Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 10 cấp trường năm 2020-2021 có đáp án - Trường THCS&THPT Trí Đức, HCM

Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 10 cấp trường năm 2020-2021 có đáp án - Trường THCS&THPT Trí Đức, HCM giúp học sinh vận dụng kiến thức và kỹ năng của bản thân để thử sức mình với đề thi nhé! Chúc các em đạt kết quả cao trong kì thi.

KIỂM TRA CHỌN HSG VÒNG TRƯỜNG SỞ GIÁO DỤC TP HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG THCS&THPT TRÍ ĐỨC NĂM HỌC 2020 - 2021 MƠN TỐN – KHỐI 10 THỜI GIAN: 120 PHÚT (không kể thời gian giao đề) Câu 1: (6,0 điểm) Giải phương trình, hệ phương trình sau: a ( x  3)  x  x  x  x  x   x  3x  x   y  y b  4 x  x    4 x  1 y Câu 2: (5,0 điểm) Trong hệ trục tọa độ Oxy, cho ba điểm A 1; 1 , B  2; 3 C  2; 1 a Tìm tọa độ điểm F để FA  FB  3FC  b Xác định vị trí M để MA  MB  MC nhỏ , biết M  m, m  1 điểm di động c Tìm tọa độ điểm D để ABDC hình thang có hai đáy AC, BD diện tích hình thang Câu 3: (3,0 điểm) a Tìm giá trị lớn P yz x zx y xyz xy z b Cho ba số thực dương x,y,z thỏa xyz  xy  yz  zx Chứng minh x  3x  1  y  y  1  z  3z  1  Câu 4: (3,0 điểm) Cho bảng vng kích thước 100x100 mà ô điền ký tự A, B, C, D cho hàng, cột bảng số lượng ký tự loại 25 Ta gọi hai ô thuộc hàng (không thiết kề nhau) điền khác ký tự “cặp tốt”, cịn hình chữ nhật có cạnh song song với cạnh nằm cạnh bảng bốn ô vuông đơn vị bốn góc điền đủ bốn ký tự A, B, C, D “bảng tốt” a Hỏi cách điền trên, có cách điền mà bảng vng 1x4, 4x1 2x2 có chứa đủ ký tự A, B, C, D? b Chứng minh với cách điền thỏa mãn đề bảng vng cho ln có cột bảng mà từ chọn 76 cặp tốt Câu 5: (3,0 điểm) Minh Khôi dùng đồ chơi xếp thành tháp 1,2,3,… có hình dạng tn theo quy luật hình vẽ: Với số nguyên dương n, gọi f  n  số đồ chơi cần có để xếp thành tháp n Ví dụ: f 1  3,f 2  10,f 3  21, a Viết cơng thức tính f  n  1 theo f  n  n b Viết công thức tính f  n  theo n c Biết Minh Khơi có 5000 đồ chơi, có chiều dài 10cm Minh Khơi muốn dùng (không thiết dùng hết thanh) để xếp thành tháp lớn (tháp phải có hình dạng tuân theo qui luật hình vẽ Hỏi tháp lớn mà Minh Khơi xếp có chiều cao ? HẾT Thí sinh khơng sử dụng tài liệu Giám thị khơng giải thích thêm Họ tên học sinh: …………………….…….…………………….… Lớp:……… ……… ĐÁP ÁN KT HSG VÒNG TRƯỜNG SỞ GIÁO DỤC TP HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG THCS&THPT TRÍ ĐỨC NĂM HỌC 2020 - 2021 MƠN TỐN – KHỐI 10 THỜI GIAN: 120 PHÚT (không kể thời gian giao đề) HƯỚNG DẪN CHẤM CÂU a Điều kiện   x  ĐIỂM Phương trình (1)  ( x  3)(  x  1)  x(  x  1)  x  x 0,5 đ x 3 x x  2x2  6x 1 x 1  x 1 1    x( x  3)    2   x 1  1 x 1  0,5*3 đ ĐIỂM TỔNG ( x  3)  x( x  3)   1    (2)   x   x 1 x( x  3)   x  0; x  (Thỏa mãn điều kiện) 0,5 đ Với điều kiên   x  ta có    1  1 1 x 1  1   x      Dấu "  " 1 x 1  x 1  x 1   1   x  0,5 đ 6,0 điểm khơng xảy