Bộ 7 đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 10 cấp tỉnh

Bộ 7 đề thi học sinh giỏi môn toán Lớp 10 cấp tỉnh,có đáp án chi tiết cực hay (file Word).Là tài liệu rất bổ ích hỗ trợ giáo viên và các em học sinh trong quá trình dạy và ôn luyện thi học sinh giỏi cấp Tỉnh

ĐỀ THI ĐỀ XUẤT ĐỀ Nội dung đề thi: Phần I.Trắc nghiệm (4 điểm).Chọn đáp án câu sau: y= Câu 1/Tập xác định hàm số + x + 12 ) x + mx + m + R \ { 5; 2} A C (x 3mx + B     ; +∞ ÷\ { −3; −4}  −∞; − ÷∪  3    y = x − 3a + + Câu 2/Cho hàm số thuộc tập hợp sau: A 5   ; +∞ ÷   R \ { −4; −3} B D 6x − a + x + a −1 [ 1; +∞ )  2  ; − ÷∪ { −3; −4} 3  xác định C ( 0; +∞ )  5 1;    ( Khi a D ) φ y = −3 x + m − x + x Câu 3/Với giá trị m hàm số A m=-2,m=0 ± B m=2 C.m= hàm số lẻ D m=-2 Câu 4/Cho Parabol (P): y=ax2+bx+c có đỉnh I(1;1) qua điểm A(2;3).Tìm m để đường thẳng d:y=x+m+1 cắt (P) điểm phân biệt A,B A m=0 B m=1 C m=2 D m=3 Câu 5/Với giá trị m đồ thị hàm số sau song song y= m 2m 2m 3m + x+ y = x− 1− m m −1 2m + 2m + A.m=0,m=1/4 B m=1,m=1/4 C m=-2/3;m=1/4 ± D m= 1/4 Câu 6/Cho phương trình :x2+2(m-1)x+3m+1=0 Gọi x1,x2 nghiệm phương trình.Xác định m để biểu thức A = x12 + x22 + x1 x2 đạt giá trị nhỏ A m=1/2 B m=-1/3 C m=1 D m=-1/2 Câu 7/Cho phương trình:mx2-(m-2)x+m-2=0.Tìm m để phương trình có nghiệm dương A  2 m ∈ [ 0; ) ∪ −   3 2 m ∈ [ 0; ) \   3 m ∈ R \ { 0; 2} B m ∈ ( 0; ) C f ( x) = Câu 8/Giá trị nhỏ hàm số A + x 3y B x+ y = với x>0,y>0 C f ( x) = Câu 9/Giá trị lớn hàm số A.1/265 D B 1/256 là: D -4 x2 (x +3 ) là: C 1/16 D 32 Câu 10/Cho đường thẳng d1:x+y=1,d2:2x+y=3,d3:(m+1)x-5y = 3m+2 Xác định m để đường thẳng d1,d2,d3 đồng quy A m=10 2/3 B m=-5 C m=5 Câu 11/Xác định m để hệ phương trình A m ∈ ( −∞;1] ∪ [ 7; +∞ ) B D m=- x + y = m +1  2  x + y = m − 3m + m ∈ [ 1;7 ] C có nghiệm m ∈ [ −1; 4] ∪ [ 7; +∞ ) D m ∈ R \ { −1; 4} Câu 12/Tìm m để hệ phương trình ( m + 1) x + y = m +  2 x + ( m + 1) y = −m + có nghiệm nguyên m ∈ { −6; −4; −2;1} A m ∈ { −6; −4; −2;0} m ∈ { −5; −2; 2;1} B C D m ∈ { 1; −3; 2; 4} Câu 13/Cho tam giác ABC,M điểm xác định ABC.Hệ thức tính A uuu r CB r uuur uuuu CG − CM qua B uuur uuuu r CG, CM uuur uuur MA = AB ,G trọng tâm ∆ là: r uuur uuuu CG + CM C r uuur uuuu CG − CM D r uuur uuuu CG + CM Câu 14/Cho tam giác ABC,AM,BN đường trung tuyến.Hệ thức tính A uuur AC theo uuuu