chuyên đề mặt cầu ngoại tiếp khối đa diên

Mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện Phần 1: Lý thuyết I Định nghĩa : Mặt cầu qua đỉnh hình đa diện (Đ) gọi mặt cầu ngoại tiếp hình đa diện (Đ) Từ định nghĩa suy : Tâm mặt cầu điểm cách tất đỉnh hình đa diện II Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp hình lăng trụ 1.Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp a.Trục đường trịn ( O; R ) : Đường thẳng d gọi trục đường tròn (O; R) d qua O vng góc với mặt phẳng chứa đường trịn b Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp : Hình chóp S.A1A2 An nội tiếp mặt cầu (S) đáy đa giác nội tiếp đường trịn Chứng minh: Giả sử hình chóp S.A1A2 An nội tiếp mặt cầu (S) Khi đó, đỉnh A1, A2, , An hình chóp nằm mặt phẳng đáy hình chóp đồng thời nằm đường tròn giao tuyến mặt phẳng đáy mặt mặt cầu Do vậy, đa giác đáy nội tiếp đường trịn Ngược lại, S.A1A2 An có đáy A1, A2, , An nội tiếp đường tròn (C) ta gọi ∆ trục đường trịn gọi O giao điểm ∆ với mặt phẳng trung trực cạnh bên, chẳng hạn SA1 Khi đó, OS = OA1 = OA2= = OAn Vậy hình chóp có hình cầu ngoại tiếp, mặt cầu tâm O, bán kính R c Nhận xét Phần thứ hai việc chứng minh tốn cách xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp ( trường hợp ta biết hình chóp có mặt cầu ngoại tiếp ) Việc xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp dễ ta biết trục ∆ đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy đồng phẳng với cạnh bên Khi đó, mặt phẳng trung trực cạnh bên thay đường trung trực cạnh bên đồng phẳng với ∆ Ta xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp theo định nghĩa, tức xác định điểm O cách tất đỉnh hình chóp, thơng thường đỉnh hình chóp nhìn đoạn thẳng góc 900, phải dựa vào yếu tố cân, hình chóp Mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ a Chứng minh hình lăng trụ có mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ đứng đáy đa giác nội tiếp đường tròn Chứng minh : Nếu (H) hình lăng trụ có mặt cầu ngoại tiếp mặt bên hình bình hành có đường trịn ngoại tiếp nên phải hình chữ nhật Vậy (H) phải hình lăng trụ đứng ngồi ra, (H) có mặt cầu ngoại tiếp nên mặt đáy phải đa giác có đường trịn ngoại tiếp Ngược lại, cho (H) hình lăng trụ đứng có đường tròn (C), (C’) ngoại tiếp hai đa giác đáy Gọi I, I’ tâm hai đường trịn II’ trục hai đường trịn Vì vậy, gọi O trung điểm đoạn II’, suy O cách tất đỉnh hình lăng trụ cho Vậy hình lăng trụ có mặt cầu ngoại tiếp b Nhận xét - Việc chứng minh ý hai tốn cách xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ - Cũng tương tự hình chóp ta cịn tìm điểm O cách tất đỉnh hình lăng trụ *********************************** Phần 2: Một số dạng tập áp dụng Dạng 1: Xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình đa diện Trong dạng tập ta xét số tập xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đều, hình chóp có cạnh bên vng góc với đáy, hình chóp có mặt bên vng góc với đáy, hình lăng trụ đứng có đáy đa giác dễ xác định tâm đường trịn ngoại tiếp Bài 1: (Hình chóp đều) Xác định tâm tính bán kính mặt cầu (S) ngoại tiếp hình chóp tam giác cạnh đáy a, góc mặt bên đáy φ Lời giải: Giả sử S.ABC hình chóp tam giác cạnh đáy a Gọi M trung điểm BC, G trọng tâm tam giác ABC Khi đó, theo giả thiết tốn SG trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC ∠SMG = φ Gọi I trung điểm SA, kẻ đường trung trực SA cắt SG O, ta có : OS = OA = OB = OC, suy O tâm mặt cầu (S) ngoại tiếp hình chóp, S I O C A N G M B bán kính OS.Ta có AM = suy AG = AM = AB − BM = a − a2 a = a a ; GM = AG = Trong tam giác vuông SGMφ GM GM a = cosϕ ⇒ SG = = , tam giác vuông SGA: