Bài 7: Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = c, AC = b.Tính thể tích của khối nón tròn xoay sinh bởi tam giác đó (kể cả các điểm trong) khi quay quanh đường thẳng BC2. Tính diện tích thiế[r]
(1)Chuyên đề 02 : MẶT NĨN – MẶT TRỤ – MẶT CẦU. Vấn đề : Mặt Nĩn - Hình Nĩn - Khối Nĩn. I. Khái niệm mặt trịn xoay
Trong không gian cho mặt phẳng (P) chứa đường thẳng đường C Khi quay mặt phẳng (P) xung quanh góc 3600 đường C tạo nên mặt nón trịn xoay Mặt
trịn xoay nhận làm trục đường C gọi đường sinh.
Chú ý :
Nếu cắt mặt tròn xoay mặt phẳng vng góc với trục ta giao tuyến là đường trịn có tâm trên.
Mỗi điểm M mặt tròn xoay nằm đường tròn thuộc mặt tròn xoay đường trịn có tâm thuộc trục trịn xoay
II Mặt nón trịn xoay.
Trong mặt phẳng (P) cho hai đường thẳng d và cắt O tạo thành góc
0
,0 90
Khi quay mặt phẳng (P) xung quanhthì đường thẳng d sinh mặt tròn xoay gọi mặt nón trịn xoay đỉnh O(gọi tắt mặt nón)
+ Đường thẳnggọi trục, + Đường thẳng d gọi đường sinh, + Góc2 gọi góc đỉnh mặt nón + Điểm O gọi đỉnh mặt nón
III. Hình nón trịn xoay.
1.Định nghĩa:Cho tam giác IOM vuông I.Khi quay tam giác xung quanh cạnh gócvng OI đường gấp khúc OIM tạo thành hình gọi hình nón trịn xoay(gọi tắt hình nón)
+ Điểm O gọi đỉnh hình nón
+ Độ dài OI gọi chiều cao hình nón
+ Hình trịn tâm I bán IM IM quay quanh OI gọi mặt đáy hình nón
+ Phần mặt trịn xoay sinh điểm cạnh OM quay quanh trục OI gọi mặt xung quanh hình nón
2 Diện tích hình nón:
a Diện tích xung quanh : Sxq .r.l , l độ dài đường sinh r bán kính đáy
b Diện tích tồn phần :
2 Stp SxqSđáy .r.l.r IV Khối nĩn trịn xoay.
1 Định nghĩa : Phần không gian giới hạn hình nón trịn xoay, kể hình nón gọi khối nón trịn xoay (gọi tắt khối nón)
Thể tích khối nón :
2
V
3r
h
, h chiều cao r bán kính đáy
Bài 1: Cho khối nón trịn xoay có đường cao h = 20cm, bán kính đáy r = 25cm Tính diện tích xung quanh hình nón thể tích khối nón
2 Một mặt phẳng (P) qua đỉnh khối nón có khoảng cách đến tâm O đáy đến mặt phẳng (P) 12cm Hãy xác định thiết diện (P) tính diện tích thiết diện
Bài 2: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’cạnh a Hãy tính diện tích xung quanh thể tích khối nón có đỉnh tâm O hình vng ABCD đáy đường trịn nội tiếp hình vng A’B’C’D’
(2)Bài 4:Cắt hình nón đỉnh S mặt phẳng qua trục ta tam giác vng cân có cạnh huyền a
1 Tính diện tích xung quanh,diện tích đáy,diện tích tồn phần thể tích khối nón tương ứng
2 Cho dây cung BC đường trịn đáy hình nón cho mặt phẳng(SBC) tạo với mặt phẳng chứa đáy hình nón góc 600 Tính diện tích tam giác SBC.
Bài 5:Cho hình nón trịn xoay đỉnh D, O tâm đường trịn đáy, đường sinh l góc đường sinh mặt phẳng đáy .
