiệm phân biệt phương trình f 0,25  x    m phải có 0,25 nghiệm phân biệt  1   m    m  0,25 Kết hợp m số nguyên nên m  1; 2;3 0,25 Giải phương trình: 3x   x   x  10  3x  x   2,0 ĐKXĐ: x  Ta có: 3x   x   x  10  3x  x   3     x   x    x    x  2.2 x    x  1    3x   x    0,5  3x   x     3x   x     x   x   4 (VN ) 0,5  3x   x     x  1 3x    x 1  0,5  x 1   x      1  3x    x 1    x  nên 1  x    x  (thỏa mãn) 3x   Vì 0,5 Vậy phương trình cho có nghiệm x  Giải bất phương trình x    x   x  2,0 Điều kiện xác định: x  Bất phương trình tương đương: 0,5 x   x 1  x    x 1  ( x  2)( x  1)  x 1  x  0,5 x   x  x  18     x  0,5 x   x  x  18     x  Vậy nghiệm bất phương trình x  0,5  x  2 5 x y  xy  y  2( x  y )  Giải hệ phương trình:  2  x  y  2,0  2 5 x y  xy  y  ( x  y )( x  y )  Hệ cho   2  x  y  0,25 4 x  y  xy  y  x  (*)  2  x  y  Ta thấy x = không nghiệm hệ nên từ PT (*) đặt: t  t  2t  5t  4t     t   y  x  x   x  1    2  y   y  1 x  y  Khi t = ta có:  0,25 y ta PT: x 0,25 0,5   2 2 x  x   5      y  y     5  y  x Khi t  ta có:   2 2 x  y   0,5  2   2   ; ; ;  5 5    0,25 Cho hình chữ nhật ABCD có AB  AD , BC  a Tính giá trị nhỏ độ dài     vectơ u  MA  MB  3MC , M điểm thay đổi đường thẳng BC 2,0 Vậy hệ cho có nghiệm  x; y  1;1 ;  1; 1 ;  0,5 AB  AD  BC  2a AC  BD  (trung điểm AC , BD )         u  MA  MB  3MC  MA  MC  MB  MC      2MD  2MB  2MC  6MP (với P trọng tâm OBC ) 0,5  u 0,5    6MPmin  PM  BC M Vì OBC cân O , nên P thuộc trung tuyến OH  u  PH  OH  2Oh  2a (Khi M  H ) Cho tam giác ABC vuông A , G trọng tâm tam giác ABC Tính độ dài cạnh AB   biết cạnh AC  a , góc hai véc tơ GB GC nhỏ 0,5 2,0 B α K G A D Gọi K , D trung điểm AB, AC   Gọi  góc hai véc tơ GB GC     Ta có: cos   cos GB, GC  cos DB, KC     C 0,5         BA  BC CA  CB DB KC BD.CK    DB KC BD.CK BD.CK       BA.CA  BC CA  BA  BC BC   ( Do BA  CA ) BD.CK BD.CK    0,5  BD.CK  BD2  CK      BA  BC      CA  CB       1 AB2  AC  BC  BA BC  2CA.CB  4   AB2  AC  BC  BA  2CA  (Theo công thức hình chiếu véc tơ)  0,5 BC 4 Suy cos    Dấu xảy BD  CK  AB  AC  a 0,5 Ta có góc  nhỏ cos  lớn  Khi AB  a Cho tam giác ABC cân A , nội tiếp đường tròn tâm O Gọi D trung điểm AB , E trọng tâm tam giác ADC Chứng minh OE  CD 2,0 A E D O C B       CD  CA  CB  OA  OB  2OC 2              OE  OA  OD  OC   OA  OA  OB  OC   3OA  OB  2OC 3   Ta có:         Do đó:         CD.OE  OA  OB  2OC 3OA  OB  2OC 12        12CD.OE  3OA2  OB  4OC  4OA.OB  4OA.OC         12CD.OE  4.OA OB  OC  4.OA.CB     10    0,5 0,5 0,5 (Vì ABC cân A có O tâm đường trịn ngoại tiếp nên OA  BC )   Do CD.OE   CD  OE (điều phải chứng minh) 0,5 Với x   0;1 , tìm giá trị nhỏ biểu thức 2,0 P  x (1   x )  x 1 x Đặt t   x ,  t  ta P  Áp dụng BĐT Cơ si, ta có P  1  t  t  5 5 1 t t  0;1 0,5 0,5 5 0,5 7  5 0,5 Dấu “=” xảy t  Vậy MinP   x  1  t  t t    5 1 t t 1 t t -Hết ... GD&ĐT VĨNH PHÚC ĐÁP ÁN ĐỀ THI HSG LẦN CẤP TRƯỜNG TRƯỜNG THPT ĐỒNG ĐẬU NĂM HỌC 202 0-2 021 MƠN TỐN 10 Có 06 trang Câu Nội dung 10  x  5 x Tìm tập xác địnhcủa hàm số y  Hàm số xác định Điểm 2,0 10. .. trình 1 có nghiệm a t thỏa mãn: a   a   4t  a    a  2 hay a  0,5 Nếu a  2  3 có nghiệm t  0, a   4t  0, suy   có hai nghiệm phân biệt, mâu thuẫn với giả thi? ??t 1 có nghiệm...  f 0,5  x  sau: y 0,5 x O -1 + Phương trình f  x   1 có hai nghiệm phân biệt Để phương trình cho có nghiệm phân biệt phương trình f 0,25  x    m phải có 0,25 nghiệm phân biệt  1