SG cosϕ 6cosϕ SO SI Hai tam giác vuông SGA SIO đồng dạng nên ta có = , suy ra: SA SG SA.SI SA2 a (1 + 4cosϕ ) 3cosϕ a (1 + 4cosϕ ) = = = ϕ SO = Vậy bán kính mặt cầu SG SG 12cosϕ a a (1 + 4cosϕ ) (S) R = SO = ta có : Nhận xét: Trong tốn xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp hình đa diện ta hay phải giải toán liên quan : xác định khoảng cách , xác định góc Do vậy, giáo viên cần hướng dẫn học sinh phải xác định cách xác hai tốn xác định hình Chẳng hạn, ta xác định trục đường trịn ngoại tiếp đa giác đáy hình chóp hay hình lăng trụ ta thường tìm hai điểm cách đỉnh hình chóp hình lăng trụ, tìm điểm cách đỉnh vng góc với mặt phẳng đáy Cũng với dạng tốn ta đưa nhiều toán tương tự sau: Xác định tâm bán kính mặt cầu (S) ngoại tiếp hình chóp tam giác trường hợp sau: a Hình chóp có cạnh đáy a, cạnh bên b b Hình chóp có cạnh đáy a, góc cạnh bên đáy φ c Hình chóp có cạnh bên a, góc cạnh bên đáy φ d Hình chóp có cạnh bên a, góc mặt bên đáy φ e Hình chóp có cạnh đáy a, chiều cao h f Hình chóp có cạnh đáy a, góc hai mặt bên φ g Hình chóp có tất cạnh a Hoàn toàn tương tự ta có câu hỏi thay hình chóp tam giác hình chóp tứ giác Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a Gọi E, K trung điểm cạnh AD BC Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.EBK Bài 2: (Hình chóp có cạnh bên vng góc với đáy) Xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABC biết SA vng góc với đáy, SA = 2a, ABC tam giác cạnh a Lời giải: Gọi G trọng tâm tam giác ABC, d đường thẳng qua G vng góc với mặt phẳng (ABC) Khi đó, d trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC I trung điểm SA suy SA // d Gọi I trung điểm SA, kẻ đường trung trực SA qua I cắt d O Khi đó, OS = OA = OB = OC, suy S O tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABC, bán kính R = OS Tương tự ta có AG = a a , AI = OG = , suy R = OA = OG + AG = I a a a 21 + = O C Nhận xét : A - Trong trường hợp hình chóp có cạnh G M N bên vng góc với đáy trục đường trịn ngoại tiếp đa giác đáy cạnh bên ln đồng phẳng B - Ngồi cách xác định tâm mặt cầu theo cách hình học cổ điển trên, toán dạng ta cịn sử dụng phương pháp tọa độ để làm - Ngồi việc cho cạnh bên vng góc với đáy trực tiếp có toán cạnh bên cho giao tuyến tuyến hai mặt bên vng góc với đáy Chẳng hạn, ta xét tốn sau : Cho hình chóp S.ABCD Hai mặt bên (SAB) (SAD) vng góc với đáy Đáy ABCD tứ giác nội tiếp đường trịn tâm O, bán kính R Xác định tâm tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD biêt SA = h Lời giải toán hồn tồn đơn giản, trục đường trịn ngoại tiếp tứ giác ABCD đường thẳng qua O song song với SA Đáp số : r = h2 + R2 Hồn tồn tương tự ta có toán sau: Xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp tứ giác S.ABCD biết SA vng góc với đáy, SA = a, ABCD hình chữ nhật có AB = a, AD = 2a Xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp tứ giác S.ABCD biết SA vng góc với đáy, SA = a, ABCD hình vng cạnh 2a Xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp tứ giác S.ABCD biết SA vng góc với đáy, SA = a, ABCD hình thang cân nội tiếp đường trịn đường kính AD = 2a Xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC biết ba góc đỉnh S 900 SA = a, SB = b, SC = c Cho tam giác ABC vuông cân cạnh huyền AB = 2a Trên đường thẳng d qua A vng góc với mặt phẳng (ABC) lấy điểm S khác A Chứng minh hình chóp SABC có cặp cạnh đối diện vng góc với Xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABC Tính bán kính R góc hai mặt phẳng (SBC) (ABC) 300 Đáp số: a AC ⊥ SB b R = a 42 Cho đường tròn tâm O, bán kính R, xét hình chóp S.ABCD có SA vng góc với đáy ( S, A cố