1 Tính diện tích xung quanh hình nón thể tích khối nón tạo nên Gọi I điểm đường cao DO hình nón
DI
k, k l
DO Tính diện tích
thiết diện qua I vng góc với trục hình nón
Bài 6:Cho khối nón có bán kính đáy r = 12cm có góc đỉnh 1200 Hãy tính diện tích
thiết diện qua hai đường sinhvng góc với
Bài 7: Cho tam giác ABC vuông A, AB = c, AC = b.Tính thể tích khối nón trịn xoay sinh tam giác (kể điểm trong) quay quanh đường thẳng BC
Bài 8:Chứng minh khối nón trịn xoay, góc đỉnh góc lớn số góc tạo nên hai đường sinh khối nón
Bài 9: Cho hình nón có đường cao SO = h bán kính đáy r.Gọi M điểm đoạn OS, đặt OM = x ( < x < h )
1 Tính diện tích thiết diện (T) vng vng góc với trục M
2 Tính thể tích V hình nón đỉnh O đáy (T) theo r, h x Xác định x cho V lớn
Bài 10:Thiết diện qua trục hình nón tam giác vng cân có cạnh góc vng a
1 Tính diện tích xung quanh,diện tích tồn phần hình nón Tính thể tích khối nón tương ứng
Một thiết diện qua đỉnh tạo với đáy góc 600 Tính diện tích thiết diện này.
Bài 11:Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy a góc mặt bên mặt đáy 600 Hình nón đỉnh S có đường trịn đáy nội tiếp tam giác ABC gọi hình
nón nội tiếp hình chóp cho Hãy tính diện tích xung quanh thể tích hình nón
Bài 12:Tìm hình nón tích lớn diện tích tồn phần diện tích hính trịn bánkính a cho trước
Bài 13:Cho tam giác cạnh a quay xung quanh đường cao AH tạo nên hình nón Tính diện tích xung quanh, diện tích tồn phần thể tích hình nón
Bài 14:Cho tam giác OIM vng I, góc IOM 30 0 cạnh IM = a Khi quay tam giác OIM quanh cạnh góc vng OI đường gấp khúc OMI tạo thành hình nón Tính diện tích xung quanh hình nón, thể tích khối nón tạo nên bới hình nón
(3)Vấn đề 02 : Mặt trụ, hình trụ, khối trụ. I Khái niệm mặt trụ tròn xoay.
Trong mặt phẳng (P) cho hai đường thẳng l song song nhau, cách khoảng r Khi quay mặt phẳng (P) xung quanhthì đường thẳng l sinh mặt tròn xoay gọi mặt trụ tròn xoay (gọi tắt mặt trụ)
+ Đường thẳnggọi trục + Đường thẳng l gọi đường sinh + r bán kính mặt trụ
II Hình trụ trịn xoay.
1.Định nghĩa: Xét hình chữ nhật ABCD Khi quay hình xung quanh đường thẳng chứa cạnh, chẳng hạn cạnh AB, đường gấp khúc ADCB tạo thành hình gọi hình lăng trụ trịn xoay (gọi tắt hình trụ)
+ Khi quay quanh AB, hai cạnh AD BC vạch hai hình trịn gọi hai đáy + Bán kính chúng gọi bán kính hình trụ
+ Khoảng cách hai tâm hai đáy chiều cao hình trụ 2 Diện tích hình trụ:
a Diện tích xung quanh : Sxq 2rl , đĩ l độ dài đường sinh r bán kính đáy b Diện tích tồn phần : Stp Sxq2Sđáy 2rl2r2.
III. Khối trụ tròn xoay.
1 Định nghĩa: Phần không gian giới hạn hình trụ trịn xoay, kể hình trụ gọi khối trụ trịn xoay (gọi tắt khối trụ)
2 Thể tích khối trụ:V.r2.h, h chiều cao r bán kính đáy
Bài 1:Cho khối trụ có chiều cao 20cm có bán kính đáy 10cm Người ta kẻ hai bán kính OA O’B’ nằm hai đáy cho chúng hợp với góc 300 Cắt
khối trụ mặt phẳng chứa đường thẳng AB’ song song với trục khối trụ Hãy tính diện tích thiết diện
Bài 2:Một hình hộp chữ nhật có ba kích thước a,b,c nội tiếp khối trụ.Tính thể tích khối trụ
