Bài tập thể tích Khối đa diện-Khối cầu-Khối trụ-Khối nón

DẠNG 1 : TÍNH THỂ TÍCH CỦA KHỐI ĐA DIỆN*Phương pháp: Để tính thể tích của khối đa diện ta có thể: +Áp dụng trực tiếp các công thức tính thể tích +Chia khối đa diện thành các khối nhỏ hơn

PHẦN 1

THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN

A LÝ THUYẾT

1 Khái niệm thể tích của 1 khối đa diện (Sgk hh 12)

2 Các công thức tính thể tích của khối đa diện

1Sđáy h ; h: Chiều cao của khối chóp

c) Thể tích của khối lăng trụ

V= Sđáy h ; h: Chiều cao của khối lăng trụ

B CÁC DẠNG BÀI TẬP

DẠNG 1 : TÍNH THỂ TÍCH CỦA KHỐI ĐA DIỆN

*Phương pháp: Để tính thể tích của khối đa diện ta có thể:

+Áp dụng trực tiếp các công thức tính thể tích

+Chia khối đa diện thành các khối nhỏ hơn mà thể tích của các khối đó tính được+Bổ sung thêm bên ngoài các khối đa diện để được 1 khối đa diện có thể tính thể tích bằng công thức và phần bù vào cũng tính được thể tích

SO ⊥ OA ( vì SO ⊥ (ABC) ) Tam giác vuông SOA có:

Vậy VSABC = S∆ABC SO = 31 . a24 3 . a 32 . l2  a32

b) Tương tự câu a đáp số:

Gọi O là tâm ∆ABC

Gọi A’ là trung điểm BC

Dễ thấy ((SBC), (ABC)) = góc SA’O = ỏ

Tam giác vuông SOA có:

2

l BC

AA

4 sin

sin 4

sin

3 3

Bài 2 Cho lăng trụ ABCA’B’C’ có độ dài cạnh bên = 2a, ∆ABC vuông tại A, AB = a,

AC = a 3 Hình chiếu vuông góc của A’ trên (ABC) là trung điểm BC Tính VA’ABCtheo a?

1 AB AC  a

Tam giác vuông A’HA có:

A’H2 = A’A2- AH2 = (2a)2- 14 (a2+ 3a2)

hay A’H2= 4a2- a2 = 3a2 ⇒ A’H = a 3

2a

C'A'

⇒VA’ABC = 31 S∆ABC.A’H = 31 21 2 2

2

3 3

AB = BC =a B’ là trung điểm SB C’ là chân đường cao hạ từ A của ∆SAC

1BA.BC  a ; SA =a

⇒VSABC = 13 S∆ABC .SA = 61 a3

a

C A

a

a

B' C'

⇒V∆AB’C’= 13.a242 .3a  36a3

Cách 2

(SB, (ABC)) = ỏ; (SB, (SAD)) = õ Tính VSABC.

Tam giác vuông SB có sinõ = BD SB (2)

Từ (1) (2) ⇒ cos sin sin

2

2 a AB BD

1

2

cosSin.AD AB cos cosa sin cosa sin

cos sin



a

cùng một phía với mặt phẳng đó Điểm M không trùng với với A trên Ax, điểm N không trùng với C trên Cy Đặt AM = m, CN = n Tính thể tích của hình chóp BAMNC

GIẢI

Gọi I là giao điểm của AC và BD

1 3

-Hình chóp có mặt bên hoặc mặt mặt chéo vuông góc với đáy thì đường cao của hình chóp là đường cao của mặt bên hoặc mặt chéo đó

-Nếu có một đường thẳng vuông góc với mặt đáy của khối chóp thì đường cao của khối chóp sẽ song song hoặc nằm trờn với đường thẳng đó

-Nếu một đường thẳng nằm trong đáy của khối chóp vuông góc vuông góc với một mặt phẳng chứa đỉnh của khối chóp thì đường cao của khối chóp là đường thẳng kẻ

từ đỉnh vuông góc với giao tuyến của mặt đáy và mặt phẳng chứa đỉnh đã nói ở trên

*Nếu khối chóp là khối tứ diện thì ta cần khéo chọn mặt đáy thích hợp.

