Câu 1: ( 3,0 điểm) Cho hai đường thẳng và có phương trình: : y = x + 2 : y = ax + b a. Xác định a, b để đường thẳng đi qua hai điểm M( 3;0) và N( 0;12). Vẽ và trên cùng một hệ trục toạ độ. b. Hãy tính diện tích tứ giác giới hạn bởi hai hệ trục toạ độ và đồ thị của hai đường thẳng đã cho.
Các đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 9 cấp tỉnh ( kèm đáp án) Đề số 1: SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO CAO BẰNG ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2010-2011 Môn: TOÁN Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Câu 1: ( 3,0 điểm) Cho hai đường thẳng 1 d và 2 d có phương trình: 1 d : y = x + 2 2 d : y = ax + b a. Xác định a, b để đường thẳng 2 d đi qua hai điểm M( 3;0) và N( 0;12). Vẽ 1 d và 2 d trên cùng một hệ trục toạ độ. b. Hãy tính diện tích tứ giác giới hạn bởi hai hệ trục toạ độ và đồ thị của hai đường thẳng đã cho. Câu 2: ( 4,0 điểm ) 1. Chứng minh rằng: 3 3 1 1 2 2 1 3 3 1 1 1 1 2 2 + − + = + + − − 2. Cho 4 4 91 16 5x x+ − + = . Hãy tính x . Câu 3: ( 5,0 điểm) a. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2 1 2 3 A x = − − b. Tìm các số tự nhiên m sao cho: 3 3m + chia hết cho 3m + Câu 4: ( 6,0 điểm) Cho đường tròn tâm O bán kính R. Từ một điểm P ở trong đường tròn kẻ hai dây &AB CD vuông góc với nhau. Chứng minh rằng: a. 2 2 . .PA PB PC PD R PO= = − b. 2 2 2 2 PA PB PC PD+ + + không phụ thuộc vào vị trí điểm P . Câu 5: ( 2,0 điểm) Cho các số thực ,x y thoả mãn: 2 2 ( 1 )( 1 ) 1x x y y+ + + + = 1 ĐỀ BÀI (Đề gồm 01 trang) Đề chính thức Các đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 9 cấp tỉnh ( kèm đáp án) Tính giá trị biểu thức: 2011 2011 2011A x y= + + _________________________Hết______________________________ Họ và tên thí sinh:…………………………………… Số báo danh:…………… Họ tên, chữ ký của giám thị 1:………………………………………………… SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO CAO BẰNG HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2010-2011 Môn: TOÁN (Hướng dẫn chấm gồm…05… trang) Câu thứ (…….điểm) Ý Nội dung Thang điểm Câu 1 (3,0 điểm) 1 * Do 2 d đi qua hai điểm M,N nên ta có: 3 0 4 12 12 a b a b b + = = − ⇔ = = Vậy: pt đường thẳng 2 d là y = - 4x +12 * Vẽ đồ thị: 0,5 0,5 2 Các đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 9 cấp tỉnh ( kèm đáp án) 2 * Đường thẳng 1 d cắt Oy tại điểm A( 0;2) Đường thẳng 2 d cắt Ox tại điểm C( 3;0) Đường thẳng 1 d cắt Đường thẳng 2 d tại điểm B( 2;4) * Ta phải tính diện tích của tứ giác: OABC. Gọi D là hình chiếu của B trên Ox, suy ra: D( 2;0) Ta có: OABC OABD BDC S S S= + Mà: 1 ( ). 6 2 OABD S OA BD OD= + = 1 . 2 2 BDC S BD CD= = * Vậy: 8 OABC S = 0,5 0,5 0,5 0,5 Câu 2 1 3 Các đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 9 cấp tỉnh ( kèm đáp án) (4,0 điểm) Ta có: * 3 3 3 1 1 1 2 3 2 2 2 3 1 3 3 3 4 2 3 1 1 1 1 2 2 4 + + + + = = = + + + + + + + * 3 1 2 3 2 3 3 3 1 1 2 − − = − − − 2 3 2 3 1 3 3 3 3 VT VP + − ⇒ = + = = + − 1,0 0,5 0,5 2 Ta có: 4 4 4 4 75 91 16 5 (1) 5 91 16 x x x x + − + = ⇔ = + + + 4 4 91 16 15x x⇔ + + + = (2) Từ (1) và (2) ta có: 4 4 91 10 3 16 5 x x x + = ⇔ = ± + = 