Bài 3: Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD hình thoi cạnh a AC = a Cho hình trụ nội tiếp hình lăng trụ cho, hình trụ có hai đáy hai hình trịn nội tiếp ABCD A’B’C’D’ Tính bán kính hình trụ
Bài 4: Một khối lăng trụ tam giác có cạnh đáy a chiều cao h nội tiếp khối trụ Tính thể tích khối trụ
Bài 5: Cho hình lăng trụ lục giác ABCDEF.A’B’C’D’E’F’ cạnh đáy a, chiều cao h 1.Tínhdiện tích xung quanh thể tích hình trụ ngoại tiếp hình lăng trụ
2.Tính diện tích tồn phần thể tích hình trụ nội tiếp hình lăng trụ
Bài 6:Một khối trụ có bán kính đáy r có thiết diện qua trục hình vng Tính diện tích xung quanh, diện tích tồn phần thể tích khối trụ
Tích thể tích hình lăng trụ tứ giác nội tiếp hình trụ cho ( hình lăng trụ có đáy hình vng nội tiếp đường trịn đáy hình trụ)
1 Gọi V thể tích hình lăng trụ nội tiếp hình trụ V’ thể tích khối trụ.Hãy tính
V V'
Bài 7:Cho hình trụ có trục O1O2 Một mặt phẳng (P) song song với trục cắt hình trụ theo thiết
diện hình chữ nhật ABCD Gọi O tâm thiết diện đó, bán kính đường trịn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD bán kính đường trịn đáy hình trụ Tính số đoO OO1
(4)2 Gọi I trung điểm BC Đường thẳng A’I cắt hình trụ nội tiếp lăng trụ theo đoạn thẳng Tính độ dài đoạn thẳng
Bài 9:Cho hình chữ nhật ABCD với AB = a, BC = 2a đường thẳngnằm mặt phẳng
(ABCD), song song với AD cách AD khoảng x,khơng có điểm chung với
hình chữ nhật ABCD
Tính thể tích hình trịn xoay tạo nên quay hình chữ nhật ABCD quanh .
Bài 10:Cho hình trụ có bán kính 50cm chiều cao h = 50cm
1 Tính diện tích xung quanh hình trụ thể tích khối trụ tạo nên
2 Một đoạn thẳng có chiều dài 100cm có hai đầu mút nằm hai đường trịn đáy Tính khoảng cách từ đoạn thẳng đến trục hình trụ
Bài 11:Cho hình trụ trịn xoay đáy đường trịn (O) (O’) có bán kính đơn vị, chiếu cao hình trụ đơn vị Gọi AB đường thẳng cố định (O) M điểm lưu động (O’) Gọi MC đường sinh qua C, C đường trịn (O) Kẻ HC vng góc với AB đặt AH = a
1. Chứng minh tổng số bình phương cạnh hình chóp MABC số
2. Tính MH theo a
3. Định vị trí M diện tích S tam giác MAB cực đại
4. Tính thể tích V hình chóp MABC Chứng minh V cực đại S cực đại
5. Định a để V = 4k ( k số cho sẵn)
Bài 12:Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD hình thang cân với đáy nhỏ AB = a, đáy lớn CD = 4a, cạnh bên
5a
2 , chiều cao hình lăng trụ h.
1 Chứng minh có hình trụ nội tiếp hình lăng trụ cho Tính diện tích tồn phần thể tích hình trụ
Bài 13:Trong khơng gian cho hình vuông ABCD cạnh a Gọi I H trung điểm cạnh AB CD Khi hình vng xung quanh trục IH ta hình trụ trịn
xoay.Tính diện tích xung quanh, diện tích tồn phần hình trụ thể tích khối trụ tạo hình trụ
Bài 14:Một hình trụ có bán kính r đường cao r 3; A, B hai điểm hai đường trịn đáy cho góc hợp AB trục hình trụ 300.
1 Tính diện tích xung quanh, diện tích tịan phần hình trụ Thể tích khối trụ tương ứng
3 Tính khoảng cách AB trục hình trụ
Bài 15: Cho hình trụ có chiều cao h, đáy hai đường trịn (O) (O’) bán kính r (O) lấy dây cung AB choAB r 3 .