Bài 6: SABCD có đáy là tâm giác cân tại A, BC =a, ABC = ỏ, các cạnh bên nghiêng

trên đáy một góc ỏ Tính VSABC

GIẢI

- Gọi H là hình chiếu của S lên (ABC)

- Vì các cạnh bên nghiêng đều trên đáy ⇒ H là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC

- Ta có: ∆ABC = 21 AB.AC.sin

mà BC2= 2AB2- 2AB2cos ỏ = 2AB2(1-cos ỏ) = a2 ⇒ AB = a 1cos2 

2 2 1 2

Tan giác vuông có tan ỏ = AH SH ⇒SH = 2sina tan   2cosa 

⇒VSABC = 13 4 2 2cos 24coscot

3

3 2

.cot

ABC SH

= 60o các cạnh bên nghiêng đều trên đáy 1 góc 45o Tính VSABCD

GIẢI

C O

D

- Vì khối chóp có các bên nghiêng đều trên đáy ⇒ O là tâm đường tròn đi qua 4 đỉnh A,

B, C, D ⇒ tứ giác ABCD là hình chữ nhật và {O} = AC ∩ BD

- Đặt AC = BD =x

4

3 2 3 2 2

a) Chứng minh rằng ∆ABC vuông

b) Tính VSABC

GIẢI

a)

H B A

S

C a

-Tam giác vuông SBC có BC2= SB2+ SC2= 2a2

-∆SAC có AC2 = a2+ a2-2a2cos120o= 2a2- 2a2(- 12 ) =3a2

-∆ABC có AC2= AB2 + BC2⇒∆ABC vuông tại B

1 3

ABC SH AB BC SH a a

Bài 9: SABCD có đáy ABCD là hình thang với đáy lớn AB = 2, ACB = 90o ∆SAC và

∆SBD là các tam giác đều có cạnh = 3

Tính thể tích khối chóp SABCD

Đáp số: VSABCD= 46

Bài 10: SABCD có đáy là hình thang vuông tại A và D, ∆SAD đều cạnh = 2a,

BC = 3a Các mặt bên lập với đáy các góc bằng nhau Tính VSABCD

GIẢI

CD

HK

Bài 11: Cho hình chóp SABCD có ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA = a,

SB = a 3, (SAB) (ABCD) M, N lần lượt là trung điểm AB, BC Tính VSBMDN

GIẢI

H

15a 8a

C B

∆SAB hạ SH b AB ⇒SH b (ABCD) ⇒ SH b(BMDN)(SAB) b (ABCD)

S∆CDN= S∆MDA= 14 S⋄ABCD ⇒ S⋄BMDN = 21 S⋄ABCD = 21 2a.2a = 2a2

∆SAB có AB2= SA2+ SB2= 4a2 ⇒ SAB vuông tại S

4 3

1 1 1

1

1

a a

a SB SA

⇒VSBMDN = 13 S⋄BMDN.SH = 13 2 a2.a23  a32 3

tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy SB = 8a, SD = 15a

1 64

1 1

a a

Bài 13: hình chóp SACD có đáy ABCD là hình chữ nhật, ∆SCD cân tại S và nằm trong

mặt phẳng  (ABCD) ∆SAB có SA = a, ASB = 2 ỏ và nằm trong mặt phẳng lập với (SCD) một góc ỏ Tính thể tích khối chóp SABCD

∆SAB có SK = acos ỏ , AB = 2AK = 2asin ỏ

∆SHK vuông tại H có SH =SK.cosỏ = acos2ỏ

KH = SKsinỏ = asinỏcosỏ SABCD =AB.BC = 2asinỏ.asinỏcosỏ

.

3SH1 S ABCD  a sin ỏ

BC = a, SA = a 3, M là trung điểm SB Tính thể tích MABC

GIẢI

H

C A

B

a M

Cách 1

SA b (ABC)

Từ M kẻ MH // AS cắt AB tại H ⇒ MH b (ABC)

Vì M trung điểm SB H- trung điểm

1 2

1 AB BC  a o a a

2

1 3

1 3



 SM SB V

2

1 3

⇒VMABC= 41 a3

AB = a, SA = a 2 H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên SB, SD Chứng minh rằng: SC (AHK) và tính thể tích hình chóp OAHK

GIẢI

A

C O

H

a

N F E

Gọi {F} = KH ∩ SO ⇒ (SAC) ∩ (AHK) = AF

Kéo dài AF cắt SC tại N

Trong (SAC) kẻ đường thẳng qua O//SC cắt AN tại E ⇒ OE (AHK)

Vì OA = OC; OE//CN OE = 12 CN

1 1 1

AD AS

a a a AD AS AD

27

2

2 a 3

* Có thể dùng PP toạ độ để tính thể tích OAHK như sau:

Chọn hệ toạ độ như hình vẽ.Ta có:

A(0,0,0) , B(a,0,0) ,D(0,a,0) , S(0,0,a 2) , O(

2 ( a a

AH 

3

2,3

2,0

AO

[AH, AK] =(

9

4 , 9

2 2 , 9

2

2 a2  a2 a2

a K

SA = a, SA (ABCD) M, N lần lượt là trung điểm AD và SC {I} = BM ∩ AC Tính thể tích hình chóp ANIB

a

⇒SANIB= 31NO.S∆AIB= 31.2a.a26 2  a3362

Bài 17 Hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a,

(SAD)(ABCD), ∆SAD đều Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm SB, BC, CD

D

P

B M

F E

S

y

x z

- Gọi E là trung điểm AD (CNP) ≡ (ABCD) ⇒ SE AD

(SAD) (ABCD)

⇒SE  (ABCD)

- Gọi F là hình chiếu của M lên (ABCD) ⇒ MF // SE Dễ thấy F ∈ EB và F là trung điểm EB

Bài 18: Cho hình trụ có các đáy là hai hình tròn tâm O và O’ bán kính đáy bằng chiều

cao bằng a Trên đường tròn tâm O lấy A, Trên đường tròn tâm O’ lấy B sao cho AB = 2a Tính thể tích hình chóp OO’AB

Bài 19: Cho hình chóp có ABCD là hình chữ nhật; AB = a.AD = 2a;

SA  (ABCD); (SA, (ABCD) = 60 o Điểm M thuộc cạnh SA, AM = a33 .

(BCM) ∩ SD ={ N} Tính thể tích hình chóp S.BCMN

GIẢI

A

D

C B

N M



⇒SBCMN =

3 3

10 ).

( 2

BM BC

AB = BC = a; AD = 20; SA b (ABCD); SA = 2a M, N lần lượt là trung điểm SA và SD Chứng minh rằng BCMN là hình chữ nhật và tính thể tích hình chóp S.BCNM

GIẢI

S H

AA1= a 2 M là trung điểm AA1 Tính thể tích lăng trụ MA1BC1

Bài 22: Tứ diện ABCD có AB = x có các cạnh còn lại bằng 1

a.Tính thể tích tứ diện theo x

b.tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng ACD

c Tìm x để thể ABCD đạt giá trị lớn nhất

GIẢI

a

H C

B

C

D

Cách 1:

Gọi H là Hình chiếu của D lên (ABC) vì DA = DC = DB = 1 ⇒ H là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC mà ∆ABC cân H ∈ CC’ với C’ là trung điểm AB

S∆ABC= CC'.AB 4 x .x 4 x2 x

4

1 4 2

1 2

4 2 2 2

1 1

4 cos sin 4 sin

4

2 2

2

232

1x ( )  (x)  x 3 x

121

2 4

12 3 x x  12  x2 x  8

Dấu “=” xảy ra ⇔ x2= 3-x3 ⇔x = 23 và thể tích lớn nhất là

8 1

Bài 23: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với

mặt đáy ABCD và SA=h.Điểm M thuộc cạnh CD.Đặt CM=x.Hạ

SH vuông góc với BM.Tính thể tích khối tứ diện SABH.Tìm x để thể tích khối này là lớn nhất

C A

S

M D

2 2

x a

a BM

2 2

2 2

x a

a h

AH SA

2

4 2

2 2

x a

ax x

a

a a

AH AB

3

x a

x a



VSABH =

2 2

3

6

1 3

1

x a

xh a SA

6

Dấu bằng xảy ra khi a=x tức M trùng D

Bài 24: Hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA vuông góc với đáy

ABC và SA = a.Điểm M thuộc cạnh AB Đặt góc ACM bằng 

Hạ SH vuông góc với CM

a)Tìm giá trị lớn nhất của thể tích khối tứ diện SAHC

b)Hạ AI vuông góc với SC,AK vuông góc với SH Tính thể tích khối tứ diện SAKI

2 sin 2

CÓ THỂ TÍNH THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN NHỜ VIỆC CHIA THÀNH

CÁC KHỐI NHỎ HOẶC BỔ SUNG THÊM

Bài 25: Cho tứ diện ABCD có các cặp cạnh đối đôi một bằng nhau AB = CD =a, AC =

Q

R B

+Dựng ∆PQR sao cho B, C, D lần lượt là trung điểm PQ, QR, PR

Hướng dẫn: Dùng hình hộp ngoại tiếp tứ diện này

Bài 27: Cho hình chóp SABC có tất cả các góc phẳng ở đỉnh A và B của tam diện đều

bằng ỏ AB = a Tính thể tích hình chóp SABC

GIẢI

C A

-Dễ thấy∆ SAB, ∆CAB là các tâm giác cân tại S và C

-Gọi E là trung điểm AB ⇒ AB b SE

AB b CE

⇒AB b (SCE)

⇒VSABC = VASEC+ VBSEC = 31S∆SEC.(AE+BE) = 31S∆SEC.AB

Tính S∆SEC= ?