0,5 0,5 1,0 Câu 3 (4,0 điểm) 1 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2 1 2 3 A x = − − Điều kiện: 3x ≤ Ta có 0A > xét biểu thức 1 B A = = 2 2 3 x− − 0,5 0,5 4 Các đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 9 cấp tỉnh ( kèm đáp án) Vì 2 0 3 3x≤ − ≤ 2 3 3 0x⇔ − ≤ − − ≤ 2 2 3 2 3 2x− ≤ − − ≤ B⇒ đạt giá trị lớn nhất bằng 2 khi 3x = ± B đạt giá trị nhỏ nhất bằng 2 3− khi 0x = Do đó 2 1 2 3 A x = − − đạt giá trị nhỏ nhất bằng 1 2 khi 3x = ± 2 1 2 3 A x = − − đạt giá trị lớn nhất bằng 1 2 3 2 3 = + − khi 0x = 0,5 0,5 2 Ta có ( ) ( ) 3 3 2 3 27 24 3 3 9 24m m m m m+ = + − = + − + − Vì : ( ) ( ) ( ) 2 3 3 9 3m m m m+ − + +M Nên ( ) ( ) 3 ( 3) 3 24 3m m m+ + ⇔ +M M Vì m N∈ nên ta có: 3 3 0 3 4 1 3 6 3 3 12 9 3 24 21 3 8 5 m m m m m m m m m m m m + = = + = = + = = ⇔ + = = + = = + = = Vậy với 0; 1; 3; 5; 9; 21m m m m m m= = = = = = thì ( ) 3 ( 3) 3m m+ +M 0,5 0,5 1,0 5 Các đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 9 cấp tỉnh ( kèm đáp án) Câu 4 (6,0 điểm) 1 Ta có PAD PCB∆ ∆: PA PD PC PB ⇒ = . .PA PB PC PD⇒ = Gọi H là trung điểm của AB Ta có : ( ) ( ) .PA PB HA HP HB PH= − + = 2 2 HA PH− = ( ) ( ) 2 2 2 2 R OH PO OH− − − = 2 2 R PO− O E B A H D C P 1,0 2,0 2 Gọi E là điểm đối xứng với B qua O Ta có / /AE CD vì cùng vuông góc với AB AC DE⇒ = Ta có ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 PA PB PC PD PA PC PB PD+ + + = + + + 2 2 2 2 2 2 4AC BD DE BD BE R= + = + = = 1,5 1,5 6 Các đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 9 cấp tỉnh ( kèm đáp án) Câu 5 ( 2,0 điểm) ( ) ( ) 2 2 1 1 1x x y y+ + + + = Ta có ( ) ( ) 2 2 1 1 1x x x x+ + + − = 2 2 1 1y y x x⇒ + + = + − (1) Tương tự 2 2 1 1x x y y+ + = + − (2) Từ (1) và (2) 2 2 2 2 1 1 1 1y y x x x x y y⇒ + + + + + = + − + + − 2 2 0x y x y ⇔ + = ⇔ = − 2011 2011 2011 2011A x y= + + = 0,5 0,5 0,5 0,5 Hết - Lưu ý chung toàn bài: + Điểm toàn bài là tổng điểm các bài thành phần, vẫn giữ lại 2 số hạng thập phân không làm tròn số. + Nếu thí sinh giải theo cách khác mà lập luận chặt chẽ, tính toán chính xác thì vẫn cho điểm tối đa bài đó. Đề số 2: SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO CAO BẰNG ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2010-2011 Môn: TOÁN Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Câu 1: ( 3,5 điểm) 7 ĐỀ BÀI (Đề gồm 01 trang) Đề số 02 Các đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 9 cấp tỉnh ( kèm đáp án) Cho biểu thức: 2 2 2 2 2 ( 3) 12 ( 2) 8 x x y x x x − + = + + − a. Rút gọn biểu thức y. b. Tìm các giá trị nguyên của x để y là số nguyên. Câu 2: (3,5 điểm) Cho hệ phương trình: 1 x y m mx y + = + = ( m là tham số ) 1. Giải hệ phương trình khi m = 2 . 2. Tìm m để hai đường thẳng x y m+ = và 1mx y+ = cắt nhau tại duy nhất một điểm nằm trên Parabol: 2 2y x= − . Câu 3: (5,0 điểm) Cho đường thẳng (d): (m - 2) x + (m – 1) y = 1 ( m là tham số ) a. Chứng minh rằng với mọi m đường thẳng (d) luôn đi qua một điểm cố định. b. Khi m ≠ 2, m ≠ 1 tìm các giá trị của m để khoảng cách từ gốc toạ độ O đển đường thẳng (d) là lớn nhất. Câu 4: ( 6,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông ở A, đường cao AH. Vẽ đường tròn (I) đường kính BH cắt AB tại D. Vẽ đường tròn (K) đường kính HC cắt AC tại E. Chứng minh rằng: 1. AB.AD = AE.AC 2. DE là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (I) và (K). 