nên phương trình (2) vơ nghiệm Vậy phương trình cho có hai nghiệm x  x  b Phương trình thứ  ( x  3x  3x  1)  x   y  y  x  1  x  1  y  y Đặt a  x  ta   a  a  y  y  a  y  a  ay  y    a  y  0,5đx3 y 3y  Vì a  ay  y    a      0; a, y 2  2 Ta y  x  thay vào pt thứ hai ta x   x   x ĐK: x     x    2 x  2  x    2x  x   x   2x     x2 y 3 2   x   2 x  3 0,5đx2 Kết luận: Hệ pt có nghiệm x; y   2;3 0,5 đ 1  x   x    x   FA  FB  3FC    1  y   y  1  y   a x     y  0,5 đx2  7 Vậy F  0;   5 0,5 đ b MA  3MB  MC  CA  3MB 0,5 đ CA   1;0  , MB   2  m;2  m  0,5 đ  169 13  CA  3MB  18  m     6 2  Dấu “=” xảy m  1 7 Vậy M  ;  6 6 0,5 đ 0,5 đ 5,0 điểm 0,5 đ c Gọi D  x; y   x   6.1  x  BD  AC  BD  AC     y   6.0 y  Vậy D  4;3 0,5 đ 0,5 a P xác định x  1,y  4,z  Ta có P  y4 x 1 z9   x y z 0,5 đ Áp dụng Bđt Cơsi ta có: x 1  x  1 x 1   x 2 y4  z9   Max P= y4 y  4   y 11 z 9 z 1    P 12 z 0,5đ 11 , đạt x=2, y=8, z=18 12 0,5đ b Ta có 3xyz  xy  yz  zx  1   3 x y z 0,5 đ 3,0 điểm x y z Đặt a  , b  , c   a  b  c  Ta có x  3x  1   a 3    1 a  a3 b  c a3 b  c  VT    2 y  y  1   b 3    1 b  b3 a  c 2    z  3z  1 c 3    1 c  c3 a  b 2    4 0,5đ b  c b  c 3a b3 a  c a  c 3b c3 a  b a  b 3c   ,    ,    2 8 a  c 8 a  b 8 1  a  b  c    4 a) Khơng tính tổng qt, giả sử ô cột điền A,B,C,D Khi đó, thứ hai cột phải điền D thuộc hai hình vng 2x2 chứa sẵn A,B,C Do đó, ta điền tiếp cột theo thứ tự C, D, A, B Cứ thế, ta điền tiếp cho cột 3,4 0,5đ 1,0 đ 1,0 đ 3,0 điểm Tuy nhiên, ta thấy hàng khơng thỏa mãn chứa hai loại ký tự Vậy nên khơng có cách điền thỏa mãn điều kiện nêu 0,5đ b) Giả sử phản chứng cặp cột tùy ý có 25 cặp ký tự Cố định cột 1, xét 99 cột lại Gọi T số (a,b) cột a  có thứ b từ xuống ký tự Theo giả sử T  99.25 0,5 đ Mặt khác, theo giả thiết T=100.24 (tính theo hàng) Suy 100.24 > 99.25, điều vơ lý chứng tỏ giả thiết phản chứng sai, tức chọn hai cột thỏa mãn đề f  n  1  f  n   2n   2n   f  n   4n  0,5đx2 3,0 (3,0 điểm) f  n   2n2  n f 50  5050,f  49  4851 0,5x2đ 0,5đ suy tháp lớn mà Minh Khơi xếp tháp 49 tháp 0,5 đ có chiều cao 490cm Đáp án hướng dẫn chấm điểm gồm có 03 trang Học sinh giải cách khác đúng, hợp lí logic cho điểm tối đa Quý thầy cô xem lại đáp án thống trước chấm ! điểm ... sinh khơng sử dụng tài liệu Giám thị khơng giải thích thêm Họ tên học sinh: …………………….…….…………………….… Lớp: ……… ……… ĐÁP ÁN KT HSG VÒNG TRƯỜNG SỞ GIÁO DỤC TP HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG THCS&THPT TRÍ ĐỨC NĂM... xếp tháp 49 tháp 0,5 đ có chiều cao 490cm Đáp án hướng dẫn chấm điểm gồm có 03 trang Học sinh giải cách khác đúng, hợp lí logic cho điểm tối đa Quý thầy cô xem lại đáp án thống trước chấm ! điểm... Khơi có 5000 đồ chơi, có chiều dài 10cm Minh Khôi muốn dùng (không thi? ??t dùng hết thanh) để xếp thành tháp lớn (tháp phải có hình dạng tn theo qui luật hình vẽ Hỏi tháp lớn mà Minh Khơi xếp có