Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 10 cấp trường năm 2019-2020 có đáp án - Trường THPT Trần Phú, Hà Tĩnh

Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 10 cấp trường năm 2019-2020 có đáp án - Trường THPT Trần Phú, Hà Tĩnh giúp các bạn học sinh củng cố lại phần kiến thức đã học, cũng như làm quen với cấu trúc ra đề thi và xem đánh giá năng lực bản thân qua việc hoàn thành đề thi.

NHĨM TỐN VD – VDC KỲ THI CHỌN HSG LỚP 10 THPT TRẦN PHÚ NĂM HỌC 2019 - 2020 (Đề thi có 01 trang) MƠN: TỐN –THPT Thời gian: 120 phút ĐỀ BÀI Câu 1: (5,0 điểm) Cho hàm số y  m  2 x  m 1 x  m  ( m tham số) NHĨM TỐN VD – VDC SỞ GD&ĐT HÀ TĨNH ĐỀ THI HSG TOÁN a) Biết đồ thị đường parabol có tung độ đỉnh 3m Xác định giá trị m b) Tìm m để hàm số nghịch biến khoảng ; 2 Câu 2: (4,0 điểm) Trong hệ tọa độ Oxy , cho hình thang ABCD có hai cạnh bên AB CD cắt điểm M , tọa độ điểm A(−2; −2), B(0; 4) C (7;3)        a) Tìm tọa độ điểm E để EA + EB + EC = tìm giá trị nhỏ PA + PB + PC biết P điểm di động trục hồnh b) Biết diện tích hình thang ABCD gấp lần diện tích tam giác MBC Tìm tọa độ đỉnh D Câu 3: x + mx + x − m =x + ( m tham số) (5,0 điểm) Cho phương trình a) Giải phương trình với m = −3 b) Tìm giá trị m để phương trình có nghiệm phân biệt Câu 4: (4,0 điểm) Cho tam giác ABC cạnh 3a Lấy điểm M , N cạnh BC , CA cho BM = a , CN = 2a   a Tìm giá trị tích vơ hướng AM ⋅ BC theo a b Gọi P điểm nằm cạnh AB cho AM vng góc với PN Tính độ dài PN theo a Câu 5: (2,0 điểm) Cho hàm số f ( x ) = x − x + + m ( m tham số) Tìm m để giá trị lớn hàm số cho đoạn  −2;  đạt giá trị nhỏ HẾT https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang NHĨM TỐN VD – VDC KỲ THI CHỌN HSG LỚP 10 THPT TRẦN PHÚ NĂM HỌC 2019 - 2020 (Đề thi có 01 trang) MƠN: TỐN –THPT Thời gian: 120 phút HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1: (5,0 điểm) Cho hàm số y  m  2 x  m 1 x  m  ( m tham số) NHĨM TỐN VD – VDC SỞ GD&ĐT HÀ TĨNH ĐỀ THI HSG TOÁN a) Biết đồ thị đường parabol có tung độ đỉnh 3m Xác định giá trị m b) Tìm m để hàm số nghịch biến khoảng ; 2 Lời giải: a) Để đồ thị đường parabol m    m  2m  Đồ thị có tung độ đỉnh 3m   3m  2m   3m m  2 m2 m    3m  8m     tm m   m   Vậy  m   b) Để hàm số nghịch biến ; 2 m   m 1  Khi hàm số nghịch biến khoảng ;   m   m 1   m 1  m  2do m   0 m2  m 1  m   m  Ta được: Vậy  m  Câu 2: Trong hệ tọa độ Oxy , cho hình thang ABCD có hai cạnh bên AB CD cắt điểm M , tọa độ điểm A(−2; −2), B(0; 4) C (7;3)        a) Tìm tọa độ điểm E để EA + EB + EC = tìm giá trị nhỏ PA + PB + PC biết P điểm di động trục hoành b) Biết diện tích hình thang ABCD gấp lần diện tích tam giác MBC Tìm tọa độ đỉnh D Lời giải https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang NHĨM TỐN VD – VDC ĐỀ THI HSG TỐN NHĨM TỐN VD – VDC a) Ta gọi E ( x; y ) ,    EA = ( −2 − x; −2 − y ) ,EB = ( − x; − y ) ,EC = ( − x; − y )     −2 − x − x + ( − x ) = x = nên EA + EB + EC =0 ⇔  ⇔ y = y y y − − + − + − = ( )   Vậy E (2;3)     Ta có: PA + PB + PC= PE= PE    Nên PA + PB + PC đạt giá trị nhỏ P hình chiếu E lên trục hoành Vậy P ( 2; ) b) Gọi M ( a;b ) D(c; d ) Diện tích hình thang ABCD gấp lần diện tích tam giác MBC nên S ∆MBC = S ∆MAB 1 ⇔ MH BC = MK DA 2 ⇔ MH BC = MK AD ⇔ 4BC MK = AD MH Mà ABCD hình thang nên Do MK AD = MH BC AD BC = BC AD   Suy AD = BC ⇒ AD = BC ⇒ AD = BC   AD =(c + 2; d + 2) c = 12 ⇒   = (7; −1) d = −4  BC Vậy D (12;−4 ) Câu 3: (5,0 điểm) Cho phương trình x + mx + x − m =x + ( m tham số) a) Giải phương trình với m = −3 b) Tìm giá trị