định ), SA = h cho trước, ABCD tứ giác tùy ý nội tiếp đường tròn cho mà AC vng góc với BD a Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp b Tứ giác ABCD hình để thể tích hình chóp S.ABCD lớn ? Đáp số: a R ' = h2 + R 2 b ABCD hình vng Trong mặt phẳng (P) cho đường trịn đường kính AB = 2R, M điểm chuyển động đường tròn , MH vng góc với AB H cho AH = x, 0< x < 2R Dựng đường thẳng vng góc với (P) M lấy điểm S cho MS = MH Xác định tâm tính bán kính r mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABM Tìm x để r lớn Đáp số : r = R + x(2 R − x) ; r lớn x = R Bài 3: ( Hình chóp có mặt bên vng góc với đáy ) Cho tứ diện ABCD có AB = AC = a; BC = b Hai mặt phẳng (BCD) (ABC) vng góc với nhau, góc ∠ BDC 900 Xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp ABCD theo a b Lời giải: Gọi M trung điểm BC, hai mặt phẳng (ABC) (BCD) vng góc với nên AM ⊥ (BCD), mặt khác, tam giác BCD vuông D nên M tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác BCD, suy ra, AM trục đường tròn ngoại tiếp tam giác A N O B D M BCD Do vậy, tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD tâm bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC Tam giác ABC có AB = AC = a, BC = b suy AM = AB − BM = a − SABC= AM BC = b2 4a − b = b 4a − b a.a.b a2 Do vậy, R = = S ABC 4a − b Nhận xét: - Với hình chóp có mặt bên (P) vng góc với đáy trục ∆ đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy thường đường thẳng nằm mặt phẳng (P) đường thẳng song song với đường nằm (P) vng góc với đáy Một số tốn tương tự : Cho hình chóp SABC có ABC tam giác cân AB =AC = a, hai mặt phẳng (SBC) (ABC) vng góc với SA = SB = a Xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp biết SC = x Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SAB tam giác đều, mặt phẳng (SAB) vng góc với mặt đáy (ABCD) Xác định tâm tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp Đáp số : R = a 21 Cho tứ diện SABC có góc ASB 1200, góc BSC 600, góc CSA 900, xác định tâm tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện Cho tứ diện ABCD có AB = BC = AC = BD = a, AD = b, hai mặt phẳng (ACD) (BCD) vng góc với Xácđịnh tâm tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện Đáp số : R = a2 3a − b Bài 4: ( Chứng minh điểm thuộc mặt cầu) Cho hình chóp S.ABC có SA vng góc với đáy, AB = c, AC = b, góc ∠ BAC = Gọi B1, C1 hình chiếu vng góc A SB, SC Xác định tâm bán kính mặt cầu qua năm điểm A, B, C, B1, C1 Lời giải : S Gọi AD đường kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC C1 B Khi đó, BD ⊥ AB BD ⊥ SA nên BD ⊥ (SAB) suy BD ⊥ AB1 mà AB1 ⊥ SB (giả thiết) nên AB1 ⊥ (SBD) suy AB1 ⊥ DB1 Chứng minh tương tự ta có AC1 ⊥ DC1, điểm A, B, C, B1, C1 nhìn AD góc 900 hay điểm nằm mặt cầu đường kính AD Ta có, SABC= R= abc bc sin ϕ = suy 4R a mà theo định lý côsin ta có sin ϕ a = b2 + c2 – 2bc.cos ử, R = b + c − 2bc.cosϕ 2sin ϕ Nhận xét : - Đối với toán chứng minh điểm nằm mặt cầu, ta thường phải chứng minh chúng nhìn đoạn thẳng góc 900, chúng cách điểm cố định cho trước khoảng khơng đổi Các tốn tương tự: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB = a, BC = b, đường cao hình chóp SA Gọi B1, C1, D1 hình chiếu vng góc A SB, SC, SD a Chứng minh A, B1, C1, D1 thuộc mặt phẳng vng góc với SC b Xác định tâm tính diện tích mặt cầu qua điểm A, B, C, D, B1, C1, D1 a2 + b2 Đáp số: R = , S = π (a + b ) 2 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng , SA vng góc với đáy, (P) mặt phẳng qua A vng góc với SC cắt SB, SC, SD M, N, P a Chứng minh BD vng góc với AN b Chứng minh S, A, M, N, P thuộc mặt cầu 3.Cho tam giác ABC vuông C, đường