r uuur AM , BN r uuur uuuu AM − BN 3 là: B r uuur uuuu AM − BN 3 C r uuur uuuu − AM + BN D r uuur uuuu AM + BN 3 Câu 15/Cho tam giác ABC cạnh 2a.Gọi G trọng tâm uuur uuur AC − GB trị A ∆ ABC.Khi giá là: 4a 3 B 2a C 4a Câu 16/Cho điểm A(1;2),B(5;3),C(2;-1).Xác định điểm M cho uuuu r uuur uuuu r r AM + 3MB − 2CM = D a 3 3 5 M  ;− ÷  4 9 5 M ; ÷ 2 4 A 3 7 M ; ÷ 4 3 B C D 9 3 M  ;− ÷ 4 4 ∆ Câu 17/Cho ABC có A(1;-1),B(5;-3),đỉnh C Oy trọng tâm G Ox.Tìm tọa độ điểm C A C(0;-5) Câu 18/Cho B C(0;6) ∆ C C(0;3) ABC có AB=3,AC=7,BC=5.Giá trị tích vô hướng A 33/2 B 11/2 C 23/3 D C(0;4) uuu r uuur AB AC là: D 43/4 ∆ Câu 19/Cho ABC vuông A,H hình chiếu vuông góc A BC.Biết AC=3,BH=2.Khi độ dài AB là: A + 10 B + 10 C Câu 20/Cho tam giác ABC có AB=3,AC=5, thức A uur uu r r uur uuu r IB + IA = 0, JB = JC 76 B + 10 µA = 600 D + 10 ,I,J xác định hệ Khi độ dài IJ là: 75 C 74 D 73 Phần II.Tự luận (16 điểm) Câu 1/(4 điểm) a/ Cho hàm số y=x2-2(m+1)x+m+3 Xác định m để đồ thị Parabol có đỉnh nằm đường thẳng d: y=2x+1 b/ Cho số thực x,y,z thỏa mãn x+y+z=6;xy+yz+xz=10.Chứng minh 6−2 6+2 ≤ x, y , z ≤ 3 Câu 2/(4 điểm) a/ Giải phương trình: x − ( x − 1) x − + x + x − − x − = (1) b/ Giải hệ phương trình: ( ) ( x + y + ) y − x + x + y + y + + y − x − =    x + y + 11 = y + + y + x + 10 (1) (2) Câu 3/(4 điểm) a/ Cho ∆ ABC Chứng minh rằng: ngoại tiếp,đường tròn nội tiếp ∆ R ≥2 r ,với R,r bán kính đường tròn ABC b/ Cho tam giác ABC có AB=5,BC=4.Đường phân giac BM trung tuyến AN E.Tính ·ABC BM BE Câu 4/(4 điểm) Cho a,b,c số thực thỏa mãn điều kiện a+b+c=1,2a+1>0,2b+1>0,2c+4>0.Tìm giá trị lớn biểu thức A= a b c + + a + 2b + c + Hết Đáp án vắn tắt phần câu hỏi trắc nghiệm Câu 1/Vì ⇒ Đk: m  3m  x + mx + m + =  x + ÷ + + > 0, ∀x 2  x + x + 12 ≠ ⇒ Câu 2/Đk: x ≠ 1− a   3a −  x ≥ Txđ: R \ { −4; −3} Vì h/số xác định  3a − ≤0   5 ⇔ a ∈ 1;    3 ( 0; +∞ ) ⇒ 1 − a ≤ cắt Câu 3/ m = ±2 Câu 4/(P):y=2x2-4x+3.Để d cắt (P) A(2;3) B phân biệt m=0 Câu 5/Để đồ thị hàm số song song Câu 6/ a = a '  b ≠ b ' ⇒ m=0 m=1/4 m ≤ ∆'≥ ⇔  m ≥   7 A = ( m + m + ) =  m + ÷ +  ≥    Câu 7/TH1:m=0 TH2:m TH3: TH4: Đs: ≠ ⇒ ⇒ x=1 (t/m) a.c ⇔ m > ) Có nên đồ thị hàm số cắt hai điểm phân biệt A, B 36 Điể m 0,75 0,75 1,0 x A , xB Gọi hai nghiệm pt (*) , I trung điểm AB ta có I(1 ;m-1) Yêu cầu toán với đk m=2 ⇔ xI = yI ⇔ m = 2; m = C = [b; b + 2) ∪ ( a; a + 1] đoạn b ≤ a < b + ≤ a +1 (1,5đ ) dài (2,5đ ) Kết hợp 0,5 ⇔ ⇔ b + ≤ a < b + Khi đó, 2(5,0 đ) 1,5 0,5 C = [b; b + 2) ∪ (a; a + 1] = [b; a + 1] đoạn có độ 0,5 a − b + 7 x3 + y + xy ( x − y ) = 12 x − x + 1(1)  2 2 x + − − y = 1(2) Đk −3 ≤ y ≤ ⇔ ( x − y ) = ( x − 1) Pt ( 1) Thế ( 3) vào (2) ta 0,5 ( 3) x2 + − + 2x − x2 − x = ⇒ x + = + x − x + x ⇒ ( x + 3) = x + + x + x − x0,5 ⇔ ( x − 1) − x ( ) + 2x − x2 − =  x  ⇔ ( x − 1)  + =0 + 2x − x2 +    x −1 =  x 2 + =0  + x − x2 + Nếu x =1 y=0 0,5 Thử lại vào hệ pt thấy thỏa mãn 37 0,5 2+ Nếu x + x − x2 + =0 ⇔ − x − ≥ + x − x2 = − x − ⇔  5 x + x + = ( vô nghiệm) 0,5 Vậy hệ pt có nghiệm (x;y)=(1;0) x≥3 Đk (2,5đ ) x − x − <  ( x + ) ( x − 3) + 2 x +    ⇔ x − 14 x − < ( x + 1) ( x − 3) 0,5 x+2 0,5 ( x − x − 3) − x − x − x + + ( x + ) < ⇔3 2 x2 − 5x − 2x2 − 5x − 18 x − 46 x − 29 > 0,5 −4 +1 < ⇔  x+2 x+2  x − x − < 23 + 1051 + 19 450 (2,5đ Giả sử ^ ) 2 ^ MA + AB − MB cot MAB = = ^ S MAB s inMAB 0,5 cos MAB Có Từ MA2 + AB − MB < cot 450 = ⇔ MA2 + AB − MB < S MAB S MAB 0,5 Tương tự MB + BC − MC < 4S MBC , MC + CD − MD < 4S MCD , MD + DA2 − MB < 4S MDA Cộng vế bđt ta có AB + BC + CD + DA2 < 4S ABCD AB + BC + CD2 + DA2 ≥ AB.BC+ CD.DA ≥ 0,5 0,5 4S ABC + SCDA = 4S ABCD Do điều giả sử ban đầu sai suy đpcm 39 0,5 (2,5đ ) d ( B; ∆ ) = C ( 0; y0 ) , d ( C ; ∆ ) = = Theo gt ta có phía với  y0 = 10 ⇔  y0 = −8 Vì B,C khác uuur uu r BB '.u∆ = ⇔ a − 2b + = điểm I 2a + b + = ⇒ B '( 5(2,0đ ) BB’ thuộc ∆ B’ 0,5 ∆ nên 0,5 −7 ; ) 5 uuu r uuur  −21 26  CA = CB ' ⇒ A  ; ÷  10  Có 0,5 nên C(0 ;-8) Gọi B’ (a ;b) điểm đối xứng với B qua nằm AC Trung 0,5 ; gọi y0 − ∆ y0 − 0,5 Theo bất đẳng thức Cauchy ta có x +8 = ( x + 2) ( x − x + 4) ≤ ( x + 2) + ( x2 − 2x + 4) 2 x2 ≥ x3 + x − x + y2 y2 ≥ y3 + y − y + Tương tự x2 x +8 + z2 , y2 y +8 + x2 − x + 0,5 x2 ⇒ = z2 z +8 ≥ z3 + 2z2 z2 − z + x2 y2 + x2 − x + y − y + 2z z −z+6 Mặt khác theo bđt Cauchy- Schwaz 40 ≥ 0,5 + x2 y2 + x2 − x + y − y + + 0,5 2z z2 − z + 2( x + y + z) ≥ 2 x + y + z − ( x + y + z ) + 18 2( x + y + z) ≥1 2 x + y + z − ( x + y + z ) + 18 Ta chứng minh Có x + y + z − ( x + y + z ) + 18 = ( x + y + z ) − ( x + y + z ) − ( xy + yz + zx ) + 18 = − ( x + y + z ) + 12 > 2 ⇒ ( x + y + z ) ≥ ( x + y + z ) − ( x + y + z ) + 18 ⇔ x2 + y2 + z2 + ( x + y + z ) ≥ Có x + y + z ≥ ( xy + yz + zx ) , đpcm Vì x + y + z ≥ xy + yz + zx xy + yz + zx = 0,5 suy Lưu ý : Các cách giải khác, cho điểm tương đương theo phần hướng dẫn chấm ……………Hết…………… ĐỀ Câu (5,0 điểm) d : y = 2x − Cho đường thẳng parabol 2 ( P ) : y = x + ( m + 1) x + m − m m ( tham số thực) Tìm điều kiện để ( P) A, B IAB, d cắt điểm phân biệt Tính diện tích tam giác biết I ( 2; −3) x − x + 15 y= −3 x + 2mx + m Cho hàm số ( tham số thực) Tìm tất m x∈¡ giá trị tham số để hàm số xác định với Câu (5,0 điểm) 41 Giải phương trình 9x2 2x + + − x = + 8 Giải hệ phương trình 4 x ( x + y ) + xy ( 12 x − y + 1) = y +  2 ( x + y ) = xy ( x − 1) + ABCD O Câu (2,0 điểm) Cho tứ giác có hai đường chéo cắt Gọi M,N AD, BC H,K trung điểm Gọi trực tâm tam OAB, OCD HM = HN , KM = KN giác Giả sử chứng minh Câu (6,0 điểm) E, F CD, AD ABCD Cho hình chữ nhật Gọi trung điểm Đặt cos α ≥ · α = EBF , chứng minh Đẳng thức xảy nào? B ( −1;3) Oxy, ABC Trong mặt phẳng tọa độ cho tam giác có Biết ABC A đường phân giác góc tam giác có phương trình d : 3x + y − 16 = 0; ∆ :2 x + y − 36 = C điểm thuộc đường thẳng khoảng C d d B cách từ đến hai lần khoảng cách đến Viết phương trình đường AC thẳng Câu (2,0 điểm) a, b, c Cho số thực dương Chứng minh bất đẳng thức sau 1 2 1  a b c + + ≥  + + − − − ÷ bc ca ab  a b c  bc ca ab Đẳng thức xảy nào? Hết ĐÁP ÁN Câu ý Nội dung 42 Điể m Câu (5đ) (2,5đ ) Để d cắt (P) hai điểm phân biệt phân biệt ⇔ pt sau có nghiệm 0,5 x + ( m + 1) x + m − = x − ⇔ x + 2mx + m − = (1) ∆ = > ∀m Vậy với m∈¡ , 0,5 0,25 d cắt (P) hai điểm phân biệt A ( x1;2 x1 − 3) , B ( x2 ;2 x2 − 3) Trong đó, AB = x1 , x2 nghiệm phương trình (1), ta có  x1 + x2 = −2m   x1 x2 = m − ( x2 − x1 ) ( 0,25 0,5 ( + ( x2 − x1 ) = ( x1 + x2 ) − x1x2 2 ) ) = ( −2m ) − ( m − 1) = 20 d ( I , AB ) = 2.2 + − +1 = 0,25 0,25 S = d ( I , AB ) AB = 2 (2,5đ ) Diện tích tam giác IAB Hàm số cho xác định với  x + 2mx + ≠ 0, ∀x ∈ ¡ (1)  x ∈ ¡ ⇔  x − 3x + 15  x + 2mx + − ≥ 0, ∀x ∈ ¡ (2)  (1) thỏa mãn ⇔ x + 2mx + = 0,5 vô nghiệm ⇔ ∆ ' < ⇔ m − < ⇔ −2 < m < 0,5 (*) x + 2mx + > ∀x ∈ ¡ Khi Nhận xét: Do 0,5 x − 3x + 15 > ∀x ∈ ¡ 0,25 x − x + 15 − ≥ ∀x ∈ ¡ ( 2) ⇔ x + 2mx + ⇔ x − ( + 6m ) x + ≥ ∀x ∈ ¡ ⇔ ∆ ≤ ⇔ 12m + 12m − ≤ ⇔ 43 0,5 −3 − −3 + ≤m≤ 6 0,25 Kết hợp với (*) ta toán Câu (5,0đ ) −3 − −3 + ≤m≤ 6 x ≤ (2,5đ Điều kiện: ) Phương trình cho