m để phương trình có nghiệm phân biệt Lời giải https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang NHÓM TOÁN VD – VDC  x + ≥ Ta có phương trình cho ⇔  2 x + mx + x − m = ( x + 1) ĐỀ THI HSG TOÁN NHĨM TỐN VD – VDC  x ≥ −1  x ≥ −1 ⇔ ⇔ ( *)  2   − + + + + = x x m x m ( ) ( ) 2 x + ( m − 1) x − m − =0     x ≥ −1 a) Với m = −3 (*) ⇔  ( x − 1) ( x − x − ) =  x ≥ −1 x =   x = ⇔  ⇒ x = 1± 1±  x=  2    ±  Vậy tập nghiệm phương trình S = 1;     x ≥ −1  b) Ta có (*) ⇔   x =   x + ( m + 1) x + m + = (**)  Xét phương trình (**) : x + ( m + 1) x + m + = Có ∆= ( m + 1) − ( m + 1= ) ( m + 1)( m − ) Phương trình cho có nghiệm phân biệt ⇔ Phương trình (**) có nghiệm phân biệt x1 , x2 khác −1 ≤ x1 < x2 ∆= ( m + 1)( m − ) > m +1   −  x1 + x2 = 2.1 + ( m + 1) + m + ≠ ) (với  ⇔ x x = m +1 ( x1 + 1) + ( x2 + 1) >   x +1 x +1 ≥ ( ) ( )  ( m + 1)( m − ) >  m ∈ ( −∞; − 1) ∪ ( 7; + ∞ )  2m + ≠   m +1 m ≠ −2 ⇔ − ⇔ ⇔ m ∈ ( −∞; − ) ∪ ( −2; − 1) +2>0 m <    m +1 m +1 2 ≥ ( ld )  − +2≥0   2 Vậy m ∈ ( −∞; − ) ∪ ( −2; − 1) Câu 4: Cho tam giác ABC cạnh 3a Lấy điểm M , N cạnh BC , CA cho BM = a , CN = 2a   a Tìm giá trị tích vơ hướng AM ⋅ BC theo a b Gọi P điểm nằm cạnh AB cho AM vng góc với PN Tính độ dài PN theo a Lời giải https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang NHÓM TOÁN VD – VDC ĐỀ THI HSG TOÁN ( ) = 3a ⋅ 3a ⋅ cos120° + a ⋅ 3a ⋅ cos 0° = − a + 3a = − a2 2             b Ta có AM ⋅ PN = AB + BM AN − AP =  AB + BC  AN − AP           1 1  1 = AB ⋅ AN − AB ⋅ AP + BC ⋅ AN − BC ⋅ AP = 3a ⋅ a ⋅ − 3a ⋅ x + ⋅ 3a ⋅ a ⋅ − ⋅ 3a ⋅ x  −  3 3  2 ( )( ) ( NHĨM TỐN VD – VDC          a Ta có AM ⋅ BC = AB + BM ⋅ BC = AB ⋅ BC + BM ⋅ BC ) 5   =2a − ax =a  2a − x  2       Theo đề, AM ⊥ PN nên AM ⋅ PN = ⇔ a  2a − x  = ⇔ x = a   Câu 5: Cho hàm số f ( x ) = x − x + + m ( m tham số) Tìm m để giá trị lớn hàm số cho đoạn  −2;  đạt giá trị nhỏ Lời giải Xét hàm số g ( x ) = x − x + + m đoạn  −2;  Ta có g ( x ) = (x − 2) + m + ( Do −2 ≤ x ≤ ⇒ ≤ x ≤ ⇒ −2 ≤ x − ≤ ⇒ ≤ x − ( ) ) ≤9 Suy m + ≤ x − + m + ≤ 10 + m hay m + ≤ g ( x ) ≤ m + 10, ∀x ∈  −2;  Suy g ( x ) ∈ [ m + 1; m + 10] , ∀x ∈  −2;   Trường hợp 1: ≤ m + ⇔ m ≥ −1 , suy max f ( x = ) m + 10  −2;    m ≥ −10  Trường hợp 2: m + < ≤ m + 10 ⇔  ⇔ −10 ≤ m < −1 , m < −1 suy max f= ( x ) max {m + 10; −m − 1}  −2;     Nếu m + 10 > −m − ⇔ m > − 11  11  , suy max f ( x = m + 10 m ∈  − ; −1 )      −2;   Nếu m + 10 < −m − ⇔ m < − 11 11   , suy max f ( x ) =−m − m ∈  −10; −   −2;  2    https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang NHĨM TỐN VD – VDC  Trường hợp 3: m + 10 < ⇔ m < −10 , suy max f ( x ) =−m − ĐỀ THI HSG TOÁN  −2;    NHĨM TỐN VD – VDC 11  −m − 1, m < − Tóm= lại h ( m ) max f ( x)  =  −2;    m + 10, m ≥ − 11  Suy đồ thị hàm số h ( m ) Vậy: Giá trị lớn hàm số cho đoạn  −2;  đạt giá trị nhỏ 11 m = − max f ( x ) =  −2;  2   HẾT https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang ...NHĨM TỐN VD – VDC KỲ THI CHỌN HSG LỚP 10 THPT TRẦN PHÚ NĂM HỌC 2019 - 2020 (Đề thi có 01 trang) MƠN: TỐN ? ?THPT Thời gian: 120 phút HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1: (5,0 điểm) Cho hàm số y  m  2 x ... m  ( m tham số) NHĨM TỐN VD – VDC SỞ GD&ĐT HÀ TĨNH ĐỀ THI HSG TOÁN a) Biết đồ thị đường parabol có tung độ đỉnh 3m Xác định giá trị m b) Tìm m để hàm số nghịch biến khoảng ; 2 Lời giải:... m + ≤ 10 + m hay m + ≤ g ( x ) ≤ m + 10, ∀x ∈  −2;  Suy g ( x ) ∈ [ m + 1; m + 10] , ∀x ∈  −2;   Trường hợp 1: ≤ m + ⇔ m ≥ −1 , suy max f ( x = ) m + 10  −2;    m ≥ ? ?10  Trường