∆SEC cân tại E vì ES = EC (∆SAB = ∆ACB (g.c.g))

Gọi F là trung điểm SC ⇒ EF b SC

∆SBC cân tại B vì BC =BS (Vì ∆SAB = ∆CAB (g.c.g))

FS = FC

⇒FBC = 3Tam giác vuông EBC có CE = 2 tan

a

a EB

Tam giác vuông EFC có

EF2 = EC2- FC2 = 4 tan2 4cossin 4 cos12 (sin2 sin2 2

2

2 2

2 2

2 cos

MỘT SỐ BÀI TẬP CÓ THỂ GIẢI BẰNG PP TOẠ ĐỘ VỚI VIỆC CHỌN HỆ

TOẠ ĐỘ DỄ DÀNG

Bài 1: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thoi, AC = 4, BD = 2, AC cắt BD

tại O SO  (ABCD), SA = 2 2 Gọi M là trung điểm SC, (ABM) cắt SD tại N Tính thể tích khối chóp S.ABMN

GIẢI Cách 1:

B

O C

D A

S

M N

1 2

O S

A

N M

B z

x y

Chọn hệ toạ độ xyz có tia OX ≡ tia OA, tia oy ≡ OB, tia oz ≡ OS

VSABMN= VSABM + VSAMN = 2

Bài 2: Cho hình hộp chữ nhật ABCDA’B’C’D’ có AB = a, AD = b , AA ’= c

a)Tính thể tích A’C’BDb)Gọi M là trung điểm CC’Tính thể tích MA’BD

GIẢI

1 2

1 3

1 '.

Chọn hệ toạ độ Axyz như hình vẽ Ta có: A(0; 0; 0), B(a; 0; 0) D( 0; b; 0), C(a; b; c), A’(0; 0; 0)

M là trung điểm CC’ nên M(a;b;

2

c ))

BM , ' ( ; 0 ; )

c a

BA  

2

; 2 (bc ac ab

3 6

Bài 1 Cho lăng trụ tam giác ABCA’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều, cạnh a và A’A = A’B = A’C Cạnh AA’ tạo với đáy một góc 60o Tính thể tích lăng trụ ABCA’B’C’.

A'

O a

Gọi O là tâm ABC⇒ OA = OB = OC

A’A = A’B = A’C (gt)

(AA’,(ABC)) = (AO, AA’) = 600

A’O ⊥OA (vì A’O⊥(ABC)

Trong tam giác vuông A’OA có OA’ = OA tan 600 = a

Vì ∆ABC đều cạnh a nên S∆ABC =

Bài 2: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là một tam giác vuông tại A,

AC = b, C = 60o (BC’,(AA’C’C)) = 30o Tính thể tích của khối lăng trụ

GIẢI

C

C' A'

A

B

B'

b b'

Dễ thấy AB(ACC’A’) nên (BC’, (ACC’ A’)) = AC’B = 300

∆ABC vuông tại A có Cˆ=600, AC=b nên BC=2b và AB= 3b

vì AB (ACC’A’) nên AB b AC’

∆ABC’ vuông tại A có AC’ = AB 3b

30 tan 0 

∆ACC’ vuông tại C có (CC’)2 = AC’2- AC2 = 9b2- b2 = 8b2

⇒CC’ = 2 2b =AA’ S∆ABC= 21 CA.CBsin6oo= 32b2

⇒VABCA’B’C’ = S∆ABC.AA’ = 6b3

SABC 

C A

B B'

C' A'

(chỉ đúng cho khối chóp tam giác (tứ diện))

B Các bài tập

Bài 1: Chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành M là trung điểm SC mặt phẳng

(P) chứa AM và //BD chia hình chóp thành hai phân Tính tỉ số thể tích của hai phần đó

GIẢI

C

B

O A

S

D

M

B' I D'