1 Tím điểm M (O’) cho tam giác ABM có diện tích lớn Tính diện tích Với điểm M trên, gọi I trung điểm OO’ Tính khoảng cách tử I đến (ABM)
Bài 16: Cho hình nón trịn xoay có chiều cao 15 (cm), bán kính đáy 6(cm) Tìm chiếu cao bán kính hình trụ có diện tích tịan phần lớn nội tiếp hình nón Tính diện tích tịan phần
Bài 17: Một hình trụ tích V khơng đổi Tính bán kính đáy chiều cao hình trụ cho diện tích tồn phần đạt giá trị nhỏ
Bài 18: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a, đường cao Sa = 2a Mặt phẳng song song với đáy cắt hình chóp theo tứ giác MNPQ với M SA đặt AM = x (0 < x < a) Xét hình trụ có đáy đường tròn ngoại tiếp tứ giác MNPQ đường sinh MA Tìm x để thể tích hình trụ lớn
(5)1 Tính tỉ số diện tích xung quanh hình trụ hình nón
2 Mặt xung quanh hình nón chia khối trụ thành hai phần, tính tỉ số thể tích hai phần
Bài 20:Cho hình trụ có đáy hai hình trịn tâm O O' , bán kính đáy chiều cao a.Trên đường tròn đáy tâm O lấy điểm A, đường tròn đáy tâm O' lấy điểm B cho AB 2a Tính thể tích khối tứ diện OO'AB
Bài 21:Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có cạnh bên AA’ = 3a, đáy tam giác vuông A với AB = 3a, AC = 4a
1 Tính diện tích xung quanh hình trụ nội tiếp lăng trụ ABC.A’B’C’ Tính thể tích khối trụ nội tiếp lăng trụ ABC.A’B’C’
Bài 22:Một hình trụ có thiết diện qua trục hình vng , diện tích xung quanh 4 .
1 Tính diện tích tồn phần hình trụ Tính thể tích khối trụ
Vấn đề 03 : Mặt cầu, khối cầu
I Khái niệm mặt cầu.
1.Định nghĩa: Tập hợp điểm không gian cách điểm O cố định khoảng r ( r > 0) cho trước gọi mặt cầu tâm O bán kính r, kí hiệu S(O;r) hay (S) Như S(O;r) = {M | OM = r }
2.Các thuật ngữ: Cho mặt cầu S(O;r)
+ Nếu điểm A thuộc mặt cầu (S) OA gọi bán kính mặt cầu (S), tức OA = r + Nếu hai điểm A, B nằm mặt cầu (S) đạon thẳng AB gọi dây cung mặt cầu (S)
+ Nếu dây cung AB qua tân O AB gọi đường kính mặt cầu (S) 3.Vị trí tương đối mặt cầu:
a. Vị trí tương đối mặt cầu điểm: Cho S(O;r) điểm A + Nếu OA < r điểm A nằm mặt cầu
+ Nếu OA > r điểm A nằm ngồi mặt cầu + Nếu OA = r điểm A nằm mặt cầu
b Vị trí tương đối mặt cầu mặt phẳng:Cho S(O;r) mp (P) Gọi d d(O,(P)) . + Nếu d > r (P) khơng cắt mặt cầu (S)
+ Nếu d = r (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) H hình chiếu vng góc O lên (P) + Nếu d < r (P) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến đường trịn có bán kính r' r2 d
Chú ý : Nếu mặt phẳng (P) qua O (hay d = 0) (P) cắt mặt cầu (S) theo đường tròn lớn
c Vị trí tương đối mặt cầu đường thẳng: Cho đường thẳng( ) Gọid d(O, ) + Nếu d > r thì( ) khơng cắt mặt cầu (S)
+ Nếu d = r thì( ) tiếp xúc với mặt cầu (S) điểm H ( Điểm H gọi tiếp điểm và( ) gọi tiếp tuyến mặt cầu)
+ Nếu d < r thì( ) cắt mặt cầu (S) hai điểm M, N phân biệt Chú ý : Nếu đường thẳng( ) qua O MN = 2r
4.Thể tích mặt cầu: Diện tích mặt cầu S(O;r) S r II Khối cầu.
(6)2 Thể tích khối trụ: Thể tích khối cầu (O;r)
3
4
V r
3
Dạng 1: Xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình đa diện
Mặt cầu ngoại tiếp hình đa diện mặt cầu qua tất đỉnh đa diện
Mặt cầu nội tiếp hình đa diện mặt cầu tiếp xúc tất mặt đa diện
Tr
ường hợp 1 : Xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật (hình lập phương)
+ Tâm mặt cầu ngoại tiếp hình hình hộp chữ nhật (hình lập phương)là tâm đối xứng
hình hộp Tâm I giao điểm đường chéo
+ Bán kính nửa độ dài đường chéo hình hộp chữ nhật (hình lập phương) Tr
ường hợp 2 : Xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ đứng
+ Tâm mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ đứng trung điểm đoạn thẳng nối tâm hai
đường tròn ngoại tiếp hai đa giác đáy
+ Bán kính khoảng cách từ tâm I đến đỉnh hình lăng trụ Tr
ường hợp : Xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp B1: Xác định trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy
B2:Xác định giao điểm trục với mặt phẳng trung trực cạnh bên hình chóp I I tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp
B3: Tính bán kính r = SI ( S đỉnh khối chóp) Chú ý :
1 Điều kiện cần đủ để lăng trụ có mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ phải lăng trụ đứng có đáy đa giác có đường trịn ngoại tiếp
2 Chúng ta vận dụng tam giác đồng dạng, hệ thức lượng tam giác, cơng thức diện tích, thể tích , để tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp đa diện
3 Tất hình đa diện đều, hình lăng trụ đều, hính chóp đều có mặt cầu ngoại tiếp
Bài 1: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh a
Xác định tâm, bán kính mặt cầu (S) tính diện tích, thể tích khối cầu (S), biết : Mặt cầu (S) qua điểm hình lập phương
Bài 5:Một hình trụ (T)có thiết diện qua trục hình vng , diện tích xung quanh 4 .