t/m yêu cầu 0,25 ⇔ x + + 16 − x + ( x + ) ( − x ) = 0,259 x x2 + ⇔ 16 − x + ( 16 − x ) = 8 ⇔ ( 16 − x ) + 32 ( 16 − x ) = x + 16 x Đặt ( 16 − x ) = t , t ≥ Pt trở thành 0,25 4t + 32t − x − 16 x = x  t=  ⇔ ( 2t − x ) ( 2t + x + 16 ) = ⇔   2t + x + 16 = - Xét - Xét 0,5 x ≥ x x  t = ⇔ ( 16 − x ) = ⇔  x2 ⇔ x = 2 32 =  2t + x + 16 = 0, t ≥ 0, x ≤ 0,5 0,25 pt vô nghiệm x= Kết luận: Pt cho có nghiệm (2,5đ ) 0,5  x ( x + y ) + xy ( 12 x − y + 1) = y + (1)   2 (2) ( x + y ) = xy ( x − 1) + Khai triển rút gọn vế (1) (2), viết lại hpt dạng 4 x + 24 x y − 18 xy + xy − y =  2 16 x + y − 24 x y + xy = ( x − y ) + xy ( x − y ) + xy =  ⇔ ( x − y ) + xy = Đặt u = x − y  v = xy Hệ trở thành u + uv + v = (*)  u + v = 0,5 0,25 0,5 44 u ( u + u − ) = u + u − 2u = (*) ⇔  ⇔ 2 v = − u v = − u Tìm - Với - Với - Với ( u; v ) ∈ { ( 0;1) , ( 1;0 ) , ( −2; −3) } ( u; v ) = ( 0;1) ( u; v ) = ( 1;0 ) ta có hệ ta có hệ ( u; v ) = ( −2; −3) 0,5   x = 4 x − y = ⇔  6 xy = y =   x = 0, y = −   4 x − y =  ⇔ x= ,y =0   6 xy =   x = − , y =  ta có hệ −1  4 x − y = −2 y = ⇔ 2x  6 xy = −3 8 x + x + =  −1    y = 2x x = − ⇔ ⇔ ( x + 1) ( x − x + 3) =  y =  Kết luận: Hpt cho có nghiệm  1         ; ÷,  0; − ÷,  ;0 ÷,  − ;0 ÷,  − ;1÷           ( x; y ) ∈  45 0,25 0,25 0,25 M A D H K O B N C MN ⊥ HK , - Ta chứng minh Ta có Câu (2,0đ ) thật vậy: uuuu r uuur uuur uuur uuuu r uuuu r uuur uuur uuuu r uuur uuur MN = MA + AB + BN , MN = MD + DC + CN ⇒ MN = AB + DC ( uuur uuur uuur uuur uuuu r uuur uuur uuu r uuur HK = OK − OH ⇒ HK MN = OK − OH AB + DC ( Lại có = ) uuur uuur uuur uuur OK AB − OH DC (*) ( ) (do )( OH ⊥ AB, OK ⊥ CD ) 0,5 ) Có uuur uuu r uuur uuur uuu r uuur uuu r uuur uuu r uuur uuur uuu r uuur uuur uuu r OK AB = OK OB − OA = OK OB − OK OA = OC + CK OB − OD + DK 0,5 OA ( ) uuur uuu r uuur uuu r = OC.OB − OD.OA ( (1) (vì CK ⊥ OB, DK ⊥ OA ) ( 0,5 ) uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuu r uuur OH DC = OH OC − OD = OB.OC − OA.OD ( Tương tự, ) Thay (1) (2) vào (*) thu - Khi đó, kết hợp với giả thiết trung trực đoạn từ suy MN , KM = KN (đpcm) 46 (2) uuur uuuu r HK MN = ⇔ HK ⊥ MN HM = HN ⇒ HK ) đường 0,5 Câu (6,0đ ) (3,0đ ) E D C F A B a = AB, b = AD Đặt b2 a2 a + b2 2 BF = a + ; BE = b + ; EF = 4 2 0,75 Ta có Áp dụng định lí cô sin cho tam giác BEF, ta có BE + BF − EF cos α = = BE.BF (a ( a + b2 ) + 4b ) ( 4a +b ) 0,5 Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có (a + 4b ) ( 4a + b ) ≤ (a + 4b 2 ) + ( 4a +b 2 ) = 5( a +b ) 0,5 2(a + b ) cos α ≥ = 5( a2 + b2 ) Nên 0,5 Đẳng thức xảy hình vuông a + 4b2 = a + b2 ⇔ a = b hay ABCD C ∈ ∆ ⇒ C ( c;36 − 2c ) (3,0đ Giả thiết ) d ( C , d ) = 2d ( B , d ) ⇔ 0,75 3c + 2(36 − 2c) − 16 9+4 0,25 = ( −1) + 2.3 − 16 0,5 9+4 c = 30 ⇔ − c + 56 = 26 ⇔  c = 82 0,5 c = 82 ⇒ C (82; −128) 0,5 + Với , trường hợp không thỏa mãn B, C nằm phía đường thẳng d c = 30 ⇒ C ( 30; −24 ) 0,5 + Với Nhận xét: B, C nằm khác phía đường thẳng d nên 0,5 trường hợp thỏa mãn + Gọi B’ điểm đối xứng với B qua đường thẳng d, suy 0,25 B’ thuộc AC 47 + Tìm tọa độ điểm B’(5; 7) Đường thẳng AC qua B’, có véc tơ phương uuuur B ' C = ( 25; −31) nên có phương trình  x = + 25t   y = − 31t Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với a b c 1 2 1  + + + + + ≥  + + ÷ bc ca ab bc ac ab  a b c a + b2 + c2 a + b + c  ab + bc + ca  ⇔ + ≥  ÷ abc 3 abc abc  ⇔ ( a + b + c ) + abc ( ) ( a+ b+ c ≥2 ab + bc + ca ⇔ ( a + b + c ) ≥ ( ab + bc + ca ) + a bc + b ca + c ab Câu (2,0đ ) ⇔ Ta có bđt 0,5 a + b + c ≥ ab + bc + ca, ∀a, b, c ∈ ¡ - Xét bất đẳng thức ) 2 1 2 ( a − b) + ( b − c ) + ( c − a ) ≥ 2 ∀a, b, c ∈ ¡ 0,5 ⇒ ( a + b + c ) ≥ ( ab + bc + ca ) (*) 0,5 - Xét bất đẳng thức ab + bc + ca ≥ a bc + b ac + c ab , ∀a, b, c > (**) Ta có (**) ⇔ ( ab − bc ) + ( bc − ca ) + ( ca − ab 0,5 ) ≥ ∀a, b, c > Vậy (**) Từ (*) (**) suy bất đẳng thức cho chứng minh Đẳng thức xảy đẳng thức (*) (**) đồng thời xảy ⇔ a = b = c Lưu ý: Các cách giải khác, cho điểm tương đương theo phần hướng dẫn chấm - HẾT - 48 ... AB là: A + 10 B + 10 C Câu 20/Cho tam giác ABC có AB=3,AC=5, thức A uur uu r r uur uuu r IB + IA = 0, JB = JC 76 B + 10 µA = 600 D + 10 ,I,J xác định hệ Khi độ dài IJ là: 75 C 74 D 73 Phần II.Tự... ; ÷ 2 4 Câu 17/ C(0;4) Câu 18/ĐS:33/2 Câu 19/Đặt HC=x,ta có AC2=HC.BC ⇒ AB =HB.BC= ( ⇔ 9=x(x+2) ⇔ x = −1 + 10 ) + 10 ⇒ AB = + 10 Câu 20/ ⇒ BC = 19 ⇒ cos B = Ta có BC2=19 19 + 76 − 2.2 19 IJ2=IB2+BJ2-2.IB.BJ.cosB=... IJ2=IB2+BJ2-2.IB.BJ.cosB= = 75 ⇒ IJ = 75 19 ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM I.Trắc nghiệm: (Mỗi đáp án 0,2 điểm) B C 11 12 A C II.Tự luận C 13 C A 14 D A 15 A D 16 B A 17 D C 18 A B 19 A 10 C 20 B Câu 1(4,0 điểm)