Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 10 cấp trường năm 2019-2020 có đáp án - Trường THPT Lưu Hoàng, Hà Nội

Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 10 cấp trường năm 2019-2020 có đáp án - Trường THPT Lưu Hoàng, Hà Nội cung cấp đến cho giáo viên và học sinh các bài tập phục vụ công tác giảng dạy, đánh giá năng lực môn Toán của học sinh lớp 10.

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI TRƯỜNG THPT LƯU HOÀNG ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2019 – 2020 Mơn thi: Tốn - Lớp: 10 ĐỀ CHÍNH THỨC (Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao đề) Câu (4 điểm) Cho hàm số y = -x2 + 2(m + 1)x + – m2 (m tham số) a) Tìm giá trị m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành hai điểm phân biệt A, B cho tam giác KAB vng K, K(2; -2) b) Tìm giá trị m để hàm số (1) có giá trị lớn Câu (6 điểm) a) Giải phương trình: 3(4 x  9) 3x   2x  b) Tìm m để phương trình: (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) = m có nghiệm 9 x  y   x  y   y  c) Giải hệ phương trình:   ( x  y )( x  xy  y  3)  3( x  y )  Câu (6 điểm) a) Cho ABC hai điểm M, N thay đổi cho: MN  MA  MB  MC Chứng minh đường thẳng MN qua điểm cố định b) Cho tam giác ABC có diện tích Đặt a = BC, b = AC, c = AB Chứng minh rằng: cotA + cotB + cotC = a2 + b2 + c2 c) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A(1; 2) B(4; 3) Tìm tọa độ ˆ 450 điểm M nằm trục hoành cho góc AMB Câu (2 điểm) Một chủ hộ kinh doanh có 32 phịng trọ cho th Biết giá cho th tháng 2.000.000đ/1 phịng trọ, khơng có phịng trống Nếu tăng giá phịng trọ lên 200.000đ/1 tháng, có phịng bị bỏ trống Hỏi chủ hộ kinh doanh cho thuê với giá để có thu nhập tháng cao nhất? Câu (2 điểm) Cho số thực dương x, y, z thay đổi thỏa mãn: x + y + z = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A  2020  2 x y z xy  yz  zx HẾT -Cán coi thi khơng giải thích thêm! Họ tên thí sinh: Số báo danh: Chữ ký giám thị coi thi số 1: Chữ ký giám thị coi thi số 2: SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI TRƯỜNG THPT LƯU HOÀNG HƯỚNG DẪN CHẤM KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2019 – 2020 ĐÁP ÁN CHÍNH THỨC Mơn thi: Tốn - Lớp: 10 I Hướng dẫn chung II Đáp án thang điểm Câu Đáp án a) Phương trình hồnh độ giao điểm:  x2  2(m  1) x   m2   x2  2(m  1) x  m2   (2) Đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành hai điểm phân biệt A, B phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt:   '   (m  1)  m    m    m  1 Gọi nghiệm phương trình (2) x1 , x2   Tọa độ giao điểm A, B A( x1 ;0), B ( x2 ;0) ; KA  ( x1  2; 2), KB  ( x2  2; 2) Câu (4 điểm) 0.5 0.5 0.5   KA  KB  KA KB   ( x1  2)( x2  2)    x1 x2  2( x1  x2 )   m   m   2.2( m  1)    m  4m     m  Kết hợp điều kiện m  1 , ta m  1, m  b) y   x  2(m  1) x   m2  y   x  2(m  1) x  (m  1)2  (m  1)2   m2  y  ( x  m  1)  2m   y  2m  , với x  R Dấu "  " xảy x  m  Giá trị lớn hàm số 2m  Giá trị lớn hàm số 2m    m  a) Điều kiện: x < -1 x > Phương trình Câu (6 