3. Diện tích tứ giác DEKI bằng một nửa diện tích tam giác ABC. Câu 5: ( 2,0 điểm) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức sau: 3 6y x x = − + + __________________________Hết_______________________________ Họ và tên thí sinh:…………………………………… Số báo danh:…………… Họ tên, chữ ký của giám thị 1:………………………………………………… 8 Các đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 9 cấp tỉnh ( kèm đáp án) SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO CAO BẰNG HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2010-2011 Môn: TOÁN (Hướng dẫn chấm gồm…05… trang) Câu thứ (….điểm) Ý Nội dung Thang điểm Câu 1 (3,5 điểm) 1 ( ) ( ) 2 2 2 2 2 3 12 2 8 x x y x x x − + = + + − (1) Điều kiện: 0x ≠ (1) ( ) ( ) 2 2 2 2 3 2 x y x x + ⇔ = + − 2 3 2 x y x x + ⇔ = + − Nếu x < 0 thì 2 2 2 3x x y x − + − = Nếu 0 2x< < thì 2 3x y x + = Nếu 2x ≥ thì 2 2 2 3x x y x − + = 0,5 0,5 0,5 0,5 2 Ta có 3 2y x x x = + + − Khi x là số nguyên thì 2x x+ − là số nguyên do đó y là số nguyên khi 3 x là số nguyên 1 3 x x = ± ⇔ = ± Vậy với 1; 3x x= ± = ± thì y là số nguyên 1,0 0,5 Câu 2 (3,5 điểm) 1 Khi m = 2 ta có hệ: 2 1 2 1 3 x y x x y y + = = − ⇒ + = = 1,0 9 Các đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 9 cấp tỉnh ( kèm đáp án) 2 Hệ đã cho ( 1) 1 y m x m x m = − ⇔ − = − Với 1m ≠ hệ có nghiệm duy nhất: 1 1 x y m = − = + Do đó với 1m ≠ thì hai đường thẳng trên cắt nhau tại một điểm duy nhất I ( -1; m+1) Để I thuộc (P): 2 2y x= − thì: m + 1 = -2 ⇔ m = -3 vậy m = -3 là giá trị cần tìm. 0,5 1,0 0,5 0,5 Câu 3 (5,0 điểm) 1 (d): ( ) ( ) 2 1 1m x m y− + − = ( ) 0 0 ;M x y là điểm cố định của đường thẳng (d) khi và chỉ khi : ( ) ( ) 0 0 2 1 1m x m y− + − = nghiệm đúng với mọi m ( ) 0 0 0 0 2 1 0x y m x y⇔ + − − − = nghiệm đúng với mọi m 0 0 0 0 0 2 1 0 x y x y + = ⇔ − − − = 0 0 1 1 x y = − ⇔ = Vậy ( ) 1;1M − là điểm cố định của đường thẳng (d) 0,5 1,0 0,5 2 Với 2m ≠ và 1m ≠ đường thẳng (d) cắt trục ox tại điểm 1 ;0 2 A m ÷ − cắt trục oy tại điểm 1 0; 1 B m ÷ − Ta có 1 2 OA m = − 1 1 OB m = − 0,5 0,5 O O A AA A AAAaa aAaAA AAAÂA H HHHH H B 10 AA A AA [...]... lớp 9 cấp tỉnh năm học 20 09 - 2010 Môn: Toán (Hớng dẫn chấm gồm 04 trang) Đề chính thức Câu Nội dung 1 1 Rút gọn P (2 ,00 điểm) Điểm 4,00 a 0 a 1 Điều kiện 0,5 ( ( 0,5 P= = 2 ) ( a + 2) a ( a + 1) : 2 a a + 2 ) ( a 1) ( a 1) ( a + 1) a 1 ( a 1) ( a + 1) = a + 1 a +1 1 a 1 2 a Tìm a để (2 ,00 điểm) 1 a +1 1 P 8 2 a a + 6 a 9 0 8( a + 1) (1 ) 1,0 1,0 Do a>0 nên a + 1 >0 Từ (1 ) suy ra (. .. -Họ và tên thí sinh: Số báo danh: Họ tên, chữ ký của giám thị 1: Sở giáo dục và đào tạo Cao Bằng Hớng dẫn chấm đề thi chọn học sinh giỏi lớp 9 cấp tỉnh năm học 20 09 - 2010 Môn: Toán (Hớng dẫn chấm gồm 04 trang) Đề dự bị Cõu Ni dung 1 1 Rỳt gn (2 ,00 dim) im 4,00 x 0 x 0 x x 0 x 0 iu kin xỏc nh xx x 1 x + x 0 x 0 P= 2 ( )( x( ) ( x 1 x + x + 1 ) x 1 )( x( ) + x +1 x +1 x x +1... -18 Cỏc thi hc sinh gii mụn Toỏn lp 9 cp tnh ( kốm ỏp ỏn) - Lu ý chung toàn bài: + Điểm toàn bài là tổng điểm các bài thành phần, vẫn giữ lại 2 số hạng thập phân + Nếu thí sinh giải theo cách khác mà lập luận chặt chẽ, tính toán chính xác thì vẫn cho điểm tối đa bài đó s 4: Sở Giáo Dục và Đào Tạo Cao Bằng Đề thi chọn học sinh Giỏi lớp 9 cấp tỉnh năm học 20 09- 2010 Môn: Toán Thời gian làm... Nu thớ sinh gii theo cỏch khỏc m lp lun cht ch, tớnh toỏn chớnh xỏc thỡ vn cho im ti a bi ú s 3: Đề thi chọn học sinh Giỏi lớp 9 Cấp tỉnh năm học 20 09 - 2010 Môn: Toán Sở Giáo Dục và Đào Tạo Cao Bằng Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian phát đề Đề dự bị Câu 1 (4 im) Cho biu thc P= x x 1 x x +1 x +1 + x x x+ x x 1 Rút gọn biểu thức P 2 Tìm giá trị của x để P = 9 2 Cõu 2 (4 im) 1 Tìm các số... x x x x 9 Tỡm cỏc giỏ tr ca x P= (2 ,00 dim) 2 ( 9 P= 2 ) x +1 0,5 0,5 x ( ) x +1 2 x 1,0 2 9 2x 5 x + 2 = 0 2 1,0 x =2 x = 4 x 2 2 x 1 = 0 x=1 x = 1 (tha món K) 4 2 1 Vy x = 4 ; x = l giỏ tr cn tỡm 4 1,0 x ( 2 1 )( = ) 4,00 Tỡm cỏc s nguyờn dng .(2 ,00 dim) 15 Cỏc thi hc sinh gii mụn Toỏn lp 9 cp tnh ( kốm ỏp ỏn) xy 2 x = 3 y 1 y ( x 3) = 2 x 1 (* ) 0,5 Nu x=3 : phng trỡnh (* ) khụng... DE DE l tip tuyn ca (I) 0,5 * Tng t : DE l tip tuyn ca (K) 3 Vy: DE l tip tuyn chung ca hai ng trũn (I) v (K) Ta cú: DEKI l hỡnh thang vuụng nờn: 0,5 0,5 0,5 12 Cỏc thi hc sinh gii mụn Toỏn lp 9 cp tnh ( kốm ỏp ỏn) S DEKI = 1 1 (DI + KE) DE = (IH + HK) AH 2 2 1 BC 1 S ABC AH = 2 2 2 K: 6 x 3 0,5 0,5 = 0,25 Ta cú : y luụn dng, do ú: y 2 = 9 + 2 (3 x )( x + 6) 9 y 2 9 y 3 Du bng xy ra khi... xy 2 xz 2 yz 0 ( x 2 xy + y ) + ( x 2 xz + z ) + ( y 2 yz + z ) 0 0,5 ( x y) + ( x z) + ( y z) 0 0,5 4,00 3 x2 + y 2 + z 2 ( x + y + z ) 0 2 2 2 2 2 2 3 1 2 2 2 2 2 2 2 Tìm các giá trị của m (2 ,00 điểm) đờng thảng y = m cắt (P) tại hai điểm A và B suy ra m < 0 PT hoành độ giao điểm: - x2 = m x = m (m < 0) Vậy, giao điểm của đờng thẳng y = m với (P) là A(- m ; m ); B( m ; m ) AB = xB... 0 ( a 3) 2 0 a 3 = 0 2 a =3 a =9 1 Tìm x,y nguyên dơng(2,00 điểm) 1 1 1 + = x y 2 2 x + 2 y = xy ( x 2 ) y = 2 x ( 1) (x 0; y0) Nếu x=2 thì phơng trình (1 ) không thỏa mãn Nu x 2 thỡ (1 ) y = 20 2x 4 = 2+ x2 x2 1,0 4,00 0,5 0,5 Cỏc thi hc sinh gii mụn Toỏn lp 9 cp tnh ( kốm ỏp ỏn) 4 Z x 2 l c s ca 4, x2 y Z thỡ Tc l x = 3 x = 1 x 2 = 1 x 2 = 2 x = 4 (vỡ x nguyờn dng) x = 0 (loai... cú nghim (x;y) tha món x . Các đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 9 cấp tỉnh ( kèm đáp án) Đề số 1: SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO CAO BẰNG ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2010-2011 Môn: TOÁN Thời gian:. P . Câu 5: ( 2,0 điểm) Cho các số thực ,x y thoả mãn: 2 2 ( 1 )( 1 ) 1x x y y+ + + + = 1 ĐỀ BÀI ( ề gồm 01 trang) Đề chính thức Các đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 9 cấp tỉnh ( kèm đáp án) . BẰNG ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2010-2011 Môn: TOÁN Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Câu 1: ( 3,5 điểm) 7 ĐỀ BÀI ( ề gồm 01 trang) Đề số 02 Các đề thi học sinh