thẳng (d) vng góc với mặt phẳng (ABC) A lấy điểm S Gọi AD, AE hai đường cao tam giác SAB, SAC Chứng minh A, B, C, D, E nằm mặt cầu Xác định tâm tính bán kính mặt cầu Trong mặt phẳng (P) cho đường thẳng d điểm A khơng thuộc d , góc ∠ xAy di động quanh A cắt d B C Trên đường thẳng qua A vng góc với (P) lấy điểm S Gọi H, K hình chiếu vng góc A SB, SC a Chứng minh A, B, C, H, K thuộc mặt cầu b Tính bán kính mặt cầu AB = 2, AC = 3, góc ∠ BAC 600 Đáp số: R = 21 Trong mặt phẳng (P) cho hình thang cân ABCD với AB = 2a, BC = DC = DA = a Trên nửa đường thẳng Ax vng góc với mặt phẳng (P) ta lấy điểm S di động Một mặt phẳng qua A vng góc với SB cắt SB, SC, SD P, Q, R theo thứ tự a Chứng minh điểm A, B, C, D, P, Q, R thuộc mặt cầu cố định Tính diện tích mặt cầu b Chứng minh CDQR tứ giác nội tiếp đường thẳng qua QR qua điểm cố định S thay đổi Ax c Cho SA = a Hãy tính diện tích tứ giác APQR Bài (Xác định tâm mặt cầu cách tìm điểm cách tất đỉnh hình đa diện) Tứ diện ABCD có CD = 2a, cạnh cịn lại có độ dài a Xác định tâm tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD Lời giải : Theo giả thiết tốn ta có hai tam giác ACD BCD vuông A B Gọi O trung điểm CD suy ra, O cách tất đỉnh hình tứ diện Do vậy, O tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD bán kính mặt cầu là: A D B CD R= =a O Cho tứ diện ABCD có AB = CD = 3; AC = BD = 5; AD = BC = Xác định tâm tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện Lời giải : C Gọi I, J trung điểm AB CD dễ thấy IJ ⊥ AB IJ ⊥ CD, vậy: Nếu gọi O trung điểm IJ OA = OB, OC = OD Ngồi ra, AB = CD = nên hai tam giác vng OIB OIC nhau, A OB = OC Vậy O cách bốn đỉnh I O A, B, C, D Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD có tâm O có bán kính R = OA Ta có: OA2 = OI + AI = IJ AB IJ + + = 4 Vì CI trung tuyến tam giác ABC 2a + 2b − c 113 = 4 113 c 113 − Suy IJ = CI − CJ = − = = 26 4 26 + 35 35 Như : R = OA2 = = ⇒R= 4 nên CI = Bài ( số tốn hình lăng trụ) Cho hình lăng trụ đứng ABCA1B1C1, đáy ABC tam giác có góc ∠ BAC 1200 , AB = a, AC = 2a, đường chéo AB1 mặt bên ABB1A1 tạo với đáy góc 750 Xác định tâm tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ Lời giải: E A Trong tam giác ABC theo định lý côsin ta có : BC2 = AB2 + AC2 – 2AB.AC.cos1200 = a2 + 4a2 + 2a2 = 7a2 ⇒ BC = a mà BC = 2Rsin1200 nên bán kính r đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC : C M N B O I BC a a 21 r= = = Theo giả thiết sin120 3 A1 AB1 tạo với đáy góc 75 nên góc ∠ BAB1 = 750 suy ra, tam giác vng ABB1 ta có : E C1 B BB1 = AB.tan 750 = a.tan(450 + 300 ) = a.(2 + 3) Gọi E, E1 tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC A1B1C1 Khi đó, EE1 trục đường tròn ngoại tiếp hai đa giác đáy, gọi I trung điểm BB1 kẻ đường trung trực BB1 cắt EE1 O suy OA = OB = OC = OA1 = OB1= OC1 hay O tâm mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ bán kính R = OB Ta có OI = EB = r , áp dụng định lý Pitago tam giác vng OIB ta có: OB2 = OI2 + IB2 = a a (2 + 3)2 (49 + 12 3)a 49 + 12 + = ⇒ R = a 12 12 [Đại học Sư phạm Vinh 2000] Cho hình hộp chữ nhật ABCDA1B1C1D1 có AB = p, AD = q, AA1 = r, < puuuu q) x Tâm O mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABDA1 tâm mặt cầu ngoại tiếp q p r 2 hình hộp, tức trung điểm đường chéo AC1,do O( ; ; ) bán kính p2 + q2 + r Điểm H cần xác định hình chiếu vng góc O r 1 xuống mặt phẳng (BDA1) Mặt phẳng có véc tơ pháp tuyến v = ( ; ; ) q p r R= véctơ phương đường thẳng OH suy đường thẳng có phương 10 q   x = + q t  p trình là:  y = + t , t ∈ R thay vào phương trình mặt phẳng (BDA1), ta : p   r  z = + t r  q 1 p 1 r 1 ( + t ) + ( + t ) + ( + t ) = suy H có tọa độ : q q p p r r x= q3 ( p2 + r ) p3 (q + r ) r3 ( p2 + q2 ) y = z = ; ; ; 2( p q + q r + r p ) 2( p q + q r + r p ) 2( p q + q r + r p ) Nhận xét : Đối với toán xác định tâm tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện việc xác định khó khăn, lại có đặc điểm thuận lợi tứ diện thường nằm hình hộp đặc biệt chẳng hạn hình hộp chữ nhật hay hình lập phương Khi để giải tốn ta thường dùng phương pháp tọa độ Bài tập tương tự : Cho hình hộp chữ nhật ABCDA’B’C’D’ cạnh 1, 2, Gọi M điểm đoạn AC cho AM = 2MC; N điểm đoạn BA’ cho NA’ = 2NB Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện AMNA’ Dạng : Các toán liên quan tới mặt cầu ngoại tiếp hình đa diện Trong dạng tập ta xét số toán liên quan tới mặt cầu ngoại tiếp hình đa diện , chẳng hạn cho biết bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình đa diện ta tính cạnh hình đa diện Bài : Cho tứ diện ABCD cạnh a, tính a biết mặt cầu ngoại tiếp tứ diện có bán kính Lời giải: Gọi M, H, I trung điểm CD, A trọng tâm tam giác BCD trung điểm AB suy AH trục đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD, mặt I phẳng (ABH) kẻ đường trung trực AB cắt AH O Khi đó, O D O tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện B ABCD, bán kính R = OA = Ta có : BM = a a ; BH = ; M H C 11 AH = a − a2 a = ; Xét hai tam giác vng đồng 3 dạng AIO, AHB ta có: OA IA AB a = ⇒ OA = = ⇒a= AB AH AH 2a Bài 2: Cho hình cầu bán kính R Từ điểm S mặt cầu dựng ba cát tuyến cắt mặt cầu A, B, C cho góc ∠ASB = ∠ASC = ∠BSC = α a.Tính thể tích V tứ diện ABCD theo R α b Xác định α để V lớn Lời giải : S a AB = BC = CA tam giác SAB, SBC, SCA Kẻ SH ⊥ (ABC) HA = HB = HC SA = SB = SC Vậy SABC SH cắt mặt cầu S’ AH cắt BC trung điểm M BC Đặt SA = O C = SB = SC = x Vì x2 = SA2 = SH.SS’ = = SH.2R nên SH = x2 2R A H M B α Vì MC = x.sin nên AM = 2MC = x 3.sin , 2 α AM suy HC = HA = = 2.x 3.sin S’ α α α 4.x sin R (3 − 4sin ) x ⇔ x2 = SC = SH + HC ⇔ x = + 4R 3 1 x2 x2 α α V = SH dtABC = MC AM = x.sin x 3.sin = 3 2R 2R 2 3 α α = R sin (1 − sin ) 3 2 2 b Để tìm GTLN V ta sử dụng phương pháp đạo hàm, bất đẳng thức Côsi Đáp số Vmax = 8R3 α = 600 hay ABCD tứ diện Bài 3: Cho hình cầu tâm O bán kính R đường kính SS’ Một mặt phẳng vng góc với SS’ cắt hình cầu theo đường tròn tâm H Gọi ABC tam giác nội tiếp đường tròn Đặt SH = x (0 < x < R) a Tính cạnh tứ diện SABC theo R x b Xác định x để SABC tứ diện đều, tính thể tích tứ diện chứng minh S’A, S’B, S’C đơi vng góc Đáp số : a SA = SB = SC = 2Rx ; AB = BC = CA = 3x.(2 R − x) 12 b x = 4R 3 2 ;V = R ; S’A + S’B = AB 27 Kết luận : Trên số dạng tập mặt cầu ngoại tiếp hình đa diện , nhóm tác giả cố gắng sưu tầm chế biến sau xếp lại để tạo thành viết nhỏ, với hy vọng giúp ích phần nhỏ công việc giảng dạy thầy cô giáo nhiên thời gian chưa có nhiều yêu cầu hạn chế nội dung nên viết khơng tránh khỏi sai sót, kính mong q thầy tham khảo đóng góp ý kiến để viết hoàn thiện Xin chân thành cám ơn Quý thầy cô! 13 14 15 ... Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện AMNA’ Dạng : Các toán liên quan tới mặt cầu ngoại tiếp hình đa diện Trong dạng tập ta xét số toán liên quan tới mặt cầu ngoại tiếp hình đa diện , chẳng... lăng trụ có mặt cầu ngoại tiếp mặt bên hình bình hành có đường trịn ngoại tiếp nên phải hình chữ nhật Vậy (H) phải hình lăng trụ đứng ngồi ra, (H) có mặt cầu ngoại tiếp nên mặt đáy phải đa giác có... tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình đa diện Trong dạng tập ta xét số tập xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đều, hình chóp có cạnh bên vng góc với đáy, hình chóp có mặt bên vng