1 Tính diện tích tồn phần hình trụ (T) Tính thể tích khối trụ
3 Xác định tâm, bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình trụ (T)và tính diện tích, thể tích khối cầu
Xác định tâm, bán kính mặt cầu nội tiếp hình trụ (T)và tính diện tích, thể tích khối cầu
Bài 6:Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có tất cạnh a Xác định tâm, bán kính mặt cầu (S) ngoại tiếp hình lăng trụ
2 Tính diện tích, thể tích khối cầu (S)
Bài 7: Cho hình nón có thiết diện qua trục tam giác cạnh 2a hình cầu có đường kính
chiều cao hình nón Hãy so sánh :
1 Diện tích tồn phần hình nón diện tích mặt nón Thể tích khối nón thể tích khối cầu
(7)2 Tính diện tích thể tích khối cầu tạo nên mặt cầu ngoại tiếp
Bài 9:Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ Gọi O tâm hình vng ABCD Cho biết OA’ = a
1 Xác định tâm bán kính hìnhcầu ngoại tiếp hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ Tính diện tích thể tích khối cầu ngoại tiếp hình lập phương
Bài 10:Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có cạnh đáy 2a, cạnh bên AA ' a 3 Gọi D, E lần lượt trung điểm AB A’B’
1.Tính thể tích khối chóp ABA’B’C Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’
Xác định tâm bán kính hìnhcầu ngoại tiếp hình lăng trụ Tính diện tích thể tích khối cầu ngoại tiếp hình lăng trụ Tính khoảng cách AB mặt phẳng (CEB’)
Tr
ường hợp : Xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp B1: Xác định trục đường trịn ngoại tiếp đa giác đáy
B2:Xác định giao điểm trục với mặt phẳng trung trực cạnh bên hình chóp I I tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp
B3: Tính bán kính r = SI ( S đỉnh khối chóp)
Chú ý : Điều kiện cần đủ để hình chóp có mặt cầu ngoại tiếp đáy hình chóp có đường trịn ngoại tiếp
Bài 11: Cho tứ diện ABCD có cạnh a
1. Tìm tâm bán kính mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diện ABCD
2. Tính diện tích thể tích khối cầu (S)
Bài 12: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a cạnh bên hợp với đáy góc 600.
1. Tìm tâm bán kính mặt cầu (S) ngoại tiếp hình chóp tứ giác
2. Tính diện tích thể tích khối cầu (S)
Bài 13:Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB, OC đơi vng góc với
với OA a 2
1 Tính bán kính mặt cầu tâm O tiếp xúc với (ABC) Tính diện tích thể tích khối cầu
Bài 14:Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SAABCD ,SA a 3 Tính thể tích khối chóp S.ABCD
Chứng minh có mặt cầu (S) ngoại tiếp hình chóp Xác định tâm bán kính mặt cầu (S)
Tính diện tích thể tích khối cầu (S)
Bài 15:Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vuông A B với AD = 2AB = 2a ,SAABCD ,SA a 5
1 Tính thể tích khối chóp S.ABCD
2 Chứng minh điểm S, A, C, D nằm mặt cầu (S) Xác định tâm bán kính mặt cầu (S)
4 Tính diện tích thể tích khối cầu (S)
Bài 16:Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a, SA (ABC) SA = 2a Xác định tâm bán kính mặt cầu :
a Tâm S tiếp xúc với đường thẳng BC b Ngoại tiếp hình chóp S.ABC
Tính diện tích thể tích mặt cầu trường hợp