Mặt cầu, mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện I Mặt cầu 1/ Định nghĩa Tập hợp điểm M không gian cách điểm O cố định khoảng R gọi mặt cầu tâm O, bán kính R, kí hiệu là: S(O, R) hay {M/OM = R} 2/ Vị trí tương đối điểm mặt cầu Cho mặt cầu S(O, R) điểm A bất kì, đó: Nếu OA=R⇔A∈S(O;R) Khi OA gọi bán kính mặt cầu Nếu OA OB hai bán kính cho OA−→−=−OB−→− đoạn thẳng AB gọi đường kính mặt cầu Nếu OA < R ↔ A nằm mặt cầu Nếu OA > R ↔ A nằm mặt cầu →Khối cầu S(O, R) tập hợp tất điểm M cho OM ≤ R 3/ Vị trí tương đối mặt phẳng mặt cầu Cho mặt cầu S(O, R) mp(P) Gọi d khoảng cách từ tâm O mặt cầu đến mp(P) H hình chiếu O mp(P) → d = OH Nếu d < R ↔ mp(P) cắt mặt cầu S(O, R) theo giao tuyến đường tròn nằm mp(P)có tâm H bán kính r=HM=R2−d2−−−−−−−√=R2−OH2−−−−−−−− −√ (hình a) Nếu d > R ↔ mp(P) không cắt mặt cầu S(O, R) (hình b) Nếu d = R ↔ mp(P) có điểm chung Lúc này, ta gọi mặt cầu S(O, R) tiếp xúc mp(P) Do đó, điều kiện cần đủ để mp(P) tiếp xúc với mặt cầu S(O, R) d(O mp(P)) = R (hình c) 4/ Vị trí tương đối đường thẳng mặt cầu Cho mặt cầu S(O, R) đường thẳng Δ Gọi H hình chiếu O đường thẳng Δ D = OH khoảng cách từ tâm O mặt cầu đến đường thẳng Δ Khi đó: Nếu d > R ↔ Δ không cắt mặt cầu S(O, R) Nếu d < R ↔ Δ cắt mặt cầu S(O, R) hai điểm phân biệt Nếu d = R ↔ Δ mặt cầu tiếp xúc (tại điểm nhất) Do đó: điều kiện cần đủ để đường thẳng Δ tiếp xúc với mặt cầu d = d(O, Δ) = R Định lí: Nếu điểm A nằm mặt cầu S(O, R) thì: Qua A có vô số tiếp tuyến với mặt cầu S(O, R) Độ dài đoạn thẳng nối A với tiếp điểm Tập hợpc điểm đường tròn nằm mặt cầu S(O, R) II Mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện 1/ Các khái niệm ″ Trục đa giác đáy: đường thẳng qua tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy vuông góc với mặt phẳng chứa đa giác đáy → Bất kì điểm nằm trục đa giác cách đỉnh đa giác ″ Đường trung trực đoạn thẳng: đường thẳng qua trung điểm đoạn thẳng vuông góc với đoạn thẳng → Bất kì điểm nằm đường trung trực cách hai đầu mút đoạn thẳng ″ Mặt trung trực đoạn thẳng: mặt phẳng qua trung điểm đoạn thẳng vuông góc với đoạn thẳng → Bất kì điểm nằm mặt trung trực cách hai đầu mút đoạn thẳng 2/ Tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp ″ Tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp: điểm cách đỉnh hình chóp Hay nói cách khác, giao điểm I trục đường tròn ngoại tiếp mặt phẳng đáy mặt phẳng trung trực cạnh bên hình chóp ″ Bán kính: khoảng cách từ I đến đỉnh hình chóp 3/ Cách xác định tâm bán kính mặt cầu số hình đa diện a/ Hình hộp chữ nhật, hình lập phương Tâm: trùng với tâm đối xứng hình hộp chữ nhật (hình lập phương) →Tâm I, trung điểm AC’ Bán kính: nửa độ dài đường chéo hình hộp chữ nhật (hình lập phương) → Bán kính: R=AC′2 b/ Hình lăng trụ đứng có đáy nội tiếp đường tròn Xét hình lăng trụ đứng A1A2A3 An.A′1A′2A′3 A′n, có đáy A1A2A3 Anvà A′1A′2A′3 A′n nội tiếp đường tròn (O) (O’) Lúc đó, mặt cầu nội tiếp hình lăng trụ đứng có: Tâm: I với I’ trung điểm OO’ Bán kính: R = IA1 = IA2 = … = IA’n c/ Hình chóp có đỉnh nhìn đoạn thẳng nối đỉnh lại góc vuông Hình chóp S.ABC có SACˆ=SBCˆ=900 + Tâm: I trung điểm SC + Bán kính: R=SC2=IA=IB=IC Hình chóp S.ABCD có SACˆ=SBCˆ=SDCˆ=900 + Tâm: I trung điểm SC + Bán kính: R=SC2=IA=IB=IC=ID d/ Hình chóp Cho hình chóp S.ABC Gọi O tâm đáy → SO trục đáy Trong mặt phẳng xác định SO cạnh bên, chẳng hạn mp(SAO), ta vẽ đường trung trực cạnh SA Δ cắt SA M cắt SO I → I tâm mặt cầu Bán kính: Ta có: ΔSMI∼ΔSOA⇒SMSO=SISA⇒ Bán kính là: R=IS=SM.SASO=SA22SO=IA=IB=IC= e/ Hình chóp có cạnh bên vuông góc với mặt phẳng đáy Cho hình chóp S.ABC…có cạnh bên SA ⊥ đáy (ABC…) đáy ABC… nội tiếp đường tròn tâm O Tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC… xác định sau: Từ tâm O ngoại tiếp đường tròn đáy, ta vẽ đường thẳng d vuông góc