2 3

2 2

1 2

1 '

SD CSB SB SC

2 3 2 ' ' ' 1

'

SB

SB SA

13

29

49

2

' '

' ' '

' 2

1 ' '2

MB ABCDD

MD SAB SABCD

MD SAB D

SAB D

SMB

V

V V

V V

V V

V

phẳng (P) qua A và vuông góc SC chia hình chóp thành hai phần Tính tỉ số thể tích hai phần đó

A

N M

Q E

SN V

Tam giác vuông SAB: SA2 = SB.SQ ⇒ SQ =

SB

SA2

2 ) (

2 2

2

1

SC SB

SA SB

SA SC

1 ) 2 sin 1 1 (

) 2 sin 1 (

(SDC) chia chóp làm hai phần Tính tỉ số thể tích hai phần đó

Bài 4: Cho hình lập phương ABCDA’B’C’D’ cạnh là a M là trung điểm CD, N là trung

điểm A’D’ Tính tỉ số thể tích hai phần đó (MNB’) chia hình lập phương

1 

V V

Bài 5: Cho tứ diện SABC lấy M, N thuộc cạnh SA, SB sao cho

A

B E

M

N F

Dễ thấy thiết diện là hình thang MNEF (với MF // NE)

Đặt V = VSABC, V1= VMNEFCS, V2= VMNEFAB

V1= VSCEF+ VSFME + VSMNE

9

2 3

2 3

1.

 CE CB CA

CF V

V SCEF

3 1

SA

SE SE

SM V

V

SFEA

SFME

9 4

S S

S S

S V

V

ABC

CEA CEA

FEA ABC

FEA SFEA

2749

4 3



9 2

 SN SB SA

SM V

V

SABE

SMNE

3 1

S S

S S

S V

V

ABC

CEA CEA

ABE ABC

ABE SABE

⇒VSABE= 272 V ⇒ V1= 92 V + 274 V + 272 V = 94 V V V21  54

Bài 6: Cho lăng trụ đứng tam giác đều ABCA’B’C’ có cạnh đáy và cạnh bên đều bằng

a M, N, E lần lượt là trung điểm của BC, CC’, C’A’ Tính tỉ số thể tích hai phần lăng trụ

do (MNE) tạo ra

GIẢI

C'

C

B A

M

N A'

I

Dễ thấy (MNE) cắt lăng trụ theo thiết diện là ngũ giác MNEFI

Gọi V1, V2tương ứng là thể tích phần trên và phần dưới của thiết diện, ta có

V1= VNIBM + VNBB’FI+ VNB’C’EF

V2= VNFA’E+ VNAA’FI+ VNACMI

So sánh từng phần tương ứng ta có V1= V2  V21

V

= 1

S  Ox, S  O Mặt phẳng qua AC và vuông góc (SAD) chia hình chóp thành hai phần Tính tỉ số thể tích của hai phần đó

DẠNG 3 : PHƯƠNG PHÁP THỂ TÍCH : CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC, BẤT ĐẲNG THỨC,KHOẢNG CÁCH TỪ 1 ĐIỂM TỚI MỘT MẶT PHẲNG

B A

S

C

M

a 3 2a

2

235

B

D

4

5 3

M 5

Dễ thấy ∆ABC vuông tại A S∆ABC= 21 AB.AC = 6 VDABC = 13 S∆ABC.DA = 8

∆ACD = ∆BCD Gọi M là trung điểm CD

a a b c

a     

12 2 2 2 4 2 3

2 4

2 2 2 4

4

4 4

.

4 3

b c a b c b

c

a b c S

Bài 5: Cho tứ diện ABCD có AB = CD = x các cạnh còn lại bằng 1.

a) Tính thể tích tứ diện ABCD theo x

b)Tính d(A, (BCD))

Tương tự bài 4

Đáp số: VABCD = x62

d(A, (BCD)) = x 2 4 2

2 4

120o Gọi m là trung điểm của cạnh CC1

Chứng minh rằng MB  MA1và tinh khoảng cách d từ điểm A tới mặt phẳng (A1BM)