điểm) Điểm 3(4 x  9) 3x   x   3(2 x  3)(2 x  3)  (2 x  3) 3x  3  x  2 x       2 x    3x   3(2 x  3)  3x   9(2 x  3)   x     x      Vậy phương trình có hai nghiệm x = x    x    33x  108 x  84  3/2, x = b) Điều kiện: x  R Phương trình  (x2 + 8x + 7) (x2 + 8x + 15) = m (1) Đặt t = x2 + 8x + 16 = (x + 4)2, điều kiện t  (1)  (t – 9) (t – 1) = m  t2 – 10t + = m (2), t  Xét hàm số f(t) = t2 – 10t + 9, t  0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 Phương trình (1) có nghiệm  (2) có nghiệm t   Đường thẳng y = m có điểm chung với đồ thị hàm số f(t) = t2 – 10t + 9, t   m  -16 0.5 3x  y   c) Điều kiện:  Từ phương trình (1)  (x – 1)3 = (y + 1)3  y = x – 0.5 2 x  y  Với y = x – thay vào (2), ta được: 9  x   3x     x   3x   x   x   3x   ( x  3)  x   3x   0.5  x   3x    x   3x    ( x   5)  ( 3x   4)  x  24 3x  18      ( x  6)   0 4x   3x   3x     4x    x = 6,   Vậy hệ có nghiệm (6; 4) 4x   3x       a) Gọi I điểm thỏa mãn IA  IB  IC  B      3IA  AB  AC   0.5 0.5 0.5 I A          3IA  AC  AB  AD  AB  BD  IA  BD C D Với D điểm thỏa mãn C trung điểm đoạn AD Vì A, B, C cố định nên D cố định, suy I cố định Suy M, N, I thẳng hàng hay MN qua điểm I cố định b c a a abc ; cos A  ; S 2R 2bc 4R Câu (6 điểm) b) Áp dụng các: sin A  abc 4S R 2 2 2 Tương tự: cot B  a  c  b ; cot C  a  b  c 4S 4S sin A Suy ra: cotA + cotB + cotC = a2 + b2 + c2   c) Điểm M mằm trục hoành nên gọi M(m;0) , MA  (1  m;2) , MB  (4  m;3) Câu 0.5 0.5 2 2 2 Suy ra: cot A  cos A  b  c  a  b  c  a cos450  0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 (1  m)(4  m)  2.3 (1  m)  22 (4  m)  32 0.5  m4  10m3  44m2  110m  75   (m2  6m  5)(m2  4m  15)  0.5  m =1 m = Kết luận: M(1;0) M(5;0) Gọi 2x số phòng trống (x  N,  x < 16) Số phòng cho thuê 32 – 2x; giá tiền 0.5 0.5 (2 điểm) phòng là: (2000 + 200x) ngàn Số tiền thu tháng là: T = (32 – 2x)(2000 + 200x) ngàn 0.5 Áp dụng BĐT cosi, ta được: T = 400(16 – x)(10 + x)  400  16  x  10  x   67600 0.5 Dấu xảy x = 3, để có thu nhập tháng cao giá 2.600.000đ/1 phịng 0.5  Chứng minh BĐT:    x y z  (*) với x, y, z > Đẳng thức xảy x yz 0.5 x = y = z Chứng minh BĐT: xy  yz  zx  ( x  y  z )  , đẳng thức xảy x = y = z = Câu (2 điểm) 1 2018    2 x y z xy  yz  zx xy  yz  zx xy  yz  zx 2018   2 x  y  z  xy  yz  zx  xy  yz  zx xy  yz  zx 2018 2021    ( x  y  z) xy  yz  zx 2021 Đẳng thức xảy x = y = z = Vậy giá trị nhỏ A Khi đó: A  0.5 0.5 0.5 ... TẠO HÀ NỘI TRƯỜNG THPT LƯU HOÀNG HƯỚNG DẪN CHẤM KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2019 – 2020 ĐÁP ÁN CHÍNH THỨC Mơn thi: Tốn - Lớp: 10 I Hướng dẫn chung II Đáp án thang điểm Câu Đáp án. .. = m  t2 – 10t + = m (2), t  Xét hàm số f(t) = t2 – 10t + 9, t  0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 Phương trình (1) có nghiệm  (2) có nghiệm t   Đường thẳng y = m có điểm chung... Số tiền thu tháng là: T = (32 – 2x)(2000 + 200x) ngàn 0.5 Áp dụng BĐT cosi, ta được: T = 400(16 – x) (10 + x)  400  16  x  10  x   67600 0.5 Dấu xảy x = 3, để có thu nhập tháng cao giá