với mp(ABC ) O Trong mp(d, SA), ta dựng đường trung trực Δ cạnh SA, cắt SA M, cắt d I → I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp bán kính R = IA = IB = IC = IS = … Tìm bán kính: Ta có: MIOB hình chữ nhật Xét ΔMAI vuông M có: R=AI=MI2+MA2−−−−−−−−−−√=AO2+(SA2)2−−−−−−−−−−−√ f/ Hình chóp khác Dựng trục Δ đáy Dựng mặt phẳng trung trực (α) cạnh bên (α) ∩Δ = I → I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp Bán kính: khoảng cách từ I đến đỉnh hình chóp g/ Đường tròn ngoại tiếp số đa giác thường gặp Khi xác định tâm mặt cầu, ta cần xác định trục mặt phẳng đáy, đường thẳng vuông góc với mặt phẳng đáy tâm O đường tròn ngoại tiếp đáy Do đó, việc xác định tâm ngoại O yếu tố quan trọng toán 4/ Diện tích thể tích mặt cầu Diện tích mặt cầu: SC=4πR2 Thể tích mặt cầu: VC=43πR3. TÌM TÂM VÀ BÁN KÍNH MẶT CẦU Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh A, SA⊥ (ABCD) Cạnh bên SB tạo với mặt phẳng đáy góc 300 Hãy tìm tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD Bài Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy a, cạnh bên 2a Xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC Bài Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a, cạnh bên 3a Hãy tìm tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD Bài Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông C, SA ⊥ (ABC) Biết rằng: AB = a√3 BC = a, SB tạo với mp(ABC) góc 600 Xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC Bài Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có tất cạnh a Hãy xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp Tính diện tích thể tích khối cầu Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật SA⊥ (ABCD, SA = a, AC = a√2 Tìm tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp Tính diện tích thể tích mặt cầu Bài Cho hình chóp S.ABCD có ABCD nửa lục giác SA⊥ (ABCD) a/ Định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp b/ Gọi H, K, L chân đường cao vẽ từ A tam giác: ΔSAB, ΔSAC, ΔSAD Chứng minh điểm A, B, C, D, H, K L nằm mặt cầu Bài Cho hình chóp S.ABC có AB = AC = a, BACˆ=1200, SA ⊥ (ABC), SA = 2a Định tâm bán kính mặt cầu qua điểm S, A, B, C Tìm diện tích thể tích khối cầu Bài Cho hình chóp S.ABC có mp(SBC) ⊥ mp(ABC) SC = b, SA = SB = AB = AC = a Xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp cho Tìm diện tích thể tích Bài 10 Cho hình chóp S.ABCD có cạnh đáy 2a O tâm mặt phẳng đáy Góc mặt bên mặt phẳng đáy 600 Gọi M trung điểm cạnh CD H hình chiếu O SM a/ Tính khoảng cách từ A đến mp(SCD) Tính thể tích hình chóp S.ABCD b/ Tìm tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD Tìm diện tích thể tích mặt cầu Bài 11 Cho hình chóp S.ABCD có ABCD hình vuông cạnh a ΔSAB tam giác Mặt phẳng (SAB) ⊥ (ABCD) a/ Tính thể tích hình chóp S.ABCD b/ Tìm góc hai mp(SAB), mp(SCD) c/ Tìm tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp cho Tìm diện tích thể tích khối cầu Bài 12 Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ đáy tam giác vuông A,AC = a, ACBˆ=α BC’ hợp với mặt phẳng (ACC’A’) góc β a/ Tính thể tích lăng trụ cho b/ Xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ cho Bài 13 Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có cạnh đáy a, bán kính đường tròn ngoại tiếp mặt bên a a/ Tính thể tích diện tích xung quanh hình lăng trụ cho b/ Xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ Tính diện tích thể tích khối cầu Bài 14 Cho hình chóp S.ABC có cạnh đáy 10 cm cạnh bên 15 cm Xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp Tìm diện tích thể tích mặt cầu Bài 15 Ba đoạn thẳng SA, SB, SC đôi vuông góc với tạo thành tứ diện SABC, SA = a, SC = c Xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện Bài 16 Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có cạnh Xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ cho Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp thể tích khối cầu tạo mặt cầu ngoại tiếp Biết cạnh có độ dài 10 cm Bài 17 Cho tứ diện S.ABC có SA⊥mp(ABC),SA=a,AB=b,AC=c Xác định tâm, bán kính, diện tích thể tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện trường hợp sau: a/ BACˆ=900 b/ BACˆ=600,b=c c/ BACˆ=1200,b=c Bài 18 Cho hình chóp S.ABC hình chóp tam giác có cạnh đáy a cạnh bên a√2 Một mặt cầu qua đỉnh A tiếp xúc với hai cạnh SB, SC trung điểm cạnh a/ Chứng minh mặt cầu qua trung điểm AB, AC b/ Gọi giao điểm thứ hai mặt cầu với đường thẳng SA D Tính độ dài đoạn thẳng AC, SDS Bài 19 Hình tứ diện ABCDcó cạnh a có đường cao AH Gọi O trung điểm AH Xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OBCD Bài 20 Hình chóp S.ABCD có SA = a chiều cao hình chóp đáy ABCD hình thang vuông A, B có AB = BC = a, AD = 2a Gọi E trung điểm AD Xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SCDE Tìm diện tích thể tích mặt cầu Bài 21 Cho hình lập phương ABCD A’B’C’D’ có cạnh a a/ Tính diện tích xung quanh hình trụ có đường tròn hai đáy ngoại tiếp hình vuông ABCD A’B’C’D’ b/ Tính diện tích mặt cầu qua tất đỉnh hình lập phương c/ Tính diện tích xung quanh hình nón tròn xoay nhận đường thẳng AC’ làm trục đường sinh AB Bài 22 Cho tam giác vuông cân ABC có cạnh huyền AB = 2a Trên đường thẳng d qua A vuông góc với mặt phẳng (ABC) lấy điểm S khác A ta tứ diện S.ABC a/ Xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện S.ABC b/ Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện chóp S.ABC trường hợp mp(SBC) tạo với mp(ABC) góc 300 Bài 23 Cho hình lăng trụ có bán kính đáy R Thiết diện qua trục hình trụ hình vuông a/ Tính diện tích thể tích hình cầu ngoại tiếp hình trụ b/ Một mp(P) song song với trục hình trụ, cắt đáy hình trụ theo dây cung có độ dài bán kính đáy hình trụ Tính diện tích thiết diện hình trụ hình cầu ngoại tiếp hình trụ cắt mp(P) Bài 24 Cho hình chóp S.ABC có ΔABC cạnh a mp(SBC)⊥mp(ABC),SC=SB=a2–√ a/ Tính góc mp(SAB), mp(SAC) khoảng cách từ B đến mp(SAC) b/ Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần thể tích hình chóp cho c/ Định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC Tính diện tích thể tích khối cầu Bài 25 Cho hình chóp S.ABCD có ABCD hình chữ nhật, AB = a, AD = 2a Hai mặt bên (SAD), (SAB) vuông góc với mp(ABCD), SA = a Gọi O tâm hình chữ nhật a/ Tính thể tích hình chóp O.SCD b/ Tìm tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD Tính diện tích thể tích khối cầu Bài 26 Cho hình chóp S.ABCD có ABCD hình thang vuông, đáy lớn AD = 2a, đường cao AB = a, BC = a, SA ⊥ (ABCD), SA = a a/ Tính thể diện tích toàn phần thể tích hình chóp b/ Định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện S.ABD c/ Định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.CDM với M trung điểm AD d/ Định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện S.BCD Nguồn: http://tanggiap.vn/threads/mat-cau-mat-cau-ngoai-tiep-khoi-da-dien.1460/ ... Xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ cho Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp thể tích khối cầu tạo mặt cầu ngoại tiếp Biết cạnh có độ dài 10 cm Bài 17 Cho tứ diện S.ABC có SA⊥mp(ABC),SA=a,AB=b,AC=c... có vô số tiếp tuyến với mặt cầu S(O, R) Độ dài đoạn thẳng nối A với tiếp điểm Tập hợpc điểm đường tròn nằm mặt cầu S(O, R) II Mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện 1/ Các khái niệm ″ Trục đa giác... b/ Định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện S.ABD c/ Định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.CDM với M trung điểm AD d/ Định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện S.BCD Nguồn: http://tanggiap.vn/threads/mat-cau-mat-cau-ngoai-tiep-khoi-da-dien.1460/