= ; ; 2 3

2

15 2

5

9a2 a2 a

15 2

15 2

2 5 9 2

3 6

1 a . a2  a.a2  0  a2

S∆BMA 1= 61 BM.A1M= 3a2 3 ⇒Khoảng cách từ A tới (BMA1) bằng

h = 3S V  a35

Bài 7: Cho tứ diện OABC Lấy M nằm trong tam giác ABC, các đường thẳng qua M //

với OA, OB OC cắt các mặt OBC, OCA, OAB lần lượt tại A1, B1, C1

Chứng minh rằng: 1  1  MC OC1  1

OB

MB OA

O

K

A 1

M

Nối M với các đỉnh O,A,B,C Khi đó

VOABC = VMOAB+ VMOBC+ VMOCA

1= MOAB OABC MOBC OABC V OABC MOCA

V V

V V

V

OABC MOAB  1

OB

MB V

V

OABC MOCA  1

C D

Bài 8: Giả sử M là một điểm nằm trong tứ diện ABCD Các đường thẳng MA, MB, MC,

MD cắt các mặt đối diện tại A1, B1, C1, D1

1

1 1

1 1

1 1

1    DD MD 

CC

MC BB

MB AA MA

GIẢI

Nối M với bốn đỉnh của tứ diện ABCD ta có:

V = VMBCD+ VMACD+ VMABD+ VMABC

1= V MBCD V V MACD V  V MABD V V MABC V

Xét V MBCD V

Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A, M lên (BCD) ⇒ MK//AH ⇒ 11

AA

MA AH

MK 1

1

AA

MA AH

MK V

V MBCD  

BB

MB V

1

1  SC SC 

SB

SB SA

SC SD

SD SA

SA

VSADC

V SA1D1C1 1 1 1 1

.

SD SB

SB SA

SA VSABD

.

SD

SD SD

SD SC

SC SB

SB VSBCD

.

a)Thể tích khối cầu V = 34R3, R: bán kính mặt cầu

b)Thể tích khối trụ V = Sđáy.h , h: chiều cao

c)Thể tích khối nón V = 31Sđáy.h , h: chiều cao

B CÁC DẠNG BÀI TẬP

Ở đây chủ yếu là bài tập tính thể tích khối cầu, trụn nón dựa vào các công thức trên

Bài 1: Cho lăng trụ tam giác đều có đáy là tam giác đều các cạnh đều bằng a, cạnh bên

bằng b Tính thể tích mặt cầu đi qua các đỉnh của lăng trụ

GIẢI

a

C

C' O

O'

A 1

A 1 ' B'

Bài 2: Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a, cạnh bên hợp với đáy một góc

30o Tính thể tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

GIẢI

a O

S

M

B A

I

Gọi O là tâm hình vuông ABCD Ta có SO b (ABCD), SO là trục của ABCD, (SA, (ABCD)) = SAO = 30o

Gọi M là trung điểm SA

Trung trực của SA cắt SO tại I ⇒ I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

⋄OIMA là từ giác nội tiếp ⇒ SI.SO = SM.SA ⇒ SI = SM SO SA

2 3

2 30 cos

a a

a

a a

= a 32 ⇒ VMcầu= 34 a3 32 32  89 32a3

Các bài tập về xác định tâm, bán kính mặt cầu ngoại tiếp,

nội tiếp khối chóp, khối lăng trụ, đều hỏi thêm thể tích mặt cầu

A J

B

A

D C

Bài 3: Cho hình trụ có đáy là tâm đường tròn tâm O và O’ tứ giác ABCD là hình vuông

nội tiếp trong đường tròn tâm O AA’, BB’ là các đường sinh của khối trụ Biết góc của mặt phẳng (A’B”CD) và đáy hình trụ bằng 60o Tính thể tích khối trụ

A

DC AD

Do đó: ADA’ = 60o

∆ADA’ có h = AA’ = ADtan60o= R 6

V = R2h = R3 6

Bài 4: Bên trong hình trụ có một hình vuông ABCD cạnh a nội tiếp mà A, B thuộc

đường tròn đáy thứ nhất và C, D thuộc đường tròn đáy thứ hai của hình trụ mặt phẳng hình vuông tạo với đáy hình trụ một góc 45o Tính thể tích khối trụ

GIẢI

Gọi I, J là trung điểm của AB và CD

Ta có: OI AB; IJ cắt OO’ tại ttrung điểm M của OO’

MIO = 45olà góc của mặt (ABCD) với đáy, do đó:

Bài 5: Một hình trụ có diện tích toàn phần S = 6 Xác định các kích thước của khối trụ

để thể tích của khối trụ này lớn nhất

GIẢI

STP= 2Rh +2R2=2R(R+h) = 6

⇔R(h+R) = 3 ⇔ Rh + R2= 3

V = R2h = R(3-R2) = -R3+3R